福建省厦门双十中学2014届高三5月模拟数学文试题(含答案)

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福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷(带解析)

福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷（带解析）1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则A C B U =( ) A ．{5} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，3，5} D ．∅ 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得{1,5}U C A =.所以A C B U {5}=.故选A. 考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则i1i+＝（）A ．1i 2-B ．1i 2+C .1i 2-- D.1i 2-+【答案】B 【解析】试题分析：i 1i +(1)11222i i i -==+.故选B. 考点：复数的运算.3．已知平面向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b , 则=b ( )A ．．【答案】C 【解析】试题分析：由向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b .所以4m =-.即(2,4),416b b =--∴=+=故选C.考点：1.向量平行的性质.2.向量的模的运算4．已知命题p ：∃x ∈R ，2340-+≤x x ，则下列说法正确的是（） A ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 B ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题 C ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 D ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题【答案】D 【解析】试题分析：由于特称命题的否定要改成全称命题，原命题与命题的否定的真假是相反的.由命题p 可知91670=-=-<.所以命题p 为假命题.所以p ⌝为真命题.故选D 考点：1.二次函数的根的问题.2.特称命题与全称命题的否定. 5．如图给出的是计算11113511++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．12i <B ．11i >C ．11i <D ．6i ≤【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知，i 的变化是以2i i =+的形式改变.由于原题中是六个数的和,i 的值分别是1,3,5,7,9,11.故选A.考点：1.程序框图.2.递推的数学思想.6．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 【答案】D 【解析】试题分析：设直线l 为y kx =，联立圆22430x y x +-+=的方程.可得22(1)430x k x +-+=.由直线与圆相切，所以得21612()0,k k =-+=∴=由于切点在第四象限，所以直线l 的方程为y x =.故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.二次方程的判别式.7．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ- 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得1Ω为圆心在原点，半径为4的圆面．2Ω是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为21441242P ππ⨯⨯==⨯.故选A. 考点：1.集合的概念.2.概率问题.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为a ,最小值为b ，则b a +的值是( )A ．10B ．20C ．4D ．12【答案】C【解析】试题分析：变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，目标函数过点A 时z 最小，目标函数过点B 时z 取最大.所以4a b +=.故选C.考点：1.线性规划.2.数形结合.9．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【答案】A 【解析】试题分析：第一个图象是关于y 轴对称，所以只能对①的解析式.第二个图象是递增，所以只能对④个解析式.第三个图象在x>0部分的图象有大于零的也有小于零的，所以只能对②个解析式.所以顺序为①④②③.故选A.考点：1.函数图象.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.10．若某多面体的三视图（单位: cm ）如图所示, 则此多面体的体积是（） A ．21cm 3 B ．32cm 3 C ．65cm 3 D ．87cm 3【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为115111326-⨯⨯⨯=.故选C. 考点：1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（） AB． CD【答案】D 【解析】侧视图俯视图x试题分析：由函数1ln ln 2y x =++，(0)x >.可得1'y x=.假设渐近线与函数的切点为00(,)P x y .则渐近线的斜率为y a b x =所以可得0001ln ln 21x x x ++=.解得012x =.所以可得12,212b b a a ==∴=.又因为222c a b =+.即可解得c a =故选D.考点：1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想. 12．已知函数)(x f y =的定义域为A ，若常数C 满足：对任意正实数ε，总存在A x ∈，使得ε<-<C x f )(0成立，则称C 为函数)(x f y =的“渐近值”．现有下列三个函数：① 1)(-=x x x f ；② ⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(；③ x x x f sin )(=．其中以数“1”为渐近值的函数个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依题意函数)(x f y =的“渐近值” 对任意正实数ε，总存在A x ∈ε<-<C x f )(0，即可理解为函数的值域趋近一个常数.由1)(-=x x x f 111x =+-.所以()(,1)(1,)f x ∈-∞+∞.故①存在C=1符合条件.由⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(，(){0,1}f x ∈.假设存在C ，对任意正实数ε，总存在A x ∈使得ε<-<C x f )(0即0C ε<<或01C ε<-<.对于一个常数C 没办法满足任意的正数ε.所以②不符合．xxx f sin )(=的图象如图所示.所以存在C=0，符合条件.所以①③正确.故选C.x考点：1.新定义.2.函数的范围.3.函数图象.13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为3:2，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人. 【答案】24 【解析】试题分析：由题意得高一高二高三人数为480 ，720 ，800 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为61002425⨯=人考点：1.统计知识.2.分层抽样.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 【答案】3【解析】试题分析：由分段函数(3)f =1 , (1)f =3 所以((3))f f =3 考点：1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算. 15．已知sin =+)6(απ31，则2cos(2)3πα-= . 【答案】79- 【解析】试题分析：2cos(2)3πα-=227cos 2()2(cos())12(sin())13369πππααα-=--=+-=-. 考点：1.三角恒等变换.2.二倍角的公式.16．设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ其中真命题是____________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ，即a b c -=.显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ，当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时，向量a 没办法按,b c 分解，所以③不正确.存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,由于λμ=+a b c ，向量b 、c 的模为1，由三角形的三边关系可得2λμ+>..由336λμ+≥>.所以④成立.综上①②④.考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率；（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩．【答案】（1）0.016;（2）0.6;（3）73.8 【解析】试题分析：（1）有茎叶图以及频率分布直方图，可知在50-60段的人数和所占的频率，即可求出该班参加数学测试的人数.80-90段的人数有总人数减去其他四段的人数和，计算出频率以及频率除以组距的值，即得到频率直方图的高.（2）由（1）可得在[90,100]的人数总共为6人，从中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率的计算，可通过计算没有一份在[90,100]内，再用总数1减去即可.（3）计算出各段的频率，再将各段的中点值乘以本段的频率相加即可.（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=， 2分 ∴分数在[80,90)之间的人数为25214-=人，则对应的频率为40.1625=． 3分所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=． 4分（2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． 6分其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=． 8分. 25所以估计这次测试的平均成绩为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分考点：1.茎叶图.2.概率问题.3.频率直方图估算平均数.18．已知实数0a >，且3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列．（1）求实数a 的值；（2）若等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，且23822->+n nn S T ，求满足条件的自然数n 的最大值．【答案】（1）2a =；（2）14 【解析】试题分析：（1）由3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列，通过分类判断值的大小得到两类，再根据等差数列中项的性质，即可得到结论.（2）由于等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，所以分别求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式.根据通项公式分别求出两个数列的前n 项和的公式.再由23822->+n nn S T 求出结论. （3）解法一：由已知三个数有：2231,32a a a +>+>， 1分不妨设排列成递增的等差数列，则①3,2,12+a a 依次成等差数列，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 3分②若3,1,22+a a 依次成等差数列，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 5分综上得2a =. 6分解法二：分三种情况讨论：①若2a 为等差中项，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 2分②若1为等差中项，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 4分③若23a +为等差中项，则有22(3)21a a +=+，即22250a a -+=，0∆<方程无解； 6分综上得2a =．（2）解：由（1）知n n a n 22)1(2=⨯-+=，n n b 2=， 8分22),1(1-=+=+n n n T n n S ， 10分由已知23822->+n nn S T 可得238)1(2-+>n n ，即240)1(<+n n , 11分即1615n -<<，又n N +∈，故n 的最大值为14． 12分考点：1.等差等比数列的通项公式.2.求和公式.3.不等式的交汇.19．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ．（1）求椭圆的方程；（2）若点C 为曲线E :422=+y x 上任一点（C 点不同于B A ,），直线AC 与直线2=x 交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）2214x y +=；（2）相切【解析】试题分析：（1）由椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ，即可求出,a b 的值.即可得到结论.（2）依题意假设点C 坐标，以及点R 的坐标，由点A ，C ，R 三点共线即可求得点R 的坐标表示.从而表示出点D 的坐标，写出直线CD 的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C 在圆上，即可判断直线与圆的位置关系. （1）由题意可得2a =，c e a ==， ∴c = 2分 ∴2221b a c =-=， 3分所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分（2）解法一：曲线E 是以(0,0)O 为圆心，半径为2的圆. 设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， 5分 ∵A C R 、、三点共线， ∴//AC AR ， 6分而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， 7分 ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， 8分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244n n m n n mn m k m m m -+-+===---，而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--， 10分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 11分所以直线CD 与曲线E 相切． 12分解法二：同解法一得2mn mk n n==--， 10分又OC nk m=，故1OC k k ⋅=-，即CD OC ⊥，所以直线CD 与圆E 相切． 12分考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.方程的思想.20．如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．（1）证明：//DE ABC 面；（2）证明：AC A B A 111面⊥；（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥11C ABB A - 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3） 23π【解析】试题分析：（1）由于点E 是A 1C 是的中点，点O 是BC 的中点，连接OE ，OA ，由三角形的中位线可得OE ∥BB 1，并且OE=112BB .又DA ∥1BB ,并且112DA BB =.所以EO 与DA 平行且相等.所以四边形EOAD 是平行四边形.所以DE ∥AO.即可得到结论.（2）由1A A 是母线，所以1A A ⊥平面ABC.所以可得1A A AB ⊥,又BC 是圆得直径，所以090BAC ∠=.由此可得结论.（3）由1DE CBB ⊥面，即可得到AO ⊥面1CBB .即AO BC ⊥.所以AC AB =.设圆的半径为r ，圆柱的高为h ，所以1121233C ABB A hr V -==.圆柱的体积为2V r h π=.所以鱼被捕的概率为23π. （1）证明：连结EO ，OA ，O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO ．又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形，即ABC DE OA DE 面⊄,//．∴ABC DE 面//． 4分（2）证明：1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 因为1AA 垂直于圆O 所在平面，故AB AA ⊥1，又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥，由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥. 8分（3）解：鱼被捕的概率等于四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比，由1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥， ∴ BC AO ⊥，∴AB AC =．因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1， ∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥，∴锥V ：=柱V π32，即23P π= . 12分考点：1.线面平行.2.线面垂直.3.体积的计算.。

2014年高考福建文科数学试题(卷)与答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =I （）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤I ＝＜，故选A ．（2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ．（3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ．（4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥ 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，300x x +<，故选C ．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（）（A ）()y f x =是奇函数（B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称（D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D 选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）（A ）80元（B ）120元（C ）160元（D ）240元【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞．所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（）（A ）OM u u u u r （B ）2OM u u u u r （C ）3OM u u u u r （D ）4OM u u u u r 【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM +=u u u r u u u r u u u u r ，2OB OD OM +=u u u r u u u r u u u u r，所以4OA OB OC OD OM +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -；当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18．（14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于．【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立；（2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =，所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==．（18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故AB CD ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B =I ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==．由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =．（21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =．（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =，设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =，故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <．解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以当ln2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。

2014年厦门双十中学5月年适应性考试卷(文综)

2014年厦门双十中学高三适应性考试文科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第40～42题为选考题，其他题为必考题。

第Ⅰ卷（共144分）本卷共36小题，每小题4分，共144分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

图1是非洲乍得胡流域图，读图完成1～2题。

1. 乍得湖流域A. 河流径流量的季节变化小 B．河水主要来源于冰雪融水C．地表径流参与海陆间水循环 D．水面蒸发参与陆地内循环2．根据图中信息可以判断A．流域面积减小 B．湖泊水位总体下降C．流域主体位于热带荒漠 D．1963年时湖底东南高，西北低2010年1月，海地发生7．3级地震，几十万人遇难；同年2月，智利发生8．8级地震，数百人丧生。

图2为两次大地震震中位置示意图。

读图完成3～4题。

3．两次大地震A．震中都位于太平洋沿岸 B．震中都位于两大板块交界处C．能量源自地球内部 D．遇难人数的多少取决于震级的大小4．图中甲、乙两区农业发展条件的相同点是A．地域狭小，耕地规模小 B．终年光照充足C．雨热同期 D．全年降水分配均匀在地理研究中，可用重心移动反映地理事物和现象空间分布的变化，图3表示我国1978-2005年能源生产总量、能源消费总量与GDP重心变化轨迹。

读图完成5～6题。

5．能源生产总量、能源消费总量与GDP重心变化轨迹分别对应图中的A. a、b、cB. c、b、aC. c、a、bD. b、c、a6．当前能缩小能源生产重心与能源消费重心东西间距的是A. 西电东送B. 西气东输C. 陕西煤炭资源开发D. 东海油气资源开发图4显示了2001年至2005年格陵兰岛某冰川末端不断消融后退的“足迹”。

读图完成7～8题。

7．据图中M、N两点量算，此期间该冰川末端年平均后退的距离约为A．0.4km B．0.5kmC．1.2km D．1.5km8．若全球冰川大规模融化，可能产生的影响有A．极地高压增强B．沿海平原扩大C．陆地淡水减少D．植被类型增多图5是北半球中纬地区某一欧式住宅景观图。

福建省福州市2014届高三5月综合练习文科数学试卷(带解析)

福建省福州市2014届高三5月综合练习文科数学试卷（带解析）1．设集合A={x|x 2－(a+3)x+3a=0},B={x|x 2－5x+4=0},集合A ∪B 中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为( )A.{0}B.{0,3}C.{1,3,4}D.{0,1,3,4} 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得{1,4}B =，当3a =时{3}A =所以{1,3,4}A B =，所以符合集合A ∪B 中所有元素之和为8，当1a =时{1,3,4}A B =符合题意.当4a =时{1,3,4}A B =符合题意.当3,1,4a ≠时{1,3,4,}AB a =.所以1340,0a a +++=∴=.故选D.考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．抛物线y=2x 2的准线方程为( ) A.14y =-B.18y =-C.12x =D.14x =- 【答案】B【解析】试题分析：依题意可得抛物线可化为212x y =，所以准线的方程为18y =-.故选B. 考点：抛物线的性质 3．已知a ∈R,且a≠0,则"11"<a是“a>1”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由111,0,0a a a a -<∴<∴<或1a >.所以"11"<a是“a>1”的必要不充分条件.故选B考点：1.分式不等式的解法.2.充要条件. 4．函数y=ln(x+1)与1y x=的图像交点的横坐标所在区间为( ) A.(0,1） B.(1,2） C.(2,3） D.(3,4）【答案】B 【解析】试题分析：依题意令1()ln(1)f x x x =+-，(1,0)(0,)x ∈-+∞.函数y=ln(x+1)与1y x=的图像交点的横坐标所在区间等价于函数的()f x 的图象与x 轴的交点的所在的范围.依据零点定理，因为1(1)ln 21,(2)ln 302f f =-<=->，即(1)(2)0f f <.故选B. 考点：1.函数零点问题.2.等价变换的数学思想.3.函数与方程的关系. 5．执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为158,则判断框内应填入的条件是( ) A.k<3 B.k>3 C.k<4 D.k>4【答案】C 【解析】试题分析：依题意可得1,1k p ==时得到3,22p k ==；再进入循环得到7,34p k ==；再进入循环15,38p k ==.即退出循环所以4k <.故选C 考点：1.程序框图.2.递推的数学思想. 6．某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )【答案】C 【解析】试题分析：由于销售量逐渐下降,所以图象呈下降趋势；公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增，所以图象以更陡的向上走向；五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升，即图象有向上的趋势；十一月份之后,销售量有所回落，所以图象向下的趋势.故选C.考点：1.函数的图象.2.实际问题的应用.7．函数)36sin(2ππ-=xy (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为( ).A.32-B.0C.－1D.31-- 【答案】A 【解析】试题分析：由(0≤x≤9)，可得73636x ππππ-≤-≤，所以函数)36sin(2ππ-=xy ，min max 2y y ==所以最大值与最小值的和为32-.故选A.考点：1.三角函数的性质.2.三角函数的图象.8．如图,半径为R 的圆C 中,已知弦AB 的长为5,则AC AB ⋅=( )A.25 B.225 C.25R D.225R 【答案】B 【解析】试题分析：连结BC ，由余弦定理可得22255cos 252R R A R R +-==⨯，所以25cos 2AB AC AB AC A ⋅==.故选B. 考点：1.向量的数量积.2.三角形的余弦定理.9．已知直线a,b 异面, ,给出以下命题：①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使b α⊂;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点.则其中论断正确的是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④ 【答案】D 【解析】试题分析：若直线,a b 不是异面垂直则不可能存在平行于a 的平面α使α⊥b ，所以①不正确；②③④正确；故选D.考点：1.线面平行的位置关系.2.异面直线的概念.10．已知P(x,y)为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.1【答案】A【解析】试题分析：由椭圆上任一点P(x,y)满足0M P M F⋅=的点M是唯一的.由于222P F P M F M=+，要求PM的最小值又1FM=，即需求PF的最小值，由题意可知椭圆上的点到焦点距离最短距离为a c-.即为2.所以||PM故选A.考点：1.椭圆的性质.2. 数形结合的思想.3.等价转换的思想.11．在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).A.a、c、b 成等比数列B.a、c、b 成等差数列C.a、b、c 成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】D【解析】试题分析：由cos cos()B A C=-+,2cos212sinB B=-.所以cos2B+cosB+cos(A－C)=1可化为22sin sin sin,B AC b ac=∴=.所以,,a b c成等比数列.故选D.考点：1.三角函数的恒等变换.2.正弦定理.3.方程中的消元思想.12．已知(),()f xg x都是定义在R上的函数，()0g x≠,()'()'()()f xg x f x g x>,且()()xf x ag x=（01a a>≠且）,(1)(1)5(1)(1)2f fg g-+=-,对于数列(){}()f ng n(n=1,2, ,10),任取正整数k(1≤k≤10),则其前k项和大于1516的概率是( ).A.310B.25C.12D.35【答案】D【解析】试题分析：由()0g x≠，且2()'()()()'()[]'0()[()]f x f xg x f x g xg x g x-=<.所以函数()()f xg x在R上递减.又由于()()xf x ag x=（01a a>≠且）.所以()()xf xag x=递减，即可得01a<<.由(1)(1)5(1)(1)2f fg g-+=-可得151,,222a a aa+===（舍去）.所以(){}()f ng n是一个首项为12，公比为12的等比数列，由等比数列求和公式即可得到当5n≥是符合条件即和大于1516的概率为63105=.故选D. 考点：1.函数导数的运算.2.数列的求和公式.3.概率问题.13．一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2.则样本在(]10,50上的频率是．【答案】710【解析】试题分析：依题意(]10,50的频率数为14.所以样本在(]10,50上的频率是1472010P ==. 考点：1.统计知识.2.概率问题.14．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 .【答案】【解析】试题分析：由题意可得,,24612T T πππω=+=∴=.又()212f π-=即可解得23πϕ=.所以函数f(x)的解析式是2()2sin(2)3f x x π=+. 考点：1.三角函数的图象.2.待定系数的思想.3.三角方程的解法.15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .【答案】12【解析】试题分析：该几何体是类似墙角的三棱锥，假设一条直角的棱长为x ，则三条直角棱长分别为x 所以体积为1162V ===.当且仅当x =.考点：1.三视图.2.函数最值问题.3.空间想象能力.16．已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论：①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ;③0)3()0(>⋅f f ;④;0)3()0(<⋅f f ; ⑤()f x 的极值为1和3.其中正确命题的序号为 . 【答案】②③ 【解析】试题分析：依题意可得函数'()3(1)(3)f x x x =--.令'()0,1,3f x x x =∴==.所以函数()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)递减，又()()()0f a f b f c ===，所以(1)0,(3)0f f ><.又(0)f abc =-.由32()69()()()f x x x x abc x a x b x c =-+-=---可得，69a b c ab ac bc ++=⎧⎨++=⎩.所以229()9(6)69(3)0ab c a b c c c c c =-+=--=-+=->（3c >）.又因为1,0b a >∴>.所以(0)0f abc =-<.所以②③正确. 若()f x 的极值为1和3，则可得(1)41(3)3f abc f abc =-=⎧⎨=-=⎩.即3abc =-与0abc >矛盾，所以不成立.所以正确的选项是②③. 考点：1.函数的极值.2.函数与方程的根的问题.3.反证的数学思想.4.函数的单调性的应用.17．已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：123232222n n nb b b b a =+++⋅⋅⋅+(n 为正整数）求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =- ；（2）226n n S +=-【解析】试题分析：（1）由362755,16a a a a =+=，根据等差数列的性质将27a a +换成36a a +再解方程组即可得到36,a a .即可得到通项公式.（2）由（1）可得数列{}n a 的通项公式，根据已知条件即可求出1b .当2n ≥时利用递推一项即可得到数列{}n b 的通项公式，由此得到一个分段的数列{}n b .再根据2n ≥时求出前n 项和，再验证n=1是否成立，即可得到结论.（1）{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=..2,115,0,16,55636363=⎩⎨⎧==>⎩⎨⎧=+=∴d a a d a a a a 故又公差21n a n =- 4分（2）n ≥2时,2,12,2,2)32(1221111=====---=+b a b b n n b n n nn 又 ∴⎩⎨⎧≥==+2,21,21n n b n n 8分 n ≥2时,S n =(4+8+ +2n+1)－2=62221)21(42-=---+n n n=1时也符合,故S n =2n+2－6 12分考点：1.等差数列的性质.2.递推的数学思想.3.等比数列的性质.4.分类的思想. 18．如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．【答案】参考解析【解析】试题分析：假设角AMN 的值为θ，由三角形AMN 中角NAM 为060.由正弦定理可得到AM 的表达式，在三角形AMP 中利用余弦定理表示出AP 的值，由角θ的取值范围，再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角，坐标系，圆等方面入手.解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-．因为MN ＝2,所以AM sin(120°－θ）． 2分在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM·MP·cos∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θsin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos (2θθ＋120°)＋4＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203 ＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60︒时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θθcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163·12cos 22θ-＋3θ＋4＝3sin2θ－83cos2θ＋203 ＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分解法三：设AM ＝x,AN ＝y,∠AMN ＝α. 在△AMN 中,因为MN ＝2,∠MAN ＝60°,所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM·AN·cos∠MAN,即x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4. 2分因为sin 60MN ︒＝sin AN α,即2sin 60︒＝sin yα,所以sin αy,cos α＝22422x y x +-⨯⨯＝()224x x xy x+-＝24x y -. 4分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos αα＝12·24x y -y ＝24x y -. 6分在△AMP 中,AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM·PM·cos∠AMP, 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×24x y -＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy. 10分因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy,即xy≤4.所以AP 2≤12,即当且仅当x ＝y ＝2时,AP 取得最大值答：设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系.设M(x 1,0),N(x 22),P(x 0,y 0).∵MN ＝2, ∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4. 2分MN 的中点K(122x x +2)．∵△MNP 为正三角形,且MN ＝2,∴PK ⊥MN,∴PK 2＝(x 0－122x x +)2＋(y 02)2＝3,k MN ·k PK ＝－1,即212x x -·021222y x x x x +-＝－1, 4分 ∴y 020－122x x +),∴(y 02)2＝()212223x x x - (x 0－122x x +)2 ∴(1＋()212223x x x -)(x 0－122x x +)2＝3,即2243x (x 0－122x x +)2＝3,∴(x 0－122x x +)2＝94x 22． ∵x 0－122x x +＞0 ∴x 0－122x x +＝32x 2,∴x 0＝12x 1＋2x 2,∴y 0x 1． 6分 ∴AP 2＝x 02＋y 02＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 12＝x 12＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12, 10分即答：设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法五(几何法)：由运动的相对性,可使△PMN 不动,点A 在运动.由于∠MAN ＝60°,∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上, 4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R. 6分在△AMN 中,由正弦定理知：sin 60MN︒＝2R, ∴R分 ∴FM ＝FN ＝R又PM ＝PN,∴PF 是线段MN 的垂直平分线. APMNBCFE设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FEPE∴PF∴AP 的最大值为PF ＋R ＝答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分考点：1.解三角形的知识.2.正余弦定理.3.坐标法解题思想等.19．把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b .试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩(※）解答下列问题：（1）求方程组没有解的概率;（2）求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率.. 【答案】（1）112 ；（2）112【解析】试题分析：（1）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩没解，即相对应的两条直线平行，所以可求得,a b 的关系式，再列举,a b 的符合情况的个数，由于总的基本事件的个数为36.即可得结论.（2）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解为坐标的点落在第四象，即将解出该方程组的解，由方程组的解对应一个点，根据点落在第四象限的坐标特点，即可得到,a b 的关系式，从而列举符合,a b 关系的情况的个数.再根据古典概型的概念得到结论. （1）由题意知,总的样本空间有36组 1分方法1：若方程没有解,则12a b=,即2b a = 3分 (方法2：带入消元得(2)32b a y a -=-,因为320a -≠,所以当 2b a =时方程组无解) 所以符合条件的数组为(1,2),(2,4),(3,6), 4分所以313612p ==,故方程组没有解的概率为1125分（2）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩得26023202b x b aa yb a -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩6分若2b a >,则有332b a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 即2,3,4,5,6,4,5,6a b ==符合条件的数组有(2,5),(2,6)共有2个 8分若2b a <,则有332b a <⎧⎪⎨<⎪⎩ 即1,2,1b a ==符合条件的数组有(1,1)共1个 10分∴所以概率为1213612p +== , 即点P 落在第四象限且P 的坐标满足方程组(※)的概率为112. 12分考点：1.两直线的位置关系.2.古典概型.3.列举归纳的数学思想. 20．已知正△ABC 的边长为a , CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B,如图所示. （1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;（2）若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值;（3）在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF ？如果存在,求出AC AP的值;如果不存在,请说明理由.【答案】（1）平行；（2）2a =；（3）存在AP ：AC=1：3 【解析】试题分析：（1）由于E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，所以在翻折后的三角形ABC 中，AB EF .由线面平行的判定定理可得结论.（2）由棱锥E-DFC 的体积为243，因为△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，并且AD ⊥平面BCD ，即由三棱锥的体积公式，即可求出结论. （3）在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF,即转化为直线与平面垂直的问题，假设存在点P 作PK DC ⊥,k 为垂足，连结BK 即可得到直线DF ⊥平面BPK ，所以可得DF BK ⊥.通过三角形的相似即可得到所求的结论. (1)AB//平面DEF,如图.在△ABC 中,∵E,F 分别是AC,BC 的中点,故EF//AB, 又AB ⊄平面DEF,∴AB//平面DEF, 4分(2)∵AD ⊥CD,BD ⊥CD, 将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B∴AD ⊥BD,AD ⊥平面BCD,取CD 中点M,则EM//AD,∴EM ⊥平面BCD,且EM=a/22431634312=⨯⨯=a a V ,a=2. 8分 (3)存在满足条件的点P.做法：因为三角形BDF 为正三角形,过B 做BK ⊥DF,延长BK 交DC 于K,过K 做KP//DA,交AC 于P.则点P 即为所求. 证明：∵AD ⊥平面BCD , KP//DA,∴PK ⊥平面BCD,PK ⊥DF,又 BK ⊥DF,PK ∩BK=K,∴DF ⊥平面PKB,DF ⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2. 故AP ：OC=1：2,AP ：AC=1：3 12分考点：1.图形的翻折.2.线面间的位置关系.3.开放性题的等价变换.4.空间想象力.21．已知焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线C 1经过点P(2,2),以C 1上一点C 2为圆心的圆过定点A(0,1),记N M 、为圆2C 与x 轴的两个交点. (1)求抛物线1C 的方程;(2)当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论; (3)当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mnn m +的最大值．【答案】(1）x 2=2y ；(2)定值2；(3）【解析】试题分析：(1)由焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线假设为22(0)x py p =>，又C 1经过点P(2,2)，即可求出抛物线的p .即可得抛物线的方程.(2）当圆心2C 在抛物线上运动时，写出圆2C 的方程，再令y=0即可求得圆的方程与x 轴的两交点的坐标，计算两坐标的差即可得到结论.(3）当圆心2C 在抛物线上运动时，由(1)可得M,N 的坐标（其中用圆心2C 的坐标表示）.根据两点的距离公式即可用圆心2C 的坐标表示m,n 的值，将mnn m +适当变形，再根据基本不等式即可求得mnn m +的最大值. (1)由已知,设抛物线方程为x 2=2py,22=2p ×2,解得p=1.所求抛物线C 1的方程为x 2=2y.-------3分(2)法1：设圆心C 2(a,a 2/2),则圆C 2的半径r=222)12(-+a a圆C 2的方程为222222)12()2()(-+=-+-a a a y a x . 令y=0,得x 2－2ax+a 2－1=0,得x 1=a －1,x 2=a+1.|MN|=|x 1－x 2|=2(定值).------7分法2：设圆心C 2(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=22)1(-+b a ,,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长|MN|=2122)1(22222222=+-=--+=-b a b b a b r (定值)---7分(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),22202;0,m n m n m n n m mn m n m n a a n m n m ======++====+=≠+=时时,m na n m=+故当且仅当取得最大值考点：1.抛物线的性质.2.最值问题.3.基本不等式的应用. 22．已知函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且). （1）若2,1a b ==,求函数()f x 的极值; （2）设()(1)()xg x a x e f x =--．① 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值; ② 设()()g x g x '为的导函数.若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求ba的取值范围. 【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e －1，②(－1,+∞) 【解析】试题分析：（1）由函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且)，且2,1a b ==，所以对函数()f x 求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立，即)(0,x ∈+∞时，(2)1x be x x--≥恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x 2－2x －x x e 在x ∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x 2－2x －x x e (x ＞0)的最小值即可得到结论.②若存在1x >,使()()0g x g x '+=.通过表示'()g x 即可得到b a ＝322321x x x --，所以求出函数u(x)＝322321x x x -- (x ＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a ＝2,b ＝1时,f (x)＝(2＋1x)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞). 所以f ′(x)＝()()2121x x x+-e x. 2分令f ′(x)＝0,得x 1＝－1,x 2＝1,列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1,f (x)的极小值是f (12)＝分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)e x－f (x)＝(ax －b x－2a)e x, 当a ＝1时,g (x)＝(x －b x－2)e x. 因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立, 所以b≤x 2－2x －xxe 在x ∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x 2－2x －x x e (x ＞0),则h′(x)＝()()121xxx e e-+. 当0＜x ＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x ＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1;所以b 的最大值为－1－e －1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax －a)e x－f (x)＝(ax －b x－2a)e x, 当a ＝1时,g (x)＝(x －b x－2)e x. 因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－2b e 2＞0,因此b ＜0. 5分g′(x)＝(1＋2b x )e x ＋(x －b x －2)e x＝()()221x x x b e x --．因为b ＜0,所以：当0＜x ＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x ＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min ＝g(1)＝(－1－b)e －17分因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e －1≥1,解得b≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax －b x －2a)e x ,所以g ′(x)＝(2b x ＋ax －b x －a)e x. 由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax －b x －2a)e x ＋(2b x＋ax －b x －a)e x＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． 11分因为a ＞0,所以b a ＝322321x x x --.设u(x)＝322321x x x --(x ＞1),则u′(x)＝()2233841621x x x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．因为x ＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以b a ＞－1,即ba的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax －b x －2a)e x ,所以g ′(x)＝(2b x ＋ax －b x －a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax －b x －2a)e x ＋(2b x＋ax －b x －a)e x＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立. 11分设u(x)＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b(x≥1)u′(x)＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax(x －1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0 此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a －b因为存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立所以只要－a －b ＜0即可,此时－1＜ba≤0 12分当b ＞0时,令x 0＝34a a34a a+32＞1,得u(x 0)＝b ＞0,又u(1)＝－a －b ＜0于是u(x)＝0,在(1,x 0)上必有零点即存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立,此时ba＞0 13分综上有ba的取值范围为(－1,+∞)------14分考点：1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.。

2014年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）36．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函对称）的图象关于点（﹣，cos （﹣）的图象向左平移）cos=cos ））的图象关于点（﹣，8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）B ．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器210．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）B点，则的对角线的交点，∴=211．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，22，解得，即12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”．B．．D．；﹣二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．，15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是2．x=（舍去）16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．，解得；（Ⅱ）∵18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．sin2x+）2x+2x+≤，=sin2x+1+cos2x=））+）sin+1=2x+=﹣≤+﹣，﹣]19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．S，SCD=20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．=6400共有=10入国家标准，共有=3都达到中等偏上收入国家标准的概率21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．，=的方程为：，即，，（r=22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．，则＞=＞。

2014年高考福建文科数学试题及答案(精校版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于（）A.}43|{<≤x xB. }43|{<<x xC. }32|{<≤x xD. }32|{≤≤x x 2. 复数()32i i +等于（）A. i 32--B. i 32+-C. i 32-D. i 32+ 3. 以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A. π2B. πC. 2D. 14. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（） A. 0),,0(3<+∞+∈∀x x x B. 0),,0(3≥+∞+∈∀x x x C. 0),,0[0300<+∞+∈∃x x x D. 0),,0[0300≥+∞+∈∃x x x6. 已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（）A. 02=-+y xB. 02=+-y xC. 03=-+y xD. 03=+-y x7. 将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）A. )(x f y =是奇函数B. )(x f y =的周期是πC. )(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D. )(x f y =的图象关于点)0,2(π-对称8. 若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（）9. 要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是（） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（）A. OMB. OM 2C. OM 3D. OM 4 11. 已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（） A. 5 B. 29 C. 37 D. 49 12. 在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L -距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上） 13. 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________ 14. 在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15. 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a三．解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ；（2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035~4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y=-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <2014年高考福建卷数学（文科）答案一．选择题A B A B C D D B C D C A二、填空题13. 0.18 14. 1 15. 2 16. 201 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17.解： (1) 设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 18. 解法一：（1）5555()2cos(sin cos )4444f ππππ=+ 2cos (sin cos )444πππ=---2=（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++（1）511()112444f πππ=+=+=（2）22T ππ==由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 19. 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥.又∵CD BD ⊥，AB BD B =，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥.∵1AB BD ==，∴12ABD S ∆=. ∵M 是AD 的中点，∴1124ABM ABD S S ∆∆==.由（1）知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C-ABM 的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积11312A MBC C ABM ABM V V S h --∆==∙=. 解法二：（1）同解法一.（2）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD 平面BCD=BD ，如图，过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==，又,1CD BD BD CD ⊥==，∴12BCD S ∆=.∴三棱锥A MBC -的体积1113312A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V AB S MN S ---∆∆=-=∙-∙=.20.解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a aa⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为6400[4085,12616)∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A C A D A E B C B D {,},{,},{,},{,}B E C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{,},{,},{,}A C A E C E ，共3个，所以所求概率为3()10P M =. 21.解：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =，设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =，由'12y x =，得切线l 的斜率 0'012x x k y x ===，所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径00113||||24r MN x x ==+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则|(3)|2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.22. 解法一：（1）由()xf x e ax =-，得'()xf x e a =-. 又'(0)11f a =-=-，得2a =.所以()2xf x e x =-，'()2xf x e =-. 令'()0f x =，得ln 2x =. 当ln 2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减；当ln 2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增.所以当ln 2x =时，()f x 有极小值，且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值.（2）令2()xg x e x =-，则'()2xg x e x =-.由（1）得，'()()(ln 2)2ln 40g x f x f =≥=->，即'()0g x >.所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <. （3）对任意给定的正数c ，取01x c=，由（2）知，当0x >时，2x x e <.所以当0x x >时，21x e x x c>>，即x x ce <. 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法二：（1）同解法一. （2）同解法一.（3）令1(0)k k c=>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立. 而要使x e kx >成立，则只需ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立. ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立. 即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则'11()1x h x x x-=-=，所以当1x >时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞内单调递增. 取04x k =，0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-，易知ln k k >，ln 2k >，所以0()0h x >.因此对任意(0,1)c ∈，取04x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法三：（1）同解法一. （2）同解法一. （3）①若1c ≥，取00x =，由（2）的证明过程知，2x e x >，所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x x ce e x x ≥>>，即x x ce <. ②若01c <<，令()xh x ce x =-，则'()1xh x ce =-，令'()0h x =得1ln x c=. 当1lnx c >时，'()0h x >，()h x 单调递增. 取022ln x c=，22ln0222()2ln2(ln )ch x cec c c=-=-，易知22ln 0c c->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增，所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <. 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。

2014年厦门市高中毕业班适应性考试数学(文科)试题

2014年厦门市高中毕业班适应性考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}2104M x x ,N x x ,=+≥=<则MN =A.(],1-∞-B.[)1,2-C. (]1,2-D. ()2,+∞2. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 A.70家 B.50家 C.20家 D.10家 3．“30α=”是“1sin 2α=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.执行右边的程序框图，若输入的x 的值为–2，则输出y 的值是 A ．5 B ．3- C ．3 D ．5- 5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A ．y ＝1x B ．y ＝x eC ．y ＝－x 2＋2 D. y ＝lg|x | 6.已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π-= A ．17 B ．7C ．17-D ．7-7.已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥αD ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m（第4题图）8．已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[)1,+∞C ．[]0,3D ．[)0,+∞9．设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与b aλ-垂直，则λ=A.21B. 1C. 2D. 3 10.将函数sin ()cos x f x x ⋅=的图象向左平移ϕ个单位()0ϕ>，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于原点对称，则ϕ的值⋅⋅⋅不可能是A ．4π B ．2πC ．πD ．2π11．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q两点，若160F PQ ∠=︒，1PFPQ =，则椭圆的离心率为 A.13 B. 23C. 3D.312.若平面点集M 满足：任意点(,)x y M ∈，存在(0,)t ∈+∞，都有(,)tx ty M ∈，则称该点集M 是“t 阶稳定”点集．现有四个命题：①对任意平面点集M ，都存在正数t ，使得M 是“t 阶稳定”点集；②若{}2(,)M x y x y =≥，则M 是“12阶稳定”点集； ③若{}22(,)240M x y x y x y =+++=，则M 是“2 阶稳定”点集；④若{}22(,)21M x y xy =+≤是“t 阶稳定”点集，则t 的取值范围是(]0,1．其中正确命题的序号为A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若复数21iz i=+（i 为虚数单位）,则复数z 的模z = . 14．以双曲线2213y x -=的左焦点为圆心，实轴长为半径的圆的标准方程为___________. 15．已知变量,x y 满足约束条件 23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a =->的最大值为1，则a = .16．记123k k k k k S n =++++()*n N ∈，当123k ,,,=时，观察下列等式：2111,22S n n =+ 322111,326S n n n =++4323111,424S n n n =++5434111,5230S n n A n n=++-654251156212S n n n B n=+++ ……可以推测，A B += _______.三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若7320,15a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足：11424,b a b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）现从某100件中药材中随机抽取10件，这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率.19. （本小题满分12分）已知向量(2sin ,sin )a x x =，(sin )b x x =，函数()f x a b = . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2c o s c o s c o s a B b C c B=+,若对任意满足条件的A ，不等式()0f A m +>恒成立，求实数m 的取值范围．0 8 9 1 0 2 2 7 8 2 0 1 320．（本小题满分12分）抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交与B 、C两点，已知(10)A -，，ABC ∆为等腰直角三角形．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与该抛物线交于M 、N 两点，点1N 为点N 关于x 轴的对称点，求证：直线1MN 过定点，并求该定点的坐标．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，4PC =，6AB =，BD =60DAB ︒∠= . （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若E ，F ，G 分别是线段BC ，DC ，PC 上的动点，且2EF =，试探究多面体PDBGFE 的体积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()2x f x e ax bx c =-++（,,a b c R ∈， 2.718e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+.（Ⅰ）求b 与c 的值；（Ⅱ）当0a >时，若方程()0f x =在()0,+∞有唯一的实数解，求a 的值；（Ⅲ）当2a =时，证明：函数()f x 在[]0,3上有且仅有两个极值点，并求()f x 在[]0,3上的最大值.（参考数据：27.39e ≈，320.09e ≈，454.60e ≈ ）。

2014学年高考文科数学年福建卷

福建省厦门市 2014 年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷(选择题共 21 分)
一、选择题 1.【答案】A 【解析】 sin 30 1 ，故选 A.
2 【考点】特殊角的三角函数值. 2．【答案】B 【解析】4 的算术平方根为 2，故选 B. 【考点】算术平方根的概念. 3．【答案】D 【解析】 3x2 表示 3 个 x2 相加，故选 D. 【考点】整式的运算. 4．【答案】C 【解析】由题意可知 AB l ， CB l ，垂足都为 B，故选 C. 【考点】图形的判断. 5．【答案】D 【解析】42 是偶数，但不是 8 的整数倍，故选 D. 【考点】命题的判断. 6．【答案】C 【解析】在 △ABC 和 △BDE 中， AC DB， AB DE ，BC EB，△ABC △DEB ，ACB DBE ，又 AFB 是△BCF 的外角，ACB 1 AFB ，故选 C.
（2 分）
依题意得，每队赛 3 场，本组比赛的场数共 6 场.
若 A 队两胜一平，积 7 分.
（3 分）
因为输给 A 队的有 2 支球队，这 2 支球队的积分一定小于 7 分，
所以最多只有与 A 队打平的那支球队的积分等于 7 分，所以积 7 分保证一定出线.
（4 分）
若 A 队两胜一负，积 6 分.
（2 分）（3 分）
5 / 17
AM AN ， AM BC ， AN DC ， Rt△ABM Rt△ADN . AB AD . 平行四边形 ABCD 是菱形. 证法二：连接 BD，
（4 分）（5 分）（6 分）
AD∥BC ，ADB DBC . BAD BCD ， BD BD . AD BC . 四边形 ABCD 是平行四边形. ABC ADC . AM AN ， AM BC ， AN DC ， Rt△ABM Rt△ADN . AB AD . 平行四边形 ABCD 是菱形. 证法三：连接 AC，

福建省厦门双十中学高三模拟预测化学试题(原卷版)

综合上述实验可知，还原反应中，降低生成物浓度，氧化剂的氧化性增强；氧化反应中，降低生成物浓度，还原剂的还原性增强。
13.氢气的制取与储存是氢能源利用领域的研究热点。CH4－H2O(g)催化重整制氢，主要反应如下：
反应I：CH4(g)+H2O(g) 3H2(g)+CO(g)△H1
反应Ⅱ：CH4(g)+2H2O(g) 4H2(g)+CO2(g)△H2
5.化合物是一种无机盐药物。已知为原子序数依次递增的短周期元素，同主族，同周期，基态原子轨道总电子数是轨道电子数的4倍，基态原子的未成对电子数相等。下列说法正确的是
A.离子半径： B.电负性：
C.简单氢化物沸点： D. 难溶于水
6.下列装置与对应操作正确的是
A．析出晶体
B．分离苯酚和水的混合物
已知：FeS4O6为强电解质；来自2O4为磷酸二异辛酯；Ksp[In(OH)3]=1.4×1033。回答下列问题：
（1）FeAsO4·2H2O中铁元素化合价为+3价，As的化合价为___________。Fe3+的价层电子排布式___________。
（2）“硫酸化焙烧”后金属元素均以硫酸盐的形式存在。在其他条件一定时，“水浸”铟、铁的萃取率结果如图所示，则萃取所采用的最佳条件为：萃取时间___________，萃取温度___________。
A.分批次加入重铬酸钠可防止副产物增多
B.反应后加入少量草酸的目的是调节pH
C.①、②、③分别是含有硫酸、硫酸钠和的水相、含NaCl的水相、水合物
D.操作1为蒸馏，收集150~156℃的馏分；获取③的操作为过滤
9.电解苯酚的乙腈（CH3CN）水溶液可在电极上直接合成扑热息痛（）。装置如图，其中电极材料均为石墨。下列说法不正确的是

福建省厦门市—高三第一学期期末——数学(文)数学文

福建省厦门市2014—2015学年度高三第一学期期末质量检查数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题所给的四个选项中有且只有一个答案是正确的1、已知集合|}02|{},2,1,0{<-==x x B A ，则A.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{0,1,2}2、向量，若为实数），则的值为A.2B.-2C.D.3、函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则A.1B.-1C.2D.-24、若53)sin(),,2(=-∈απππα，则 A. B. C.- D.5、若关于的不等式组 0100≥+-≥+≤y kx y x x ，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为A.1B.2C.3D.46、如图，在棱长为1的正方体中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥的体积等于A. B. C. D.7、过双曲线C ：的左焦点作倾斜角为的直线，则直线与双曲线C 的交点情况是A.没有交点B.只有一个交点C.两个交点都在左支上D.两个交点分别在左、右支上8、已知m ∈R ，“函数有零点”是“函数在（0，+∞）上为减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于A. B. C. D.10、已知函数的导函数的图象如图所示，，令，则不等式的解集是第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在答题卡的相应位置11、抛物线的准线方程是12、将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则13、函数的最小值是14、数列中，，则该数列的前22项和等于15、如图，正方形ABCD 中，AB=2，DE=EC ，若F 是线段BC 上的一个动点，则的最大值是16、点P 在直线上，记，若使T 取得最小值的点P 有无数个，则实数的取值是三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答17、（本小题满分12分）数列中，（1）若数列为等比数列，求的值（2）若数列为等差数列，其前n 项和为。

2014.5.厦门双十中学文综试卷含答案

福建省厦门双十中学2014届高三热身考试文科综合能力试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第40～42题为选考题，其他题为必考题。

第Ⅰ卷（共144分）本卷共36小题，每小题4分，共144分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2014年3月24日当地时间22时马来西亚总理纳吉布·拉扎克宣布，根据最新收到的卫星分析数据，可以判定马来西亚航空公司MH370航班在印度洋南部海域(42°S, 92°E) “终结”。

此时该海域风大浪高，多恶劣天气，给海上搜救带来极大困难。

据此完成1～3题。

1．获取卫星分析数据运用的地理信息技术是A ．RSB ．RS 和GPSC ．GPS 和GISD ．RS 和GIS 2．该海域此时风大浪高的主要原因是A ．地处热带，海水温度高B ．温带海域，西风强盛C ．副高控制，上升气流强D ．大洋中部，洋流强大 3．该海域此时多恶劣天气的主要原因是A ．盛行西南风B ．暖湿气团影响强烈C ．盛行东北风D ．温带气旋活动频繁图1示意南半球某区域农事安排。

该区域农场内一般划分为若干个区域，分别为小麦地、放牧地、休耕地等，在土地上交替种植小麦、牧草或休耕。

读图完成4～5题。

4．该区域的农业地域类型最有可能是 A ．种植园农业B ．商品谷物农业C ．混合农业D ．大牧场放牧业图15．在土地上交替种植小麦、牧草或休耕的最主要目的是A ．合理有效安排农事活动B ．更好地适应市场需求C ．便于农民开拓销售渠道D ．充分保持麦田的肥力表1示意中纬地区某流域气候资料(流域内气候差异较小)。

读表完成6～7题。

表1 6. 有关该流域气候特征描述正确的是A. 终年暖湿B. 气温年较差大C. 海洋性强D. 降水年变化小 7. 该河最大流量出现在A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季最大可能蒸发量是指地表在水分充足的条件下产生的最大蒸发量。

厦门双十中学2014届高三5月模拟数学文试题含答案

厦门双十中学2014届高三5月模拟试卷文科数学一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知集合A={x |x -m <0}，B={y |y =x 2+2x ，x ∈R }，若A ∩B =Φ，则实数m 的范围为A ．m ≤-1B ．m ≤0C ． m <-1D ．R m ∈2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是A .321B .161C .2D .43．(2,1),(3,4)a b →→==，则向量b a +与b a-的夹角为A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．π4．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定5．设实数x 、y 满足：3501020x y x y x ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则24x yz =+的最小值是A ．14B ．12C ．1D ．86．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1=x ”是真命题；B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∃∈，有012≥++x x ”． D ．命题“若6π=x ，则21sin =x ”的逆否命题为真命题． 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是 A ．4πa 2 B ．5πa 2 C ．(4+2)πa 2 D ．(5+2)πa 28．设函数()⎩⎨⎧>≤++=0,0,2x dx c bx x x f ，若(),21=f (4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程f (x )=x的解的个数是A 、1B 、2C 、3D 、49．在平面直角坐标系中，记由点()()()0,1,4,2,2,6A B C 围成的三角形区域（含边界）为D ，(),P x y 为区域DAC．4 D 4 正视图侧视图俯视图10．设(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos ),()a x x x b x x x f x a b =-=+=⋅，将函数()f x 的图像平移而得到函数g （x ）=12cos 2-x ,则平移方法可以是A ．左移8π个单位，下移1个单位 B ．左移4π个单位，下移1个单位 C ．右移4π个单位，上移1个单位 D ．左移8π个单位，上移1个单位11．已知21,F F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点，M 为此双曲线上的一点，满足213MF MF =，那么此双曲线的离心率的取值范围是A ．()2,1B ． (]2,1C ． ()2,0D ．[)+∞,212．已知曲线C 为三次函数()33x x x f -=的图象，过点()1,2M 作曲线C 的切线，可能的切线条数是 A ．0 B ． 1 C ． 2 D ．3 二.填空题（每题4分，共16分）13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3b sin A ，则cos B = .14．已知数列A ：12,,,(2)n a a a n，记集合{}n j i a a x x T j i A ≤<≤+==1,|，则当数列A ：10,8,6,4,2；时，集合A T 的元素个数是 15．已知直线4π=x 是函数()()0cos sin ≠-=ab x b x a x f 图象的一条对称轴，则直线0=++c by ax 的倾斜角为16．记向量,,==其中O 为直角坐标原点，且)3,1(),1,3(==向量10,≤≤≤+=μλμλ且，则点C 点所有可能的位置区域的面积为三、解答题17．（本小题12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从—批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m ，n 的值；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足),1(2--=n n na S n n 11=a ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，其中11+=n n n a a b ，（I ）求数列｛a n ｝的通项公式a n ，（II ）若对于任意*N n ∈，592--≥m m T n ，求实数m 的取值范围.19 （本小题满分12分）如图直角ABC ∆中，两直角边长分别是 36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，（Ⅰ）求证：EC D A ⊥1；（Ⅱ）判断如下两个两个命题的真假,并说明理由.①DE A BC 1//平面 ②DC A EB 1//平面20．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C()sin ,cos αα，（Ⅰ）若的值；求)45sin(,1πα+-=⋅ （Ⅱ）若|13,(0,)OA OC OB OC απ+=∈｜且，求与的夹角（Ⅲ）求ABC ∆面积的最大值和最小值.图1图2A 1B CDE21. （本小题满分12分）已知椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，()(),0,0,A a B b --，其长轴长是短轴长的两倍,焦距为32. （Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的标准方程；（ⅱ）求椭圆上到直线AB 距离为552的点的个数；（Ⅱ）过线段AB 上的点H 作与AB 垂直的直线l ，交椭圆于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程.22．（本小题满分14分）设函数32()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ．（1）求32()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数32()f x x ax bx =++的值域也是[,]s t ，若存在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由；厦门双十中学2014届高三文科数学试卷1A 【解析】()m A ,∞-=，[)+∞-=,1B ，φ=B A ，1-≤∴m ，选A2B 【解析】标准方程为y x 812=,,812=∴p 所以, 焦点到准线的距离161=p 3C 【解析】画向量或，由()b a +()b a-<0可得。

福建省厦门双十中学2014届高三数学热身考试试卷文新人教A版

C第4题图福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于 A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}420，， D ．{}4210，，，2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 A ．3 B ．4 C ．6 D ．85．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =16．设1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，是变量x 和y 的n个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（） A ．x 和y 正相关B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同7. 如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则∙的值是（）A.34-B. 89-C. 14- D. 不确定 8．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.6 9．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位10．已知函数()x x e x f -=sin ，有如下四个结论：①是奇函数 ②是偶函数 ③在R 上是增函数 ④在R 上是减函数其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是A ．(]0,4-∈aB ． [)2,0∈aC ．(4,2)a ∈-D 。

数学_2014年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的. 1. 已知i 为虚数单位，复数z =1+i 1−i，则z =( )A iB 1C −1D −i2. 已知集合A ={x|x −2>0}，B ={1, 2, 3, 4}，则(∁R A)∩B =( ) A {1} B {1, 2} C {2, 3} D {2, 3, 4}3. 在区间[−2, 1]上随机取一个数x ，则x ∈[0, 1]的概率为( ) A 23B 14C 12D 134. 函数f(x)=√4−x 21−log 2x的定义域为（）A (0, 2]B (0, 2)C (−2, 2)D [−2, 2]5. 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是（） A√33π B 23π C 2√33π D 4√33π 6. 执行如图的程序框图，输出的结果是（）A 3B 4C 5D 67. 为了得到函数y =sin(3x +π3)的图象，只需将函数y =sinx 的图象上所有的点（） A 向右平移π3个单位，再将所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变） B 向右平移π9个单位，再将所得各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变） C 向左平移π3个单位，再将所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变） D 向左平移π9个单位，再将所得各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)，当x <0时，f(x)=−1x ；当x ≥0时，g(x)=2x ，则f(x)和g(x)图象的公共点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 9. 双曲线x 2−y 28=1的左顶点为A ，右焦点为F ，则以线段AF 为直径的圆被其中一条渐近线截得的弦长为（） A 23B 43C2√73D4√7310. 已知a <0，x ，y 满足约束条件{x ≥−1x −y ≤2y ≤a(x −2)，若z =−2x +y 的最大值为5，则a =()A −14B −12C −1D −211. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，向量BC →与AB →+3AC →垂直，则BC =( ) A √2 B √3 C 2 D √612.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a 1, a 2)出发沿图中路线依次经过B(a 3, a 4)，C(a 5, a 6)，D(a 7, a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2013+a 2014+a 2015=( )A 1006B 1007C 1008D 1009二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13. 命题“∀x ∈R ，x 2−2x +1≥0”的否定是________．14. 已知直线l:x −2y +2=0与两坐标轴的交点分别为椭圆的焦点和顶点，若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，则其离心率为________．15. 已知sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα=35，β是第三象限角，则sin(2β+π)=________．16. 已知函数f(x)=x +3a 2x−2alnx 在区间(1, 2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置．17. 某班50位同学，期中考试成绩全部落在[90, 150]上，将成绩分成6组：[90, 100),[100, 110),[110, 120),[120, 130),[130, 140),[140, 150]，加以统计，得到如图所示的部分频率分布直方图．（1）求成绩在[110, 120)上的学生人数，并将频率分布直方图补充完整；（2）从成绩不低于130的学生中随机抽取两名，求至少一名学生的成绩不低于140的概率．18. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，M，N分别是BC和PD的中点．（1）证明：MN // 平面PAB；（2）证明：平面PBD⊥平面PAC．)的部分图象如图19. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2所示．（1）求f(x)的解析式；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=√2，a=2，求△ABC面积的最大值．20. 在一次招聘会上，应聘这小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．（1）若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？（2）为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴7200元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？（参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0511≈2.3）21. 已知函数f(x)=e x−ax，g(x)=xf(x)，设曲线y=g(x)在点（−1, g(−1)）处的切线为l(e是自然对数的底数）．（1）求f(x)的单调区间；（2）当a=1时，求曲线y=g(x)图象上与l平行的切线l′的方程，并判断l′与曲线y=f(x)是否存在公共点（若存在，请求出公共点的个数，若不存在，请说明理由）．（参考数据：ln2=0.69…，ln3=1.09…）22. 已知抛物线C1:x2=2py(p>0)与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)在第一象限的公共点为A(2√2, 1)，设抛物线C1的焦点为F，椭圆C2的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，△F1F2F的面积为6．（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；（2）设A1，A2为椭圆C2的左、右顶点，P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，直线l:x=a2c，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，试探究：在x轴上是否存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）推广（2），得椭圆的一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题（不必证明）．2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. B3. D4. B5. A6. D7. C8. B9. D10. C11. D12. B13. ∃x∈R，x2−2x+1<014. 2√55或√5515. −242516. −1≤a≤13；17. 解：（1）成绩在[110, 120)上的频率为1−(0.004+0.004+0.008+0.016+ 0.040)×10=0.28，∴ 成绩在[110, 120)上的人数为50×0.28=14人，第三个小矩形的高为0.028，频率分布直方图如图：（2）成绩不低于130的学生数为50×(0.004+0.008)×10=6人，其中成绩不低于140的学生数为2人，从6人中任取2人有C62=15种方法；其中至少一名学生的成绩不低于140的抽法有C21×C41+C22=9种，∴ 至少一名学生的成绩不低于140的概率为915=35．18. 证明：（1）取AD中点Q，连结NQ，MQ，∵ M，N分别是BC和PD的中点，∴ NQ // PA，MQ // AB，又NQ∩MQ=Q，MQ⊂面MNQ，NQ⊂面MNQ，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，∴ 面MNQ // 面PAB，∵ MN⊂面MNQ，∴ MN // 面PAB．（2）∵ 底面ABCD为菱形，∴ AC⊥BD，又∵ PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴ BD⊥PA，∵ AC∩PA=A，∴ BD⊥平面PAC，∵ BD⊂面PBD，∴ 平面PBD⊥平面PAC．19. 解：（1）∵ 14T=14⋅2πω=π8−(−π8)=π4，∴ T=2πω=π，解得ω=2．根据五点法作图可得2×π8+φ=0，求得φ=−π4，∴ 函数f(x)=2sin(2x−π4)．（2）设锐角△ABC中，∵ f(A)=2sin(2A−π4)=√2，∴ sin(2A−π4)=√22，∴ A=π4．∵ a=2，由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosπ4≥(2−√2)bc，∴ bc≤2−√2=4+2√2，当且仅当b =c 时，bc 最大为4+2√2，故△ABC 面积12bc ⋅sinA 的最大值为 (2+√2)×√22=√2+1．20. 解：（1）小李在乙公司工作第n 年的年薪为b n =48000⋅(1+8%)n−1(n ∈N ∗)．小李在乙公司连续工作5年，b 5=48000⋅(1+8%)4=6.72万元；（2）由题意，小李在甲公司工作连续工作n 年的工资总收入为42000n +n(n−1)2×6000，小李在乙公司工作10年的总收入48000[1−(1+8%)10]1−(1+8%)+72000，则42000n +n(n−1)2×6000≥48000[1−(1+8%)10]1−(1+8%)+72000，∴ (n +24)(n −11)≥0， ∴ n ≥11，∴ 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入． 21. 解：（1）∵ f(x)=e x −ax ， ∴ f′(x)=e x −a ，∴ a ≤0时，f′(x)=e x −a >0，即函数在R 上单调递增；a >0时，f′(x)>0，可得x >lna ，函数在(lna, +∞)上单调递增，在(−∞, lna)上单调递减；（2）当a =1时，g(x)=xf(x)=x(e x −x)， ∴ g′(x)=(x +1)e x −2x ， ∴ g′(−1)=2，由(x +1)e x −2x =2，可得x =−1或x =ln2， x =ln2时，g(x)=ln2(2−ln2)，∴ 切线l′的方程为y −ln2(2−ln2)=2(x −ln2)，即y =2x −ln 22，令ℎ(x)=e x −x −(2x −ln 22)=e x −3x +ln 22，则ℎ′(x)=e x −3， ∴ 函数在(ln3, +∞)上单调递增，在(−∞, ln3)上单调递减， ∴ x =ln3时，函数取得最大值ℎ(ln3)=3−3ln3+ln 22>0， ∴ ℎ(x)=0有两解，∴ l′与曲线y =f(x)有两个公共点．22. 解：（1）点A(2√2, 1)代入x 2=2py ，得(2√2)2=2p ，解得p =4， ∴ 抛物线C 1的方程为x 2=8y ． ∴ 抛物线的焦点为F(0, 2)，依题意S △FF 1F 2=12×|F 1F 2|×|OF|=12×2c ×2=6，解得c =3，∴ 椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2−9=1，把点A(2√2, 1)代入，得(2√2)2a 2+1a 2−9=1，解得a 2=12或a 2=6，∵ a 2=6时，a =√6<3=c ，不合题意，舍去， ∴ a 2=12，∴ 椭圆C 2的方程为x 212+y 23=1．（2）设P(x 0, y 0)，则x 0212+y 023=1，由（1）知A 1(−2√3,0)，A 2(2√3,0)，直线l:x =4，k PA 1=0x +2√3，k PA 2=x −2√3，直线：PA 1:y −0=0x +2√3+2√3)，直线PA 2:y −0=0x −2√3−2√3)，0x +2√3+2√3))，N （0x −2√3−2√3)），假设存在定点D(m, 0)符合题意，则DM →⋅DN →=0，又DM →=(4−0x+2√3+2√3))，DN →=（4−0x−2√3−2√3)），∴ DM →⋅DN →=(4−m)2+y 02x 02−12(42−12)=0，即(4−m)2+4×y 02x 02−12=0，∵ x 0212+y 023=1，∴ y 023=1−x 0212=12−x 0212，即y 02x 02−12=−14，代入，得(4−m)2+4×(−14)=0，解得m =3或m =5，∴ 存在定点(3, 0)或(5, 0)符合题意．（3）所得双曲线的一般结论为：设A 1，A 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右顶点，P 为双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，直线l:x =a 2c （其中c 为半焦距），l 与直线A 1P ，A 2P 分别交于点M ，N ，则在x 轴上存在定点D ，使得以线段MN 为直径的圆恒过点D ，且定点D 的坐标为(c, 0)，或(2a 2−c 2c, 0)．。

2014年福建省厦门市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣12．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．3905．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．26．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣1【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x＝3﹣2＝1；第二次运行x＝1﹣2＝﹣1，满足x＜0，∴执行y＝（﹣1）3＝﹣1．∴输出y＝﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，∴A⊊B，即“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件．故选：A．3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y＝1﹣2sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝＝π，∵余弦函数为偶函数，∴函数为最小正周期为π的偶函数．故选：B．4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．390【解答】解：由频率分布直方图得，每天课外阅读时间在[10，20）和[20，30）的频率分别为0.010×（20﹣10）＝0.10，0.023×（30﹣20）＝0.23；∴每天课外阅读时间在[30，50）的频率为：1﹣（0.10+0.23）＝0.67，∴抽取的学生数n＝67÷0.67＝100；故选：A．5．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．2【解答】解：设P到y轴的距离为a，则P到焦点的距离为2a，∴由抛物线的定义可得a+1＝2a，∴a＝1，即P的横坐标为1，代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2，∴点P到x轴的距离是2．故选：D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n【解答】解：若α⊥β，m⊂α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n⊂a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C．7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b＝2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴＝＝当a＝时，取最小值为4故选：B．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，此时d2＝8，由，解得，即O在直线x+y﹣4＝0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）＝﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a＝0时D正确．由a是实数，函数f（x）＝﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），∴f（﹣2）＝﹣2正确；②∵m＝f（n），n∈[﹣8，4]不关于原点对称，∴f（n）是偶函数错误；③由图形知，点D向右移动，点F也向右移动，f（n）在定义域上是增函数，正确；④由图形知，当D移动到圆A与x轴的左右交点时，分别得到函数图象的左端点（﹣8，﹣3），右端点（4，3），故f（n）图象的两个端点关于圆心A对称，正确．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于1﹣2i．【解答】解：∵复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|，∴（1﹣2i）（1+2i）z＝，化为5z＝5（1﹣2i），∴z＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【解答】解：∵T r+1＝（﹣1）r•，∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1＝2a n，∴＝2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3＝8，∴，解得a1＝2，∴，∴log2a n＝n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n＝1+2+3+…+n＝．故答案为：．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域D的面积为＝（）|＝，正方形OABC的面积为1×1＝1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于，故答案为：15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为（﹣1，﹣）．【解答】解：构造函数g（x）＝x2（e x+e﹣x），则g（x）＝x2（e x+e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x2（e x+e﹣x）＞（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），即g（x）＞g（2x+1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），即|x|＞|2x+1|，即x2＞（2x+1）2，∴3x2+4x+1＜0，解得﹣1，故答案为：（﹣1，）．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴DA⊥平面ABEF，∵EF⊂平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），∴，设平面DCE的法向量，则，令x＝1，得平面DCE的一个法向量，又，cos＜＞＝，∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．【解答】解：（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，（i＝1，2，3）则P（A i）＝，（i＝1，2，3），事件A1，A2，A3相互独立，P（乙直到第3次才投中）＝P（）＝（1﹣）•（1﹣）•＝．（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，），∴乙投中次数的数学期望Eη＝3×＝．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，），且每次投中与否相互独立，P（ξ＝0）＝（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，∴甲投中次数的数学期望Eξ＝＝，∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）＝x2+2x+3，其单调递增区间为[﹣1，0]；x＞0时，f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝﹣x2e﹣x（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]和（0，2）；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，等价于函数f （x）的值取遍每一个正数．注意到x≤0时，f（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．x＞0时，f′（x）＝xe ax（ax+2）①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，可得x＞﹣，∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上递减，∴f（x）max＝f（﹣）＝，∴（x）的值域为（0，]，∴（0，]⊃（0，2），∴≥2，∴﹣≤a＜0，综上，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？【解答】解：（Ⅰ）∵cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，∴sin∠ACP＝，sin∠APC＝，∴sin∠P AC＝sin（∠ACP+∠APC）＝，∵，∴CP＝5，即滑道CP的长度为5百米；（Ⅱ）设DP＝x，x∈[0，10]，∵EP＝6，CP＝5，cos∠APC＝，cos∠APE＝，∴DE＝＝，DC＝＝∴DE+DC＝+＝，当且仅当x＝4时，（DE+DC）min＝3+2．20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意知a＝2，圆B：（x﹣2）2+y2＝9中，令y＝0，得F1（﹣1，0），∴b2＝4﹣1＝3，∴椭圆E：．（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，．设直线AP：x＝ty﹣2，与E：联立，得（3t2+4）y2﹣12ty＝0，∴y p＝，x p＝，AP：x＝ty﹣2中，令x＝0，得，∴＝（1，）•（）＝，综上所述，的取值范围是[0，2）．（ii）假设存在定圆r满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，当P恰好为B时，圆P就是定圆B：（x﹣2）2+y2＝9，交x轴于D（5，0），当P无限接近于A时，圆P就是圆A：（x+2）2+y2＝1，交x轴于C（﹣3，0）．∴定圆r的圆心为CD中点F2（1，0），恰好为E：的右焦点，∴猜想定圆r：（x﹣1）2+y2＝16．下证：圆P始终内切于定圆r，∵|PF2|+|PF1|＝4，∴|PF2|＝4﹣|PF1|得证．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【解答】解：（Ⅰ）由题意，[]＝，∴，∴，∴M＝；（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣1）（λ﹣4），令f（λ）＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝4，设λ1＝1对应的一个特征向量为＝，则由λ1＝M，得﹣x﹣2y＝0可令x＝2，则y＝﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1＝1对应的一个特征向量为＝，同理可得矩阵M的一个特征值λ2＝4对应的一个特征向量为＝．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得x2+y2﹣8x+12＝0，即（x﹣4）2+y2＝4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2＝0．圆心到直线的距离等于＝，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+2．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2，不等式f（x）＜1，化为|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．（Ⅱ）由f（x）＝|x﹣a|，设g（x）＝f（x）+|x+1|，即g（x）＝|x﹣a|+|x+1|，其几何意义就是数轴上的点到a与﹣1的距离之和，不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤﹣4，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。

数学(理)卷：厦门双十中学2014届5月热身考

2014厦门双十中学热身卷理科数学　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集，集合，，则 ( )A． B． C． D．2. 已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有（）A．个 B.个 C.个 D.个3.下列结论错误的是( )A.命题“若，则”的逆否命题为“若”B.“”是“”的充分不必要条件C.已知命题“若，则方程有实根”,则命题的否定为真命题D.命题“若，则”的否命题是“若”4．已知等比数列{a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A． B． C． D．5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为( )A.1B.2C.3D.46.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为( )A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝1767．把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x–2n|-k=0（）在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B．0<k≤C．≤k≤D．9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，点O是底面ABCD 的中心，点E是A1D1的中点，点P是底面ABCD上的动点，且到直线OE的距离等于1，对于点P的轨迹，下列说法正确的是（）A.离心率为的椭圆B.离心率为的椭圆C.一段抛物线D.半径等于1的圆10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为，且满足，则满足条件的有（）A． 10个 B． 12个 C． 18个 D． 24个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

福建省厦门市2014届高三数学5月适应性考试试题理新人教A版

2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、某某； 2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是 A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2. “d c b a >>,”是“a c b d +>+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4．已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）X 围内的学生大约有 A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5．设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于 A. 1 B.1- C.3 D.3-6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是A ．16B ．12C ．8D ．6 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)(2)n n n +∏=，则5S 等于A ．31B ．62C ．124D ．1268．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，给出下列结论：否是（第3题图）①0)(=-⋅AC AB AD ； ②AD AC AB 2≥+； ③B AB ADAD AC sin =⋅；其中结论正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+10．已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是A.3224+ B.32C.2D.38 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．把函数sin 2y x =的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为．12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是．13．已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值X 围是.14．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于．15．A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同PD 1C 1B 1A 1DCBA（第9题图）（第12题图）时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地其中正确的是．（请填上所有描述正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答． 16．（本小题满分13分）已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．17. （本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2.（Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD 所成的锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（第17题图）（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.19．（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．（Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．（第18题图）（表1）20．（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，某某数a 的取值X 围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知在矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,0)变为A ′(1,0)，点B (1,1)变为B ′(2,1)．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测nM （只写结果，不必证明）．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）．（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ．（Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1～10：CABCB ABDCA9．提示：⊥1DC 面11BCD A ，∴A 正确；⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，∴C 错；将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C.10.提示：①动圆与两定圆都内切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=-⎨=-⎩，所以24e r =-②动圆与两定圆分别内切，外切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=+⎨=+⎩，所以24e r =+122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．()sin(26)f x x =- 12．5913．(,0][2,)-∞+∞ 14．12 15．④15．提示：经过x 小时，甲乙走过的路程分别为104()4ln(1)1xS dt x t ==++⎰， 220 2xx S tdt ==⎰，令4ln(1)41x x e +=⇒=-，2362x x =⇒，所以甲先到达；令24ln(1)12x x +=+，设2()4ln(1)12x F x x =+--…三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．解:(Ⅰ)()4sin()cos 16f x xx 314(sin cos )cos 122x x x -----------1分 223sin cos 21x xcos x 3sin 2cos 2x x -------------------3分2sin(2)6x--------------------4分令222()262kxkk Z-----------------------5分解得 (Z)63k xkk∴函数()f x 的递增区间是[,](Z)63kkk .--------------------------6分 (Ⅱ)由()1f A 得,1sin(2)62A,∵0A , ∴6A或2A. -------8分(1)当6A时,由正弦定理得,2sin sin 62sin sin sinBsin4BC AC AC A BCA B；---------------------------------10分 (2) 当2A时,由正弦定理得,2sin sin 222sin sin sinBsin4BC AC AC A BCA B.----------------------------------12分综上，2BC或22BC ． ------------------------------------------------------13分17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明：∵CF BE //，⊄BE 面DFC ，⊂CF 面DFC ，∴//BE 面DFC ， --------------------2分同理//AE 面DFC ， --------------------3分又E AE BE = ，∴面//ABE 面DFC ， --------------------4分又⊂AB 面ABE ，∴//AB 面DFC . --------------------5分（Ⅱ）法一：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD .以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyzF -，-----------------------7分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2，2)2(213131⨯-⨯=⨯=∆-x x EF S V ABE ABE F 31)1(312+--=x ，∴当1=x 时，三棱锥ABE F -体积最大.-----------------------9分∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=CA CB ， ---------10分设平面CBA 的法向量),,(000z y x m = ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m CA m CB， ∴⎩⎨⎧=-+=-032000000z y x z x ，令10=x ，得平面CBA 的一个法向量)1,1,1(=m，-------------------------11分又面AEFD 的一个法向量为)2,0,0(=FE ，∴33232,cos =⨯=>=<FE FE m，--------------------------12分∴平面ABC 与平面AEFD 所成锐二面角的余弦是33. --------------------13分法二：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz F -． -------------------------2分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2.（Ⅰ）)2,,0(),2,,0,2(),0,,2(x x AB x B x A --=-， -------------------------3分面DCF的一个法向量为)0,0,2(=FE ，---------------------------4分00)2(0)(02=⨯-+⨯-+⨯=⋅x x FE AB ，∴FE AB ⊥，又⊄AB 面DFC ， ∴//AB 面DFC. --------------------------7分（Ⅱ）同法一．18．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩得：22(1)(22)0k x k x +-+=，∴1x =， ---------7分 ∴11(,)22x kx OM OQ ⋅=⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. -------9分==设2221()12k k k k ϕ++=+，2/22422()(12)k k k k ϕ--+=+，令2/22422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得112k -<<．又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减. -----------11分∴当12k =时，max 13()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅的最大值为分法二：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx ---5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x =分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=.设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅=法三：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ --------------------6分=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分又2200184x y +=，设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)023b b b ∆=⇔--=⇒=±分又点00(,)Q x y 在第一象限，∴当083x =时，OM OQ ⋅取最大值23. -----13分 19．本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法. 满分13分．解：（Ⅰ）a =863824240.5 1.5 2.5 3.5 4.5100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯------------2分 499584108100100100100100=++++=3．----------------4分（Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为ξ元，则500(1)(50060)50060E x x x ξ=-++=+．----------------5分法一：设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴11(0)(1)(1) , (20)(1)44P y P y ηη==--==-⋅，11(40)(1) , (60)44P y P yηη==-==， ----------------7分11110(1)(1)20(1)40(1)604444E y y y y η∴=⋅--+⋅-+⋅-+⋅405y =+．----8分∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为(545)54555040E E y ηη+=+=+．--9分依题意，选择走甲线路应满足 (55040)(50060)0y x +-+≥， ------------10分即6450x y --≤，又211 , 032x y <<<<， P ∴（选择走甲线路）21151(1)(1)732264218(1)32-⋅-⋅-⋅==-⋅． ----------------13分法二：在EF 路段多花汽油费的数学期望是20240y y ⨯=元， ---------------6分在GH 路段多花汽油费的数学期望是120154⨯⨯=元，----------------7分因为EF 、GH 路段堵车与否相互独立，所以走乙路线多花汽油费的数学期望是405y +元．----------------8分以下解法同法一．20．本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．满分14分．解：（Ⅰ）∵cos 0x x =，0x >∴cos 0x =∴2x k ππ=+，k Z ．-------------1分∴(1)2n x n ππ=+-，----------------2分∴2(1)222n n n n n S πππ-=+=． ----------------4分（Ⅱ）∵()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴2sin cos x x xa x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立．----------------5分设2sin cos ()x x xx xϕ-=， ∴23cos (2)()x x x x ϕ+'=，---------------6分 ∴()x ϕ在(0,)2π单调递增，3(,)22ππ单调递减，3(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增， ∴()x ϕ的极大值为1(2)()222k k N k πϕπππ+=∈+，∴()x ϕ的最大值为2()2πϕπ=， ∴2a π≥ ．----------------8分（Ⅲ）若函数()f x 与()g x 存在分切线，则有“()()f x g x ≥”或“()()f x g x ≤”在(0,)+∞上恒成立，∵当0x →时，cos ()xf x x=→+∞，()sin 0g x x ax =-→． ∴0(0,)x ε∃∈，使得()()f x g x >，∴()()f x g x ≤在(0,)+∞不恒成立．∴只能是()()f x g x ≥在(0,)+∞上恒成立．------------9分 ∴由（Ⅱ）可知2a π≥， ∵函数()f x 与()g x 必须存在交点， ∴2a π=．----10分当2a π=时，函数()f x 与()g x 的交点为(,0)2π,∵2()()22f g πππ''=-=， ∴存在直线21y x π=-+在点(,0)2π处同时与()f x 、()g x 相切， ∴猜测函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+．----------11分证明如下： ①∵22cos 2()(1)x x xf x x xππ+---+=，设22()cos h x x x x π=+-，则4()sin 1h x x x π'=-+-．令4()sin 1t x x x π=-+-，则有4()cos 0t x x π'=-+>．∴()h x '在(0,)+∞上单调递增，∴()h x '在(0,)+∞上有且只有一个零点．又∵()02h π'=，∴()h x 在(0,)2π单调递减，在(,)2π+∞单调递增，∴()()02h x h π≥=，∴2()(1)0f x x π--+≥，即2()1f x x π≥-+在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 的图象恒在直线21y x π=-+的上方．---------------13分②∵2()(1)sin 10g x x x π--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，∴函数()g x 的图象恒在直线21y x π=-+的下方．∴由此可知，函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+，∴当2a π=时，函数()f x 与()g x 存在分切线，为直线21y x π=-+．---------14分21.（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．满分7分解：（Ⅰ）设a b M c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1100a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1211a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------1分∴1021a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1101a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩． -------------2分 ∴1101M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ------------------3分（Ⅱ）2111112010101M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-------------------4分32111213010101M M M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-----------------6分猜测101n n M ⎛⎫=⎪⎝⎭．----------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭----------------1分∴1222x y -=即所求直线l0y -=． ----------3分（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ，---------------4分∴()22011y x y -=-+=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去）． -------------------6分所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． -----------------7分（3）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分．解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b c a b c ++++≥++=，------1分∴2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时等号成立． ----------------2分即3M =． -----------------3分（Ⅱ）|4||1|3x x +--≥可化为()()4413x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()41413x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或()1413x x x ≥⎧⎨+--≥⎩， -----------5分解得，x ∈∅或01x ≤<或1x ≥， ----------------------6分所以，综上所述，原不等式的解集为[)0,+∞． -----------------------7分。