05第六章 第五节 合情推理与演绎推理
第六章 不等式、推理与证明第五节 合情推理与演绎推理
考点三 演绎推理 【典例 3】 (2017· 全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询 问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给 甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说： “我还是不知道我的成绩。”根据以上信息，则( A．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 ) B．丁可以知道四人的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
第六章
第五节
不等式、推理与证明
合情推理与演绎推理
微知识·小题练 微考点·大课堂
拓视野·提素养
★★★2018 考纲考题考情★★★ 考纲要求 真题举例 命题角度
1.了解合情推理的含义， 能进行简 2017· 全国卷Ⅱ· T7(5 分)(归 单的归纳推理和类比推理，体会 纳推理) 合情推理在数学发展中的作用 1.归纳推
推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，
这些特征 的推理。 推出另一类对象也具有____________
特殊 的推理。 特殊 到__________ ②特点：是由__________
2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称
2016· 全国卷Ⅱ· T15(5 分)(演 理 2．类比推
2．了解演绎推理的含义，掌握演 绎推理)
绎推理的“三段论”，并能运用 2016· 北京高考· T8(5 分)(演 理 “三段论”进行一些简单推理 绎推理) 3．演绎推
3．了解合情推理和演绎推理的联 2016· 山东高考· T10(5 分)(归 理 系和差异 纳推理)
特殊 的推理。 一般 到__________ 为演绎推理。简言之，演绎推理是由__________
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。
第五节 合情推理与演绎推理
考点探究
解析：观察发现， 1 1 第 n 个不等式的左边＝1＋ 2＋„＋ ， 2 （n＋1）2 2（n＋1）－1 第 n 个不等式的右边＝ ， n＋1 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＜ . 2 3 4 5 6 6
考点探究
1 4 【例 2】 (2013· 银川质检)当 x∈(0， ＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2， x＋ 2＝ x x x x 22 p ＋ ＋x ≥3，由此可以推广为 x＋ n≥n＋1，取值 p 等于(A) 2 2 x A．nn B．n2 C．n D．n＋1 1 4 x x 解析：因为 x∈(0，＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2，x＋ 2＝ ＋ x x 2 2
考点探究
变式探究
1 2 1 998 4x 5．设 f(x)＝ x .求和：f1 999＋f1 999＋„＋f1 999的值． 4 ＋2
4 4a 4a 4 解析：∵f(a)＋f(1－a)＝ a ＋ 1－a ＝ a ＋ 4 ＋2 4 ＋2 4 ＋2 4＋2×4a 4a 2 ＝ a ＋ a ＝1， 4 ＋2 4 ＋2 1 2 1 998 ∴f( )＋f( )＋„＋f( ) 1 999 1 999 1 999 ＝
1 1 998 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
1－a
＋
2 1 997 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
＋
„
＋
999 1 000 f（ ）＋f（ ） 1 999 1 999
＝1＋1＋„＋1999 个＝999.
考点探究
解析：将三角形与三棱锥类比，显然给出的半径是一致的，均为 r1，r2，r，所以类比得到的等式中的分母与已知等式的分母相同．不 同的是分子，而不再是线段了，二维是线段，三维应该是面积，故把 AC BD AB 2CD 等式 ＋ ＝ ＋ 中的线段替换成相对应的面积即可，于是 r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 得到 ＋ ＝ ＋ . r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 答案： ＋ ＝ ＋ r1 r2 r h
第六章 第五节 合情推理与演绎推理
个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5
＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”
出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者
由 个别 事实概括出 一般 的推理，称为归纳推理．简 言之，归纳推理是由 部分 到 整体 ，由 个别 到 一般 的 推理．
2．类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类 对象的某些 已知特征 ，推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由 特殊
合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简 单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单推理． 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
[理 要 点] 一、合情推理 1．归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推
A．f(x)
C．g(x)
B．－f(x)
D．－g(x)
解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数， 所以g(－x)＝－g(x)． 答案：D
2．(2010· 陕西高考)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23
＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，„，根据上述规律， 第五个等式为______________________． 解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于 等式右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五
法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)， 当x∈(－∞，1)时，x－1＜0， ∴－2(x－1)＞0，∴f′(x)＞0在x∈(－∞，1)上恒成立． 故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推理课件
A．只需要按开关 A，C 可以将四盏灯全部熄灭 B．只需要按开关 B，C 可以将四盏灯全部熄灭 C．按开关 A，B，C 可以将四盏灯全部熄灭 D．按开关 A，B，C 无法将四盏灯全部熄灭
[解析] D [根据题意，按开关 A ,2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮；按 开关 B ,1,2 号灯熄灭，3,4 号灯亮；按开关 C ，则 2,3,4 号灯熄灭，1
∴第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
考点一 归纳推理(多维探究) [命题角度 1] 数式的归纳 1．(2016·山东卷)观察下列等式： sinπ3－2＋sin23π－2＝43×1×2； sinπ5－2＋sin25π－2＋sin35π－2＋sin45π－2 ＝43×2×3；
复习课件
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推 理课件
2021/4/17
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情 推理与演绎推理课件
高考总复习 第六章 不等式、推理与证明
第5节 合情推理与演绎推理
理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有 由两类对象具有某些类似特
D．没有出错
解析：A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大
前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能
得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于 0，
是不正确的．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推
理得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导
第六章 第五节 合情推理与演绎推理
其中类比得到的结论错误的是 A.①③ ①③ C.②③ ②③ B.＋ ， 解析：②中若z＝1＋i，|z|2＝12＋12＝2，z2＝2i. ， ∴|z|2≠z2 ＝－1－ ＝－ ＝－5＜ ， ③若z2＋iz＋1＝0，Δ＝－ －4＝－ ＜0， ＋ ＝ ， ＝－ 其方程有两个不等虚根. 其方程有两个不等虚根 x= 答案：C 答案：
5.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 对于平面几何中的命题： 夹在两条平行线之间的平行线段相 对于平面几何中的命题 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： “ 解析：由类比推理可知 解析：由类比推理可知. 答案： 答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 ”，这个类比命题的真假性是. ，这个类比命题的真假性是
(n＝1,2，…)， ＝ ， ，
试写出这个数列的前几项并猜想它的通项公式. 试写出这个数列的前几项并猜想它的通项公式
解：当n＝1时，a1＝1； ＝ 时 ； 当n＝2时，a2＝ ＝ 时
当n＝3时，a3＝ ＝ 时
当n＝4时，a4＝ ＝ 时
观察可得，数列的前 项都等于相应序号的倒数 项都等于相应序号的倒数.由此归纳 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数 由此归纳 推理这个数列的通项公式为a 推理这个数列的通项公式为 n=
三段论推理中包含三个判断；第一个判断称为大前提， 三段论推理中包含三个判断；第一个判断称为大前提， 它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提， 它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提， 它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来， 它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了 一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断： 一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断： 结论. 结论
2015届高考数学总复习第六章 第五节合情推理与演绎推理课件 理
(2)|x－2|≤4⇔－4≤x－2≤4⇒－2≤x≤6. 所以原不等式的解集是{x|－2≤x≤6}.
点评： 解含一个绝对值符号的不等式，去掉绝对值的 方法：(1) 根据绝对值的定义去掉绝对值； (2)用公式去掉绝 对值，即：|x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a，|x|<a(a>0)⇔－a<x<a； (3)将不等式两边平方转化为一元二次不等式．
变式探究
3．(1)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( A．[－5,7] B．[－4,6] )
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞) (2) 已知关于 x 的不等式 |x － 1| ＋ |x ＋ a|≤8 的解集不是空集，
则a的最小值是(
A．－10
)
B．－9 C．8 D．7
解析： (1)|x － 5| ＋ |x ＋ 3| 表示数轴上的点到－ 3,5 的距离
之和，由几何意义知不等式 |x － 5| ＋ |x ＋ 3|≥10 的解集是 ( － ∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D. (2)由|x－1|＋|x＋a|≥|1－x＋x＋a|＝|a＋1|知|a＋1|≤8， 故－9≤a≤7，因此a的最小值是－9.故选B. 答案：(1)D (2)B
变式探究
1 ．设集合 A ＝ {x||x － a| ＜ 1 ， x∈R} ， B ＝ {x||x － b| ＞ 2 ， x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足________． 解析：由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1. 由|x－b|＞2得x＜b－2或x＞b＋2. ∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2， 即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3. 答案：|a－b|≥3
第六章
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、 知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理 称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件 观察归纳 大胆猜想 检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结 论：S 是P二、典型例题例 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中 有 个点.例 根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例 证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考 设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且 （1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示 ；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。
合情推理与演绎推理
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型 试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的 性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之 间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们 可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的 迁移．
[典例] 12 ＝ 1
(1)(2013· 陕西高考)观察下列等式
12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 „„
等式左右两边的 项、上下式变化 有什么规律？ 代入求值，观 察归纳解析式
照此规律，第 n 个等式可为________． x (2)已知函数 f(x)＝ (x＞0)． 如下定义一列函数： f1(x)＝f(x)， x＋2
[类题通法]
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三 段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推 理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一 般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这 两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系， 从而产生了第三个判断：结论．
n＋1nn＋1
2
.
x (2)依题意得，f1(x)＝ ， x＋2 x x＋2 x x f2(x)＝ x ＝ ＝ 2 2， 3x＋4 2 －1x＋2 ＋2 x＋2
x 3x＋4 x x f3(x)＝ x ＝ ＝ 3 3，„， 7x＋8 2 －1x＋2 ＋2 3x＋4 x 由此归纳可得 fn(x)＝ n n(x＞0)． 2 －1x＋2
2015届高考数学总复习 第六章 第五节合情推理与演绎推理课时精练 理
第五节 含绝对值的不等式1．若关于x 的不等式||x －a <1的解集为()1，3，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2答案：A2．已知p ：||x ≤2，q ：0≤x ≤2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B3．(2013·株洲模拟)不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集是( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：当x ≥0时，(x ＋1)(x －1)<0，∴0≤x <1.当x <0时，(x ＋1)2>0，∴x ≠－1，综上可知，选D.答案：D4．(2013·佛山一模)已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由集合M 中的不等式，解得：0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，于是a ＋b ＝2＋5＝7.故选B.答案：B5．已知a ∈R ，则“a <2”是“|x －2|＋|x |>a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，∴当a <2时，不等式成立，反之也成立．故选C.答案：C6．(2013·广州一模)不等式|x －1|≤x 的解集是________________．解析：当x ≥1时，x －1≤x ，即－1≤0；当x ＜1时，1－x ≤x ，x ≥12；所以原不等式解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．(2013·汕尾二模)不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________________．解析：当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0， 当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53， 综上不等式的解集为：⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，538．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________．解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4.答案：49．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|.∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3.答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3依题意有|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)11．不等式1x 2－x ≤1|x |的解集是________．解析：当x 2－x <0，即0<x <1时，不等式成立；当x 2－x >0，即x <0或x >1时，x 2－x ≥|x |，∴x －x 2≤x ≤x 2－x .解得x ≥2或x ≤0，∴x ≥2或x ＜0.综上可知，不等式的解集为(－∞，0)∪(0,1)∪[2，＋∞)．12．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5}13．设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；(2)若g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m的定义域为R ，求实数m 的取值范围．．解析：(1)由f (x )≤a ，得1－a 2≤x ≤1＋a 2. ∵不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＝0，1＋a 2＝1.解得a ＝1. (2)由g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m ＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m的定义域为R 知， 对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立．∵|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，∴m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．14．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解析：f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4恒成立；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝{x |－2＜x ＜2}．(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2.∴2|a ＋b |<|4＋ab |.。
第六章 第五节 合情推理与演绎推理
n2＋n 答案： － ＋ 答案：(－1)n 1 2
返回
2．(2012·宁波模拟 将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21 行从左向 ． 宁波模拟 将正奇数按如图所示的规律排列， 宁波模拟)将正奇数按如图所示的规律排列 右的第 5 个数为 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … A．809 ． C．786 ． ( )
x (x>0)得， 由f(x)＝ ＝ 得 x＋2 ＋
x f1(x)＝f(x)＝ ＝ ＝ ， x＋2 ＋ x x f2(x)＝f[f1(x)]＝ ＝ ＝ ＝ 2 ， 3x＋4 (2 －1)x＋22 ＋ ) ＋ x x f3(x)＝f[f2(x)]＝ ＝ ＝ ＝ 3 ， 7x＋8 (2 －1)x＋23 ＋ ) ＋
返回
x x f4(x)＝f[f3(x)]＝ ＝ ＝ ＝ ， 15x＋16 (24－1)x＋24 ) ＋ ＋ … ∴当n≥2且n∈N*时， ≥ 且 ∈ x fn(x)＝f[fn－1(x)]＝ n . ＝ ＝ (2 －1)x＋2n ) ＋
[答案 答案] 答案
x (2 －1)x＋2n ) ＋
n
返回
[巧练模拟 巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 课堂突破保分题， 巧练模拟 课堂突破保分题 分分必保！ 1．(2012·金华模拟 观察下列等式： ． 金华模拟)观察下列等式 金华模拟 观察下列等式： 12＝1， ， 12－22＝－ ， ＝－3， 12－22＋32＝6， ， 12－22＋32－42＝－ ， ＝－10， … 由以上等式推测到一个一般的结论：对于 ∈ 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12 －22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝______________. ＋－ ＋ 返回
第六章 第五节 合情推理与演绎推理
这类事物的 所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳
推理(简称归纳)． ②特点：归纳是从 特殊 到 一般 的过程． ③归纳推理的一般步骤： a．通过观察个别情况发现某些相同性质； b．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
(2)类比推理
①概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致) 性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同) 的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． ②类比推理的一般步骤：
的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形
的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－ 2)· 180°. A.①② C.①②④ B.①③ D.②④
解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理.
答案：C
3.一同学在电脑中打出如下若干个圆：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若 依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 009个 圆中共有●的个数是 A.61 B.62 ( )
a．找出两类事物之间的 相似性或一致性 ；
b．用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想)．
2.演绎推理 (1)概念：根据 一般性的真命题 (或逻辑规则)导出特殊性命 题为真 的推理，叫做演绎推理． (2)特征：当前提为真时，结论必然为真． (3)演绎推理的一般模式——“三段论”
(
)
C.sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋ 15°)＝ D.sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝ 解析：由已知β－α＝30°时，命题才成立. 答案：A
2.下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z|2＝z2； ③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理[考纲传真]1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．【知识通关】1．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[常用结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n －1C3．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误 A4．下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°， 归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④C5．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________.b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)【题型突破】归纳推理►考法1 与数式有关的推理【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11(2)(2019·济宁模拟)已知a i ＞0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；……照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn≥______. (1)C (2)na 1a 2…a n ►考法2 与图形有关的推理【例2】 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段；(2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． (1)3×2n －3 (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n[方法总结] 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.(1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝()A．25 B．48 C．63 D．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．(1)D(2)n(n＋1)2(n∈N*)类比推理【例3】(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝()A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为a2＋b2，直角顶点到斜边的距离为aba2＋b2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为S21＋S22＋S23，则三棱锥顶点到底面的距离为()A.3S1S2S3S21＋S22＋S23B.S1S2S3S21＋S22＋S23C.2S1S2S3S21＋S22＋S23D.3S1S2S3S21＋S22＋S23(1)C(2)C[方法总结]求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题(猜想).(1)在正项等差数列{a n}中有a41＋a42＋…＋a6020＝a1＋a2＋…＋a100100成立，则在正项等比数列{b n}中，类似的结论为________．(2)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则OA1AA1＋OB1BB1＋OC1CC1＝1，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________．(1)20b41b42b43 (60)100b1b2b3…b100(2)OV1VV1＋OB1BB1＋OC1CC1＋OD1DD1＝1演绎推理【例4】(1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则()A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．(1)C(2)乙[方法总结]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．[证明]设x1，x2∈R，取x1＜x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，因为x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．【真题链接】1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和33．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A。
第六章第五节
【尝试解答】 n（n－1） 2 q ，
∵Tn＝b1·b2·b3„„bn＝b n q1＋ 2＋ 3„＋ (n－1)＝b 1
n 1
n－1 ∴ Tn＝b1q 2 ＝b1( q)n－ 1， n ∴数列{ Tn}是首项为b1，公比为 q的等比数列， n
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
3 D．an＝ n＋2 2 1 2 2 【解析】 根据递推公式得a2＝ ，a3＝ ＝ ，a4＝ ， 3 2 4 5
2 于是猜想an＝ . n＋1
课 时 知 能 训 练
【答案】 C
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单
x
课 时 知 能 训 练
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)， ∴f(x)＋f(1－x)＝－1，
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1， ∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”． 以上结论正确的是( ) B．①② D．②④
高 考 体 验 · 明 考 情
第5节 合情推理与演绎推理
答案： B
返回
2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质； 几种推理的概念？ ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所 有三角形的内角和都是 180°； ③张军某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分； ④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°， 由此得凸 n 边形内角和是(n－2)·180°. A．①②B．①③C．①②④D．②④
5
＋
15
＋
…
＋
1 24
n(n
＋
1)(n
＋
2)(n
＋
3)
＝
________________.
返回
解析： 根据式子中的规律可知，等式右侧为5×4×13×2×1 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
答案： 1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
中的 三个
概念 答案： 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 a·b＝0 a⊥b
返回
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积 比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则 它们的体积比为________．
平面到空间的类比 是常见的推理类型
解析： 答案：
解析： ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②④为
合情推理． 答案： C
返回
3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞 赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、 丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不 知道我的成绩．根据以上信息，则( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 解析：将上述式子推广到一般形式，可得1＋ 22 ＋ 32 2n－1 1 1 1 1 ＋„＋ n2 < ，故1＋ 22 ＋ 32 ＋„＋ 20132 n 2×2 013－1 4 025 < ＝2 013. 2 013
4 025 答案：2 013
[做一题] [例2] (2012· 长沙模拟)有以下命题：设an1，a
答案：D
2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a· b＝b· a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)· c＝a· c＋b· c”；
③“(m· n)t＝m(n· t)”类比得到“(a· c＝a· c)”； b)· (b·
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a· p＝x· p⇒a＝ x”； ⑤“|m· n|＝|m|· |n|”类比得到“|a· b|＝|a|· |b|”； ac a a· a c ⑥“bc＝b”类比得到“b·＝b”． c 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4 )
1 1 (1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(2，－2)对称； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3) 的值．
[自主点(x，y)，
1 1 它关于点(2，－2)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)． a 由已知得y＝－ x ， a＋ a a ax 则－1－y＝－1＋ x ＝－ x ， a＋ a a＋ a
1 1．已知x>0，由不等式x＋ x ≥2
1 4 x x x·＝2，x＋ 2 ＝ ＋ ＋ x x 2 2
3 xx 4 4 ≥3 ·· ＝3，„，我们可以得出推广结论：x＋ x2 2 2 x2 a * n≥n＋1(n∈N )，则a＝ x A．2n C．3n B．n2 D．nn ( )
解析：再续写一个不等式： 4 x x x 33 33 x x x 33 x＋ 3＝ ＋ ＋ ＋ 3≥4 ··· ＝4， x 3 3 3 x 3 3 3 x3 由此可以得到a＝nn.
n
x [答案] 2n－1x＋2n
[悟一法] 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理， 由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数 目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越
可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
[通一类] 1 3 1 1 5 1 1 1 1．观察下列式子：1＋ 2< ，1＋ 2＋ 2 < ，1＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 2 2 2 3 3 2 3 4 7 1 1 1 < ， „„， 根据以上式子可以猜想： 1＋ 2＋ 2＋„＋ 4 2 3 2 0132 <________.
[答案]
(1)16
(2)
m
an1an2„anm＝apq
r m
[悟一法]
类比推理是根据两个对象有一部分特征类似，推出 这
两个对象其他特征亦类似的一种推理方法．例如分式与分 数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等．当然类 比时有可能出现错误，如：在平面内，三条直线a、b、c， 若a⊥b，b⊥c，则a∥c；在空间内，三个平面α、β、γ，若
1．下面几种推理是合情推理的是
(
)
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角 形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归 纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张
军 成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④ 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，
五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和
解析：归纳得13＋23＋33＋„＋n3＝(1＋2＋3＋„＋n)2
nn＋1 n2n＋12 2 ＝ ＝ . 4 2
答案：D
3．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α ＋ β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝ a2＋2a· b＋b2.
[考题巧解]————————(一样的结果，更简洁的过程)
[巧思] 本题的实质是求函数f(x)＝5x(x∈N*，且x≥5)，
当x＝2 011时的末四位数字，由于52 011数字较大，不可能
具体算出52 011的值然后再确定末四位数字，而应考虑函数
的同期性．因此可先列出x＝5,6,7,8，……等前几项，观
[自主解答]
a1＋a3＋a10＋a18 2＋6＋20＋36 (1)∵ ＝ ＝16， 4 4
∴a1，a3，a10，a18的等差平均项为a8. (2)用 m
r an1＋an2＋„＋anm an1an2„anm 类比 ，用apq m 类比ap m
r ＋md可得， m an1an2„anm＝apq .
r m
解析：由平面几何与空间几何的类化规律可知，这两个 a3 正方体重叠部分的体积恒为 8 .
a3 答案： 8
2. 演绎推理 ①大前提——已知的一般原理 ； ②小前提——所研究的特殊情况 ； 模式：三段论 ③结论——根据一般原理， 对 特殊情况 做出的判断. 特点：演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.
α⊥β，β⊥γ，但α与γ可能平行，也可能相交．
[通一类] 2．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质， 例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角 1 形的面积S＝ 2 ×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边 1 且等于第三边的2；„„ 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
其中结论正确的个数是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①②不正确，③正确．
答案：B
4．“两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角
相等，∠A和∠B是内错角，则∠A＝∠B”．该证
明过程的大前提是________，小前提是________， 结论是________．
解析：由三段论的相关概念可知，大前提是“两条直线
a a a·x a ax f(1－x)＝－ 1－x ＝－ a ＝－ ＝－ x ， a ＋ a a＋ a·x a a＋ a ax＋ a ∴－1－y＝f(1－x)， 1 1 即函数y＝f(x)的图象关于点(2，－2)对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)， 即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1， 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
(2)Sn＋1＝4an.
n＋2 证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ n Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1 Sn ∴ ＝2· ， n n＋1
Sn 故 n 是以2为公比的等比数列．
Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知 ＝4· (n≥2)， n＋1 n－1 Sn－1 n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4· ·n－1＝4an(n≥2) S n－1 n－1 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
[热点分析] 高考对归纳推理的考查主要有数与式的归纳推理、 图形中的归纳推理、数列中的归纳推理，对类比推理 的考查主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间 的类比，题型多为客观题，难度中档．
[考题印证]
(2011· 江西高考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝
78 125，…，则52 011的末四位数字为 A．3 125 C．0 625 B．5 625 D．8 125 ( )
平行，同时和第三条直线相交，内错角相等”，小前提 是“∠A和∠B是内错角”，结论是 “∠A＝∠B”． 答案：两条直线平行，同时和第三条直线相交， 内错角相等 ∠A和∠B是内错角 ∠A＝∠B
5．(2012· 温州模拟)现有一个关于平面 图形的命题：如图所示，同一个平面内 有两个边长都是 a 的正方形，其中一个 正方形的某个顶点在另一个正方形的中 a2 心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 4 .类比到 空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个正方体 的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方 体重叠部分的体积恒为________．
察其末四位数字的周期性，只要找到具体的周期，问题便
得以解决．
[妙解] ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625， 59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小
正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则 f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)， ∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125. [答案] D
第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明
第 五 节 合 情 推 理 与 演 绎 推 理
高考成功方案第一步
高考成功方案第二步
高考成功方案第三步
高考成功方案第四步
考纲点击
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单
的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； 1 (2)四面体的体积V＝3×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面 1 积的4.
[做一题] [例3] a 已知函数f(x)＝－ x (a＞0且a≠1)． a＋ a