2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理

C是圆周上不同于A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直，则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习：
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形， PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， 求证：平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角，
而AB⊥BE，故-CD-是直二面角． ∴⊥ .
注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个
平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据． 如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据 这个原理．
P
F
E
D A M B
C
3. 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; （1）求证： （2）若PDA 45 ，求证：平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
随堂检测:
1.如果平面内有一条直线垂直于平面内 的一条直线，则⊥.（ ）
×
2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两 条直线，则⊥.（ ）
×
3. 如果平面内的一条直线垂直于平面内的 两条相交直线, 则⊥.（ ）
√
4.若m⊥，m⊂，则⊥.（
√
）
指导应用:
例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O 所在的平面，
D C
DEB为二面角D AC B的平面角， 2 E 2 2 在RtADE中，DE AD AE a 2 2 A 同理：BE a 2 2 2 2 DE BE a BD2 , 即二面角D AC B为直平面角， 平面ACD 平面ABC.
B
检测自学效果
2.3.2.2平面与平面垂直的判定
制作：高一数学组
复习回顾
直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线
都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
图形语言：
l
符号语言：
m n mn P l l m l n
m
α
P
n
学习目标
C
∴ BD 面AA 1C1C
∵ BD 面A1 BD
∴ 面AAC 1 1C 面A 1BD
证明两个平面垂直的方法：
1. 定义法：证明两个平面构成的二面角 的平面角为直角. 2. 平面与平面垂直的判定定理：证明一 个平面经过另一个平面的一条垂线.
“线面垂直，则面面垂直”
课堂小结
1. 平面与平面垂直的定义； 2. 平面与平面垂直的判定定理：
⊥ .
两个平面互相垂直的画法: 直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。


例1: 在四面体ABCD中，AC= 2a , AB=BC=AD=BD=CD=a,求证：平面ACD⊥平面ABC.
解：取AC中点E, 连接DE与BE, AD CD, AB BC, DE AC, BE AC, 又 DE BE E,
二、两个平面垂直的判定定理
文字语言： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面互相垂直．
“线面垂直，则面面垂直”
图形语言：
符号语言： AB⊥，AB⊂，则⊥.
检测自学效果
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直． 已知：AB⊥，垂足为B,AB⊂． 求证：⊥. 证明：设∩=CD，则点B CD, ∵AB⊥，CD⊂，∴AB⊥CD． 在平面内过点B作直线BE⊥CD，
D
C
E
B
A
∴ BC 面PAC
探究：你还能发现哪些面互
相垂直？
当堂训练:
正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证: 面AAC 1 1C 面A 1BD
证明:
∵ AA 1
BD 又∵ BD AC 且AC AA1 A
∴ AA
1
面ABCD BD 面ABCD
D1 A1 D A B B1
C1
1.理解两个平面互相垂直的定义； 2.能用面面垂直的判定定理证明平面与平面 垂直.
重点：面面垂直的判定定理.
难点：面面垂直的判定定理的应用.
自学导引
阅读课本P68观察—P69，解决以下问题 (3分钟) 1.两个平面垂直的定义 2.两个平面互相垂直的判定定理
检测自学效果
一、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作