2020年高三数学一轮复习 第二章第4课时知能演练轻松闯关 新人教版
高三数学一轮复习 专题二知能演练轻松闯关 新人教版
1．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解：(1)由sin(C －A )＝1，得C －A ＝π2，又C ＋A ＝π－B ， ∴A ＝π4－B 2， ∴sin A ＝sin(π4－B 2)＝22(cos B 2－sin B 2)， ∴sin 2A ＝12(1－sin B )＝13， 又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ， ∴BC ＝AC sin A sin B ＝6×3313＝32， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2. 2．已知向量a ＝(－1，sin α2)与向量b ＝(45，2cos α2)垂直，其中α为第二象限角． (1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．解：(1)∵a ＝(－1，sin α2)，b ＝(45，2cos α2)，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－45＋2sin α2cos α2＝0，即sin α＝45. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－43. (2)在△ABC 中，∵b 2＋c 2－a 2＝2bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，tan A ＝1， ∴tan(α＋A )＝tan α＋tan A 1－tan αtan A ＝－17. 3．(2011·高考福建卷)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1x ≤1y ≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值． 解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即图中阴影部分)如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1. 4．(2011·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 解：(1)由题意得T ＝2ππ3＝6. 因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.5．已知函数f (x )＝2cos(x ＋π3)[sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)]．(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈[0，π6]，使得m [f (x )＋3]＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin(x ＋π3)cos(x ＋π3)－23cos 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π3)－3[cos(2x ＋2π3)＋1]＝sin(2x ＋2π3)－3cos(2x ＋2π3)－3＝2sin(2x ＋π3)－ 3. ∵－1≤sin(2x ＋π3)≤1.∴－2－3≤2sin(2x ＋π3)－3≤2－3，T ＝2π2＝π， 即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，故sin(2x ＋π3)∈[32，1]，此时f (x )＋3＝2sin(2x ＋π3)∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤02m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是[－233，－1]．。
(新课标)高考数学一轮复习 第二章 第4讲 知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关1．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x解析：选A．A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2 014)＋f(2 015)＝( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选A．因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3．3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C．A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A ．由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A ．5．(2015·山东威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4} 解析：选C ．由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)·(ax ＋b )，(2a －b )·x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ．则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0．f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4．故选C ．6．f (x )＝k ·2x ＋2－x为偶函数，则k ＝________，为奇函数，则k ＝________． 解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)， 即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1．f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，∴k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)， 即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． 答案：1 －17．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．解析：由f (x ＋2)f (x )＝1，得f (x ＋2)＝1f （x ），进而得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15．答案：－158．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．答案：(－1，3)9．设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)． 又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)，再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f (9(a －1))．因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >09（a －1）>0a >9（a －1），解得1<a <98．故实数a 的取值范围为(1，98)．10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ． (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4． (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4． (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z )．1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C ．f (x )的图象如图．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x )<0，得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)． 故x ∈(－1，0)∪(1，3)．2．(2015·皖北协作区联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x 、y ∈R ，x＋y ≠0，都有f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，若x >2y ，则( )A ．f (x )>f (2y )B ．f (x )≥f (2y )C ．f (x )<f (2y )D ．f (x )≤f (2y )解析：选A ．因为f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，令x ＝x 1，y ＝－x 2， 则f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2>0．又函数f (x )是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．因为x >2y ，所以f (x )>f (2y )，故选A ．3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是____________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x．解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1) 4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：∵f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．∴f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数． ∵f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (x )在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象．其图象也关于x ＝－6对称， ∴x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8． 答案：－85．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x －4，x ≥2，（a －2）x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，故a 的取值范围为[－2，2]．(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (－0)＝－g (0)，∴g (0)＝0．设x >0，则－x <0． ∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －4，x >0，0，x ＝0，（a －2）x ＋4，x <0.6．(选做题)(2015·山东菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，∵f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，∴f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，∴f (x 1)＋f (x 2)＞0． ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0．∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)∵f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，∴由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1． 故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。
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1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A 、B . (1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. 2．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．3．(2011·高考山东卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意知t >0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意知Δ>0，所以3k 2＋1>t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .由题意知D (－3，m )在直线OE 上，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2取最小值 2.(2)证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t >0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.6．(2012·烟台调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1，①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
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1．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 2．已知函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？解：(1)因为f ′(x )＝a x 2＋b －ax 2x x 2＋b 2，而函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b －2a ＝0，a1＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4x1＋x2即为所求．(2)由(1)知f ′(x )＝4x 2＋1－8x2x 2＋12＝－4x －1x ＋11＋x22. 令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1， 则f (x )x (－∞，－1) (－1,1) (1，＋∞)f ′(x ) － ＋ － f (x ) ↘↗ ↘可知，f (x )所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1⇒－1＜m ≤0，m ＜2m ＋1所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增．3．(2012·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2x 3－a3x 2，x ≠0.(1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行．故所求的a 值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在(1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2时，x (1，a ) a (a,2) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) ↘ 极小值 ↗由上表可得y ＝f (x ③当a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2)上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5. 综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2；当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1；当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x.当x 变化时，f x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 递减 极小值 递增由上表可知，极小值是f (1)＝1.(2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x2－4x ＜0，∴φ(x )＝2x－2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞)．5．(2012·烟台调研)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，f (x )没有最小值；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝xex －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．。
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1．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1.∴b 1＝－2，又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1) ①，S n ＝23(b n －1) ②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2，即b n ＝(－2)n.∴S n ＝23[(－2)n－1]．2．(2011·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3.因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 3．(2011·高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0， 故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.4．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＋2a 2＝3a 3. (1)求q 的值；(2)设{b n }是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为T n .当n ≥2时，试比较b n 与T n 的大小．解：(1)由已知可得a 1＋2a 1q ＝3a 1q 2， 因为{a n }是等比数列，所以3q 2－2q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－13.(2)①当q ＝1时，b n ＝n ＋1，T n ＝n 2＋3n2，所以，当n ≥2时，T n －b n ＝n 2＋n －22>0.即当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．②当q ＝－13时，b n ＝2＋(n －1)(－13)＝7－n3，T n ＝n 2(2＋7－n 3)＝13n －n 26，T n －b n ＝－n －1n －146，所以，当n >14时，T n <b n ； 当n ＝14时，T n ＝b n ； 当2≤n <14时，T n >b n .综上，当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．当q ＝－13时，若n >14，T n <b n ；若n ＝14，T n ＝b n ；若2≤n <14，T n >b n .5．已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n ＝12na n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知：a 2·a 4＝a 1·a 5＝14，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝54a 2·a 4＝14.∵q ∈(0,1)，∴a 2>a 4， ∴解方程组得a 2＝1，a 4＝14，∴q ＝12，a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2.(2)由(1)知：a n ＝(12)n －2，所以b n ＝n (12)n －1.∴S n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －2＋n (12)n －1，①12S n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －2)(12)n －2＋(n －1)·(12)n －1＋n (12)n ，② ∴①－②得：12S n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2＋(12)n －1－n (12)n＝1×[1－12n]1－12－n (12)n，∴S n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1＝4－(n ＋2)(12)n －1.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1.所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b1、b m、b k成等比数列．。
高三数学一轮复习 第2课时知能演练轻松闯关 新人教版选修4-4.doc
高三数学一轮复习 选修4-4第2课时知能演练轻松闯关 新人教版一、填空题1．(2011·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5. ∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2， ∴|AB |min ＝5－2＝3. 答案：32．(2011·高考天津卷)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x－y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 23．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2的方程为3x －y －4＝0，由两平行线间的距离公式得|a －3＋4|10＝10，即|a ＋1|＝10，解得a ＝9，或a ＝－11.答案：9或－114．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π))上，则yx 的取值范围为________．解析：将参数方程消去θ，得圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1，其中x ∈[－3，－1)，y ∈[－1,0]．而y x 表示点P (x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，结合图象易得y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 5．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋kt(t为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sy ＝1－2s(s 为参数)垂直，则k ＝__________.解析：直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2×(－2)＝－1⇒k ＝－1. 答案：－16．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin2θ＋22y sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是__________．解析：圆心轨迹的参数方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2θ，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θy ＝－sin θ＋cos θ，消去参数θ得y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12二、解答题7．(2010·高考天津卷)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，求圆C 的方程．解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)，故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.8．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．解：直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则 弦长d ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝210.9．求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长． 解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4分别化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长为2r 2－d 2＝2 12－1100＝75. 10．已知某条曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a ＝1.∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝t2.由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．11．以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝6，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos θy ＝10sin θ(θ为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．解：由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝6， 得ρsin θ－3ρcos θ＝12.∴y －3x ＝12.将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝102， ∴圆心为C (0,0)，半径为10.∴点C 到直线l 的距离为d ＝|0－0＋12|3＋1＝6，∴直线l 被圆截得的弦长为2102－62＝16.12．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(t 是参数)(2)∵点A 、B 都在直线上，∴可设点A 、B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A 、B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1、B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2， 将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得 t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2，∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.。
高考数学 第二章第4课时 知能演练轻松闯关 新人教A版
高考数学 第二章第4课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版一、选择题1．已知点(33，3)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A.设f (x )＝x α，由已知得(33)α＝3，∴α＝－1， 因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数，故选A.2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)＜c ＜f (52) B ．f (52)＜c ＜f (－3) C ．f (52)＜f (－3)＜c D ．c ＜f (52)＜f (－3) 解析：选D.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (52)＞f (2)＝f (0)＝c ，故选D.3．(2013·太原模拟)已知f (x )＝x 12，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a ) C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ()a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b ) 解析：选C.因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0＜a ＜b ＜1b ＜1a，故选C. 4．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)解析：选A.∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，∴0.71.3＜1.30.7，∴m ＞0.5．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案：A二、填空题6．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －1的图象不过原点，则m 的取值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －1＜0，得m ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)＜x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1＜x ，即x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2.答案：0 {x |1＜x ＜2}8．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，由题知m >0，∴对称轴为x ＝－12m≤－2， ∴0<m ≤14.综上0≤m ≤14. 答案：[0，14] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x m －2x ，且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)因为f (4)＝72， 所以4m －24＝72. 所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，则f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． 又f (－x )＝－x －2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2.因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．10．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a ＜－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1＝1＋3a ＝－2f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝a －a 2＝－2f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1； 当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝a －a 2＝－2f －1＝1＋3a ＝2⇒a 不存在； 当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1＝1＋3a ＝2f 1＝1－a ＝－2⇒a 不存在． 综上可得，a ＝－1.∴存在实数a ＝－1满足题设条件．一、选择题1．若a ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞(0.2)aB ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞2a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞(0.2)a ＞2a D ．2a ＞(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 解析：选B.若a ＜0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞0.所以(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞2a . 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象如图．知f (x )在R 上为增函数．∵f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a .解得－2＜a ＜1.二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或34．(2013·淮南调研)已知a 是正实数，函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1.若f (m )＜0，比较大小：f (m ＋2)________1.(用“＜”或“＝”或“＞”连接)解析：根据已知条件画出f (x )图象如图所示．因为对称轴方程为x ＝－1，所以(0,0)关于x ＝－1的对称点为(－2,0)．因f (m )＜0，所以应有－2＜m ＜0，m ＋2＞0.因f (x )在(－1，＋∞)上递增，所以f (m ＋2)＞f (0)＝1.答案：＞三、解答题5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x ＞0，－x ＋12，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
高三数学一轮复习 第二章第10课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e xsin xC ．2e x sin xD ．－2e x(sin x ＋cos x )解析：选D.∵y ＝－2e xsin x ，∴y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x)·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝2x ＋2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1解析：选C.f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(1)＝1，f (1)＝0.切线方程为y ＝1×(x －1)，即y ＝x －1，故选C.3．(2012·绵阳质检)设函数f (x )＝13ax3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0＝________.解析：由已知f ′(x )＝ax 2＋b ，又f (3)＝3f ′(x 0)，则有9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝3，则x 0＝± 3. 答案：± 34．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：依题意得2×1－3f (1)＋1＝0，即f (1)＝1，f ′(1)＝23，则f (1)＋f ′(1)＝53.答案：53一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.求导运算正确的有②③，故选B.2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos x －x 2sin xB ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin xC ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x解析：选A.y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .故选A.3．函数f (x )＝ln xx在点(x 0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0)＝( )A ．－1eB.1eC.1e2 D ．e 2解析：选B.与x 轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x 0)＝1x 0·x 0－ln x 0x 20＝1－ln x 0x 2＝0，故x 0＝e ，∴f (x 0)＝1e.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2012(x )＝( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x D ．sin x ＋cos x解析：选B.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2012(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线y ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12解析：选B.求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×1＝16，故选B. 二、填空题6．函数y ＝sin xx的导数为________．解析：y ′＝sin x ′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin xx2. 答案：x cos x －sin xx 27．(2012·开封调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2.答案：[2，＋∞)8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6. 答案：6 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )(1＋1x)；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)∵y ＝(1－x )(1＋1x)＝1x－x ＝x12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝(sin x cos x )′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝[(1＋sin x )2]′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin2x .10．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．解：因为f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln2.11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )、g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，请求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2.(2)若f (x )、g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12，又由题知x 0>0，∴得x 0＝12.。
高中数学 电子题库 第二章 4知能演练轻松闯关 北师大版必修4
高中数学 电子题库 第二章 4知能演练轻松闯关 北师大版必修41.(2020·亳州质检)若a ＝(2，1)，b ＝(1，0)，则3a －2b 的坐标是( )A ．(5，3)B ．(4，3)C ．(8，3)D ．(0，－1)解析：选B.3a －2b ＝3(2，1)－2(1，0)＝(4，3)．2.(2020·南阳调研)已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4解析：选D.∵a ∥b ，∴y 2＝2－1.即y ＝－4. 3.已知向量i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x 、y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ≠0，且a ＝(x ，y )，则a 的起点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点的坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确的序号)．解析：只有①正确；x 1＝x 2，y 1≠y 2或x 1≠x 2，y 1＝y 2时也有(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，∴②不正确；a 的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标并不是向量坐标，④不正确． 答案：①4.若A 、B 、C 三点的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8，10)，则AB →＋2BC →、BC →－12AC →的坐标分别为________、________． 解析：AB →＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)，∴AB →＋2BC →＝(－2，10)＋2(－8，4)＝(－2，10)＋(－16，8)＝(－18，18)，BC →－12AC →＝(－8，4)－12(－10，14)＝(－8，4)－(－5，7)＝(－3，－3)． 答案：(－18，18) (－3，－3)[A 级 基础达标]1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b ＝(10，0)(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＝2，n ＝4B ．m ＝3，n ＝－2C ．m ＝4，n ＝2D ．m ＝－4，n ＝－2解析：选C.∵m a ＋n b ＝m (3，－1)＋n (－1，2)＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 2.设a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为( )A ．p ＝4，q ＝1B ．p ＝1，q ＝4C ．p ＝0，q ＝4D ．p ＝1，q ＝－4解析：选B.∵c ＝p a ＋q b ＝(－p ，2p )＋(q ，－q )＝(q －p ，2p －q )＝(3，－2)，∴q －p ＝3且2p －q ＝－2，解得p ＝1，q ＝4.3.(2020·高考广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解析：选B.∵a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，∴a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a ＋λb )∥c ，∴3×2－4×(1＋λ)＝0.∴λ＝12. 4.(2020·焦作调研)若向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．解析：∵a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，须x ·x －1·4＝0，即x 2＝4，∴x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．仅当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同答案：25.(2020·南阳质检)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：∵Q 是AC 的中点，∴PQ →＝12PA →＋12PC →. ∴PC →＝2PQ →－PA →＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7)．又∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)6.已知A (3，0)，B (4，4)，C (2，1)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：设P 的坐标为(x ，y )．∵P 在OB 上，∴OP →与OB →共线．又∵OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4)，∴4x －4y ＝0，即x －y ＝0.①同理，AP →与AC →共线．由AP →＝(x －3，y )，AC →＝(－1，1)，得x －3＋y ＝0.②由①②，解得x ＝32，y ＝32， 即P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. [B 级 能力提升]7.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 解析：选B.CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →) ＝－12[(－2，3)＋(3，7)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 8.(2020·咸阳高一检测)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，tan α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，23，且a ∥b ，则锐角α的值为( )A.π3B.π6C.π4D ．以上都不对 解析：选B.∵a ∥b ，∴34×23－cos α·tan α＝0，∴sin α＝12，又∵α为锐角，∴α＝π6. 9.(2020·高考北京卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．解析：∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，∴a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)．∵a －2b 与c 共线，∴3k －3×3＝0.∴k ＝1.答案：110.已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，点P 满足AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)λ为何值时，点P 在函数y ＝x 的图像上？(2)设点P 在第三象限，求λ的取值范围．解：设P (x 1，y 1)，则AP →＝(x 1－2，y 1－3)．∵AP →＝AB →＋λAC →＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝5＋5λ，y 1＝4＋7λ. ∴点P 的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝12， ∴当λ＝12时，点P 在函数y ＝x 的图像上．(2)∵点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0， 解得λ<－1.∴λ的取值范围是{λ|λ<－1}．11.(创新题)已知向量μ＝(x ，y )与v ＝(y ，2y －x )的对应关系可用v ＝f (μ)表示．(1)证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )，即对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )．(2)f (a )＝f ((1，1))＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f (b )＝f ((1，0))＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . 所以向量c ＝(2p －q ，p )．。
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2020年高三数学一轮复习 第二章第4课时知能演练轻松闯关 新人
教版
1．函数y ＝x α
(x ≥1)的图象如图所示，则α满足条件( )
A ．α＜－1
B ．－1＜α＜0
C ．0＜α＜1
D ．α＞1
解析：选C.由图象在第一象限向上凸起，可知0＜α＜1.
2．(2020·高考四川卷)函数f (x )＝x 2
＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )
A ．m ＝－2
B ．m ＝2
C ．m ＝－1
D ．m ＝1 解析：选A.函数f (x )＝x 2
＋mx ＋1的图象的对称轴为x ＝－m 2，且只有一条对称轴，所以－
m
2
＝1，即m ＝－2.
3．(2020·石家庄调研)已知幂函数f (x )＝k ·x α
(k ，α∈R )的图象过点(12，22
)，则k ＋α
＝________.
解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点(12，22)代入得22＝(12)α，从而α＝1
2
，故k ＋α＝
32
. 答案：32
4．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )＞0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，求f (x )的解析式．
解：设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，
由f (x )＞0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12.
即⎩⎪⎨⎪
⎧
f 0＝0，f 4＝0，f 2＝12，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－3，
b ＝12，
c ＝0.
∴f (x )＝－3x 2
＋12x .
一、选择题
1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A ．①y ＝x 13
，②y ＝x 2
，③y ＝x 12
，④y ＝x －1
B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2
，③y ＝x 12，④y ＝x －1
C ．①y ＝x 2
，②y ＝x 3
，③y ＝x 12
，④y ＝x －1
D ．①y ＝x 13
，②y ＝x 12
，③y ＝x 2
，④y ＝x －1
解析：选B.注意到函数y ＝x 2
≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y ＝x 12
＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数
图象应与③对应；y ＝x －1
＝1x
，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B.
2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的开口向上，
故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向下，
故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b
2a
＜0，而二次函数的对称轴在y
轴的右侧，故错误，因此选C. 3．(2020·太原质检)已知f (x )＝x 12
，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是( )
A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b
B ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a )
C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ()a ＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b ＜f (b ) 解析：选C.因为函数f (x )＝x 1
2
在(0，＋∞)上是增函数，
又0＜a ＜b ＜1b ＜1
a
，故选C.
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －7，x ＜0，
x ，x ≥0，
若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C.当a ＜0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
－7＜1，
即2－a ＜23
，∴a ＞－3，∴－3＜a ＜0. 当a ≥0时，a ＜1， ∴0≤a ＜1.故－3＜a ＜1.
5．如果函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2)
解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x ) 知f (x )的图象关于x ＝1
2
对称，又抛物线开口向上，结合图
象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)． 二、填空题
6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－1
8
)，则满足f (x )＝27的x 的值是________．
解析：设幂函数为y ＝x α，图象经过点(－2，－18)，则－18
＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3
＝
27，∴x ＝1
3.
答案：13
7．若函数y ＝mx 2
＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 解析：m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，由题知m >0，
∴对称轴为x ＝－1
2m
≤－2，
∴0<m ≤14.综上0≤m ≤1
4.
答案：[0，1
4
]
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.
又f (x )＝(x －a )2－a 2
＋2a ＋4，
当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2
＋2a ＋4＝1，
即a 2
－2a －3＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 答案：－1或3 三、解答题
9．已知函数f (x )＝x m
－2x ，且f (4)＝72
.
(1)求m 的值；
(2)判定f (x )的奇偶性；
(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解：(1)因为f (4)＝7
2
，
所以4m
－24＝72
.
所以m ＝1.
(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，
又f (－x )＝－x －2－x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． (3)设x 1＞x 2＞0，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 2－2x 2
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋
2x 1x 2，
因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋
2
x 1x 2
＞0.
所以f (x 1)＞f (x 2)．
所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．
10．已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；
(2)画出f (x )的图象，并由图象给出该函数的值域； (3)求不等式f (x )≥0的解集．
解：(1)令f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，图象经过(1，－8)，得a (1＋1)(1－3)＝－8，解得a ＝2.
∴f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2(x －1)2
－8. (2)图象为：
值域：{y |y ≥－8}．
(3)由图象可知解集为：{x |x ≤－1或x ≥3}．
11．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．
解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.
(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.
(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2
＋2x ＋3，
∴f (|x |)＝x 2
＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，
且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x ＋3，x ∈0，6]
x 2
－2x ＋3，x ∈[－6，0]，
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。