定积分求面积

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定积分求面积

例7 求r = a sin3θ所围的面积。 θ所围的面积。这是三叶玫瑰线，解这是三叶玫瑰线，由 sin3 θ ≥0，有，
π 2 0≤θ≤ , π≤θ≤π 3 3
4 5 及 π ≤ θ ≤ π. 3 3
由对称性
π 1 2 A = 6∫ r d θ = 3 a 2 ∫ 06 sin 2 3 θ d θ 2 π π 6 1 3 2 1 π 2 2 = 3a ∫06 (1 − cos 6θ)dθ = a [θ − sin 6θ] = a 2 2 6 4 0 π 6 0
三、小结
求在直角坐标系下、求在直角坐标系下、参数方程形式极坐标系下平面图形的面积. 下、极坐标系下平面图形的面积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化注意恰当的选择积分变量有助于简化选择积分变量积分运算）积分运算）
思考题
设曲线 y = f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 y = f ( x ) 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 y = f ( x ) 围成的面积的两求曲线方程. 倍，求曲线方程
1
0
0
= 4∫π sin t ⋅ 3cos t (− sin t )d t = 12∫ sin t(1 − sin t ) d t

定积分求平面图形面积在实际生活中的应用

定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。

首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。

其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。

此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。

综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆

面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。

定积分求球体表面积

定积分是高中数学的一个重要内容，其运用领域非常广泛。其中，求解球体表面积就是定积分的一个经典应用，本文将围绕此话题，详细介绍其求解方法。

步骤一：分析题目，列出公式

求球体表面积，需要首先掌握球体表面积公式，即：

S=4πr²

其中，S为球体表面积，r为球半径。由于球体表面积不可能直接计算出来，需要通过一定的数学方法来求解，这就需要运用到定积分了。具体来讲，将球体表面划分为无限个小面元，每个面元的面积可以看做是圆锥的底面积，通过积分求和即可得到球体表面积。

步骤二：确定积分区间

一般情况下，求解球体表面积的积分区间为[-r,r]，因为球体表面的上下半球体积相等，只需要计算一个半球体的表面积，随后再将其乘以2即可得到最终答案。

步骤三：确定被积函数

在求解球体表面积的过程中，被积函数通常为圆锥底面积S0，即：S0=πx²

其中，x表示球体表面到球心的距离。

步骤四：求解积分

通过以上三个步骤，我们已经准备好了求解球体表面积的定积分，具体求解过程如下：

S=2∫0^rπx²d

对该积分式进行求解，不难得到球体表面积的解析式：

S=4πr²

因此，我们可以得出结论：球体表面积的计算可以通过求解定积分来实现。

总结

在本文中，我们围绕“定积分求球体表面积”这一话题进行了详

细讲解，从分析题目，列出公式，确定积分区间及被积函数，到最后

的具体求解过程，一步步地讲解了如何通过定积分来计算球体表面积。通过这个例子，我们不仅加深了对定积分的理解，还学习了一种实用

的解决问题的方法。希望本文对读者有所启发，有助于大家更好地掌

利用定积分求平面图形面积的一些讨论

在数学中，定积分是一个非常重要的概念。它可以用来求曲线下面的面积、体积等。在这篇文章中，我们将探讨如何利用定积分来求解平面图形的面积，并对其中的一些需要注意的问题进行讨论。

一、定积分求平面图形的面积

通常情况下，我们使用定积分求解平面图形的面积主要分为以下两种情况：

1. 若平面图形位于第一象限内，我们可以通过将其关于x轴或y轴进行对称，得到其关于某条轴的镜像图形。然后，我们可以通过积分的方法求得该镜像图形的面积，再将其乘以2即可得到原图形的面积。

2. 若平面图形位于第三象限内，我们可以采用类似的方法，将其关于x轴和y轴进行对称，再将其平移至第一象限内，最后采用积分的方法求解面积。

二、需要注意的问题

在使用定积分求解平面图形的面积时，我们还需要注意以下几个问题：

1. 积分区间的确定

在求解平面图形面积时，我们需要确定积分的区间。通常情况下，这个区间并不是在平面直角坐标系中所表示的图形区域，而应该是其在积分方程中的区间。因此，在进行计算之前，我们需要先画出该图形和其在积分方程中的区间，并根据图形和区间的特点确定积分的上下限。

2. 导数、微积分的运用

在计算过程中，我们经常需要使用导数和微积分知识。对于不熟悉这些知识的人来说，可能会产生一定的困难。因此，在进行平面图形面积的计算时，我们需要对相关的导数和微积分知识有一定的了解，才能更好地进行计算。

3. 曲线積分的處理

如果题目本身是一个曲线的方程或者是一个参数方程问题，我们还需要先将其转化为参数方程或者直接采用曲线积分的方法来求解。另外，对于一些复杂的曲线问题，我们可能需要结合掌握一定的计算技巧和方法来进行计算。

定积分定义计算例题

定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。下面是一些定积分的定义和计算例题：

1. 定积分的定义：

定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。表示为：$int_a^bf(x)dx$。其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。

2. 定积分的计算方法：

(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。

(2) 求出每个小区间的面积：用等式

$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。

(3) 将每个小区间的面积相加：

$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。

3. 计算例题：

例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。

解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。

设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。

每个小区间的面积为：

$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$

将每个小区间的面积相加，得到：

$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sin

x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$

例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。

定积分表示圆的面积

定积分是一种重要的数学工具，它可以用来计算曲线围成的面积。其中，圆的面积也可以通过定积分来表示。

圆的面积公式为πr，其中r为圆的半径。我们可以将圆分成无

数个极小的扇形，并将每个扇形近似看作一个矩形。那么，圆的面积可以表示为所有矩形的面积之和，即∑A=πr。

利用微积分的思想，我们可以将这个无限求和转化为一个定积分的形式。具体来说，我们可以将圆心角的度数表示为x，以弧长为自变量，圆心角的度数为函数，建立函数f(x)=rsinx。那么，圆的面

积可以表示为∫[0,2π]f(x)dx=πr。

通过定积分的方法，我们可以简洁地表示圆的面积，并且可以方便地应用到其他曲线的面积计算中。

- 1 -

定积分求面积

将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!

平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。

今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。

今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表

面积。

定积分圆的面积公式

定积分圆的面积公式为：

$S = \pi r^2$

其中，$r$ 为圆的半径。

该公式表明了半径为 $r$ 的圆的面积是 $\pi r^2$，其中

$\pi$ 是一个常数，约等于 $3.14$。

该公式也可以用来计算圆的面积分布情况，例如在一个复合形状中只有一部分是圆形的情况下。

拓展：

该公式的来源可以追溯到古希腊的数学家阿基米德（Archimedes），他最早推导了圆的面积公式。在现代数学中，圆的面积公式是积分学的重要应用之一，可以通过定义积分或曲线积分来证明它。此外，圆的面积公式也可以推广到高维空间的球面积公式。

定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积

定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积定积分是微积分的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。其中，求解曲线下的面积以及旋转体的体积是定积分应用的两个常见问题。本文将详细介绍这两个问题的计算方法和应用场景。

一、曲线下的面积

在平面直角坐标系中，给定一条曲线y=f(x)，我们希望计算该曲线与平行于x轴的两条直线x=a和x=b所围成的图形的面积。假设曲线与x轴之间没有发生交叉，则该面积可以利用定积分来计算。

设该曲线下的面积为A，根据定积分的定义，我们可以将曲线下的面积划分为无数个无穷小的矩形，再将这些矩形的面积相加即可得到整个图形的面积。

具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。然后，选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi)，计算该小矩形的面积ΔAi=yiΔx。最后，对所有的小矩形面积求和，即可得到曲线下的面积A的近似值。

利用极限的思想，当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋近于曲线下的面积A。因此，我们可以通过定积分的方式精确地计算曲线下的面积。

二、旋转体的体积

除了计算曲线下的面积，定积分还可以应用于求解旋转体的体积。

在平面直角坐标系中，给定一个曲线y=f(x)，我们可以围绕某一轴线（一般为x轴或y轴）进行旋转，形成一个旋转体。那么，我们希望

计算该旋转体的体积。

设旋转体的体积为V，根据定积分的定义，我们可以将旋转体划分

为无数个无穷小的圆盘，再将这些圆盘的体积相加即可得到整个旋转

体的体积。

具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每

定积分应用求面积

O
A
ln 2 2 e y dy
0
2y ey
ln 2 0

2 ln 2 1.
y=lnx
1
x=2 2x
10
例4
求椭x圆2 y2 1 所围成的图形的面积。
a2 b2 解：设椭圆在第一象限部分的面积为 A1
y
dA1 ydx
则椭圆的面积为
a
A 4A1 4 0 ydx
d
2

3
2

2 s in

1 sin2
4
3 0

9 2

1 sin2
2
2
5 .
4
3
19

4ab
0 s in 2

tdt
2
2
4ab 2 sin2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆，A a2。
11
补充：极坐标
1．极坐标系
在平面内任取一定点 O，过 O点引射线Ox ，再规定一个长度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了
一个极坐标系。其中，定点 O叫做极点，射线 Ox叫做极轴。
b
U a f ( x)dx
4
二、平面图形的面积
y

利用积分求面积问题

在数学中，积分是一种重要的数学工具，可以用来求解各种问题，包括求面积问题。利用积分求面积问题是一种常见的应用，它可以帮

助我们计算曲线与坐标轴之间的面积。本文将介绍如何利用积分来解

决这类问题。

首先，我们来看一个简单的例子。假设有一条曲线y=f(x)，我们

想要求解该曲线与x轴之间的面积。为了方便计算，我们将曲线分成

无数个小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为f(x)。那么每个小

矩形的面积可以表示为ΔA=f(x)Δx。

为了求解整个曲线与x轴之间的面积，我们需要将所有小矩形的

面积相加。由于曲线是连续的，我们可以将Δx无限地趋近于0，这样就可以得到一个无穷小的矩形。我们可以用积分来表示这个过程，即

∫f(x)dx。

利用积分的性质，我们可以将上述积分转化为一个定积分，即

∫a^b f(x)dx，其中a和b分别表示曲线与x轴的交点。这样，我们

就可以通过求解定积分来得到曲线与x轴之间的面积。

接下来，我们来看一个具体的例子。假设有一条曲线y=x^2，我们想要求解该曲线与x轴之间的面积。首先，我们需要找到曲线与x轴

的交点。当y=0时，即x^2=0，解得x=0。因此，曲线与x轴的交点为(0,0)。

然后，我们可以利用定积分来求解面积。根据上述公式，我们有

∫0^1 x^2dx。通过求解这个定积分，我们可以得到曲线与x轴之间的

面积。

利用积分的性质，我们可以将上述定积分转化为一个不定积分，

即∫x^2dx。通过求解这个不定积分，我们可以得到曲线与x轴之间的

面积。

对于这个不定积分，我们可以使用积分的基本公式来求解。根据

定积分求平面图形的面积

解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线与所围成的图形面积。 4.求曲线与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
y
x
a
b
o
若曲线与及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,

定积分求面积

一、直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
y f1( x)
o a x x b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
b
A a f2 ( x) f1( x) dx
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2

(1 2cos cos2 )d
d

r ( )
d
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
o
x
2
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d . 2
极坐标可分为三类：
（1）极点在边界上：

0 r
6 曲线 y x 2与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 )，a 0，则当a __时，面积 S 最小 .

积分面积公式

积分求面积公式：s=（1，e）-∫（1，e）xd（lnx）。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

定积分求面积

定积分可以用来求面积，但定积分不等于面积，因为定积分可以是负数但面积是正的，因此，当所求积分的曲线跨越x轴时，需分段，分大于零和小于零分别计算，然后正的积分加上负的积分的绝对值，就等于面积。

面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。

表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中的图像包围的面积。即由y=0，x=a，x =b，y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。定积分是把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

定积分求表面积

取微圆环，圆心角θ～θ＋dθ

则微圆环面积dS＝2πRsinθ＊Rdθ，

球面积S＝∫dS＝∫2πR²sinθ＊dθ（从0积到π）＝－2πR²cos θ｜（下0上π）＝4πR²

应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。