沂水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沂水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数，，若，则（）
A1
B2
C3
D-1
2．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（）
A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20
3．已知m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β
4．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m，n为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b，则一定有（）
A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a，b的大小与m，n的值有关
5．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
6．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）
A．2 B．1 C．D．
7． 定义运算，例如
．若已知
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
9． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
10．已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
12．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
二、填空题
13．在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cos θ+
sin θ）=6的距离为 ．
14．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
15．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x
x e x f e （其
中为自然对数的底数）的解集为 .
16．已知复数，则1+z50+z100=．
17．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为．
18．设全集______.
三、解答题
19．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．
阿啊阿
20．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
21．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点
2
在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两
点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
22．如图，过抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 的直线交C 于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，且x 1x 2=﹣4．
（Ⅰ）p 的值；
（Ⅱ）R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，RQ 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．
23．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
24．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

沂水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1
2．【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，
∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），
∴a=6，
∴展开式的通项为T r+1=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，
故选：B．.
3．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
4．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
5．【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．
∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为
∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项
故选A
6．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
7．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
====．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
8．【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a＞2，或﹣a＜1，
即a＜﹣2，或a＞﹣1，
综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．10．【答案】A
【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：抛物线f （x ）=x 2
+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2
+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b ≥0，
故选：A ．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12．【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ．
二、填空题
13．【答案】 1 ．
【解析】解：点P （2，）化为P
．
直线ρ（cos θ+
sin θ）=6化为
．
∴点P 到直线的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于2
64x ax ++≤只有一解，即2
20x ax ++≤只有一解，
∴2
80a a ∆=-=⇒=±，故填：±. 15．【答案】),0(+∞ 【
解
析
】
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以x
e ,即
()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.1
16．【答案】 i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50
=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2
=﹣1．
17．【答案】 90° ．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
18．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n ∈N|1≤n ≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（∁U A ）={4，6，7，9 }，∴（∁U A ）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}。

三、解答题
19．【答案】
【解析】满分（13分）．
解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，
∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）
∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．
由y=，得．
∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）
又PC过点C，y C=，
∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，
∴y C+1=，即．…（6分）
同理，
∴直线CD的方程为，…（7分）
∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，
得x1=1，直线CD的方程为．
设l：y+1=k（x﹣1），
与方程联立，求得x Q=．…（9分）
设A（x A，y A），B（x B，y B）．
联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得
x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得
x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）
∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，
∴+=|PQ|
=
=…（11分）
=
=，
∴+为定值，定值为2．…（13分）
【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+，
由，消去y得，x2﹣2pkx﹣p2=0（*）
由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴，故p=2；
（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），
∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．
得，又，
∴，即4（y3﹣y4）=（y3+y4﹣2t）（y4﹣y3）．
而y3≠y4，∴﹣4=y3+y4﹣2t．
又∵y3+y4=1，∴，故T（0，）．
因此，．
由（Ⅰ）得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
=．
因此，当k=0时，S△MNT有最小值3．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
24．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，。