广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 数学(理)(含答案)

珠海市2019〜2020学年度第一学期普通高中学生学业质量监测

高三理科数学

时间：120分钟满分150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合」={0>lg |x x }，5 = {04|2≤-x x },则=B A Y

A. (1,2)

B. (1,2]

C. (0,2]

D. ),1(+∞

2.复数i z i z =+=21,1,其中i 为虚数单位，则21z z 的虚部 A. 1 B. -1 C. i D. i -

3.已知函数R c b c bx x x f ∈++=,,)(2,则“0

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，

且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为

A.13

B.28

C.38

D.46

5.已知{n a }是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若18,684==S S ，则=

12S A.24 B.30 C.42 D.48

6.如图，若在矩形ABCD 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

A. π21-

B. π

2 C. 22π D. 221π

- 7.已知椭圆：0)>b >(122

22a b

y a x =+的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于A,B 两点，若AB 中点为(1，1)，则直线l 的斜率为

A.2

B.-2

C. 21

D. 2

1- 8.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是

A.0.4

B.0.5

C.0.75

D.0.9

9.已知0,>z 0,>y ,0,>x ,且

11z y 9=++x ，则z y x ++的最小值为 A.8 B.9 C.12 D.16

10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼 互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示

{}1)1(),(22≤-+=y x y x A 或⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+01)1(42222x y x y x ，设点A y x ∈),(，则y x z 2+=的最大值与最小

值之差是 A. 52+ B. 522+ C. 532+ D. 542+

11.已为自然对数的底数，定义在R 上的函数)(x f 满足x ＜2e )()('x f x f -，其中)('x f 为)(x f 的

导函数，若24)2(e f =,则x 2x e >)(x f 的解集为

A. (-∞,l)

B. (1，+∞)

C. (-∞,2)

D. (2,+ ∞)

12.已知球O 的半径为2，A,B 是球面上的两点，且32=AB ，若点P 是球面上任意一点，则⋅的取值范围是

A. [-1,3]

B. [-2,6]

C. [0,1]

D. [0,3]

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量),1(),2,2(),2,1(m =-==,若)(∥+,则m = .

14.已知],0(π∈x ,关于x 的方程0)3sin(2=-+k x π有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围为 .

15.已知n x x )1

(+的展开式中所有项的系数和为64,则其展开式中的常数项为 .

16.已知1F 、2F 分别为双曲线C:

0)>b >(122

22a b y a x =-的左、右焦点，过1F 作直线l 与圆222a y x =+相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若||||411P F T F =，则双曲线C 的离心率为 .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题题，每个试题考生都必须作答.第22〜23题为选考题，考生根据要求作答.

(一）必考题：共60分

17. (12分）已知A ，B ，C 是的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量，)sin sin ,sin (sin ),,(B C A B n c b a m --=+=且n m ⊥.

(1)求角A 的大小；

(2)若2=a ,求ABC ∆面积的最大值.

18.(12分）如图，矩形ABCD 中，AB = 2, AD = 4,E 为BC 的中点，现将BAE ∆与CDE ∆折起，使得平面BAE 及平面CDE 都与平面DAE 垂直.

(1)求证：BC ∥平面DAE ；

(2)求二面角A-BE-C 的余弦值.

19.(12分）已知F 为抛物线C ：0)>(22p px y =的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为

4.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过点（m,0)，且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB,若点F 在以为AB 直径的圆内，求m 的

取值范围.

20.(12分）某游戏棋盘上标有第0、1、2、…、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .

(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；

(2)证明：)981)((2

111≤≤--=--+n P P P P n n n n (3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.

21. (12分)已知函数R a x

a x x f ∈-+=,1ln )(. (1)若对),1[+∞∈∀x ，不等式0>1)(-+x x f 恒成立，求a 的取值范围；

(2)在(1)的条件下，设函数x

x f x g )()(=，试判断)(x g 在区间[l ，e 2]上是否存在极值 (e 为自然对数的底数）.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.

(二）选考题：共10分.请考生在第22〜23题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的 第一题计分.

22. (10 分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线ααα(sin 4cos 4:1⎩⎨

⎧==y x C 为参数). 将曲线C 1上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的2

1后得到曲线C 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=-

πθρ.

(1)求曲线C 与直线l 的坐标方程. (2)已知)0,32(-M ，设直线l 与曲线C 2交于不同的A ，B 两点，求||||MB MA ⋅的值.

23. (10 分）设函数)0(|4|||)(≠-+-=a x a x x f .

(1)当1=a 时，求不等式＜x )(x f 的解集；

(2)若a

x f 41)(≥

+恒成立，求a 的取值范围.