随机变量概念
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
简述随机变量
简述随机变量
随机变量 (random variable) 是概率论中的一个重要概念，表示一个未知量在某种条件下的一个取值。
通常用大写字母 X、Y、Z 等表示，其中 X 表示随机变量，表示某个未知量在某种条件下的取值。
随机变量是随机过程的组成部分，表示随机过程中某个未知量的取值。
例如，在投掷一枚骰子的过程中，掷出 1 点是一个随机变量，表示骰子掷出 1 点的取值。
随机变量具有两个基本性质：不确定性和可重复性。
不确定性是指某个未知量的取值是不确定的，需要通过随机过程来获得;可重复性是指某个未知量的取值可以重复出现，即每次投掷骰子掷出 1 点的概率都是相等的。
随机变量可以进行变量变换，即根据变量之间的关系进行变量转换。
例如，在投掷一枚骰子的过程中，如果已知掷出 1 点的随机变量为 X，那么掷出 2 点的概率可以用 X 的相反数表示，即 P(X=-1)=1-P(X=1)。
随机变量在概率论中有广泛的应用，例如在概率分布、期望、方差、协方差等概念中都需要用到随机变量。
其中，概率分布是随机变量最重要的应用之一，表示随机变量取某个值的概率。
例如，在投掷一枚骰子的过程中，掷出 1 点的概率是 1/6，掷出 2 点的概率是 1/6，以此类推。
拓展:
随机变量在生活中有广泛的应用，例如在赌博、投掷骰子、抽奖等活动中都是用到随机变量来描述未知量的取值。
在金融领域中，随机变量的应用也非常广泛，例如在投资决策、风险评估、收益率计算等活动中都需要应用随机变量的概念。
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机试验的结果与某个数值之间的关系，这时就需要引入随机变量来描述试验结果的数值特征。
一、随机变量的定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它的取值是由随机试验的结果决定的。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量：如果随机变量的取值是有限个或可列无限个，那么它就是离散随机变量。
例如，掷一枚骰子，随机变量X表示出现的点数，X的取值为1、2、3、4、5、6。
连续随机变量：如果随机变量的取值是一个区间上的任意实数，那么它就是连续随机变量。
例如，某地一天的降雨量，随机变量X表示降雨量的大小，X的取值范围是[0, +∞)。
二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数。
对于离散随机变量，分布函数可以用概率质量函数来表示；对于连续随机变量，分布函数可以用概率密度函数来表示。
离散随机变量的分布函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=P(X≤x)=p1+p2+...+pk，其中k为使得xk≤x的最大整数。
连续随机变量的分布函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=∫f(t)dt，其中积分区间为(-∞, x)。
三、随机变量的概率密度函数和概率质量函数概率密度函数和概率质量函数是描述随机变量取值概率的函数。
离散随机变量的概率质量函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的概率质量函数p(x)定义为p(x)=P(X=x)，其中x为X的取值。
连续随机变量的概率密度函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈(-∞, +∞)；2. ∫f(x)dx=1，其中积分区间为(-∞, +∞)。
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。
在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。
本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。
随机变量的取值可以是离散的或连续的。
离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。
概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。
概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。
例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。
例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。
离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。
期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。
基础会计学 随机变量
基础会计学随机变量
在基础会计学中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量指的是在某个随机试验中可能取得的值，这些值是随机的，并且可以用来描述事件发生的概率分布。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
离散随机变量是指在一定范围内可能取得有限个数值的变量，比如掷硬币的结果只能是正面或反面。
而连续随机变量则是指在某一区间内可以取得任意值的变量，比如人的身高就是一个连续随机变量。
在会计学中，随机变量的应用非常广泛。
比如在风险管理中，我们可以用随机变量来描述不同风险事件发生的概率，从而制定相应的风险管理策略。
又比如在财务分析中，我们可以用随机变量来描述公司未来收入的不确定性，从而评估公司的经营风险。
随机变量还可以帮助我们进行决策分析。
通过对不同随机变量的概率分布进行分析，我们可以选择出最优的决策方案，从而提高决策的准确性和效果。
总的来说，随机变量在基础会计学中起着非常重要的作用。
通过对随机变量的研究和分析，我们可以更好地理解和应对不确定性，从而提高会计学的决策效率和准确性。
希望大家能够深入学习和理解随机变量的概念，从而更好地应用于实际的会计工作中。
随机变量的概念
第二章随机变量2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量2.4 随机变量函数的分布§2.1 随机变量随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。
一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量取不同的数值来表示试验的各种结果。
这时尽量利用随机试验的事件与数值的内在关系。
即, 试验结果可以数值化。
随机变量的取值一般用小写字母x, y, z 等表示。
引入随机变量的意义有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。
随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。
引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及规律的研究。
事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值例3：观察某段时间一候车室的旅客数目,用随机变量来描述观察的结果.(M 为候车室的最大容量)X 表示观察到的旅客数目x ．解：二．离散的(可数的，可列的),无限的随机变量由题意，事件与随机变量的对应法则取的是：X 表示接到电话的次数为i ,解：例1:观察某交换台早晨8:00-9:00接到电话的次数，用随机变量来描述观察的结果．0≤x ≤Mi =0,1,2 =0,1,2 …… …三．连续的、有限的随机变量。
例：要观测单位面积上某农作物的产量，试用随机变量来描述观测的结果．(已知此单位面积这种农作物的最大产量为T )],0[T x ∈由题意，事件与随机变量的对应法则取的是：X 表示单位面积上某农作物的产量x ，解:例:在一批灯泡中任取一个，测其寿命,试用随机变量来描述观测的结果.记X 为所取灯泡的寿命t , ),0[+∞∈t 四. 连续的、无穷的随机变量。
由题意，事件与随机变量的对应法则取的是：解:。
随机变量的概念
随机变量的概念1. 定义随机变量是指在随机试验中，能够取不同数值的变量。
在概率论和数理统计中，随机变量是用于描述随机试验结果的数值。
一个随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量可以取有限个或可数个值，如扔一枚骰子得到的点数；而连续随机变量则可以取无穷多个值，如测量一个人的身高。
随机变量通常用大写英文字母来表示，比如X、Y或Z。
其取值可以用小写字母来表示，比如x、y或z。
2. 重要性随机变量是概率论和数理统计的核心概念之一，具有重要的理论和实际意义。
(1) 研究随机现象随机变量是描述随机现象的数学模型，通过引入和定义随机变量，可以用数学的方法对随机现象进行研究和分析。
例如，在一个赌博游戏中，通过对赌博行为进行建模，可以用随机变量来描述赌博的输赢结果，从而研究赌博的概率性质，评估赌博的风险。
(2) 描述概率分布随机变量可以描述随机试验结果的分布规律，即概率分布。
概率分布可以表示随机现象各个可能结果发生的概率大小。
通过对随机变量的分布进行分析，可以了解事件发生的概率和可能性，为决策和预测提供依据。
(3) 求解概率问题通过随机变量和概率分布，可以求解各种概率问题，比如计算事件的概率、求解期望值和方差等。
概率问题在众多领域中都有应用，如金融、统计学、生物学、工程学等，通过建立相应的随机变量模型，可以解决实际问题。
(4) 进行统计推断在统计学中，随机变量也是统计推断的基础。
通过对样本数据的分析，可以估计和推断总体的特征和参数。
在这个过程中，随机变量的定义和性质是不可或缺的。
3. 应用随机变量的应用广泛，涵盖了多个学科领域。
(1) 概率论在概率论中，随机变量是研究概率分布、随机过程和极限理论的核心概念。
通过对随机变量进行研究，可以推导出一系列概率分布，如离散随机变量的离散概率分布和连续随机变量的概率密度函数。
(2) 数理统计在数理统计中，随机变量是用于描述观测数据的概率模型。
通过对随机变量的分布进行参数估计和假设检验，可以对总体的特征和参数进行推断。
§8.1 随机变量概念一、什么是随机变量 如果我们引入一个变.
例如，掷骰子的概率分布 P(X=i) ＝ 1/6 (i＝1,2,…,6)
从 2 个一级品， 3 个二级品中取 3 件，其中 一级品的概率分布为 P(X=0) ＝ 1/10 ， P(X=1) ＝6/10，P(X=2)＝3/10。 概率分布具有如下性质： 1.概率分布表示了随机变量的变化特征， 即它的各种取值的可能性的大小， 2. 每 一 概 率 都 大 于 等 于 0 ， 即 Pi≥0(i ＝ 1,2,…)， 3.所有取值的概率之和等于1。
例如，P.272 例3 买一条烟，买到假烟的概率为0.15，没买 到假烟的概率为0.85，它服从二点分布。 买20条烟就是买一条烟独立重复20次，所 以X～B(20,0.15) P.273 例4 投篮一次，投中的概率为 0.6 ，不中的概 率为0.4，服从二点分布。 投篮10次，就是投篮一次 这样的试验独立重复10次， 所以X～B(10,0.6)
三、随机变量的类型 1.离散型随机变量： 随机变量所取的值是一些分散的值，只 能通过逐个列举的方法说明这个变量的取值 情况。 2.连续型随机变量： 随机变量所取的值是某范围内的所有的 值，即随机变量的取值范围可以用区间表示。 四、随机变量的表示方法 随机变量用大写字母X,Y,Z表示，随机变 量所取的值用小写字母x,y,z表示。
2.二项分布 如果随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,…,n ， 取这些值的概率为 P(X=k)＝(nk)pk(1-p)n-k (k＝0,1,2,…,n)，则称X服从二项分布，记作 X～B(n,p)。 [重要提示] 如果一个事件X是由某一个服从二点分布 的随机试验独立重复n次构成的，那么它服从 二项分布。
概率密度函数的性质有： 1.f(x)≥0 2. f ( x)dx 1 x 3. x f ( x)dx 0 连续型随机变量在某一点的概率为0。 二、分布函数 F(x) x 分布函数 F(x)＝P(X≤x)＝ f (t )dt 则有 F'(x)＝f(x)
随机变量
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：①离散型随机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。
例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。
②连续型随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。
例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。
3详细分析表示方法随机试验结果的量的表示。
例如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随机变量的实例。
一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω(见概率)。
随机变量x是定义于Ω上的函数，即对每一基本事件ω∈Ω，有一数值x(ω)与之对应。
以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见，共6个，分别记作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,这时，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出现的点数这个随机变量x，就是Ω上的函数x(ωk)=k，k=1,2,…，6。
又如设Ω={ω1,ω2,…，ωn}是要进行抽查的n个人的全体，那么随意抽查其中一人的身高和体重，就构成两个随机变量x和Y,它们分别是Ω上的函数：x(ωk)=“ωk的身高”，Y(ωk)=“ωk的体重”，k=1,2,…，n。
一般说来，一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数），也可以充满一个数值区间，或整个实数轴（如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移）。
研究方法在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。
因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。
根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，x(ω)为实数，且对任意实数x，使x(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。
随机变量
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为：
1 2 0 X ~ 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布
例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是p ，求所需射击发数 X 的概率函数。 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
简记为 r.v
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等
例如，从某一学校随机选一 学生，测量他的身高。
我们可以把可能 的身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X的各种问题。 如 P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=? 一旦我们实际选定了一个学生并量了 他的身高之后，我们就得到X的一个具体 的值，记作x。
k 0,1,..., n
2.2.2 常用离散随机变量的分布
3、二项分布B(n,p)
P ( X k ) C p (1 p )
k n k
nk
k 0,1,..., n
伯努利概型（重复独立试验）
进行一系列试验，在每次试验中，事件 A 或者发 生或者不发生，假设每次试验的结果与其它各次试验 的结果无关，事件 A的概率在一系列试验中保持不变， 则这样的试验叫做重复独立试验(伯努利试验)。 定理 如果在重复独立试验中事件A的概率为 p(0<p<1)，则在n次试验中事件A恰发生m次的概率：
随机变量的概念
随机变量的概念一、引言随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它是指在一次试验中可能出现的各种结果所对应的数值。
随机变量在实际问题中有着广泛应用，如金融、医学、工程等领域。
本文将从定义、分类、性质和应用四个方面详细介绍随机变量的概念。
二、定义随机变量是指在一次试验中可能出现的各种结果所对应的数值。
简单来说，就是将样本空间中所有可能出现的结果都赋予一个数值。
例如，抛硬币时正面朝上为1，反面朝上为0，则抛硬币这个试验就可以用一个随机变量X来表示：X=1表示正面朝上，X=0表示反面朝上。
三、分类根据随机变量取值的类型不同，可以将其分为离散型和连续型两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量取值只能是某些特定的离散值。
例如掷骰子时点数只能取1至6这几个整数值。
离散型随机变量通常用概率分布函数来描述其概率分布情况，如二项分布、泊松分布等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量取值可以是任意的实数值。
例如测量一个人的身高时，可以得到任意一个实数值，而不是像掷骰子那样只能得到几个离散的整数值。
连续型随机变量通常用概率密度函数来描述其概率分布情况，如正态分布、均匀分布等。
四、性质随机变量具有以下性质：1. 取值范围随机变量的取值范围是指它可能取到的所有数值。
对于离散型随机变量来说，其取值范围是一些离散的特定值；对于连续型随机变量来说，其取值范围是一个区间。
2. 概率分布函数概率分布函数描述了随机变量取某个特定值的概率。
对于离散型随机变量来说，其概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续型随机变量来说，其概率分布函数可以用概率密度函数表示。
3. 期望期望是指在大量重复试验中，某一事件发生的平均次数。
对于随机变量来说，期望可以用其概率分布函数来计算。
4. 方差方差是指随机变量离其期望值的偏离程度。
方差越大，随机变量的取值越分散；反之，方差越小，随机变量的取值越集中。
方差可以用公式Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2来计算。
第二讲随机变量
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ,
此时称, X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为 X ~ b(n, p).
n=1时， P{X=k}=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，
注意
即P{X=0}=1-p, P{X=1}=p
(0-1)分布
X ~ b(n, p).
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
,
二项分布的图形特点:
Pk
对于固定 n 及 p, 当 k 增
加时, 概率 P{ X k}先
是随之增加直至达到最
大值, 随后单调减少.
O
n
完
可以证明， 一般的二项分布的图形也具有这一
性质，且当 (n 1) p 不为整数时，二项概率
P{ X k} 在 k [(n 1) p] 达到最大值； 当 (n 1) p 为整数时， 二项概率 P{ X k} 在 k (n 1) p 和 k (n 1) p 1 处达到最
记载的实际年数作对照, 这些值及 P{ X k} 的值
均列入下表.
X Pk
理论年数
实际年数
0 12 3 45 6 0.055 0.160 0.231 0.224 0.162 0.094 0.045 3.5 10.1 14.6 14.1 10.2 5.9 2.8
4 8 14 19 10 4 2
X
7
售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数
5 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把
握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品
多少件?
解 设该商品每月的销售数为X , 已知 X 服从参数
5 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m
第二章随机变量
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数. 实值函数 w. X(w) R
Ω
称这种定义在样本空间上的实值函数为
简记为 r.v.或 R.V.
(Random Variable)
定义 设随机试验为 E ,其样本空间为
Ω = {ω}, 如果对于每个 ω ∈ Ω ，都有一个实数
和它对应， X (ω) 和它对应，于是就得到一个定义在 Ω 上的实值单值函数 X (ω ) ，称 X (ω ) 为随机变 简记为R.V.X。 量。简记为 X
P(X=3)=P( A A A )=(1− p)2⋅p 1 2 3
P(X=k)=(1− p) ⋅p
⋯k−1 ⋯
k= ,2,⋯ 1 ⋯
随机变量X的这种分布称为几何分布. 随机变量 的这种分布称为几何分布 的这种分布称为几何分布
如右图所示，从中任取3 例3 如右图所示，从中任取3个 取到的白球数X是一个随机变量 是一个随机变量。 球。取到的白球数 是一个随机变量。 X可能取的值是 可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为 可能取的值是 。
k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P X = 5) = C (0.001) (0.999) （ ≈ 0.1756
5 5000 5
4995
(2)
P(X ≥1) = 1 − P( X < 1) = 1 − P( X = 0)
=1−C
0 5000
(0.001) (0.999)
Ck4−1 (k = 5， 6， ⋯， 10) P{X = k} = 5 C10 具体写出， 的分布律： 具体写出，即可得 X 的分布律：
X P 5
1 252
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊统计学中非常重要的概念——随机变量。
相信提到这个名词，许多人可能会有些模糊，但其实它并不神秘。
让我们一起揭开随机变量的面纱，看看它到底是什么以及有哪些基本概念。
什么是随机变量？随机变量，顾名思义，就是在随机试验中能够取不同值的变量。
这个定义听起来有些抽象，不过其实很好理解。
比如，我们掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机变量；再比如，测量一群人的身高，每个人的身高就可以看做是一个随机变量。
随机变量就是描述随机现象的数学量。
随机变量的分类在统计学中，随机变量可以分为两种主要类型：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是那种只能取有限个或可数个数值的随机变量。
举个例子，抛硬币时出现正面和反面就是一个离散随机变量，因为可能取值只有两种。
连续随机变量与离散随机变量相对，连续随机变量可以取某一范围内所有可能的值。
比如，测量一个人的体重就是一个连续随机变量，因为体重可以是任意值，而不是像离散随机变量那样只能是“有”或“无”。
随机变量的概率分布谈到随机变量，就不得不提它的概率分布。
概率分布描述了随机变量取各个值的概率规律，它分为两种常见的形式：离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布：主要用来描述离散随机变量的取值概率，比如二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布：则是针对连续随机变量的，比如正态分布、均匀分布等。
通过合适的概率分布，我们可以更好地理解随机现象背后的规律。
随机变量的期望和方差我们来看一看随机变量的期望和方差。
这两个概念对于描述随机变量的分布特征至关重要。
期望：也称为均值，表示随机变量平均取值的大小，它是随机变量在无限次试验中各个取值的加权平均。
方差：描述随机变量取值的波动程度，是随机变量与其均值之间距离的平方的加权平均。
通过期望和方差，我们可以更加全面地了解随机变量的特性，帮助我们进行更准确的统计分析。
随机变量作为统计学的基本概念之一，在数据分析和概率理论中扮演着重要的角色。
初中数学 什么是随机变量
初中数学什么是随机变量
随机变量是概率论与统计学中的一个重要概念，它是指随机试验结果的数值特征。
在数学上，随机变量可以用来描述某个随机试验的结果，它可以取得不同的数值，而每个数值发生的概率也是已知的。
举个简单的例子来说明随机变量：假设我们进行一次抛硬币的实验，我们定义随机变量X 表示出现正面的次数，那么X可以取0（表示没有出现正面），1（表示出现一次正面）或者2（表示出现两次正面）。
在这个例子中，随机变量X描述了抛硬币这个随机试验的结果。
根据随机变量的性质，我们可以将随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量是指在一定的范围内取有限个或可数个值的随机变量，比如上面抛硬币的例子中的随机变量X就是一个离散型随机变量。
连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意值的随机变量，比如测量一个人的身高就是一个连续型随机变量。
在概率论中，随机变量的概率分布函数是描述随机变量取值的概率规律的函数。
对于离散型随机变量，我们通常使用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来描述其取值的概率分布；对于连续型随机变量，我们则使用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述其取值的概率分布。
通过研究随机变量及其概率分布函数，我们可以对随机试验的结果进行更深入的理解，从而在实际问题中进行概率计算、统计分析等工作。
随机变量在概率论与统计学中有着广泛的应用，是这两门学科的基础概念之一。
§8.1 随机变量概念一、什么是随机变量 如果我们引入一个变.
[讲解习题] P.279 练习8.3 1，3 1. 判断以下函数 f(x) 在各自指定的区间上 （f(x)在指定的区间外取值为0）是不是某随 机变量的密度函数?
解：⑴0 ⑵
3
4 2 8 2 3 dx |0 1 2 3 3( x 1) 9( x 1) 3
5 3 3 3 x (10x x 2 )dx (5 x 2 ) |5 01 250 250 3
⑵ P(-4＜X≤1/2)= ⑶ P(1/4＜X＜1)=
2(1 x)dx 0.75 2(1 x)dx 0.5625
0
1/ 2
1
1/ 4
三、常见的连续型随机变量 1.均匀分布 若随机变量X的概率密度函数为
f(x)＝
1 , ba 0, a xb
则称随机变量 X 服从区间 (a,b) 上的均匀分布， 记作X～U(a,b)。 例如， P.269 例 5 中乘客等车的时间 Y 就 服从于 (0,5) 上的均匀分布。它表明乘客在 (0,5)这个时间段内的任一 时刻等到车的可能性相同。
2x x4 1 1 ( ) |0 3 2 6
3
0
§8.5 方差 一、方差的定义 1. 如果 X 是离散型随机变量，其概率分布 为P(X=xk)＝pk，数学期望为E(X)， 则 Σ [xk-E(X)]2·pk 称为离散型随机变量X的 方差，记作D(X)。 2. 如果 X 是连续型随机变量，其概率密度 函数为f(x)，数学期望为E(X)， 2 则 [ x E( X )] f ( x)dx 称为连续型机变量X 的方差，记作D(X)。
由此，我们给出随机变量的数学期望的定义： [定义8.3] 如果随机变量 X 的频率分布为 P(X=xk) ＝ pk (k＝1,2,…)，则称和数Σ xkpk＝x1p1＋x2p2＋… ＋xkpk＋…为随机变量X的数学期望，记作E(X)， 即E(X)＝Σ xkpk
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在本文中，我们将介绍随机变量的基本概念、分类以及相关的性质。
一、随机变量的定义随机变量是一个函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数上。
换句话说，随机变量是一个从样本空间到实数集的映射。
通常用大写字母X、Y等表示随机变量。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
1. 离散随机变量离散随机变量的取值是有限个或可数个，它的概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
离散随机变量的概率质量函数满足以下两个条件：（1）非负性：对于任意的x，有P(X=x)≥0；（2）正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
2. 连续随机变量连续随机变量的取值是无限个，它的概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
连续随机变量的概率密度函数满足以下两个条件：（1）非负性：对于任意的x，有f(x)≥0；（2）正则性：概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
三、随机变量的性质随机变量具有以下几个重要的性质：1. 期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值，它表示随机变量的平均水平。
对于离散随机变量，期望可以通过概率质量函数计算；对于连续随机变量，期望可以通过概率密度函数计算。
2. 方差随机变量的方差是对随机变量取值与其期望之间差异的度量，它表示随机变量的离散程度。
方差可以通过随机变量的二阶矩来计算。
3. 累积分布函数随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量取值小于等于某个值的概率的函数。
对于离散随机变量，累积分布函数可以通过概率质量函数累加得到；对于连续随机变量，累积分布函数可以通过概率密度函数积分得到。
高考数学中的随机变量
高考数学中的随机变量随机变量是高考数学中一个重要的概念，也是考生容易忽视的一个难点。
随机变量在概率论中占有重要的地位，是研究概率分布、统计性质及应用等方面的基础和工具。
在高考数学中，我们主要需要掌握随机变量的概念、离散型随机变量和连续型随机变量等方面的知识。
一、随机变量的概念随机变量是指随机试验结果的数值表示。
在统计学中，随机变量指的是一个概率分布表，它能够描述一个随机事件中不同结果的可能性大小。
例如，掷一枚硬币的结果可以是“正面朝上”或“反面朝上”，两种结果出现的概率相等。
如果我们让“正面朝上”表示数字1，“反面朝上”表示数字0，则掷一枚硬币的结果可以表示为一个随机变量X，其取值为0或1。
随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表示，取值范围为所有可能的结果。
在概率论中，我们主要关心的是随机变量的概率分布，即随机变量取某个值的概率。
二、离散型随机变量离散型随机变量是指随机变量的取值只可能是有限个或可数个。
在高考数学中，我们通常需要掌握以下几种离散型随机变量的概率分布。
1. 二项分布二项分布描述的是重复进行相同独立试验，在每次试验中只有两个可能结果（例如抛硬币的结果）的情况下，某个特定结果在所有试验中出现的次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k)=Cn^k p^k (1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，k表示某一结果出现的次数，p表示每次试验中该结果出现的概率。
2. 泊松分布泊松分布描述了在一段时间内、一定空间内、某一行业内等等某一事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) λ^k / k!其中，λ表示某一事件发生的强度。
3. 几何分布几何分布描述了在一系列独立试验中，某一特定结果首次出现的试验次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k)=(1-p)^(k-1) p其中，p表示每次试验中该结果出现的概率。
三、连续型随机变量连续型随机变量是指随机变量的取值是连续的，不能一一列举出来。
随机变量的概念详细理解（附带补充其他基本统计概率）
随机变量的概念详细理解（附带补充其他基本统计概率）随机变量只是统计学中为了描述的⽅便，将随机试验中的事件转换为数字的⼀个抽象。
是⽤数字来描述随机变量的⼀种⼿段。
定义：设随机试验的样本空间是S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。
举例：例⼦1：将⼀枚硬币抛掷三次，观察正、反⾯出现的情况，试验的样本空间是S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. H代表正⾯。
假设我们感兴趣的是出现H的次数X，⽽对H在哪⼀次抛掷时出现并不关⼼。
⽐如我们不关⼼实际出现的是HHT，HTH，还是THH，⽽只关⼼当这些样本点出现时X=2。
显然，⼀个样本点对应X的⼀个值，因⽽X是定义在样本空间S={e}上的样本点的函数，具体写出来就是0，e=TTTX=X(e)= 1，e=HTT,THT,TTH2，e=HHT,HTH,THH3，e=HHH这个函数叫做随机变量，它的定义域是样本空间S，值域Rx={0,1,2,3}。
例⼦2：⼀射⼿连续射击4次，观察他是否击中的情况，试验的样本空间是S={(x1,x2,x3,x4)| xi=0,1;i=1,2,3,4},其中xi取1或0，xi=1表⽰第i次射击时击中，xi=0表⽰第i次射击时未击中。
以X记击中的次数。
假设我们只关⼼X取什么值⽽对于哪⼀次击中，哪⼀次未击中不关⼼。
例如不关⼼出现的是（0,0,1,1）还是（1,0,1,0）还是（1,0,0,1）等，⽽只关⼼当这些点出现时X=2。
这⾥X是⼀个变量，它的取值决定于试验的样本点，⼀个样本点对应X的⼀个值。
因⽽X是定义在样本空间S={e}上的函数。
具体写出来就是X=X(e)=x1+x2+x3+x4。
这个函数叫做随机变量，他的定义域是样本空间S，值域是Rx={0,1,2,3,4}。
补充⼏个统计学基本概念：确定性现象：在⼀定条件下必然发⽣的现象。
例如，在⼀个标准⼤⽓压下，⽔加热到100摄⽒度⼀定沸腾。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考：若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过 1000小时，
并如下定义一个随机变量Y， Y是一个离散型随机变量 吗？ 0，寿命<1000小时 1，寿命≥1000小时
Y=
随机变量Y显然比X要简单，也更便于研究，为了我 们研究的可操作性，有些问题往往可以考虑从不同的角 度去构造随机变量。
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数X． {1、2、3……} 随机变量每一的取值分别对应着一个试验结果。你 能就练习四，讲讲X=3与X<3所表达的事件吗？ 如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可 以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.
思考：某种电灯泡的寿命X是一个离散型随机变量吗？
0 1 …… 4
在以上的各例说明，在随机试验中，我们可 以确定一个对应关系，使得每一个试验的结果都 用一个确定的数字来表示。
在这种对应关系下，数字是随着试验结果的 变化而变化的。 象这种随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量。 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把 试验结果映为实数，试验结果的范围相当于函数 的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值 域，故我们也把随机变量的取值范围称为随机变 量的值域。
练习:写出下列各随机变量的值域: (1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 被取出的卡片的号数X． 中所含白球数X． {1、2、3、· · · 、10} (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其 {0、1、2、3}
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X．{2、3、· · · 、12}
(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.
在问题三中，我们确定了一个对应关系，使得每 一个试验结果都用一个确定的数字来表示。 这种对应事实上是一 个映射。 在例1与例2中，能构 造类似的映射吗？
正面朝上 反面朝上
0 1
出现1点 出现2点 …… 出现6点
1 2 …… 6
0件次品 1件次品 …… 4件次品
例1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少? 若用X表示出现的点数，X有哪些取值？ X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果 例2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10次品的 100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？ 若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？ Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果 思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能 否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？ X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上 说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；
练习二:
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
(A)两次出现的点数之和 (B)两次掷出的最大点数
(C)第一次减去第二次的点数差
(D)抛掷的次数
2.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5
五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两 个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是___ 9 个； “X=4”表示 ．
“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第 二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．