2011年考研数学讲座讲义

考研数学的成功之路

---水木艾迪考研辅导教学策略揭秘

报告人：清华大学数学科学系刘坤林

水木艾迪清华老师的引导策略是六个字：走对路找对点。引导考生走对路找对点，是清华老师多年来为考生打造轻松考研的成功策略。报告中会引用众多事例和典型考题，说明成功的关键在于走对路，走对路的关键在于找对点：首先是国家考试特点，其次是基本考点与重要考点，此外还必须注意把握数学本身的学科特点。

走对路找对点的引导将贯穿水木艾迪教学全过程。在此基础上，水木艾迪清华老师实施的教学宗旨是：带你把握命题策略与命题思路，努力缔造居高临下的知识洞察力。

一．考研数学要找对点

1．考试特点

06-10年考题以基本的概念、理论和技巧为主, 注意考察基础知识理解的准确性与简单综

合运用。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。

特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是

数学，确切说是理工类数学的能力。这是对历年考生的重要参考。

09-10年考题凸现注重考察对基本概念与基本知识点理解的准确性和到位性，全面性和

系统性。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。

特别是数三（数四）连续几年并无任何经济特色特题目，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的水平与能力。在命题特点上，题目非常基本，非常

规范化，知识覆盖面合理，题意明确，叙述准确，档次明显，适于选拔考试。三个试卷考试

题目非常基本，没有偏题怪题和超难度题目。

四个突出特点：

（1）考题凸显考察：对基本概念与基本知识点理解的准确性，重在基本概念的换位思考，能

做换位思考者，胜，否则，将沦落为失败者。基本计算要过硬。

（2）不同知识点交叉运用能力，尤其注重基础知识的理解与综合运用。

（3）考研数学考的是数学，并非物理（对数学一、二：物理应用题目趋于淡化，），更非经济（对数学三：与所谓经济类数学内容相关的题目趋于淡化），更确切地说，考研数学是考大学

理工类数学三个学科。特别是数学三考生，不能采用带有经济类的教科书或辅导教材作考前

的复习。

（4）三套试题共用题目比例较高，三套难易程度趋于相同。在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。

考场上以概念理解的准确性取胜最重要，准确全面的概念理解，必然导致居高临下的知识洞察力与快速反应能力，这正是

水木艾迪数学辅导教学宗旨。

水木艾迪教学内容的准确性和有效性：

水木艾迪考研辅导教学的全部内容与策略，就是引导考生作到对基本知识点理解的准确性、全面性和有效性，掌握综合处理问题的方法与技巧，特别是让同学把握命题策略与命题

思路，努力做到居高临下的知识洞察力。对国家考试特点与题型有明显的准确的追踪效应。特别是水木艾迪考研数学的春季基础班于暑期强化班为考生奠定了坚实的应试基础，

年底的考研数学三十六计则为广大学员提供了全胜的锐利武器。

09-10年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生取得优异成绩。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在07-09年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同。

2．考点

考点是由大学理工类数学三个基本学科的核心知识点构成。而考点的把握是通过对上述核心知识点的准确思考，以及逻辑层次上的换位思考，逐渐形成的。以下若干例题供大家体会考试特点与考点。

考题题型例1 设函数)(x f 在0=x 处连续，下列命题错误的是

（A ）若x

x f x )

(lim

0→存在，则0)0(=f

（B ）若x

x f x f x )

()(lim 0-+→存在，则0)0(=f

（C ）若x

x f x )

(lim 0→存在，则)0(f ' 存在

（D ）若x

x f x f x )

()(lim 0--→存在，则)0(f '存在

【解】答案D 。

由无穷小量比阶概念、点连续概念与导数定义，可判断(A)(B)(C)正确。(D)中

x

x f x f x )

()(lim

0--→的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法：

x

x f x f x )()(lim 0--→ x f x f x )0()(lim 0-=→x

f x f x ---+→)0()(lim 0

)0(2)0()0(f f f '='+'=

则)0(f '存在。极限运算法则错误！

【解析与点评】本题主要考点是：（1）无穷小量比阶；（2）复合函数概念； （3）点连续概念；（4）导数定义。

水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班辅导例题： （33） 若0)

()(lim

0≠=+--→k h

h a f h a f h 存在，则)(x f 在a x =处（ ）。

（A ）可导，且2)(k a f -='。 （B ）可导，且2

)(k

a f ='。

（C ）不可导。 （D ）不一定可导。

【特别提示】 请注意以下错误做法：

h h a f h a f h )()(lim

+--→0h

a f h a f a f h a f h )]

()([)]()([lim -+---=→0

---=→h a f h a f h )()(lim 0h a f h a f h )()(lim -+→0 k a f a f a f ='-='-'-=)(2)()(

因此)(x f 在a x =处可导，且2

)(k

a f -

='。选择（A ）。 上述第二个等号为极限运算法则错误。 【解】正确答案为（D ）。尽管有

h h a f h a f h )()(lim

+--→0h

a f h a f a f h a f h )]

()([)]()([lim

-+---=→0k = 但是，上述极限的存在不能保证h

a f h a f h )

()(lim 0--→ 或

h a f h a f h )()(lim -+→0的存在，因此不能保证)(a f '的存在。 [注] 极限运算法则的运用是常考知识点，原因是极限运算法则错误为常见错误。 极限运算法则表述的实质为：前者为后者的充分条件。而表现充分条件的命题在 应用中需特别注意数学逻辑上的准确性。

考题题型例2 （2010-1、2）=++∑∑==∞→n i n

j n j n i n n

11

22))((lim

（A ）

⎰

⎰

++x

dy y x dx 0

21

)1)(1(1。（B ）⎰⎰++x dy y x dx 010)

1)(1(1

。