定积分求面积

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定积分求面积

计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴；的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .

积分与定积分的面积计算

积分与定积分的面积计算在数学中，积分和定积分是重要的概念，可用于计算曲线下的面积。

本文将针对积分和定积分的面积计算进行详细阐述，并提供一些实际应用的示例。

一、积分的概念积分是微积分的基本概念之一。

它用于计算函数在一定范围内的累积效果，可以看作是离散求和的极限过程。

积分符号一般表示为∫，表示对函数进行积分。

积分的结果常被称为原函数或不定积分。

二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，用于计算函数在指定区间上的累积效果，也可看做是曲线下的面积。

定积分的符号表示为∫[a,b]，其中a和b分别表示积分的下限和上限。

三、面积计算的方法通常情况下，我们可以通过定积分来计算曲线下的面积。

以下是计算面积的一般步骤：1. 确定函数：首先需要确定要计算面积的函数。

该函数可以是一个已知的数学函数，也可以是通过数据点进行插值得到的函数。

2. 确定区间：确定要计算面积的区间范围，并将其表示为[a,b]。

3. 求定积分：利用定积分的性质，将函数代入定积分公式，计算出函数在该区间上的定积分值。

这个值即为曲线下的面积。

四、实际应用示例下面是一些实际应用示例，展示了如何利用积分和定积分计算面积：1. 圆的面积计算：对于一个半径为r的圆，可以利用积分计算该圆的面积。

以圆心为原点，确定上半部分圆弧的函数方程为y = sqrt(r^2 -x^2)，则面积计算公式为：S = 2 * ∫[0,r] sqrt(r^2 - x^2) dx。

2. 不规则图形的面积计算：对于一些不规则的图形，也可以通过积分和定积分计算其面积。

首先需要确定函数方程描述该图形，然后再进行定积分计算。

例如，椭圆的面积计算公式为：S = ∫[-a,a] sqrt(1-(x^2/a^2)) dx，其中a为椭圆长轴的一半。

3. 几何体的体积计算：类似地，利用定积分的原理，我们可以计算三维几何体的体积。

例如，圆柱的体积计算公式为：V = ∫[0,h] πr^2 dy，其中r为圆柱底面半径，h为圆柱高度。

定积分的几何意义公式

定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。

定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。

这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。

这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。

举个例子来说明这个公式的应用。

假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。

根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。

这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。

通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。

同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。

除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。

如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。

这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。

这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。

通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。

它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。

总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

定积分圆的面积公式

定积分圆的面积公式
定积分圆的面积公式为：
$S = \pi r^2$
其中，$r$ 为圆的半径。

该公式表明了半径为 $r$ 的圆的面积是 $\pi r^2$，其中
$\pi$ 是一个常数，约等于 $3.14$。

该公式也可以用来计算圆的面积分布情况，例如在一个复合形状中只有一部分是圆形的情况下。

拓展：
该公式的来源可以追溯到古希腊的数学家阿基米德（Archimedes），他最早推导了圆的面积公式。

在现代数学中，圆的面积公式是积分学的重要应用之一，可以通过定义积分或曲线积分来证明它。

此外，圆的面积公式也可以推广到高维空间的球面积公式。

定积分求面积

定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。

今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。

其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。

今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。

利用定积分求平面图形面积的一些讨论

定积分求平面图形面积====================定积分是一种数学方法，用于计算曲线下的面积或曲面上的体积。

它可以用来求解平面图形的面积。

本文将讨论定积分求平面图形面积的原理，并通过实例说明它的应用。

一、定积分求平面图形面积的原理----------------------------------------------------------定积分求平面图形面积的原理是：将平面图形分解为若干矩形，利用每个矩形的面积来求得平面图形的面积。

具体来说，首先需要将平面图形的边界抽象为一个函数，然后将这个函数从横坐标的最小值到最大值分割成若干等份，每份称为一个矩形，每个矩形的面积可以用函数的值来计算，最后将所有矩形的面积加起来就可以得到平面图形的面积。

二、实例说明----------------------------------------------------------下面我们用一个实例来说明定积分求平面图形面积的方法。

假设我们要求解的平面图形是一个三角形，其边界可以用函数y=x-1来描述，且横坐标的最小值为0，最大值为2。

首先，我们将横坐标从0到2分割成4份，即0，0.5，1，1.5，2，每份称为一个矩形，然后计算每个矩形的面积。

由于横坐标的最小值为0，所以第一个矩形的面积为0；第二个矩形的面积为0.5*(1-1)=0；第三个矩形的面积为1*(2-1)=1；第四个矩形的面积为1.5*(2-1)=1.5；最后，将4个矩形的面积加起来，即可得到三角形的面积为2.5。

结论----------------------------------------------------------以上就是定积分求平面图形面积的原理及其应用，它可以用来计算各种平面图形的面积，是一种有效的数学方法。

定积分应用求面积

y2 2
4

y3
4

4y 2

6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx

A

8
0
2 x
y穿出

1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r

O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )

3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；（2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]；（2）写出积分元素

定积分的计算

定积分的计算定积分是微积分中的一个重要概念，用来计算曲线与x轴之间的面积或曲线的弧长等问题。

本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。

一、定积分的概念定积分是一种数学运算，用来计算曲线与x轴之间的面积。

它的定义是在一个区间上划分出无穷多个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和，然后取极限。

用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示微元长度。

二、定积分的性质1. 定积分具有可加性，即∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

2. 定积分的区间可加性，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

3. 定积分的值与被积函数的符号无关，即∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。

4. 定积分的值与积分区间的长度无关，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[ka,kb]f(x)dx，其中k为任意非零常数。

三、定积分的计算方法计算定积分的方法有很多种，以下是一些常用的方法：1. 几何方法：对于一些简单的几何图形，我们可以利用几何的知识来求解。

例如，对于一个矩形的面积，可以直接计算长度乘以宽度。

2. 切割方法：将区间切割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的面积之和。

当小区间趋近于无穷小时，这个和就是定积分的值。

这种方法也被称为黎曼和的定义。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：若函数G(x)是f(x)的一个原函数，则定积分可以通过G(b) - G(a)来计算，其中a、b是积分区间的端点。

4. 变量代换法：对于一些复杂的函数，可以通过变量代换来简化问题。

例如，对于∫(x^2 + 1)dx，我们可以令u = x^2 + 1，然后计算∫udu，最后再带回原来的变量。

5. 分部积分法：对于一些产品的积分，可以利用分部积分公式来求解。

该公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。

经济学微积分定积分的应用求面积体积

(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
S
2

y

4

2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
例：求由曲线 y 1 与y x, x 2 所围面积。
x
解：画草图，
y y 1
x
2
1
S

1
(x

)dx x
c
d
b
S S1 S2 S3
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
d
f ( x)dx
b
a | f ( x) | dx
由y f ( x), x a, x b及x轴所围图形的面积为
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d
x (y) e
c
c
c
O
x
O
x
O
x
(1) ( y) 0 (2) ( y) 0

微积分中的定积分与面积计算

微积分中的定积分与面积计算微积分是数学中的一个重要分支，包含了微分与积分两个方面。

在微积分中，定积分是一个非常重要的概念，它与面积计算密切相关。

本文将介绍定积分的概念、性质，以及如何利用定积分来计算曲线下的面积。

一、定积分的概念与性质定积分是微积分中的一个基本概念，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

在数学中，定积分可以看作是一个函数在某个区间上的加权平均值。

具体来说，对于一个函数f(x)，我们可以将其分割成无穷多个小区间，每个小区间的长度为Δx。

然后，我们计算每个小区间上的函数值f(x)乘以Δx的乘积，并将所有乘积相加。

当Δx趋近于0时，这个和就收敛于一个确定的值，即定积分。

定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

定积分的计算可以通过积分的定义和一系列的积分性质来完成。

其中，积分的定义是通过极限的概念来定义的，即∫f(x)dx = lim(Δx→0) Σf(x)Δx定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

线性性质指的是定积分具有加法和数乘的性质，即∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

区间可加性指的是对于一个函数在不同区间上的定积分，可以将其分割成多个小区间的定积分的和。

保号性指的是如果一个函数在一个区间上恒大于等于0，则其定积分也大于等于0。

二、利用定积分计算曲线下的面积定积分与面积计算密切相关，可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

具体来说，对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。

计算方法如下：1. 首先，我们需要确定被积函数f(x)以及积分的区间[a, b]。

2. 将区间[a, b]分成无穷多个小区间，每个小区间的长度为Δx。

3. 在每个小区间上选择一个代表点xi，计算对应的函数值f(xi)。

4. 计算每个小区间上的函数值f(xi)乘以Δx的乘积，并将所有乘积相加。

定积分求平面图形的面积

解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线与所围成的图形面积。 4.求曲线与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线与及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。

定积分求面积

2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2

(1 2cos cos2 )d
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a 2 . 3
三、求抛物线 y x 2 4x 3 及其在点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .
四、求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .
五、求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值 .
的图形的面积. y x3 6x
解
两曲线的交点
y

x2
y x2
(0,0), (2,4), (3,9).
y x3 6x
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0],dA1 ( x3 6x x2 )dx
(2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
0

a
2

3 2

定积分求曲线所围面积公式

定积分求曲线所围面积公式定积分在数学中可是个相当重要的工具，尤其是在求曲线所围面积的时候，那简直就是一把“利器”。

咱先来说说定积分的概念。

想象一下，你在一条长长的跑道上跑步，每跑一段距离，就记录一下跑过的路程。

把这些小段路程加起来，就能知道总的跑过的距离。

定积分就有点像这个，把无数个小的部分加起来，得到一个总的结果。

那定积分怎么用来求曲线所围的面积呢？这就得好好说道说道了。

比如说，有一条曲线 y = f(x) ，它在 x 轴上方和下方都有部分。

咱们要找它和 x 轴之间围起来的面积。

这时候，咱就把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多很多小的区间，每个小区间的宽度是Δx 。

在每个小区间里，咱可以近似地认为曲线是一条直线段。

然后呢，就用这个小直线段的长度乘以Δx ，这就得到了一个小矩形的面积。

把所有这些小矩形的面积加起来，当Δx 越来越小，一直小到趋近于 0 的时候，这个累加的结果就越来越接近曲线所围的真正面积啦。

举个例子吧，有个曲线是 y = x^2 ，咱们要算它在区间 [0, 2] 内和 x 轴围成的面积。

咱先把区间 [0, 2] 分成 n 个小的区间，每个区间的宽度就是Δx = 2 / n 。

然后呢，对于第 i 个区间，它的左端点是xi = i * Δx ，右端点是 xi+ Δx 。

在这个小区间里，曲线的高度可以近似地看成 f(xi) ，也就是 (xi)^2 。

所以这个小矩形的面积就是f(xi) * Δx = (xi)^2 * Δx 。

把所有这些小矩形的面积加起来，就得到了一个近似的总面积：Sn = Σ(i = 1 到n) (xi)^2 * Δx 。

接下来，咱们把xi = i * Δx 代入，就得到：Sn = Σ(i = 1 到n) (i * Δx)^2 * Δx = Σ(i = 1 到n) i^2 * (Δx)^3再利用求和公式，就能算出 Sn 啦。

当 n 趋向于无穷大的时候，Sn 的极限就是定积分的值，也就是曲线所围的真正面积。

定积分的应用面积-文档资料

选y为积分变量,
1 2
(0,0) (1,1)
y [0 ,1 ]
3 2
2 y 1 1 A ( yy )d y ( y ) 0 . 0 3 3 3
3
13
y x 4 y 2 x 算由曲线和直线所围成例2 计
2
的图形的面积 .
解
两曲线的交点
y 2x
14
x ( x 4 )] d x A x ( 2 x )] d x [ 2 [ 2
0
2
8
2
此题选y为积分变量比较好,
2y4
y A (y 4 )d y 2 2
4
2
x y 4 y x 4
y y ( 4y ) 2 6 2
2
3
4
2 y y x2 2x 2
( x ) d x A A A A 1 2 3 4 f
a
b
2
1.以x轴为底边的曲边梯形的面积
y
f ( x)
y
a
b
0
f ( x)
x
0
a
b
b a
x
f( x ) 0 ,A ) d x ； f(x
a b
f( x ) 0 ,A ) d x ； f(x

A f(x )d x.
18 .
选择积分变量的原则： (1)尽量少分块； (2)积分容易。
15
2 1 x x 3所 y ,y 曲线直线例3 求 2 与 2 1 x
围成的平面图形的面积.
y
1 y 1 x2
1, 解交点 x

定积分求面积

定积分可以用来求面积，但定积分不等于面积，因为定积分可以是负数但面积是正的，因此，当所求积分的曲线跨越x轴时，需分段，分大于零和小于零分别计算，然后正的积分加上负的积分的绝对值，就等于面积。

面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。

表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。

面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中的图像包围的面积。

即由y=0，x=a，x =b，y=f(X)所围成图形的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分是把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。

把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

定积分求面积体积的推导公式

定积分求面积体积的推导公式定积分这个东西啊，在数学里可真是个厉害的角色！特别是在求面积和体积的时候，那作用可大了。

咱们先来说说定积分求面积的推导公式。

想象一下，有一块不规则的土地，咱们想知道它的面积，可这形状弯弯扭扭的，咋整？这时候定积分就派上用场啦！比如说，有一条曲线 y = f(x) ，它在 x 轴上方，咱们要找从 a 到 b 这段区间里，曲线和 x 轴围成的面积。

咱们把这个区间分成很多很小很小的小段，每一小段的宽度用Δx 表示。

那在每一小段上，咱们可以近似地把这一小部分看成一个矩形。

这个矩形的高度就是 f(x) 在这一点的值，宽度就是Δx 。

然后呢，把这些小矩形的面积都加起来，就越来越接近真正的面积啦。

当Δx 变得越来越小，一直小到趋近于 0 的时候，这些小矩形面积的和就变成了定积分。

我给您举个例子啊，就说咱们有个函数 y = x^2 ，要算从 0 到 2 这段和 x 轴围成的面积。

咱们先把区间 [0, 2] 分成 n 个小段，每个小段的宽度就是 2 / n 。

那第 i 个小段的横坐标就是 2i / n 。

这一小段的面积近似为 (2i / n)^2 × (2 / n) 。

把所有小段的面积加起来，得到一个式子：S ≈ ∑[(2i / n)^2 × (2 / n)] （i 从 1 到 n）然后对这个式子进行化简，当 n 趋向于无穷大的时候，就得到了定积分：∫(0 到 2) x^2 dx = [x^3 / 3] |(0 到 2) = 8 / 3您看，通过这样一步步的推导，就能算出这个不规则图形的面积啦！再来说说定积分求体积。

体积的推导和面积有点类似，但又有一些小差别。

假设咱们有一个旋转体，就像一个花瓶，是由曲线 y = f(x) 绕着 x轴旋转得到的。

咱们还是把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多小段。

在每一小段上，把曲线绕 x 轴旋转一圈，就得到了一个很薄的圆盘。

这个圆盘的体积可以近似看作一个圆柱体的体积，圆柱体的底面半径就是f(x) ，高度就是Δx 。