九年级数学上册第一章.ppt
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推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
“行家”
☞ 例题欣赏P210
看“门
道” 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外
E
角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
· A
D
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互
B
·C
补证”明.:∵ ∠EAC=∠B+∠C ( ), 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
∠B=∠C (已知),
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
例题是运 用了定理 “内错角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
相等,两直 线平行”
∴∠DAC=∠C(等量代换).
得到了证
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
实.
想一想P211
一题多解思维灵活
☞ 回顾与思考 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
2
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
41
B
C
D
这个结论以后可以直接运用.
☞ 回顾与思考
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 三种语言 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
△ABC中:
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人,你还能找到这样的例子吗?
a a
b
b a bc
驶向Байду номын сангаас利 的彼岸
d
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) .
几何的三种语言☞
公理:
a
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
a
两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2:
a
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
平行线 的性质
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
“ (因5)”依.)据; 思路,运用数学符号和数学语言条理
驶向胜利 的彼岸
清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
几何的三种语言☞
公理:
a
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理1:
a
内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
b
平行线 的判定
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C.
E
A· D
求证:AD∥BC.
· 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 B
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
☞ 关注▲外角
内涵与外延
在这里,我们通过三角形内角和
A
定理直接推导出两个新定理.像这
2
样,由一个公理或定理直接推出的
定理,叫做这个公理或定理的推论
(corollary). 推论可以当作定理使用.
3 B
41
C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.
“行家”
☞ 例题欣赏P210
看“门
道” 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外
E
角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
· A
D
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互
B
·C
补证”明.:∵ ∠EAC=∠B+∠C ( ), 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
∠B=∠C (已知),
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
例题是运 用了定理 “内错角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
相等,两直 线平行”
∴∠DAC=∠C(等量代换).
得到了证
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
实.
想一想P211
一题多解思维灵活
☞ 回顾与思考 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
2
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
41
B
C
D
这个结论以后可以直接运用.
☞ 回顾与思考
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 三种语言 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
△ABC中:
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人,你还能找到这样的例子吗?
a a
b
b a bc
驶向Байду номын сангаас利 的彼岸
d
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) .
几何的三种语言☞
公理:
a
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
a
两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2:
a
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
平行线 的性质
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
“ (因5)”依.)据; 思路,运用数学符号和数学语言条理
驶向胜利 的彼岸
清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
几何的三种语言☞
公理:
a
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理1:
a
内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
b
平行线 的判定
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C.
E
A· D
求证:AD∥BC.
· 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 B
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
☞ 关注▲外角
内涵与外延
在这里,我们通过三角形内角和
A
定理直接推导出两个新定理.像这
2
样,由一个公理或定理直接推出的
定理,叫做这个公理或定理的推论
(corollary). 推论可以当作定理使用.
3 B
41
C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.