第4章 功和能

r2


r 1
G0 Mm r
B
2
1 1 dr G0 Mm r r M 1 2
m
4. 摩擦力的功
A

A
f dr f S
f
V
M
结论 ：重力、弹性力、万有引力都具有下述特点： 13 作功与路径无关，仅决定于起始和终止位置。 二、保守力 保守力----做功与具体路径无关的力。 特点：任意两点间做功与路径无关 , 即 Q Q P
A保 EP 2 EP1） EP （
表述为：保守力的功等于系统势能增量的负值。 二、势能的物理意义 1. 势能是状态量----由相对位置函数决定。 2. 势能是相对量----与势能零点的选择有关。
零点选择的一般原则----位置函数为零的地方。 重力势能零点-----地面（ mgh ） 弹性势能零点-----弹簧自然伸长处（ 1/2kx2 ） 引力势能零点-----无限远处（ -G0Mm/r ） 结论：势能是相对的，两点的势能差是绝对的。
A
因两质点间的引力是保守力，可定义系统的引力势能： 当两质点从相距rA运动到rB时，引力所作的功为：
rB
17
AAB
rB
G
rA
m1m2 r
2
Gm1m2 Gm1 m2 dr ( ) ( ) rB rA
再由 AAB EPA EPB E p
得
E pA E pB
a
在直角坐标系中
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
B
A ( Fx dx Fy dy Fz dz )
A
o
r
dA F dr F dr cos b b A F dr F dr cos
5
6. 功的性质 •功是标量----没有方向，有大小和正负。 •功是过程量----有位移，才有功。不同路径，功不同。
•功是相对量----同一力对同一质点在同一过程中作的功
可因参照系的选择不同而异，即功依赖参照系的选择。
F
L


S

一、质点的动能定理
AAB
B A
4.2
A
动能定理
A
6
B B F dr Fr dr m at dr
2m
o
r
dv
r dr

F
B
dr ds
L
A
7 二、动能定理的物理意义 1. 定理指明了功和能的关系----功是动能变化的量度。
A 0, Ek 0. A 0, Ek 0. A 0, Ek 常数
2. 由于运动的相对性，功与动能（速度）都依赖于参 照系的选择，所以，功与动能的计算必须相对同一 惯性系而言。 3.功是过程量，动能是状态量，动能定理把二者联系 起来。

f ds
P

f ds
P
L1
L2
L1
f ds 0
或者， 沿任意闭合回路做功为 0， Q P 即
L2 Q

f ds
( L)
p L1
f ds
Q L2
保守力----沿任意闭合回路做功为零的力。
一、势能 1.保守力的功 保守力作功的大小，均可用一个与相互作用的物体 的相对位置有关的函数在物体始末位置的差来表示。
F
20
Fl F cos Fl
dE dl
Q
保守力 F沿L方向的分量FL等于 势能沿L方向的空间变化率的负值。 在直角坐标系中，
Fx E
dl

P
( x i y j z k ) F E 结论：保守力等于势能的负梯度。
x y z E E E ˆ ˆ ˆ F Fx Fy Fz ( i j k) x y z
Gm1m2 Gm1 m2 ( ) ( ) rA rB
选两质点相距无限远时为势能零点, rB 时, E pB 0 两质点相距r时的引力势能为：
Ep Gm1m2 r
4.7 弹簧的弹性势能
当弹簧从xA 变化至xB时，弹性力所作的功为：
xB
18
AAB
由势能定义
Fy
E
Fz
E
二. 势能曲线 重力势能 E p h mgh 弹性势能 E p x
1 2
21
2
kx
引力势能 选 为零势点, m1 , m2 两质点引力势能
E p r G
一、几种特殊力的功 1. 重力的功
A

4.4 保守力
h
h2
11

b
mg dr
b
L1 L2
a
h2
mgdh
h1
dh
' r
dr
( mgh2 mgh ) 1
重力做功与路径无关，即
h1
a
r
mg

b
a ( 沿L1 )
mg dr

b
a ( 沿L2 )
at
, dr vdt
AAB 1 2 mv
dtB

A
B dv vB F dr m vdt m vdv A dt vA
2 B

1 2
mv
2 A
定义：质点的动能为
Ek
1 2
mv
2
p
2
动能定理 A E E AB kB kA 表述为: 合外力对质点做的功等于质点动能的增量。
B A
F , F2 ,, Fn , 1
则总功为
A ( F1 F2 Fn ) dr A1 A2 An Ai
合力的功等于分力沿同一路径所作功的代数和。
5. 功率----单位时间力所作的功
dr dA 1 p ( F dr ) F F v dt dt dt
2
功等于质点受的力和它的位移的标积. 功是标量,但是它有正负
当0 当 当
F

2
时, dA 0

O

2
时, dA 0
dr
图4.1功的定义
Fr

2
时, dA 0
2、功的表达式 3 如质点在力 的作用下, 沿一曲线L从a到b，力对 质点作的元功为
a
b A F dr a
r1 dA f1 dr1 f 2 dr 2 O f1 f 2 dA f 2 dr2 dr1 f 2 d r2 r1
一、一对力的功 1.一对力----一对作用力和反作用力。 2.一对力的功----一对力的功之和。 3.一对力功的表达式 B1 设有一对力 f1, f 2 在dt内，m1 和m2相对O点 dr1 有相对位移 dr 和dr2 f1 m1 1 则这一对元功为：
A重 (mgh2 mgh ) 1
A弹 ( 1 2 kx
2 2
4.5 势能
14
1 2
kx1 )
2
A引
1 1 G0 Mm G0 Mm r2 r 1
三式的右方形式相似----两个位置函数的差。因作功总 是与能量的改变相联系，所以位置函数与能量有关。
r dr

F
b
dr ds
a
L
3. 恒力沿直线做的功
AAB
F

B
F dr Fdr cos
F
4 F
A B

dr A s
恒力沿直线做的功

A
B
F cos S
在国际单位制中,功的单位是 1J 1N m 4. 合力的功 质点m,所受外力分别为：
16
3. 势能是系统量----由两个相互作用的物体共同所有。 势能的本质----相互作用能，储存于相互作用的场中。 保守力做功AAB可表示为 AAB EPA EPB E p 如规定B点为势能零点, E pB 0 则任一点A的势能为:
E pA AAB
4.6 引力势能
m1m2 G r dr 3 r r
8
A Ai Fi外 dr f i内 dr Eik 2 Eik1
A A外 A EK 2 EK 1 内
表述为：质点系所有质点所受外力的功和内力的功的 总和等于质点系动能的增量。 注意两点： 1. 质点系的动能定理一定要考虑内力的功。 2. 内力虽等大反向，矢量和为零，但内力的功的总和 不一定为零。内力的功可以改变系统的总动能。
kxdx ( 2 kx 2 kxA ) xA 1 1 2 2 E pA E pB kxA kxB 2 2
2 B 2
1
1
如规定xB=0点为势能零点,
则任一点x的势能为: E p
保守力作功：
1 2
kx
2
总 重力势能: E p h mgh 结 引力势能: 选无限远点为引力势能零点
A1
4.3
一对力的功
9
B2
f2
r21 r2 r2
dr2
m2
A2
一对力的功
由于 r2 r1 r21 是m2相对于m1的位置矢量,所以10 B B AAB dA f 2 dr21 dA f 2 dr21 A A
结论:两质点间的“一对力”所做功之和等于其中一个 质点所受的力沿着该质点相对于另一质点所移动 的路径所做的功. 4. “一对力功”的特点 一对力的功取决于受这对力作用的质点的相对 运动，而与所选的参照系无关。 二、一对力功的例子 1.一对正压力的功恒为零 dA N drmM 0 Ndr 2.一对静摩擦力的功恒为零 (相对位移drmM 0) 3.一对滑动摩擦力的功恒小于零 ( f mM drmM 0)
三、质点系的动能定理
F合 F外 f内
对于质点系：
对第i个质点：
Fi Fi外 f i内
对所有质点取和： 质点系动能定理
Ai Fi dr Fi外 dr f i内 dr EiK 2 EiK1
Q ( 势能零点)
讨论：1. 若选 Q 为计算势能参考点, 取EQ= 0 ，则有
E ( P)

F dl
P
2. 若P、Q两个点相距很近，
Q
EQP dE P dE F dl Fdl cos
F dl F dl
dE F dl Fdl cos
2. 势能EP----与物体的相对位置或形变有关的能量 15 把由相互作用物体间相对位置决定的函数定义为该 物体系的势能函数，简称势能，并以Ep表示势能。 将上面三式的位置函数写成势能： 重力势能 EP= mgh 弹力势能 EP= 1/2kx2 引力势能 EP= -G0Mm/r 上面三式可写成共同的表达式：
E p r G
弹性势能: E p x
1 2
m1m2 r
2
A ( E p2 E p1 )
kx
4.8 由势能求保守力 19 一.保守力做功与势能的关系： 保守力作功等于势能减少。 当质点由 P Q 点 :
APQ

Q
P
F dl EQP EP EQ
1
第四章
功和能
本章中心任务-------研究力和力矩对空间的 累积作用规律 本章核心内容-------动能定理和机械能守恒
定律
4.1 功
一、力的功 A ----力对空间的累积量 1. 功的定义----一质点在力 F的作用下, 发生一无限小 的位移dr.此力对质点作的元功为
dA Fr dr F dr cos F dr
mg dr
2 .弹力的功
A F dr
x2 x1
F=-kx
12
kxdx 2 kx
r2
1
2 1

1 2
kx
2百度文库2
m
0 x
B
r2 r r1 A
dl F
x
3.万有引力的功
A F dr
B A
G0 Mm r 2 dl cos r 1