第三章数学悖论概率论悖论
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
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芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
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症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
数学文化之悖论
9
往往危机的解决，带来新的内容，新的 进展，甚至引起革命性的变革，这也反 映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这 一基本原理。
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11
瀑布来自哪里?
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谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯
（ Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ ）：“所有克里特人所说的每 一句话都是谎话。”这就是这个著名悖论的来 源。
第二次数学危机
十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成 功 的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。但是，当时的 微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析后来证明是 包含逻辑矛盾的。
8
第三次数学危机
英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条 惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称 “罗素悖论”。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的 理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。 于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次 危机。
少二（1）吴祉含
2019/5/4 1
目录
“悖论”的概述
数学悖论与数学危 机 经典悖论
总结
什么是悖论？
悖论（ ｐａｒａｄｏｘ ）的历史源远流长， 它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时 代。“悖论”一词源于希腊文，意为“多想一 想”，转义是“无法解决问题”。 现指在逻
辑上可以推导出互相矛盾的结论，但表面 上又能自圆其说的命题或理论体系
第一次数学危机
毕达哥拉斯学派 主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现
象都可归结为整数或整数之比。在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识 到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯 发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。由此看来，希帕索斯悖 论是由于主观认识上的错误而造成的。
关于数学悖论的探讨
关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。
具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。
因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。
许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。
关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。
悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。
悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。
时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。
统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。
人们也许已经很熟悉传递关系的概念。
第三章 数学悖论 概率论悖论
n
由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因
此我们通过重复试验来探求。
A 为若事n件在次试在验n 中次，试事验件中出A发现生的了频率次。，由则于称频F率n(的A) 大n小
如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷 入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每 掷一次都与以前掷出的点数完全无关。
如果事件A的结果影响到事件B，那么 就说B是“依赖”于A的。
例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于 明天是否下雨的概率。
在日常生活中说的“彼此没有关系” 的事件称为“独立”事件。
例如，你明天穿雨衣的概率是和美国 总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
3.抽签的公平性
抽签是人们经常使用的一种方法，尤其在现代 体育比赛中得到广泛应用。在足球比赛中，每个 小组里面球队的确定往往使用抽签的办法，其它 球类比赛也往往如此。如果没有人为的故意，大 家都相信抽签的公平性，是这样吗？
我们来看一个简单的抽签模型。假如学校给某 个班级10张电影票，而这个班级有40人，大家 都想得到一张电影票。于是班长就将40张纸条上 分别写上1-40的数字，规定抽到1-10号数字的 同学获得电影票。由于要有先后抽签的顺序，自 然就产生一个问题：先抽与后抽的机会一样吗？
8
帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配 赌注问题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。 该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先 赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场 时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌 注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同 的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是： 如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才 能获胜，则甲乙分钱之比为
有趣的数学悖论
有趣的数学悖论§有趣的数学悖论1、 悖论与数学悖论悖论：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
数学悖论：是指数学领域中有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
数学中有许多著名的悖论，伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。
数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。
数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的2、 数学悖论引发的三次数学危机第一次数学危机毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
因而推动了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。
第二次数学危机牛顿在1671年写的《流数术和无穷级数》提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
1686年，德国的莱布尼茨创设了微积分符号，远远优于牛顿的符号，并推动微分学的发展。
英国大主教贝克莱在1734年发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。
其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书, 说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”, 因为错误互相抵偿的缘故, 称之为“贝克莱悖论, 导致了数学史上的第二次危机。
数学悖论问题
5.
赛德尔悖论：赛德尔悖论是关于集合中自身是否是自己的成员的问题。具体地说，如果有一个集合包含自身的元素，则称该集合是自指的。赛德尔悖论就是指出不存在一个集合同时既包含自身的元素，又不包含自身的元素。这看起来似乎与常识相违背，因此被称为赛德尔悖论。
6.
这些数学悖论问题都是深奥而有趣的问题，对于理解数学的本质和逻辑思维的训练都具有很大的启示作用。
数学悖论是指在数学中出现的看似矛盾或荒谬的结论或情况。以下是几个经典的数学悖论问题：它断言当n大于2时，a^n + b^n = c^n方程没有正整数解。虽然费马大定理已被证明，但其证明过程非常复杂，历史上曾引发过很多争议。
2.
3.
伯利兹巴悖论：伯利兹巴悖论是集合论中的一个悖论，它指出对于任何一个集合来说，不存在一个集合包含所有集合的元素。这个结论看起来与集合的定义相矛盾，因此被称为伯利兹巴悖论。
概率论中的悖论
概率论中的悖论摘自从惊讶到思考——数学悖论奇景《科学美国人》杂志社马丁·加德纳1．赌徒的谬误M：琼斯先生和琼斯太大有五个孩子，都是女儿。
琼斯太大：我希望我们下一个孩子不是女孩。
先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。
M：琼斯先生对吗？M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。
事情将是这样进行的吗？M：埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。
他说得对不对呢？M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。
在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。
M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。
轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。
掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6。
M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。
这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的。
如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。
例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。
在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。
你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。
比如，第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。
他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。
因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。
有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。
他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。
于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。
他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。
数学悖论
悖论一、悖论的概念悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。
这就是说它带有强烈的游戏色彩。
然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。
希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。
冯·纽曼奠基了博弈论。
最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。
爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论的分类主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
悖论与数学悖论
悖论与数学悖论摘要：悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
简述数学悖论的三次危机，以及相关悖论的介绍。
关键词：悖论数学悖论数学危机罗素悖论正文：一、悖论与数学悖论的概念悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。
通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。
悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
数学中有许多著名的悖论，除前面提到的伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。
二、悖论的形式和类型悖论有三种主要形式：1、一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2、一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3、一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
类型：悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
三、悖论原理同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，人们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。
因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。
第三章 数学悖论 概率论悖论
学习过全概率公式的同学很容易计算书 它们的概率完全一样。我们使用古典概型也 很容易计算出来。
抽签的历史已经无从考求，但人们肯定 在很早以前就开始应用抽签方法来进行某种 决策行为了。那种认为抽签不公平的想法只 是混淆了条件概率。
4．伯特纳德箱悖论 伯特纳德设想有三个外观一模一样的箱子， 第一个箱子装着两枚金币，第二个箱子装着两枚银 币，第三个箱子装有一枚银币和一枚金币。将三个 箱子混杂在一起，然后随机选取一个箱子，显然这 个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。假定 我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，结果看到它是 金币。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币，因 此，它必然是两枚金币，或者是一枚金币和一枚银 币。由于两个箱子中任何一个被选中的机会相等， 看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了 1/2。如果取出的是银币，也会得出同样的结论。
这样才会得到他的结果。
在很多赌博游戏中，如果相信对概率认 识的直觉将会吃亏。下面是一个用三张卡片 和一顶帽子做工具的赌博例子，可以证明这 一点。
卡片由下面三张形式的卡片组成。第一 张卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面 是黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是 黑点。
庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取一 张。把它放到桌子上。然后，他与你以对等 的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样。
8
帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配 赌注问题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。 该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先 赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场 时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌 注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同 的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是： 如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才能 获胜，则甲乙分钱之比为
数学悖论课件
乌龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到 我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截 了，那怕这个距离比头发丝还小。
二：种论断看起来好像肯定错了，但实际上 却是对的（佯谬）。
例如：自然数集和偶数集哪个元素多？
自然数集：1,2,3,4,,n
偶数集： 2,4,6,8,,2n
周末，又有无穷多个泡泡 糖推销员来到这家旅馆开 会。
旅店老板怎么给这些推 销员安排房间呢？
老板只要把每个房间里的客人 移到原来号码两倍的房间中去 就行了
这下每个房间里的人都住到双 号房中，余下的所有单号房间 有无穷多个，它们空出来给泡 泡糖商人住！
例6：钱包游戏：
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告 诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里 面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。
学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱； 如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的 多，这个游戏对我有利。”
同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。
请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？
三：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却 导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也不是假的。
鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就 说错了。我应该吃掉他。
母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我孩子，我就说 对了，你就得把他交回给我 。
谢谢大家！
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。 但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任 何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
例9：鳄鱼和小孩
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
数学悖论
美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不 完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论 的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦 即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算 术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可 能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示 了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图 以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题 的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数 学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种 种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、 人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里 程碑。美国著名数学家冯· 诺伊曼说过：“哥德尔 在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的 不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可 以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪 念碑”。
数学悖论
悖论是一种认识矛盾， 它既包括逻辑矛盾、语义 矛盾，也包括思想方法上 的矛盾。 数学悖论作为悖 论的一种，主要发生在数 学研究中。按照悖论的广 义定义，所谓数学悖论， 是指数学领域中既有数学 规范中发生的无法解决的 认识矛盾，这种认识矛盾 可以在新的数学规范中得 到解决。
悖论的历史
在中国古代哲学中也 有许多悖论思想，如战国 时期逻辑学家惠施（约 370B.C.—318B.C.）的 “日方中方睨，物方生方 死”、“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”；《韩 非子》中记载的有关矛与 盾的悖论思想等，这些悖 论式的命题，表面上看起 来很荒谬，实际上却潜伏 着某些辩证的思想内容。
影响 第二次数学危机的产物——分析基础 理论的严密化与集合论的创立。 “贝克莱悖论”提出以后，许多著名 数学家从各种不同的角度进行研究、探索， 试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。 法国数学家柯西是数学分析的集大成者， 通过《分析教程》（1821）、《无穷小计 算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何 中的应用》（1826）这几部著作，柯西建 立起以极限为基础的现代微积分体系。但 柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他 关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、 几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数 学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要 奠基者之一，
悖论知识点总结
悖论知识点总结一、悖论的分类悖论可以根据其表现形式、逻辑推理方式以及出现领域进行分类。
在逻辑推理方面，美国逻辑学家Tarski提出了“悖论三角”：构造类、悖论类和自指类。
构造类悖论是指通过逻辑推理方式构造出自相矛盾，如“我此刻在说谎”这种悖论性命题。
悖论类悖论是指在悖论中寻求一个悖论的类，如说“这句话是假话”这就是一个悖论的类。
自指类悖论是指某一句断言或概念中出现了它自己的提及或描述，如赛德贝格悖论“这句话是错误的”就是自指类悖论。
从出现领域分类，悖论可以分为逻辑学悖论、语言学悖论、哲学悖论、数学悖论等。
逻辑学悖论主要是指形式逻辑中因为命题自身产生的的自相矛盾。
语言学悖论多是指语言学上的悖论，这类悖论多与命题、符号、代表的矛盾有关。
哲学悖论多是对人类认知的一种反思，代表性的悖论就是“悖论的悖论”。
数学悖论则是在数学思维、数学推导的过程中出现的矛盾，比如哥德尔不完备定理，罗塞定理等。
二、悖论的特点1. 自相矛盾性悖论的最主要特点是自相矛盾性，即在一连串的逻辑推理中，出现了自相矛盾的命题或结论。
这种自相矛盾性使得悖论对于常规的逻辑推理和认知观念产生了挑战，因而具有一定的破坏性和启发性。
2. 引发思考与反思悖论往往能够引发人们对于事物的认识、逻辑推理和人类认知等方面的深入思考和反思。
它们使人们重新审视既有的认知框架，触发人们思维的多样性和创造性，从而推动人们对于问题的深入探求。
3. 语言的限制某些悖论是由语言的局限性造成的，语言是人类思维和交流的工具，但语言也会受限于人类认知的局限。
因此，悖论常常涉及语言的边界和局限性，从而引发人们对于语言的认知本质和功能的深入思考。
三、代表性悖论案例1. 白熊悖论白熊悖论源于美国心理学家约翰·安德森的研究。
研究者要求实验对象在接下来的5分钟内尽量不要想起一个白熊，然而结果表明，大多数实验对象在5分钟内都会不断地想起白熊。
这个实验证明了一种现象，即人们在试图避免去想起某个事物时，反而更容易想起这个事物，这就是白熊悖论。
数学上有哪些著名的悖论？
数学上有哪些著名的悖论？数学上的悖论很多，最著名的，就是导致了第三次数学危机的集合论悖论。
因是英国哲学家罗素在1902年写给数理逻辑学家弗雷格的一封信中最早提出来的，所以也经常被称之为“罗素悖论”。
该悖论直指集合论的基础问题，而集合论此时已经是整个数学大厦赖以建立的基础，如若基础不稳，则整个大厦为之震动。
所谓导致了所谓第三次数学危机之说，就是这个意思。
罗素与弗雷格及其1902年的通信罗素本人1919年对这个悖论进行了“科普”，提出了一个生动有趣的比喻性解释，称为“理发师悖论”。
从而使得这个悖论几乎家喻户晓，堪称是数理逻辑普及化的一个典范。
其他的著名数学悖论还包括：概率论悖论、几何学悖论、曲线悖论、统计学悖论和蠕虫悖论等。
荷兰画家埃舍尔笔下的永动水流城堡概率论悖论说的是从概率论的一般性原理出发所得到的结论，却与实际进行概率计算所得到的结果之间存在着很大矛盾。
几何学悖论则包含了视觉和计算错误、拓扑变换和不可能图形等内容。
曲线悖论来自于有数学家定义曲线是一条连续而光滑的线，而另有数学家发现按这个定义也可以形成一个面，从而使线和面难以分辨，导致矛盾结果。
而统计学悖论与概率论悖论有相似之处，一个看似概率很小的事件，实际发生的概率却非常大，从而形成悖论。
蠕虫悖论是说，一条每秒以一厘米的速度在一条一米长、但每秒都伸长一米的橡皮筋上爬行的蠕虫，能否最后爬到橡皮筋的另一尽头？以常识看这绝对是不可能的事情，但实际上从数学的角度看却是可能的，只不过需要很长时间而已。
这种悖论实际上是常识与数学之间的矛盾。
诸如此类的悖论还有豌豆和太阳体积相等悖论，即把豌豆切成无穷多的小块，再拼合起来，正好等于太阳的体积。
综上，数学中的悖论，有些是数学自身所存在的矛盾或特殊性质引起，这是真悖论。
有些则是对数学原理的误解所引起，还有些是数学与常识之间的矛盾所致。
后两类严格的说不能算是真数学悖论。
经典数学悖论
经典数学悖论古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。
这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论（一）由自指引发的悖论以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
１－１谎言者悖论公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。
”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：,克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒?”（《提多书》第一章）。
可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：１－２“我在说谎”如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。
矛盾不可避免。
它的一个翻版：１－３“这句话是错的”这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。
他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。
这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。
在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。
”他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：,不论我说什么都是假的?。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。
数学有趣的悖论
数学有趣的悖论数学是一门令人着迷的学科，它充满了各种有趣的悖论。
在本文中，我们将探讨一些令人费解的数学悖论，以及它们背后的逻辑和原因。
1. 质数悖论质数是指只能被1和自身整除的正整数。
然而，质数的数量是无穷的，这个结论可以通过数学家欧几里得的证明得到。
但是，我们也可以用反证法来证明质数的数量是有限的。
假设质数的数量是有限的，那么我们可以找到一个最大的质数。
然而，我们可以通过将这个最大质数加1，得到一个更大的质数，这就与假设相矛盾了。
所以，质数的数量是无穷的。
2. 伯努利悖论伯努利悖论是一个关于概率的悖论。
假设我们抛掷一枚公正的硬币，每次结果都是正面或反面。
根据概率理论，正面和反面的出现概率应该是相等的，即50%。
然而，伯努利悖论指出，如果我们连续抛掷硬币无限次，那么正面和反面出现的次数将不会完全相等。
事实上，根据伯努利悖论的计算，正面出现的次数将会稍微多一些。
3. 无穷悖论无穷悖论源于对无穷的理解和定义。
数学中有很多不同的无穷概念，如可数无穷和不可数无穷。
然而，无穷悖论指出，无穷减去无穷不等于零。
例如，我们可以考虑一个集合，其中包含所有正整数。
这个集合是无穷的。
然而，如果我们从这个集合中删除所有偶数，剩下的元素仍然是无穷的。
所以，无穷减去无穷不等于零，这与我们通常对减法的理解相矛盾。
4. 贝尔曼方程悖论贝尔曼方程是强化学习中的核心概念之一。
它描述了一个价值函数的递归关系。
然而，贝尔曼方程悖论指出，有时候贝尔曼方程的解可能并不存在。
这是因为贝尔曼方程要求价值函数在所有状态下都是有限的，但是在某些情况下，却可能存在无限的回报。
这个悖论挑战了我们对强化学习问题的理解。
5. 瑞利-贝努利悖论瑞利-贝努利悖论是一个关于大数定律的悖论。
根据大数定律，随着试验次数的增加，事件发生的频率将趋近于事件的概率。
然而，瑞利-贝努利悖论指出，在某些情况下，大数定律可能不适用。
例如，如果我们抛掷一个不均匀的硬币，它可能有更高的概率出现正面。
数学与文化：数学悖论
数学悖论◆徘徊的幽灵——悖论（代序）●“一个幽灵，共产主义的幽灵，在欧洲徘徊。
”这是《共产党宣言》的开场白。
这幽灵震撼了整个旧的世界，一切旧的势力为驱逐它而结成了同盟，而新的势力则在其鼓舞下开创了一个崭新的世界。
在2000多年来的人的思维发展史中，也有一个幽灵不断缠绕着人们，这就是引起众多哲人的注意，并使许多人为之倾其毕生心血的难题——悖论。
“悖论”的“悖”字，据《辞源》解：“‘悖’，背理也，乱也，逆也，惑也。
”故“悖论”也称作“逆论”、“反论”。
这个词的意义很丰富，它包括一切与人的直觉或日常经验相抵触的理论、观点或论断。
悖论主要有以下几种表现形式：（l）一种论断看似谬误，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一种论断看似正确，但实际上却是错的（似是而非的理论）；（3）某一理论体系中，从某些看似正确的公理出发，根据一系列的无懈可击的推理，却导致逻辑上的自相矛盾或矛盾循环。
在逻辑和数学中，人们所说的“悖论”，主要指第三种形式，即自我矛盾的循环。
最古老的悖论要算“说谎者悖论”了。
据传说，公元前6世纪，古希腊的克里特岛上住着一个叫埃皮门尼德的人。
幼年时他与一些小朋友到山中玩耍，偶然误入一个山洞，在洞中迷迷糊糊地睡着了。
但这一觉他竟然睡了57年，待他醒来时，已过了“耳顺之年”。
他发现自己已成了一个学者，熟谙哲学和医学，成为岛上的“先知”。
据《圣经》记载，作为克里特岛上“先知”的埃皮门尼德曾轻蔑地说过这样一句话：“克里特岛人都是说谎者。
”如何理解这句话呢？如果这句话是真的，即克里特岛人真的都是说谎者，而既然埃皮门尼德也是克里特岛人的一员。
那么，他也是个说谎者。
假如“说谎者”的含义是指不说一句真话的人，则显然可得出，这句话是谎话，即是假的，这显然是个矛盾。
但是，这并不能使埃皮门尼德陷入困境，因为可以设定此话为谎话，但要具备一个条件，即克里特岛上其他任何人或埃皮门尼德本人除此之外还说过真话，而说过真话的人就不算作“说谎者”。