具有时滞和非线性发生率的离散SIRS传染病模型的持久性

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具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析传染病动力学模型是用来描述和解释传染病的传播过程以及评估控制措施的工具。

在传染病的传播过程中，发生率通常被假设为线性增长。

然而，在一些情况下，传染病的发生率可能会随着传播的增加而减少，或者呈现其他非线性的模式。

此外，由于传染病存在潜伏期和传播的时间延迟，时滞也需要纳入模型中。

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型可以更准确地描述和预测传染病的传播过程。

这种模型通常使用微分方程来描述人群中不同类别的人数变化，并基于传染病的特性和人群行为来确定各个参数的值。

下面我们将介绍两种常见的非线性传染病动力学模型，并讨论时滞对传播过程的影响。

一种常见的非线性传染病动力学模型是SIR模型。

SIR模型划分人群为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个互斥的类别。

传染病的传播过程可以通过以下三个微分方程来描述：dS/dt = -βSI + γRdI/dt = βSI - αIdR/d t = αI - γR其中β是传染率，描述一个感染者每单位时间传染给易感者的数量；γ是康复率，描述一个感染者每单位时间康复的数量；α是移动速率，描述一个感染者每单位时间从感染状态转移到康复状态的数量。

在非线性发生率的情况下，传染率β可能会随着感染者数量的增加呈现非线性增长或者递减的趋势。

例如，当人群中的易感者数量减少时，传染率β可能会递减，因为感染者接触到易感者的机会减少。

相反，当人群中的感染者数量增加时，传染率β可能会递增，因为感染者接触到易感者的机会增加。

这种非线性的发生率可以更准确地描述传染病的传播情况。

时滞是指感染者从感染到传染的时间延迟。

在传染病的传播过程中，感染者通常需要一定的时间来发展症状并开始传播给其他人。

时滞可以通过引入滞后项来纳入模型中，例如：dI(t)/dt = βS(t-τ)I(t-τ) - αI(t)其中τ是时滞的时间。

时滞的存在会导致传染病传播的速度变慢，因为感染者需要一定的时间来传播给其他人。

时滞SEIR和SIR传染病模型的相关研究的开题报告

时滞SEIR和SIR传染病模型的相关研究的开题报告一、选题背景和意义随着新冠病毒的爆发，传染病模型研究正逐渐受到关注。

其中SEIR 和SIR模型是比较典型的传染病模型，它们可以很好地描述传染病在人群中的传播情况。

但是，在实际应用过程中我们会发现，这两种传染病模型并没有考虑感染者进入隔离期后仍然可以传播病毒这一情况。

具有时滞的SEIR和SIR模型可以很好地解决这个问题，增强模型的实用性。

因此，本文研究的时滞SEIR和SIR传染病模型具有广泛的应用前景，是一项具有重要意义的研究。

二、选题的研究现状目前，在传染病模型领域，研究的主要是SEIR和SIR模型。

除此之外，还有SI、SIS等模型。

SEIR和SIR模型是目前应用最广泛的两种传染病模型。

它们都可以描述人群中传染病的传播情况。

但是，这两种模型都没有考虑感染者进入隔离期后仍然可以传播病毒的情况。

一些学者在此基础上提出了具有时滞的SEIR和SIR模型，以更逼近真实的疫情情况并更好地预测传染病在人群中的传播情况。

目前，涉及时滞SEIR和SIR模型的文献较少，相关研究仍未得到深入探讨。

三、研究目的本文旨在构建基于时滞的SEIR和SIR传染病模型，深入研究模型的特性和稳定性，探讨时滞、传染率、治愈率等参数对疫情传播的影响。

通过对模型的数值仿真和分析，进一步理解传染病的传播规律，更好地控制疫情的发展趋势，从而为公共卫生政策的制定提供科学依据。

四、研究内容和思路1. 对SEIR和SIR传染病模型进行分析，建立时滞SEIR和SIR传染病模型。

2. 研究时滞、传染率、治愈率等参数对时滞SEIR和SIR传染病模型的稳定性和传染规律的影响。

3. 通过数值仿真和分析，探究时滞SEIR和SIR传染病模型在不同传染率和治愈率条件下的传染病情况。

4. 引入控制措施，探究控制措施对时滞SEIR和SIR传染病模型的影响，以及如何更好地控制疫情的发展趋势。

五、研究预期成果1. 建立基于时滞的SEIR和SIR传染病模型。

SIR传染病模型的一致持久性和疾病的灭绝性

如果满足( 1) 的 I ( t ) , 当 t 充分大后, 都有 I ( t ) [ KI * 。设当 t \T 1 时, I ( t ) [ KI* 。由( 6) 取 E0 I ( 0,
Bl ) , 使当 0 < E< E0 时,
Bl - E Lm2 + Km + dm + 3E
bl KI * Bm +
解( S( t , 0, U) , I ( t , 0, U) , I ( t , 0, U), R ( t , 0, U) 且对 t \0, 有 S ( t , 0, U) , I( t , 0, U), I ( t , 0, U) , R( t , 0, U) > 0。
定义 1 系统( 1) 是一致持久的, 如果存在正常 mi 及 Mi ( 1 [ i [ 3) , 使任意 U I C+ , 有 m1 [
\ ( Bm +
( bl - E) a E) ( bm + aE) + a( Lm1 +
。令 E)
Ey
0
有l iminf S ( ty ]
t)
\
Bmbm
bla +
Lm1
am1
。
因为 Rl =
bl Bl Lm1 ( Lm2 + Km +
dm) , 故存在 n >
0, 使
bl Lm1
(
1
-
e-
) Lm nS 1
Vol. 30 No. 2 June. 2008
SIR 传染病模型的一致持久性和疾病的灭绝性X
董婷, 杨喜陶
( 湖南科技大学数学与计算科学学院, 湖南湘潭 411201)

一类SIR传染病离散模型的持久性与稳定性

０引言
目前。一种新的传染病ＮＨ１１流感相当严重，
只要有人得了这种病，周边的人即成为易染者，
Ｒ（＋）Ｒ（）ｘ［Ｓｎ＋２（）ｍＲ（）１ｎ１＝ｎｅｐ１（）ｙ１ｎ－ｎ］（）
其中Ｓｎ，（）Ｒ（）（）Ｉｎ，ｎ分别表示几时刻传染病的易染者，染病者，恢复健康者的人数，病原区的所有人员都是易染者；ｄ为病原区的出生率（为常数）。，；＞ｙ＞００为易染者，染病者恢复健康的恢复率，＜（１２３为自然死亡率，０ｚ。Ｏｌｉ，，）＝且ｑ＜叫１Ｏｐ＋２ｌ１ｍｎＩ，３ｔ，Ｊ凡＋（）］，＜ａｙ＜，￣ｉ｛２）１［（），＋（）＞＜ＸＩｘｓＸｎ
（闽江学院数学系，福州３００）５１８
摘要：本文探讨一类ＳＲ传染病离散模型的持久性和全局稳定性。Ｉ
关键词：离散模型；Ｉ传染病；久性；定性ＳＲ持稳
中图分类号：７．０１５１２
文献标识码：Ａ
文章编号：０１７１（０１０－８００１０ — １９２１）６０３－３
第６期
吴亭．类ＳＲ传染病离散模型的持久性与稳定性一Ｉ（）ｌＳｎ＋ｎ（）ｌＲ（）使ｎ＿ｎ（）ｌｌｎ＋ｎｎ，
８ｌ３
１平衡点及其稳定性
由模型（）可求得出消除疾病的平衡点Ｅ１
Ａ（）ｄｌＳｎ－２ｎ－（）ｄ［（），ｎＶｎ＝－１（）Ｉｌ）Ｉｎ＜１１ｓｎ＋（）ｘ．（￣ｔ．＋ｎ］０（）＜。所以为全局稳定的平衡点。

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS传染病模型的研究

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 传染病模型的研究1杨允海1，李自珍2，黄磊1，刘红涛11．兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）2．兰州大学干旱与草地教育部重点实验室，兰州（730000）E-mail ：yunhailanzhou@摘要：本文对一类具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 模型进行了分析，讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件，得到模型的平衡点的局部渐近稳定性. 关键词：阶段结构；非线性传染率；局部渐近稳定性引言近年来，以Kermack 和Mckendrick 为代表的流行病动力学有了相当的发展，它们在预防治疗疾病方面起到了不同程度的指导作用，而现在随着环境的污染，生态的破坏以及国际交流的的频繁，许多已经得到控制的的疾病又死灰复燃，给人们的生活造成严重的影响，因此应用数学模型来研究传染病一直是一个重要的课题，许多作者对各种流行病模型进行了大量的研究并得到了很多重要的结果[1 3 4 5 6 7 9 10 11 12].大多数文献中总是假定各年龄阶段的种群个体对某种传染病均有相同的传染率，事实上对于某些疾病，并非如此，如麻疹，水痘等，多发于幼儿时期，而伤寒，白喉，流行性脑脊髓炎等传染病多在成人之间流行，因此考虑阶段结构的传染病模型是很有实际意义的.[1]对一类具有阶段结构的SI 传染病模型进行了研究，得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值;[2]对具有阶段结构的SIRS 传染病模型进行了分析，得到了模型的渐近性质和其平衡点的局部渐近稳定性.本文在[2]的基础上，进一步研究了具有非线性接触率的情况，我们讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件和模型平衡点的局部渐近稳定性,并且得到了与[2]不同的结论.1. 模型的建立)()()()()()()()(1)()()()(1)()()()()(24231122111t Y b t Y ae dtdY t R c t R b t I c dtdR t I c t I b t I t I t S u dt dI t R c t I t I t S u t Y ae t S b t aY dt dS b b −−=−−=−−+=++−−−−=−−ττττ （1）其中)(),(),(t R t I t S 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的数量，)(t Y 表示t 时刻成年个体的数量，a 表示出生率，u 为传染系数，321,,b b b 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的死亡率，4b 为成年个体的死亡率，1c 为染病者的康复系数，2c 为染病者再次成为易感者的比例，τ表示从幼年到成年的间隔，τ1b e−表示τ−t 时刻出生的幼年个体活到t 时刻的概率. 1本课题得到国家社科重点基金项目（No. 04AJL007）和国家自然科学基金（No. 30470298）的资助。

具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型的全局吸引性和持久性

具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型的全局吸引性和持久性尚乔歌;张龙;滕志东【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)002【摘要】In this paper, we studied a class of discrete SIR epidemic model with time delay and standard rate and density dependent birth and death rates. The criteria for global attrativity of disease-free is obtained by applying Lyapunov functional techique and give sufficient condition for permanence of system as Ro > 1.%研究了人口的出生和死亡都受密度制约的一类具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型,通过构造Lyapunov泛函的方法,研究了无病平衡点的全局吸引性,并且给出了当Ro＞1时,系统持久性的充分条件.【总页数】8页(P174-181)【作者】尚乔歌;张龙;滕志东【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析 [J], 陈方方;洪灵2.一类具有非线性发生率的时滞SIRS传染病模型 [J], 刘娟3.一类具有脉冲和双时滞的离散SIRS传染病模型的研究 [J], 罗粤丽;高淑京;谢德辉4.具有标准发生率和因病死亡率的离散SIRS传染病模型的全局稳定性 [J], 王蕾;王凯5.具有时滞和非线性发生率的离散SIRS传染病模型的持久性 [J], 李浩;滕志东;王蕾因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类具有时滞的SIR_传染病模型的稳定性与Hopf_分支

第37卷第1期2023年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.37No.1Feb.2023收稿日期:2022-10-01基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省研究生科研创新项目(CX20220980)作者简介:李伟南(1998 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2634945248@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2023.01.009一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支李伟南,廖茂新∗,李冰冰(南华大学数理学院,湖南衡阳421001)摘㊀要:本文研究了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR 模型,考虑了疾病的潜伏期作为时滞因素,首先得到了模型的基本再生数R 0,然后运用时滞微分方程的稳定性和分支理论,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,得到了在地方病平衡点Hopf 分支存在的条件,最后用MATLAB 数值模拟验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;基本再生数中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2023)01-0059-05Stability and Hopf Bifurcation of SIR Infectious Disease Modelwith Time DelayLI Weinan ,LIAO Maoxin ∗,LI Bingbing(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :In this paper,a modified SIR model with nonlinear incidence and recovery rate is studied.The latent period of the disease is considered as the delay factor.First the basic regeneration number R 0of the model is obtained,then the stability of disease-free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed by using the stability and bifurcationtheory of delay differential equation.The conditions of Hopf bifurcation at endemic equilib-rium point were obtained,and the results were verified by MATLAB numerical simulation.key words :Hopf bifurcation;delay;balance;basic regeneration number0㊀引㊀言近年来,国际上传染病动力学的研究极为迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题㊂Kermack-McKendrick 模型是传染病模型中最经典㊁最基本的模型,后来学者对该模型进行了不同角度的研究,在研究过程中,研究者们发现人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月症状,在一段时间之后,某些症状才会逐步表现出来[1-3]㊂研究初期人们并未考虑到时滞延迟因素,后来研究者们发现引入时滞(单或双时滞)因素,如疾病的潜伏周期,免疫周期以及恢复周期等得到的结果更加逼近实际[4-7]㊂对此方面的研究已经取得了很多成果,为更加有效的预防和治疗传染病提供了依据[8-9]㊂基于前人既有的研究成果,本文在文献[10]一类具有非线性发生率和恢复率的修正SIR 模型中,引入时滞得到以下模型:d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)b b +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t ),d R (t )d t =α0+(α1-α0)b b +I (t )()I (t )-μR (t )㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(1)式中:S (t )㊁I (t )㊁R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;N (t )为t 时刻的人口总数;K 表示干预水平;α0和α1分别表示由于卫生保健资源的不足和亚人口感染造成的最小和最大人均恢复率;b 为医院床位数量对传染病传播的影响;A 为人口的出生率;β为接触率;μ为人口自然死亡率;γ为人群因病死亡率;τ为疾病的潜伏期㊂考虑到生物学意义,假设该系统中所有参数均为非负数㊂因系统(1)的前两个方程中没有出现R (t ),所以只需考虑前两个方程即可,其中R (t )=N (t )-S (t )-I (t )㊂d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)bb +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t )㊂ìîíïïïïïïï(2)1㊀模型的动力学分析1.1㊀平衡点的稳定性经计算可得系统(2)总存在一个无病平衡点E 0Aμ,0(),如果R 0>1,系统有唯一正平衡点(S ∗,I ∗),其中S ∗=(α0I ∗+α1b +bγ+bμ+γI ∗+μI ∗)(k +I ∗)β(b +I ∗),I∗=(A -μS ∗)k μS ∗+βS ∗-A㊂㊀㊀由基本再生数的生物意义,计算系统(2)可得基本再生数R 0=βAkμ(α1+γ+μ)㊂定理1㊀当R 0<1,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的;R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:系统(2)在E 0Aμ,0()附近对应线性近似系统为d S (t )d t=-μS (t )-βA μk I (t -τ),d I (t )d t =-(γ+μ+α1)I (t )+βA μk I (t -τ)㊂ìîíïïïï(3)㊀㊀系统(3)对应的特征方程为㊀(λ+μ)(λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ)=0㊂(4)特征值λ1=-μ,λ2满足λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ=0㊂(5)㊀㊀当R 0<1时,假设λ=α+βi,则代入式(5)可得Re(λ)=βA μke -ατcos βτ-(γ+μ+α1)ɤβAμk-(γ+μ+α1)=(R 0-1)(γ+μ+α1)㊂㊀㊀由于R 0<1,则Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有负实部,所以当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的㊂当R 0>1时,f (λ)=λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ,f (0)=γ+μ+α1-βA μk=(1-R 0)(γ+μ+α1)<0,lim λң+ɕf (λ)=+ɕ㊂则f (λ)=0必存在一个正实根,因此当R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂引理1㊀当R 0>1,τ=0时,系统(2)满足文献[10]中定理3的条件,则正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂证明:系统(2)在正平衡点(S ∗,I ∗)附近对应线性近似系统为第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支2023年2月d S (t )d t =-μS (t )-βI ∗k +I ∗S (t -τ)-kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ),d I (t )d t =(-(α0+γ+μ)-(α0-α1)ˑb 2(b +I ∗)2)I (t )+βI ∗k +I ∗S (t -τ)+kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ)㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïï(6)令m 0=-μ,m 1=-βI ∗k +I ∗,m 2=-kβS∗(k +I ∗)2,m 3=-(α0+γ+μ)-(α0-α1)b 2(b +I ∗)2㊂则系统(6)可以改写为:d S (t )d t =m 0S (t )+m 1S (t -τ)+m 2I (t -τ),d I (t )d t=m 3I (t )-m 1S (t -τ)-m 2I (t -τ)㊂ìîíïïïï(7)㊀㊀系统(7)的特征方程为:λ2-(m 0+m 3)λ+m 0m 3+e -λτ((m 2-m 1)λ+㊀m 1m 3-m 0m 2)=0㊂(8)当τ=0时,方程(8)为λ2+(m 2-m 1-m 0-m 3)λ+m 0m 3+m 1m 3-㊀m 0m 2=0㊂根据文献[10]定理3有(H1)m 2-m 1-m 0-m 3>0,m 0m 3+m 1m 3-m 0m 2>0㊂根据Routh-Hurwitz 准则,当R 0>1,τ=0时,正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂引理2㊀当τ>0时,方程(8)有一对纯虚根㊂证明:当τ>0时,设λ=ωi(ω>0)是方程(8)的纯虚根㊂代入方程(8)进行分离实部和虚部可得ω2-m 0m 3=(m 2-m 1)ωsin ωτ+(m 1m 3-m 0m 2)cos ωτ,(m 0+m 3)ω=(m 2-m 1)ωcos ωτ-(m 1m 3-m 0m 2)sin ωτ㊂ìîíïïïïïï(9)㊀㊀将式(9)两边平方之后相加可得ω4+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)ω2+(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(10)令Z 2=ω,则式(10)变为Z 2+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)Z +(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(11)假设满足(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,(H3)m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3<0㊂则方程(11)存在唯一正实根Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2,其中Δ=(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)2-4(m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)㊂显然,方程(10)仅有一个正实根ω0=Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2㊂把ω0代入(9)式可得τk =1ω0arccos(1(m 1m 3-m 0m 2)2+(m 2-m 1)2ω20ˑ((ω20-m 0m 3)(m 1m 3-m 0m 2)+ω20(m 0+m 3)(m 2-m 1))+2k πω0,k =(0,1,2,3 )㊂(12)㊀㊀引理3㊀d(Re(λ))d τλ=ω0i,τ=τk>0,其中τk为式(12)㊂证明:现只需证明d(Re(λ))d τ|λ=ω0i >0即可㊂将方程(8)对τ求导可得2λd λd τ-(m 0+m 3)d λd τ+e -λτ-λ-τd λd τ()((m 2-㊀m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)+e -λτ(m 2-m 1)d λd τ=0㊂计算再有d λd τ()-1=2λ-m 0-m 3λ[-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3]+(m 2-m 1)λ[(m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2]-τλ㊂则有signdRe λd τ()λ=ω0i{}=sign Red λd τ()-1λ=ω0i{}=sign Re2λ-m 0-m 3λ(-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3)λ=ω0i{}+第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月sign Re(m 2-m 1)λ((m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)λ=ω0i{}=sign Re 2ω0i -m 0-m 3-(m 0+m 3)ω2+[(ω20-m 0m 3))ω0i (){}+sign Re (m 2-m 1)(-(m 2-m 1)ω20+(m 1m 3-m 0m 2)ω0i)(){}=sign 2ω20+m 20+m 23(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2-(m 2-m 1)2(m 2-m 1)2ω20+(m 1m 3-m 0m 2)2{}=sign 2ω20+m 20+m 23-(m 2-m 1)2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}=sign 2ω20+m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}㊂㊀㊀根据(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,即证明横截性条件满足㊂根据上述引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支定理,可以得到如下结论:定理2㊀当τ>0且R 0>1时,若条件(H2)㊁(H3)满足,则当τɪ[0,τ0),τ0=min(τk )时,系统(2)的平衡点是局部渐进稳定的;当τ>τ0时,系统(2)的平衡点是不稳定的;在τ=τ0时,系统(2)在平衡点处出现Hopf 分支㊂2㊀数值模拟当系数取A =1,β=0.5,k =1,μ=0.1,r =0.2,α0=0.2,α1=0.3,b =0.05时,系统(2)为d S (t )d t=1-0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-0.1S (t ),d I (t )d t =0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-(0.2+0.0050.05+I (t ))I (t )-0.3I (t )㊂ìîíïïïïïïï㊀㊀此时,R 0=8.3>1,τ0=8.0,系统(2)存在唯一的正平衡点,且正平衡点是局部渐进稳定的,选择τ=7<τ0(见图1);在同样的参数条件下,选择τ=9>τ0,此时正平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀系统(2)的平衡点渐进稳定(τ=7<τ0)第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分支2023年2月图2㊀系统(2)的平衡点失去稳定性,并产生Hopf分支(τ=9>τ0)Fig.2㊀The equilibrium point of system(2)loses stability and produces Hopf bifurcation(τ=9>τ0)3㊀结㊀论本文讨论了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR模型,在引入潜伏期作为时滞参数后,对地方病平衡点和正平衡点进行稳定性分析,得到了系统(2)局部渐进稳定和Hopf分支产生的充分条件,并利用数值模拟验证了理论分析的正确性㊂参考文献:[1]RUAN S G,WANG W D.Dynamical behavior of an epi-demic model with a nonlinear incidence rate[J].Journal of differential equations,2003,188(1):135-163. [2]XIAO D,RUAN S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J].Mathematical biosciences,2007,208(2):419-429.[3]BRAUER F.The Kermack-McKendrick epidemic model revisited[J].Mathematical biosciences,2005,198(2): 119-131.[4]TCHUENCHE J M,NWAGWO A,LEVINS R.Global be-haviour of an SIR epidemic model with time delay[J].Mathematical methods in the applied sciences,2007,30 (6):733-749.[5]WANG W D.Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays[J].Applied mathematics letters, 2002,15(4):423-428.[6]原三领,韩丽涛,马知恩.一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J].生物数学学报,2001,16(4): 392-398.[7]许立滨,李冬梅,杨美英.一类具有治愈期和免疫失效期的SIRS模型[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19 (6):113-117.[8]谢英超,程燕,贺天宇.一类具有非线性发生率的时滞传染病模型的全局稳定性[J].应用数学和力学2015,36(10):1107-1116.[9]LIU L J.A delayed SIR model with general nonlinear inci-dence rate[J].Advances in difference equations,2015, 2015(1):329.[10]ALSHAMMARIl F S,KHAN M A.Dynamic behaviors ofa modified SIR model with nonlinear incidence and re-covery rates[J].Alexandria engineering journal,2021, 60(3):2997-3005.(下转第100页)第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月梯状结构连接,形成二维网状结构㊂荧光测试表明,配合物1对2,4,6-三硝基苯酚具有高灵敏性和高选择性识别,淬灭常数为6.5ˑ104L/mol,配合物1对检测废水中的TNP具有潜在的应用价值㊂参考文献:[1]ZHANG J F,LIU Y H,FENG J Y,et al.Decanuclear cluster-based metal-organic framework with a(3,11)-conneced topology and highly sensitive2,4,6-trinitro-phenol detection[J].Inorganic chemistry,2019,58(15): 9749-9755.[2]CHAKRABORTY D,BEJ S,SAHOO S,et al.Novel nan-oporous Ti-phosphonate metal-organic framework for se-lective sensing of2,4,6-trinitrophenol and a promising electrode in an energy storage devive[J].ACS suntainable chemistry&engimeering,2021,9(42):14244-14237. 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[14]李东梅,张煜,WU Y,等.一类具有饱和发生率和时滞的SEIQR传染病模型稳定性分析[J].哈尔滨理工大学学报,2017,22(2):78-82.[15]ZHANG T L,LIU J L,TENG Z D.Stability of Hopf bi-furcate-on of a delayed SIRS epidemic model with stagestructure[J].Nonlinear analysis:Real world applications, 2010,11(1):293-306.。

两类具有非线性发生率的离散时滞SIR模型的行波解

两类具有非线性发生率的离散时滞SIR模型的行波解两类具有非线性发生率的离散时滞SIR模型的行波解引言：传染病的传播对于人类健康和社会稳定产生了巨大的影响，因此研究传染病传播机理成为了重要的科学问题。

传染病传播过程中，数学模型的应用已被广泛证实为一种有效的研究方法。

本文将研究两类具有非线性发生率的离散时滞SIR模型的行波解，并分析其动力学特性。

模型描述：我们考虑如下的离散时滞SIR模型：$$\begin{cases}S_{n+1} = S_n - \frac{\beta}{N}S_n(I_n-aI_{n-k}), \\I_{n+1} = I_n + \frac{\beta}{N}S_n(I_n-aI_{n-k}) -\gamma I_n, \\R_{n+1} = R_n + \gamma I_n,\end{cases}$$其中，$S_n$，$I_n$，$R_n$ 分别表示时刻$n$的易感者、感染者和恢复者的人数，$N = S_n + I_n + R_n$ 表示总人口数，$\beta$ 表示感染率，$\gamma$ 表示恢复率，$k$ 为传染延迟阶数，$a$ 是一个非负常数。

行波解的分析：我们首先考察该模型的平衡点。

当传染病达到平衡时，易感者、感染者和恢复者的人数变化将不再发生。

令 $\frac{dS_n}{dn} = \frac{dI_n}{dn} = \frac{dR_n}{dn} = 0$，我们可以得到如下的平衡点方程：$$\begin{cases}S^* - \frac{\beta}{N}S^*(I^*-aI^*_{n-k}) = S*, \\I^* + \frac{\beta}{N}S^*(I^*-aI^*_{n-k}) - \gamma I^* = I^*, \\R^* + \gamma I^* = R^*.\end{cases}$$通过简单的推导，我们可以得到两个平衡点$P_1^* (S^*, I^*, R^*) = (N, 0, 0)$ 和 $P_2^* (S^*, I^*, R^*) = (\frac{N}{a}, 0, N(\frac{1}{a}-1))$。

一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析

理：
（ｍ＋／ｚｏ），ｎ＝
１模型的建立
本章所建立的ＳＩＲＳ时滞传染病模型：
ｄＸ
＝
（
＋．ｓ（ｆ）一（ｔｏ＋ｔＺｏ））一
一
）倒）
传播仍存在一定的差距，特别是对某些传染病或接触性疾病，在不同的年龄阶段，其传播概率有很大不同，某些类型的疾病在成人中的传播概率很大，如淋病，ＡＩＤＳ等，而有些疾病，如麻疹，水痘等则在儿童中的传播概率较大．因此，为了更清楚的描述
疾病的传播机理，就需在相应的传染病模型中考虑阶段结构．于是，在刻画传染病模型时，具有阶段结构的传染病模型能更好地反映生物个体的生
ｄｔ１
：
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ｄＳ
口
＝ｃｏＸ（ｃ）＿
Ｉ－ｏｄ（一）
十通讯作者Ｅ — ｍａｉｌ：ｈｏｎｇｌｉｎｇ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
８０
动
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与
控
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学
报
２０１４年第１２卷
重新获得易感染能力的概率，丁为疾病的潜伏别．
“ ＝・＋
，ｓ＝
１６７２－６５５３／２０１４／１２（１）／０７９．７
动力学与控制学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ

一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告

一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告标题：一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析摘要：本文研究了一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析。

该模型考虑了病毒在潜伏期结束后才能感染他人的传播机制，并且使用标准发生率描述感染概率。

通过构建矩阵型Lyapunov-Krasovskii函数，我们证明了系统在全局意义下的稳定性。

特别地，我们证明了无病平衡点的稳定性以及当时滞存在时系统的稳定性。

此外，我们还进行了数值模拟，验证了理论结果的可行性。

关键词：SIR模型；时滞；标准发生率；稳定性；Lyapunov-Krasovskii函数内容：1. 引言随着全球化的不断深入，疾病传播变得越来越常见和复杂。

对疾病传播的建模和控制成为了重要的研究领域。

其中，SIR（易感者-感染者-康复者）模型是流行病学中常用的模型之一。

该模型描述了人口的感染和康复过程，可以提供给决策者制定有效的公共卫生政策。

然而，由于疫情的不可预测性，SIR模型的稳定性分析变得非常重要。

2. 模型描述考虑一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型。

该模型的传播机制假设病毒在潜伏期结束后才能感染他人。

易感者（S）感染病毒后成为感染者（I），随后康复并具备免疫能力成为移动免疫者（R）。

模型的动力学可以用以下方程式描述：dS(t)/dt = -βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))dI(t)/dt = [βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))] - γI(t)dR(t)/dt = γI(t)其中，β表示感染率，γ表示康复率，τ表示潜伏期长度，α表示标准发生率。

在此基础上，我们引入了一个与时滞有关的函数q(t)来描述减少的接触率，即：q(t) = exp(-d(t-θ))，当 t >= θ时，q(t) = 13. 稳定性分析为了分析该模型的稳定性，我们构建了一个矩阵形式的Lyapunov-Krasovskii函数，该函数的导数等于一定量的负数。

两个流行病模型的定性分析

拟传染病传播规律的数学模型，将疾病传播规律与特点公式化。分析公式来探索疾病传播与人类利用医学上的各种手段进行治疗与防控之间的关系，努力寻求它们遵循的规律，试图预
测疾病将要发展的趋势，希望通过人为因素的干预能够在节约资源的情况下有效控制疾病的传播和大范围爆发．流行病学是研究疾病在时间和空间上的传播规律，目的就是找出疾病产生，持久，爆发和能否根除的决定因素．从而为人类如何更有效的与流行疾病作斗争服务．自Ｋｅｒｍａｃｋ和Ｍｃｋｅｎｄｒｉｃｋ在１９２６年构造了著名的ＳＩＲ仓室模型．后来又在所建的模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的”阀值理论”．这种仓室模型及研究模型的”阀值理论”一直沿用至今并且得到很大发展．根据现实流行病的特点如疾病的周期性，潜伏期和不同的发生率函数等特点以及人类对疾病采取的干涉措施如接种预苗，对患者的隔离，医学
掣＝Ａ—ｐＮ（ｆ）－郴（Ｄ吨ｆｉｔ）咱∞）
≤Ａ—ｐＮ（ｔ），所以由比较原理有ｌｉｍⅣ（ｆ）ｓ—Ａ．
ｔ－－＊ｏａ
卢
根据系统（１．２）的生物学意义，我们只需在闭集Ｆ＝Ｉ（Ｓ，Ｅ，，，Ｑ，尺）∈避ｏＩＯ≤Ｓ＋Ｅ＋，＋Ｑ＋
Ｒ≤三｝内研究系统（１．２），Ｆ为系统（１．２）的最大正向不变集．其中Ｒ％＝｛ｏｌ，ｊｒ２，勋，目，玛）：
ｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅ
ｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ
Ｒ０．Ｗｅ
ｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｄｉｓｅａｓｅ・ｆｒｅｅ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｓｇｌｏｂａｌｌｙａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙｓｔａｂｌｅｗｈｅｎＲｏＳ
１，ａｎｄ
ｉｆＲｏ＞１，ｔｈｅｄｉｓｅａｓｅｆｒｅｅ
其中Ｓ（Ｄ，Ｅ（唬Ｊ（ｒ），Ｑ（ｆ），Ｒ（ｔ）分别表示在时刻ｔ易感染人口，潜伏期人口，未隔离的感染人

一类随机SIRS传染病模型的持久性和灭绝性

邛＜Ｔ｝＞
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7
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的定义知存在
ｍｅ（ｏ
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生
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学
报第
3 0
卷
考虑如下
Ｌａｐｕｎｏｖ
ｉ
函数
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（
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，
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））
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ｔ
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—

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单调递增
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Ｔ 0 ＝ｌｉｍｒ
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则
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故只需证明
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若不然
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则存在常数
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讽

一类具有非线性发生率和接种的随机SIRS传染病模型

2021 年 3 月第 38 卷第 1 期南宁师范大学学报(自然科学版)Journal of Nanning Normal University (Natural Science Edition )Mar.2021Vol.38 No.1D0I :10.16601/ki.issn2096-7330.2021.01.002文章编号:2096-7330(2021)01-0008-07一类具有非线性发生率和接种的随机SIRS 传染病模型何雪晴，韦煜明(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541000)摘要:通过建立一类具有非线性发生率和接种的随机SIRS 传染病模型,讨论了其对应的确定性模型平衡点的稳定性，然后研究了该模型的全局正解的存在唯一性，并分析了疾病灭绝的充分条件和疾病的平均持久性，最后通过数值模拟验证了理论结果.关键词:基本再生数;灭绝;平均持久性；Itfi 公式中图分类号：0193 文献标志码:A1引言及预备知识对传染病的传播和防治策略的研究关系到人类的生存和发展.Kermark 和Mckendrick ［l ］研究了传染病传播的基本数学模型，并提出了阈值理论,为之后深入研究传染病数学模型奠定了基础.隔离病人和接种疫苗，是控制和预防疾病传播的两种常见方法，但由于一些原因，已经痊愈的患者也可能受到继发感染或免疫力丧失的影响［2］.为了更清楚地掌握疾病的传播动态丄ahrouz 等人［3］提出了一个具有非线性发生率和疫苗接种的确定性全身炎症反应综合征模型，但是忽略了疾病入侵是高度随机的问题，随机噪声就可能会在疾病暴发的早期增加疾病灭绝的概率.由于运行一个常微分方程系统只能得到某个样本解,而运行一个随机微分方程系统可以得到疾病动力学的随机分布［4,5］，所以Lahrouz 等人［6］提出了一个由布朗运动驱动的随机流行病模型.另外，考虑到在某些情况下，非线性发生率不仅取决于受感染个体的密度，还取决于易感个体的密度［7］，所以在大多数流行病模型中，人们最常使用的就是双线性发生率0S/和饱和发生率，阿r ［8,9］.比较了双线性发生率和饱和发生率之后,Huang 和Liu ［l0，ll ］提出了具1 + a/有非线性发生率眾的传染病模型.基于以上研究，考虑带参数扰动的非线性发生率i * 寫/)的随收稿日期：2020-12-04*基金项目：国家自然科学基金(11961074)作者简介:何雪晴(1996-)，女，安徽蚌埠人，硕士研究生.Email ：1283357263@ 通信作者简介:韦煜明(1974-)，男，广西桂平人，硕士生导师，教授,博士.Email : ymwei@ 机传染病模型更具有现实意义.另一方面，当对接触率0引入白噪声扰动时，令0 = 0 + ”dB(t)/dt ，其中 B(t)为标准的布朗运动，”用于刻画白噪声的波动强度，则可建立以下具有接种的随机SIRS 传染病模型：d s ( t )=M s ( t )+s ( t ))+呼/( t )-闷t )-刈t ) -1 fac 〔d t-”s (t )/( ” dR( t)，1+ag (/(t ))« ，(0S(t)/(t)d /( t ) = 11 +ag(/(t))t) = (y/(t) + pS( t) - AK(t) -%R( t ))dt ,其中S (t )为t 时刻的易感者数，/(t )为t 时刻的染病者数，心t )为t 时刻染病者恢复数,“为出生率和死亡率，p 是成功接种者的比例(经常接种疫苗可降低易感者的出生率),m 是受感染父母的后代中易(1)+讪t ) -y /( t ) -“/(t ) 0d t+1 席;严t )，第1期何雪晴，等:一类具有非线性发生率和接种的随机SIRS传染病模型-9-感个体的比例，n是受感染父母的后代中也患病的比例，rn+n=1,y为恢复率，A为免疫丧失率.为了方便讨论模型(1)的动力学行为，设(O,F,P)是完备的概率空间，其上给定的b代数流{F,}t>0满足单调递增和右连续的条件，F。

一类具有时滞和移动边界的SIRS模型的开题报告

一类具有时滞和移动边界的SIRS模型的开题报告
SIRS模型是一种传染病传播和传染过程的经典数学模型，该模型可以用来研究稳态下传染病的流行趋势和动态行为。

然而，典型的SIRS模型通常不考虑时滞和移动边界的影响，无法准确地描述某些传染病的传
播过程。

为了更好地理解某些传染病的流行趋势和动态行为，本文提出了一
类新的SIRS模型，该模型考虑到了时滞和移动边界的影响。

模型中的人群被分为四类，包括易感人群、感染人群、康复人群和死亡人群。

在模
型中，时滞被引入到感染过程中，以考虑感染过程的延迟效应。

另外，
移动边界是指在现实生活中经常发生的人口流动问题。

该模型将移动边
界视为感染风险的一个因素，如人口密度、交通状况等等。

通过数学分析和计算模拟，我们发现，在考虑到时滞和移动边界的
情况下，SIRS模型的稳态行为可能与典型的SIRS模型存在显著差异。

这意味着传染病的传播过程受到时滞和移动边界的影响而发生变化。

在某
些情况下，时滞和移动边界的效应可能会导致已灭绝的传染病再次流行。

因此，本文提出的模型可以用来预测传染病的流行趋势，并制定相应的
防控措施。

总之，本文提出了一类新的SIRS模型，包括时滞和移动边界的影响，以更准确地描述传染病的传播过程。

相信这个模型可以为预测和控制某
些传染病的流行趋势提供更有效的工具和方法。

一类具时滞和非线性传染率的SIS传染病模型的Hopf分支

一类具时滞和非线性传染率的SIS传染病模型的Hopf分支童姗姗;窦霁虹;王佳颖【摘要】研究了一类具恢复期时滞且发生率为非线性的SIS传染病模型,讨论了该系统地方病平衡点的稳定性。

利用Hopf分支理论,以时间τ为参数给出了系统在地方病平衡点处产生Hopf分支的充分条件。

%A class of an SIS epidemic mathematic model with constant recruitment,time delay and nonlinear incidence is studied,and its stability of endemic equilibrium is discussed.By applying the theorem of Hopf bifurcation,the sufficient conditions of the endemic equilibrium occurring Hopf bifurcation with delay as parameter is given.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)003【总页数】3页(P19-21)【关键词】Hopf分支;时滞;非线性传染率;局部渐近稳定【作者】童姗姗;窦霁虹;王佳颖【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175.1近二十年来，许多学者通过数学模型研究传染病动力学，已有很多成果［1］。

传染病动力模型中，最重要的是对发生率的描述，在经典的流行病模型［2-4］中通常采用双线性发生率（βSI）和标准发生率，同时，对发生率为非线性［5-6］的传染病模型也有一些研究成果。

2009年杜艳可等在文献［7］中研究了如下一类具非线性发生率βISp的SIS传染病模型：讨论了其平衡点以及极限环的性态。

一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性研究

一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性研究高宏伟;郝祥晖;陈清江【摘要】One of study focuses in applied mathematics is the mathematical model of infection-age dependence which is more appropriate for infections diseases with long infection -age such as AIDs, etc, since the incidence rate is dependent on infection-age. The model consists of combined system of ordinary and partial differential equations. The existence and uniqueness of solution to the system have been taken with theoretical significance and applicable value. In the present paper, an SIRS epidemic model with general nonlinear contact rate, general screening rate and infection-age dependence is first formulated. Then, by using the mathematical methods of Bellman-Gronwall lemma, the fixed point theorem, the extension thoerem, and so on, the existence and uniqueness of the globally non-negative solultion are discussed.%染病年龄结构数学模型已经成为应用数学领域的研究热点之一.染病年龄的引入使传染率依赖于染病年龄,这样所建立的模型更适合染病期较长的疾病,如AIDS等.在形式上,这类模型是常微分方程和偏微分方程相结合的微分方程组.对这类模型非负解存在性及惟一性研究具有重要的理论意义和应用价值,正被广大学者关注.建立了具有一般非线性接触率、一般非线性隔离率及染病年龄结构SIRS传染病模型并综合运用Bellman - Gronwall引理、不动点定理及解的延拓定理等多种数学方法证明模型全局非负解的存在性及惟一性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)004【总页数】8页(P482-489)【关键词】隔离率;接触率;SIRS传染病模型;染病年龄【作者】高宏伟;郝祥晖;陈清江【作者单位】榆林学院数学系,陕西榆林719000;济源职业技术学院基础部,河南济源454650;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055【正文语种】中文【中图分类】O175传染病不断发生和再发生给人类带来了深重的灾难，它已严重地危害了人类的生命安全和阻碍了社会经济的发展.一直以来人类采用多种方法与各种各样的传染病进行着不屈不挠的斗争，而建立数学模型并对其定性或定量的研究无疑是其中最重要的方法之一.近几十年来，国际上对传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题［1-16］.一般的传染病模型总是假设所有的染病者在整个患病期内具有相同的传染率.这个假设在研究流感或性传播疾病(如淋病)等传染病是合理的.但对于染病期较长(相对于染病者的年龄)的传染病，变化的传染率能更准确地刻画传染病的传播规律及预测传染病在人群中的传播趋势.随着人们对传染病数学模型研究的不断深入，一种特殊的年龄结构——染病年龄(染病者从感染某种疾病时起到当前时刻所经历的时间)结构已经受到国内外专家和学者的广泛关注［1-8］.H.R.Thieme等［1］假设传染率及潜伏期依赖于染病年龄，考虑一类饱和接触率，建立了一类反应HIV病毒在同性人群中传播规律的HIA模型.M.Y.Kim等［2］建立了一类具有隔离和变化传染率的染病年龄结构SIR 模型，讨论了非负解的存在性及惟一性.然后，M.Y.Kim［3］又讨论了平衡点的存在性及渐近稳定性.C.M.Kribs-Zaleta等［4］建立了一类新的具有急性和慢性传染阶段、变化传染率及变化恢复率的染病年龄结构模型，研究了平衡点的稳定性并且得到了后向分歧的存在条件.H.Inaba等［5］建立了一类反映查更斯疾病传播规律的染病年龄结构模型，证明了平衡点的稳定性.J.Li等［6］建立了一类在宿主中病原体能够变异产生一个二次感染病毒株的染病年龄结构模型，讨论了平衡点的稳定性并得到了Hopf分歧的存在条件.文献［8］考虑到宣传教育对疾病控制的重要意义而建立了一类具有双线性传染率的染病年龄结构模型，证明了无病平衡点的全局渐近稳定性及惟一的地方病平衡点的局部渐近稳定性.在这类模型中，感染者在染病期内的传染力依赖于其染病年龄，从而使模型更适合于一些染病期较长的疾病，如HIV等.从数学的角度讲，染病年龄的引入改变了常微分方程模型的结构，从而使模型具有更丰富的数学结果.本文在文献［9］的基础上，建立一类具有一般非线性接触率、一般非线性隔离函数及染病年龄结构的SIRS传染病模型.然后在平凡假设条件下证明了全局非负解的存在惟一性.1 模型的建立J.Mena-Lorca等［9］将总人口分成易感者类、感染者类及移出者类，考虑具有常数输入和因病死亡，建立了如下具有双线性传染率的SIRS模型其中，Λ为人口的常数输入率，μ为自然死亡率常数，α为因病死亡率常数，ε为恢复率常数，δ为免疫失去率常数，β为传染率常数.显然，模型(1)没有考虑染病年龄结构及隔离情形，而且其接触率是线性的.设τ为染病年龄，i(t，τ)为t时刻染病年龄为τ的感染者数量，则t时刻所有感染者的总数为进一步地，设因病死亡率常数α，恢复率常数ε及传染率常数β均依赖于染病年龄，即因病死亡率、恢复率及传染率随着染病年龄的变化而变化，分别记为α(τ)、ε(τ)及β(τ)，则t时刻被治愈的个体的数量为设接触率为一个仅依赖于S、I及R的非线性非负函数，记为C(S，I，R)，则t时刻新被感染的人数为同时假设隔离函数σ也为仅依赖于S、I及R的非线性非负函数，则t时刻被隔离的染病年龄为τ的染病者的数量为根据上面的假设模型(1)可转化为如下具有染病年龄结构SIRS传染病模型为研究模型(2)的非负解的存在性，对其中的参数作如下基本假设：接触率σ、C为R3上非负连续可微函数，且∞)×［0，∞)×［0，∞));α(·)、γ(·)、β(·)为Banach 空间L∞［0，∞)中的非负函数;‖·‖1为Banach空间L1［0，∞)的范数，‖·‖∞为Banach空间L∞［0，∞)的范数，L1+［0，∞)为Banach空间L1［0，∞)的正锥，C+［0，∞］为Banach空间C［0，∞］的正锥;η(·)∈L1+［0，∞).2 全局非负解的存在性及惟一性其中，B(t)为t时刻各个年龄阶段的患者新感染的病人总数.对(2)式中第2个方程沿着特征线t=τ积分可得为方便起见，令将(3)式代入到(2)式，得(2)式的等价系统其中定理1 对于任意的∞)，则存在常数T＞0使得系统(2)在区间［0，T)上存在惟一的非负解.证明类似于文献［2］中的讨论可知，对任意的T＞0及(S，I，R)∈(C+［0，T］)3(其中C+［0，T］为连续函数空间C［0，T］的正锥)，方程(5)存在一个非负解，记之为H(S，I，R)(t).将H(S，I，R)(t)代入到(4)式得定义算子S，I，R：(C+［0，T］)3→C+［0，T］分别为不难看出S(t)，I(t)，R(t)≥0是(2)式在［0，T］上的解当且仅当(S，I，R)∈(C+［0，T］)3是算子 F：(C+［0，T］)3→(C+［0，T］)3，F(S，I，R)= (S(S，I，R)，I(S，I，R)，R(S，I，R))的不动点.不失一般性，设S0+I0+R0≠0，其中再设为Banach空间(C［0，T］)3的范数，其中记OT，r为Banach空间(C+［0，T］)3中以(S0，I0，R0)为球心，以r≤(S0+I0+R0)/2为半径的闭球.容易验证，对任意的(S，I，R)∈OT，r有由(5)式不难得到其中利用Bellman-Gronwall引理可得其中下面证明存在某个T＞0使得F映OT，r到其自身.事实上其中显然，当T充分小时，F映OT，r到OT，r.下证F为压缩映射.对任意的t∈［0，T］，(Sj，Ij，Rj)∈OT，r，j= 1，2，令由算子S、I、R不难得到为得到δi(i=1，2，3)的估计，令显然有为讨论方便，记不难得到其中，▽为梯度算子容易验证从而对任意的t∈［0，T］有其中进一步从而可知，当T充分小时，F为QT，r上的压缩映射.综上，存在正常数T，使得(2)式在［0，T］上存在惟一的非负解.事实上，可将(2)式在［0，T］上存在惟一的非负解延拓到［0，∞).从而(2)式存在惟一的全局非负解.由于篇幅限制，本文仅提供证明思路.证明思路：由定理1的证明，不妨设系统(2)满足的解的存在区间为［0，T］，其中T为初值的连续函数，记为T(S0，I0，R0).参照文献［2］中的证明，不难定义正常数T*＜T(S0，I0，R0)使得系统(2)的解可以延拓到［kT*，(k+1)T*］，其中，k为任意自然数.从而得证.3 结语本文建立了一类新的具有一般非线性接触率及隔离的染病年龄结构SIRS传染病模型，证明了全局非负解的存在惟一性.本文所考虑的模型及所得的结论可视为文献［2］中相关模型及结论的推广.参考文献［1］Thieme H R，Castillo-Chavez C.How may infection-age-dependent infectivity affect the dynamics of HIV/AIDS?［J］.SIAM J Appl Math，1993，53(5)：1447-1479.［2］Kim M Y，Milner F A.A mathematical model of epidemics with screening and variable infectivity［J］.Math Comput Modelling，1995，21(7)：29-42.［3］Kim M Y.Existence of steady state solutions to an epidemic modelwith screening and their asymptotic stability［J］.Appl Math Comput，1996，74(1)：37-58.［4］Kribs-Zaleta C M，Martcheva M.Vaccination strategies and backward bifurcation in an age-since-infection structured model［J］.Math Biosci，2002，177/178(2)：317-332.［5］Inaba H，Sekine H.A mathematical model for Chagas disease with infection-age-dependent infectivity［J］.Math Biosci，2004，190(4)：39-69.［6］Li J，Zhou Y C，Ma Z Z，et al.Epidemiological models for mutatingpathogens［J］.SIAM J Appl Math，2004，65(1)：1-23.［7］徐文雄，Castillo-Chavez 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包含非线性发生率和预防接种的随机SIRS传染病模型

包含非线性发生率和预防接种的随机SIRS传染病模型热木孜亚·热布哈提;夏米西努尔·阿布都热合曼【摘要】This paper deals with global dynamics of an SIRS epidemic model for infection with nonpermanent acquired immunity. The SIRS model studied here incorporates a preventive vaccination and generalized non-linear incidence rate as well as the disease-related death. The stochastic version, the global existence and positivity of the solution is showed, the global stability in probability and stochastically asymptotically stable in the large is proved under suitable condition on the intensity of the white noise perturbation.%讨论了非持续免疫SIRS传染病模型的全局性。

这里研究的SIRS 包含了预防接种和非线性发生率及因病死忙率。

由全局存在性和正解可以看出，以概率稳定性和全局随机渐进稳定性在强烈的白噪音扰动条件下成立。

【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】7页(P57-63)【关键词】传染病模型;Lyapunov函数;伊藤公式;以概率全局稳定性;随机渐进稳定性;几乎指数稳定性【作者】热木孜亚·热布哈提;夏米西努尔·阿布都热合曼【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O175.140 IntroductionQuarantine and vaccination are commonly used in controlling and preventing the spread of diseases.Vaccination is considered to be the most successful intervention policy as well as a cost-effective strategy to reduce both the morbidity and mortality of individuals.It has been used to tackle diseases such as measles,mumps,rubella,diphtheria,tetanus,hepatitis B and in fluenza.However,vaccination does not necessarily imply life-long immunity for a vaccinated person.In some cases,vaccination is ineffective and fails to provide immunity at all,sometimes immunity acquired through vaccination wanes and does not provide life-longprotection[1,2].Furthermore,it is practically impossible to vaccinate all susceptible individuals in a given community,especially in countries where such vaccines are not easily available or a ffordable.Hence,it is a task of great importance to determine a fraction of immune individuals in a population called the herd immunity threshold,above which a disease cannot become endemic[2].To derive our model equations,we split the total population(denoted by N)into three compartments,the susceptible to disease,the infective and the recovered individuals with temporary immunity.The number in each class are denoted by S,I,and R,respectively.The rate at which new individualsenter the population is b,of which a fraction q is vaccinated,so the fraction(1−q)is susceptible with 0≤q≤1.The rate of natural deathisµ.Infective individuals have an additional death rate due to the disease with rate constant c.The infective individuals recovered with rate α.We assume that that the transmission of the infection is governed by the incidence above hypotheses lead to the following model equations:It is easy to show that system(1)is well-posed,in the sense that ifS(0),I(0)and R(0)are positive,then there exists a unique solution andS(t),I(t)and R(t)are positives for all t.For the model(1),the basic reproduction number isSet the right sides of(1)equal to zero,in the absence ofinfection(i.e.,I=0),the model has disease-free equilibrium stateAnd second one is the endemic equilibrium state P∗(i)If R0≤1,then the dise ase-free equilibrium state P0is global asymptotically stable.(ii)If R0>1,then the unique endemic equilibrium state P∗is global asymptotically stable.The proof of(i),(ii)can be found in[3].In[4],global analysis of a deterministic and stochastic nonlinear SIRS epidemic model,where the incidence rates a fraction q isvaccinated(q=0),in the paper mainly consider a stochastic version of theSIRS model by perturbing the deterministic system by a white noise.For the stochastic version,the global existence and positivity of the solution is showed,and the global stability in probability and pth moment of the system is proved under suitable conditions on the intensity of the white noise perturbation.The next section will consider a stochastic version of the SIRS model where incidence a fraction q is vaccinated 0<q<1 by perturbing the deterministic system(1)by a white noise.There are mainly two ways to do this.In the first,we can replace one or more of the parameters of the deterministic model by the corresponding stochastic counterparts.In the secondway,one can add randomly fluctuation a ffecting directly the deterministic model.If we replace the contact rate β in system(1) a white noise(i.e.,B(t)is a Brownian motion),the system(1)becomes as follows:where S,I and R represent the number of susceptible,infective and recovered individuals,respectively,it should be positive.Moreover,in order for a stochastic differential equation to have a unique global solution for any given initial value,the coefficients of the equation are generally required to satisfy the linear growth conditions[5]that are not veri fied for our system.We must establish that the solution of system(2)is positive for all t≥0:This,will help us to study the global behavior of the solution of system(2)and to generalize the local results obtained in[6,7]by linearizing system(2)around the point P0in the case b=µand a=c=0.1 Global existence and positivityThroughout the rest of this paper,let(Ω;F;P)be a complete probability space with a filtration{Ft}t≥0sa tisfying the usual conditions(i.e.,it is increasing and right continuous while F0contains all P-null sets).LetTheorem 1 Let(S0,I0,R0)∈∆,then system(2)admits a uniquesolution(S(t),I(t),R(t))on t≥ 0,and this solution remain inwith probability 1. Proof Le t(S0,I0,R0)∈∆,since the coefficients of system(2)are locally Lipschitz continuous,for any given initial value(S0,I0,R0)there is a unique local solution.The total population in system(2)veri fies the equation,Then,if(S(s),I(s),R(s))∈for all 0≤s≤t almost s urely(brie fly a.s.),we getHence,by integration we checkThen N(s),soLet?0>0 such that S0,I0,R0>0,For≤0,considering stoping timeswhere τeis explosion time.Consider function V2de fined for X=(S,I,R)∈<3+byUsing Ito’s Formula,we have,for all t≥0,s∈[0,t∧τ]By(3),we assert that S(s),I(s),R(s)∈It follows thatwhere k=By integration we obtainSinceis mean zero process,by taking the expectation of both parts of the above inequality,we deduce that for all t≥0From(3),we have V2(X(t∧τ))>0,thuswhere χA is the characteristic function of A.Note that there is some component of X(τ?)equal to?,we haveThereforeCombining(4)with(5)gives for all t≥0Taking?to zero,we obtain for all t≥ 0,P(τ≤ t)=0.Hence,P(τ= ∞)=1.Since τe≥ τ,we have τe= τ= ∞ a.s.This completes the proof.2 Global behaviorConsider the general n-dimensional stochastic systemon t≥0 with initial value X(0)=X0.The solution is denoted by X(t,X0).Assume that f(t,0)=g(t,0)=0 for all t≥ 0,then origin point X=0 is an equilibrium of system(6).De finition 1 Equilibrium X=0 of system(6)is said to be:(i)almost surely exponentially stable if for all X0∈<n,(ii)stochastically stable in probability if for all?>0,(iii)stochastically asymptotically stable in the large if it is stochastically stable and,mor eover for all x0∈RdFor more de finitions of stability for system(6)we refer to[8].We denote by L the differential operator associated to system(6),de fined for a function V(t,x)∈C1,2(<×<n),by2.1 Stochastic asymptotic stabilityNow we present the following theorem which gives conditions for the stochastic asymptotic stability of the equilibrium of the stochastic system(6)in terms of Lyapunov function(see[8]):Lemma 1 If there exists a positive-de finite decrescent radially unbounded function V(x,t)∈C1,2(Rd×[t0,∞);R+)such that LV(x,t)is negative-de finite,then the trivial solution of system(6)is stochastically asymptotically stable in the large.Theorem 2 then disease-free equilibrium P0of system(2)is stochastically asymptotically stable in the large.Proof Considering Lyapunov functionwhere x=(S,I,R),we haveand asP0,then V3(x)>0.Hence V(x)is positive-de finite decrescent radiallyunbounded.we obtain thatIn∆,we havewhich can be simpli fied toSince obtain as x=P0,then LV3(x)<0.This completes the proof.2.2 Almost sure exponential stabilityLemma 2[10] (Strong law of large numbers)Let M={Mt}t≥0be a real-valued continuous local martingale vanishing at t=0.ThenTheorem 3 disease-free equilibrium P0is almost sure exponential stability in∆.Proof Let(S0,I0,R0)∈∆.In virtue of Theorem 1,the solution ofsystem(2)remains in∆.Then,we de fine functionWith the application of the multi-dimensional Ito’s formula(see[9]),we obtainwhere dBdB=dt and dBdt=dtdB=0.Since dSdSand dRdR=dSdR=dIdR=0,we have,and by integration we getFrom Theorem 1,the quadratic variation of stochasticThus,from Lemma 2,the strong law of large number for local martingales[10]implies thatTherefore,from(10)and(11),we conclude thatThis completes the proof.3 ConclusionConcerning the stochastic model,we obtained sufficient conditions for stochastic stability of the disease-free equilibrium P0of system is stochastically asymptotically stable in the large and probability sense by using a suitable Lyapunov function and other technics of stochastic analysis.The investigation of this stochastic model revealed that the stochastic stability of P0depends on the magnitude of the intensity of noise σ as well as the parameters involved within the model system. 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具非线性发生率的时滞传染病模型的动力学分析的开题报告

具非线性发生率的时滞传染病模型的动力学分析的开题报告1. 研究背景及意义传染病是人类和动植物生命的重要威胁，世界卫生组织估计每年约有1700万人因传染病而死亡。

因此，对传染病的研究和控制具有重要的理论和实践意义。

随着人类社会的发展，传染病传播的时滞因素变得越来越重要。

例如，对于一些病毒感染，潜伏期可以延长一段时间，这就会导致感染者在感染后很长时间内仍然是潜在的传染源。

这种延迟效应被称为时滞，在疫情的传播和控制中需要引起重视。

传染病的传播机理是非线性的，因此针对这类问题的建模和分析需要运用非线性微分方程来描述。

此外，时滞因素的考虑也会带来非线性和时变的特性，进一步加重了问题的复杂性。

因此，研究具有时滞和非线性特性的传染病模型，对于深入理解传染病的动态行为和探究其控制策略具有重要的意义。

2. 研究主要内容和方法本文旨在构建一种具有非线性发生率的时滞传染病模型，并对其动力学行为进行分析。

具体研究内容包括：（1）提出具有时滞和非线性发生率的传染病模型，包括感染者传播和潜伏者转化为感染者的进程。

（2）利用 Lyapunov 法和分支分析等方法分析模型的稳定性和分支特征，尤其是时滞因素对模型动力学行为的影响。

（3）针对模型动力学行为的特点，进一步探究控制策略，如疫苗接种、隔离和医疗治疗等的效果，以期提供科学的控制建议。

本文主要的研究方法包括数学建模、定性分析、数值计算和仿真等。

3. 研究预期目标本文的研究预期目标如下：（1）建立一种具有时滞和非线性特性的传染病模型，探究时滞因素对传染病传播的影响，以及不同控制策略的效果。

（2）分析模型动力学行为的稳定性及其分支特征，对疫情传播和控制策略提供合理的科学依据。

（3）为控制传染病的发生和流行提供理论参考和实践指导。

4. 研究计划本文的研究计划如下：（1）阅读相关文献，总结已有的传染病模型及其分析方法。

（2）建立具有时滞和非线性特性的传染病模型，分析其基本特性和动力学行为。

两类具有时滞的传染病模型动力学分析的开题报告

两类具有时滞的传染病模型动力学分析的开题报告一、背景介绍随着人口增长和城市化进程的加速，传染病的流行和传播成为了一个全球性的公共卫生问题。

疾病传播的动态变化具有时滞效应，即从感染到出现症状和进行治疗需要一定的时间。

因此，建立适合特定疾病特征的传染病模型并在其中考虑时滞是相当重要的，这有利于为预测和控制疾病传播提供有力的支持。

二、研究问题本文将研究两类时滞传染病模型，即大规模流行的SIR模型和潜伏期SIS模型，以分析时滞对传染病动态变化和传播的影响。

具体而言，本文将分别探讨以下两个问题：1. 大规模流行的SIR模型中时滞的作用SIR模型分为患病个体、易感个体和恢复个体三类，以描述疾病在人群中传播和变化情况。

在本文中，我们将在传统的SIR模型基础上引入时滞，并通过数学分析和数值模拟研究该时滞对疾病动态变化的影响，以及如何控制传染病的流行。

2. 潜伏期SIS模型中时滞的作用潜伏期SIS模型通常用于描述没有明显感染期和恢复期的传染病，如感冒和麻疹。

在本文中，我们将在模型中加入时滞，并研究该时滞效应对感染速率和感染率的影响，以及控制传染病传播的策略。

三、研究方法本文将采用数学建模和计算机仿真两种方法研究时滞传染病模型的动力学行为和控制策略。

具体而言，我们将通过差分方程和微分方程建立SIR和SIS模型，并引入时滞项来描述感染和治愈的潜在时间延迟。

我们将运用理论分析和数值计算方法来研究时滞对模型行为的影响，并探讨如何利用这些影响来制定最优的疫情控制策略。

四、预期成果本文预期能够深入分析时滞传染病模型的动力学特征，以及时滞对模型稳定性、周期性和群体免疫的影响。

同时，我们也希望探讨如何利用这些知识来制定最优的疫情控制策略和疫苗接种策略。

本文的成果将有助于预测和控制各种传染病的传播，并为公共卫生政策的制定和实施提供依据。