流体动力学基本定理及其应用2

定理 2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋， 则以 后的流动始终无旋。 旋涡起因：
(1) 粘性：无旋均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；
(2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；
(4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。
Philosophy: ―There cannot be a greater mistake than that of looking superciliously upon practical applications of science‖.
Buried: in Westminster Abbey.
2
ln r 2
速度环量导数 加速度环量
• 若理想流体、正压、质量力有势(Kelvin condition)： Dv p D f U (U ) d l d(U ) 0 l l Dt Dt
Kelvin定理的几个推论：
4.5.2 Lagrange 定理 - 涡量保持性（不生不灭）定理
S
yw zv vn ds M x

4.4.3 动量、动量矩方程应用
S
v ( v n)ds fdV p n dS
V S
Example 4-5 大气中二元流冲击平板 Given：b0、V0，a，p0，不计粘性。 Find：流体对平板的作用力。 Solution:
4.5 旋涡运动基本定理
4.5.1 开尔文（Kelvin）定理——旋涡强度的保持性定理
流体线：由确定的流体质点所组成的线。 定理1 如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体线的速度环量 不随时间变化。又称为Thomson定理。 D 证明： 0 Dt • 可证得
D Dv v d l dl l l Dt Dt
4.4 动量方程、动量矩方程及其应用
Bernoulli方程： 速度分布 动量方程： 动量变化 压力分布 合力。
S V
P
n
4.4.1 动量方程
时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界面S(t)，外法向量n 。 动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力( ma F ）。 系统内流体动量:
p n pn
b0
y
b1
V2
x
（1）取坐标系oxy及控制体：端面足够远；
（2）设P为流体对平板的冲击力方向如图； （3）列动量方程(表压力)：
V0
b2
o

e
V1V1b V2 (V2 )b2 (V0 )(V0 cos )b0 0 0 (V0 )(V0 sin )b0 P
（4）Bernoulli方程： （5）连续方程：
P
V1
b0 b1 b2
V0 V1 V2 V0b0 V1b1 V2b2
得
P V b sin 1 cos b1 b0 2 1 cos b2 b0 2
2 0 0
y
b1
求解步骤：
（1）取坐标系； （2）假定力:如设F为外界给流体的力，则物体受力F’ = - F； （ 3）取控制体：速度和压力为已知的面；物面或流面。物面或 流面上 v n dS 0 而物面往往就是要求的受力面。
S
（4） 列动量分量方程； （5） 基本方程的联合使用; （6） 表压力求解方便。

V (t )
vdV
S (t )
系统所受合外力：
P fdV
V (t )
p
n
dS
（系统）
D Dt

V (t )
vdV P
S
V
P n
输运公式 （控制体）

V
( v) dV vv n dS fdV pn dS S t V S
4.5.3 Helmholtz定理 - 涡线和涡管保持定理
定理3 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成 涡线的流体质点永远组成此涡线。
定理4 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成 涡管的流体质点始终组成此涡管，且涡管的强 度不随时间而变。
综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描 述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若 流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋 运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。 若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的旋涡， 无旋变成有旋；不具备保持性。
2V ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
H δ
磁场势
V ～
φ 速度势
2 0
v Ω
电流面密度 δ
～ Ω 涡量 Γ 速度环量
电流强度
i
～
i H dl δ nds
l S
v dl Ω nds
l S
Biot-Savart定理：
电流诱导磁场强度
i dlr dH 4 r 3
V2
x
b0
V0
b2
o

e
Ｐ就是流体对平板的冲击力，方 向与图示方向相同，指向平板。 （6）求冲击力P 的作用点 f 的位置 e ：
P
V1
对坐标原点 o 取矩：
b1V1 bV b1V1 2 2 b2V2 e P 2 2
b0 e ctg 2
（“－”表示 f 在 x 轴正方向）
④
kelvin_helm_rollup
bullet_shadowgraph: Shock Wave
④
V
wing

bound vortex

bae_146
trailing vortex

trailing vortex
vortex_bear
Lord KELVIN (1824 –1907):
Sir William Thompson (Lord Kelvin), born in Belfast, Contributed significantly to the field of hydrodynamics as is evidenced by his 661 papers and 56 patents. When 11 years old, he entered the the University of Glasgow, leaving in 1841 to enter Perterhouse, Cambridge University, to further his education. To meet Biot in Paris. In 1846 he became Professor of Natural Philosophy at Glasgow, a post he held for 53 years. Contributions: Long waves, heat conduction, thermodynamics, submarine cables.
cos 2 cos1 V 4 R
诱导速度方向指向纸里。

r
Γ
1
dl
L

2
⑦
V
cos 2 cos1 4 R
4R 2R
R
M
半无限长直涡线， 2 0 ， 1 / 2 ： V
无限长直涡线， 2 0 ， 1 0：

V
v

平面点涡诱导速度场：
vr 0， v
2 r
诱导速度场除点 r=0 外处处无旋 v=0。尽管涡线 本身是有旋的，它诱导的速度场是无旋的。 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：
r , v r dr v rd
r , v dr v r rd
—— CV内流体动量的变化与单位时间内（净）流出CS的动量之和等于 外界作用在CV和CS上的合力。 定常流动：

S
v ( v n)ds fdV p n dS （控制体）
V S
[流出动量]CS – [流入动量]CS
动量方程反映了物体与 流体间的相互作用，是 积分形式的方程，对理 想和粘性流体都适用。
英国及欧盟国家
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
水电比拟 — 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。 电流在磁场中会诱导磁场强度 — 旋涡在流场中会诱导流体速度。 对应关系：
电磁场
磁场强度 H ～ v
流场
流体速度
方程 H 0 v 0 H V v
v S

S
(r v ) ( v n)ds (r f )dV (r p n )ds
v S
[流出动量矩]CS – [流入动量矩]CS = [合外力矩]CV+CS
直角坐标系中:
zu xw v ds M n y S xv yu vn ds M z S
i Γ
dl
L
旋涡诱导流体速度
dlr dv 4 r 3
r
M
dv
dH
dv
d l r sin sin (r d / sin ) sin d 3 2 4 4 4R r r
直涡线L在M点处诱导速度的大小
M R
d
d l sin 1 V sin d 2 4 r 4R 2 L
= [合外力]CV+CS v uds P x s n v vds P y s n s vn wds Pz