2017年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷与解析答案

合集下载

江苏省南通市通州区2019-2020学年高一下学期期末学业质量监测数学试题(PDF版,无答案)

2019～2020学年末学业质量监测试卷高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡的指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用书写黑色字迹的05毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

3.考试结束后，将答题卡交因。

一、选择题z本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知a' b是单位向量，且aJ.b，则a·(b-a)=A. -1B. 0C.I2.在6ABC中，若sinA: s inB :sinC =3: 5: 7，则C=A. 30。

B. 60。

c.120°3.使式子lo g x_i(-x2+x+6）有意义的x的取值范围是A.(-2, 3)B.(2, 3) c.[-2, 3]4.己知角α的终边为y=Jix(x兰的，则叫α＋？）＝A.I n d户12-2-2高－数学试题第1页（共6页〉D (i)D.150。

D.(2, 3] D.－手5.设集合A巾，川y斗I xi}, B ={ (x，川y=F-斗，则Ans中的元素个数为A.0B.1 c.2 D.36.我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从上到下排列的6个交组成，交分为阳交“一一一”和阴交“一一”，如图就是一个重卦．己知某重卦从上到下排列的前3个交均为阴交，若后3个交随机产生，则该重卦’恰含2个阳灵的概率为A. 3B l8c.22D. 3（第6题）7.己知球0的表面积为16π，球心。

到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为A.3πB.4π c.6π D.8π8.设直线l过点P(I, 2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为A.1B.2 c.3 D.4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【配套K12】江苏省南通市通州区2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为．3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为．5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为．7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为．8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为．9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=， =．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为．11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为．12．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则•的值为．13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣3x．若方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα的值；（2）求cos2α的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．（1）试将•表示α的函数f（α），并写出其定义域；（2）求函数f（α）的值域．18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B 的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l．①求直线MN的方程；②求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得a+1=3，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数a的值2．故答案为：2．2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，∴S△ABC=AB•AC•sinA==．故答案为：．4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据指数函数的图象和性质，列出不等式求出a的取值范围．【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2；∴实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为 4 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心为C（2，0），半径r=，再求出圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，从而弦AB的长|AB|=2，由此能求出结果．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=6的圆心为C（2，0），半径r=，圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∵直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，∴弦AB的长|AB|=2=2=4．故答案为：4．7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为．【考点】H7：余弦函数的图象；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意根据cosx=sinx，求得x的值，可得y的值，从而得到点P到x轴的距离为|y|的值．【解答】解：两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，设点P的坐标为（x，y），由cosx=sinx，可得tanx=，∴x=kπ+，k∈Z，∴y=±，∴点P到x轴的距离为|y|=，故答案为：．8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为24π．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，∴长方体的对角线AC1==2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC1，可得半径R=，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=24π故答案为：24π．9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=， =．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】==+=+=﹣.，，即可求得λ+μ．【解答】解： ==+=+=﹣．∴，则λ+μ=．故答案为：10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】六面体的体积为上下两个棱锥的体积和，根据体积公式化简即可得出答案．【解答】解：设三棱锥O1﹣DEF的高为h1，三棱锥O﹣DEF的高为h2，则h1+h2=AA1=2，∴V O﹣DEF+V=+=S△DEF•（h1+h2）==．故答案为：．11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出g（x）的解析式，利用对称中心得出ω，再代入周期公式得出答案．【解答】解：g（x）=f（x﹣）=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω），∴g（）=sin（﹣ω）=0，即﹣ω=k π，k ∈Z ，∴ω=3k π，又0＜ω＜6， ∴ω=3，∴f （x ）的最小正周期为T=．故答案为．12．在△ABC 中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交AC 于点D ，则•的值为 ﹣．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由余弦定理求得cosA ，可得•=4×4×=14，再由内角平分线定理，可得AD=，再由向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：由余弦定理可得cosA===，可得•=4×4×=14，由BD 为∠ABC 的平分线，可得===2，AD=，即有•=•（﹣）=•（﹣）=2﹣•=×16﹣14=﹣．故答案为：﹣．13．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣3x ．若方程f （x ）+x ﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为{﹣1，1} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的解析式，分离参数可得t=f（x）+x，作出g（x）=f（x）+x的函数图象，根据图象可得t=±1．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+3x）=﹣x2﹣3x，由f（x）+x﹣t=0得t=，令g（x）=，作出g（x）的函数图象如图所示：∵方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，∴t=1或t=﹣1．故答案为：{﹣1，1}．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是[2，1+] ．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】两直线方程联立，消去m，可得M的轨迹方程，再设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的又一轨迹方程，由两圆有公共点，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：由题意，，将m=﹣代入l1：mx﹣y﹣2m+2=0，化简可得x2+y2﹣2x﹣2y=0，即有M在以圆心C1（1，1），半径为的圆上，又点A（2a，0）（a＞0），设M（x，y），MA2+MO2=2a2+16，可得（x﹣2a）2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2+y2﹣2ax+a2﹣8=0，可得M在以圆心C2（a，0），半径为2的圆上，由两圆相交可得≤|C1C2|≤3，即为≤≤3，解得2≤a≤1+．故答案为：[2，1+]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα的值；（2）求cos2α的值．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GU：二倍角的正切．【分析】（1）由已知利用两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）由tanα=，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵tan（α﹣）==﹣．∴解得：tanα=．（2）∵tanα=，∴cos2α===．16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PC中点E，连结EF、BF，推导出四边形ABFE是平行四边形，从而AE∥BF，由此能证明AE∥平面PBC．（2）由DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，得PB⊥CD，从而PB⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，∵在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点，∴EF CD，AB，∴EF AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，∴PB⊥CD，∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．（1）试将•表示α的函数f （α），并写出其定义域；（2）求函数f （α）的值域．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据题意，用α表示出、、，求出，利用数量积个数计算f （α）并化简，写出α的取值范围；（2）根据α的取值范围即可求出函数f （α）的值域．【解答】解：（1）根据题意，||=1，∠AOC=α，∴=（cos α，sin α），=（cos （α+），sin （α+）），=（cos α，0）；∴=﹣=（cos （α+）﹣cos α，sin （α+）），∴f （α）=•=cos α[cos （α+）﹣cos α]+sin αsin （α+）=cos[（α+）﹣α]﹣cos 2α=﹣=﹣cos2α，其中α∈（0，）；（2）由（1）知，f （α）=﹣cos2α，α∈（0，）时，2α∈（0，），cos2α∈（，1），∴﹣cos2α∈（﹣，﹣），∴函数f （α）的值域为（﹣，﹣）．18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B 的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）在△ABC中使用正弦定理得出BC；（2）在△ABC中求出AC，再在△ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出∠DAC，得出结论．【解答】解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，∴∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=3（海里）．（2）由题意可知CD=3，∠ACD=60°，在△ABC中，由余弦定理得AC==3，在△ACD中，由余弦定理AD==3，由正弦定理得：，即，解得sin∠DAC=，∴∠DAC=45°，∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3海里处．19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l．①求直线MN的方程；②求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）①求出直线MN的斜率k=k AB=﹣，由此能求出直线MN的方程．②求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2=2，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=4﹣1=3，由此能求出△PMN的面积S△PMN．（2）设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，直线OP的斜率为﹣，直线OP的方程为y=﹣，联立，得点P（，﹣），求出，，推导出=0，从而PM⊥OM，进而直线PM与圆O相切．【解答】解：（1）①∵圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，MN∥l，∴直线MN的斜率k=k AB=﹣，∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），整理，得：4x+3y﹣5=0．②点O（0，0）到直线MN的距离d==1，MN=2=2=2，点O到直线l的距离|OP|==4，∴P到MN的距离h=4﹣1=3，∴△PMN的面积S△PMN===3．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设M（x0，y0），则直线MN的斜率k==，∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为﹣，∴直线OP的方程为y=﹣，联立，解得点P的坐标为（，﹣），∴=（，﹣），∵=（x0，y0），，∴==﹣4==0，∴⊥，∴PM⊥OM．∴直线PM与圆O相切．20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】（1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和；（2）①根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；②讨论a的范围，判断g（x）的单调性，根据最大值验证或列出不等式得出a的范围．【解答】解：（1）f（x）=a|x﹣1|+1=，∵a＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又f（1）=1，∴f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，∵f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）的所有零点之和为2．（2）①b=0时，f（x）=a|x|+1，∴g（x）=x2﹣a|x|﹣1，∴g（﹣x）=g（x），即g（x）是偶函数，∵a＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵g（2x+1）≤g（x﹣1），∴|2x+1|≤|x﹣1|，解得﹣2≤x≤0．原不等式的解集为[﹣2，0]；②b=1时，g（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣1=，若a=0，则g（x）=x2﹣1，则g（x）在[0，2]上单调递增，∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=3，不符合题意；若a＞0，则g（x）在[0，1]上单调递增，g（1）=0，当x＞1时，g（x）的对称轴为x=，∵g（x）在[1，2]上最大值为0，且g（1）=0，∴≥，即a≥3．若a＜0，则g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）＞g（1）=0，不符合题意．综上，a≥3．。

高一期末数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. √-1D. 0.1010010001…2. 若 a > b > 0，则下列不等式成立的是：A. a² > b²B. a - b > 0C. a/b > 1D. ab > 03. 已知函数 f(x) = 2x - 3，若 f(x) + f(2 - x) = 0，则 x 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点 A(2,3)，B(4,5)，则线段 AB 的中点坐标为：A. (3,4)B. (4,3)C. (3,5)D. (4,4)5. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为：A. 100B. 105C. 110D. 1156. 若复数 z 满足 |z - 1| = |z + 1|，则 z 在复平面上的位置是：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限7. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x8. 在△ABC中，若 a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 410. 若等比数列 {an} 的前三项分别是 2, 6, 18，则其公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9二、填空题（每题5分，共50分）1. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 的值为________。

2. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为________。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高一(下)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省南通市通州区高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}，则M∩N=．2．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣2，公差d=3，则a10的值为．3．（5分）已知sinθ=，则cos2θ的值为．4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值为．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=，B=，则角A的大小为．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（）的值为．8．（5分）已知等比数列{a n}中，lna3+lna8=lna10﹣lna9．若a m=1（m∈N*），则m 的值为．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2（n∈N*），则数列{}前10项的和为．10．（5分）已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=x+sinx，则满足不等式f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0的实数a的取值范围是．11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=2，∠BAD=60°．若=，=，则•的值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2是b2与c2的等差中项，角A的取值范围是．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+1+=a n（n≥2且n∈N*），则满足不等式a n+1﹣a n＞0.02的正整数n的最大值为．14．（5分）设a，b是两个正实数，且a2b+3ab2=a﹣b，则b的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（cosA，sinA），=（1，﹣1），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=，3sinB=2sinC，求△ABC的面积．16．（14分）已知f（x）=2x2﹣x+1，g（x）=x．（1）求不等式≥2g（x）的解集；（2）若不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，求m的取值范围．17．（14分）已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，a2•a4=，a6=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=8+log2a n，数列{|b n|}的前n项和为T n，求T20．18．（16分）已知函数f（x）=﹣x2+（a﹣2）x+4，g（x）=lg（其中a∈R）．（1）若x1，x2∈[1，3]且x1≠x2时，满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，求a的取值范围；（2）当函数g（x）为奇函数时，求函数f（x在[t，t+1]上的最大值．19．（16分）如图，某生态园内准备开发一个三角形区域ABC，要求∠ACB=120°，AC与BC都不超过6百米．在区域内还需修建直道CD，将该区域分成两个小区域种植不同的花卉，CD平分∠ACB，点D在AB上，CD=2百米．记三角形区域ABC的面积为S．（1）当小区域△ACD的面积为平方百米时，求S的值；（2）设AC=x，BC=y①求y关于x的函数关系式，并指出它的定义；②试确定x，y的值，使S取得最小值，并求出该最小值．20．（16分）若数列{a n}的前n项和为S n，且满足等式a n+2S n=3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）①设b n=（﹣1）nλa n+1﹣n2，若数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围；②2数列{a n}中是否存在三项a m，a n，a p（m，n，p∈N*且m＜n＜p）满足2a n=a m+a p？若存在，请求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省南通市通州区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}，则M∩N={x|0≤x ＜1} ．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0≤x＜2}={x|0≤x＜1}．故答案为：{x|0≤x＜1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣2，公差d=3，则a10的值为25．【分析】利用等差数列的通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=﹣2，公差d=3，∴a10=a1+9d=﹣2+9×3=25．故答案为：25．【点评】本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知sinθ=，则cos2θ的值为．【分析】直接利用二倍角的余弦公式，然后将代入即可求出答案．【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×（）2=故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，灵活运用公式是解题的关键，属于基础题．4．（5分）函数的定义域为[3，+∞）．【分析】由2x﹣8≥0即可求得函数的定义域．【解答】解：依题意得，2x﹣8≥0，∴2x≥8=23，又y=2x为增函数，∴x≥3．∴函数的定义域为{x|x≥3}．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查指数函数单调性的应用，属于基础题．5．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值为7．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0．∴函数y=x+=（x﹣1）++1≥2 +1=7，当且仅当x=4时取等号．故答案为：7．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=，B=，则角A的大小为．【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，根据大边对大角可求A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=，b=，B=，∴由正弦定理，可得：sinA===，∵a＜b，可得：A∈（0，），∴A=．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（）的值为﹣．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin （2x+）的图象，则g（）=sin（π+）=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）已知等比数列{a n}中，lna3+lna8=lna10﹣lna9．若a m=1（m∈N*），则m 的值为12．【分析】设公比为q，根据对数的运算性质和等比数列的通项公式即可求出【解答】解：设公比为q∵lna3+lna8=lna10﹣lna9，∴lna3a8=ln，∴a3a8==q，∴a m•q3﹣m•a m•q8﹣m=q，∴q11﹣m=q，∴11﹣m=1，∴m=12，故答案为：12．【点评】本题考查了对数的运算性质和等比数列的性质，属于基础题．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2（n∈N*），则数列{}前10项的和为．【分析】根据数列的递推公式可得a n=2n﹣1，再裂项求和即可．【解答】解：S n=n2，当n=1时，a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时成立，则a n=2n﹣1，∴=（﹣），∴数列{}前10项的和（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，属于基础题．10．（5分）已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=x+sinx，则满足不等式f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0的实数a的取值范围是（0，）．【分析】根据奇偶性的定义判断出f（x）为奇函数，再根据基本初等函数的单调性得到f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性列出关于a的不等式组，求解即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+sinx，x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴不等式f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，即f（a2﹣1）＜﹣f（a﹣1），即f（a2﹣1）＜f（1﹣2a），∵y=sinx在（﹣，）上单调递增，则y=sinx在（﹣1，1）上单调递增，y=x在R上单调递增，∴函数f（x）=x+sinx在（﹣1，1）上单调递增，∴不等式f（a2﹣1）＜f（1﹣2a），转化为，解得0＜a＜，∴满足不等式f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0的实数a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查了利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用基本初等函数的单调性判断函数的单调性，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．属于中档题．11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=2，∠BAD=60°．若=，=，则•的值为﹣7．【分析】•=（）•（）=+，由此能求出结果．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=2，∠BAD=60°．=，=，∴•=（）•（）=+=4+4×2×cos60°+2×3×cos120°+4×3×cos180°=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2是b 2与c 2的等差中项，角A 的取值范围是．【分析】a 2是b 2与c 2的等差中项，可得2a 2=b 2+c 2，利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a 2是b 2与c 2的等差中项， ∴2a 2=b 2+c 2， ∴cosA===≥=，当且仅当b=c 时取等号．又A ∈（0，π）， ∴．角A 的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2，a n +1+=a n （n ≥2且n ∈N*），则满足不等式a n +1﹣a n ＞0.02的正整数n 的最大值为 9 ．【分析】由a n +1+=a n （n ≥2 且 n ∈N*），变形为：（n +1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1=2na n （n ≥2 且 n ∈N*），利用等差数列的通项公式可得a n ．解不等式即可得出．【解答】解：由a n +1+=a n （n ≥2 且 n ∈N*），变形为：（n+1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=2na n（n≥2 且n∈N*），∴数列{na n}为等差数列，首项为1，公差为2a2﹣a1=3．∴na n=1+3（n﹣1），化为：a n=3﹣．不等式a n+1﹣a n＞0.02化为：3﹣﹣＞0.02，化为：n（n+1）＜100，解得n＜10，则满足不等式a n+1﹣a n＞0.02的正整数n的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）设a，b是两个正实数，且a2b+3ab2=a﹣b，则b的最大值为．【分析】由题意可得a＞b，设a=bx，x＞1，由a2b+3ab2=a﹣b转化为b2x2+（3b2﹣1）x+1=0，即判断方程的根的问题，根据判别式即可求出．【解答】解：∵a，b是两个正实数，a2b+3ab2=a﹣b，∴a＞b，设a=bx，x＞1，∵a2b+3ab2=a﹣b，∴b3x2+3b3x﹣bx+b=0，∴b2x2+（3b2﹣1）x+1=0，∴关于x的方程，至少大于1的一个正根，∴x1x2=，∴方程有一个大于1的正根或两个大于1的正根，∴x1+x2=﹣＞0，即3b2+1＞0恒成立，x1x2=＞1，解得0＜b＜1∴△=（3b2﹣1）2﹣4b2=9b4﹣10b2+1=9（b2﹣）2﹣≥0，即（b2﹣）2≥即b2﹣≥，或b2﹣≤﹣，即b2≥1（舍去）或b2≤，解得0＜b≤，故b的最大值为故答案为：【点评】本题考查了方程的问题，以及函数的最值，考查了运算能力和转化能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（cosA，sinA），=（1，﹣1），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=，3sinB=2sinC，求△ABC的面积．【分析】（1）根据平面向量的数量积与同角的三角函数关系求得角A的值；（2）由正弦、余弦定理求得b、c的值，再计算△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，向量=（cosA，sinA），=（1，﹣1），且⊥，∴•=cosA﹣sinA=0，∴=tanA=，又A∈（0，π），∴A=；（2）若a=，3sinB=2sinC，则3b=2c，∴c=b，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=b2+b2﹣2b×b×cos，解得b=2，c=3，∴△ABC的面积为S=bcsinA=×2×3×sin=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．16．（14分）已知f（x）=2x2﹣x+1，g（x）=x．（1）求不等式≥2g（x）的解集；（2）若不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）原不等式可化为≥0，运用分式不等式的解法，可得解集；（2）由题意可得mx+2x2﹣x+1≥0，可得﹣m≤2x+﹣1在x∈（0，2]恒成立，运用基本不等式可得不等式右边的最小值，即可得到所求m的范围．【解答】解：（1）不等式≥2g（x），即为≥2x，即≥0，解得x＞1或x≤﹣1，则解集为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）；（2）不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，即为mx+2x2﹣x+1≥0，可得﹣m≤2x+﹣1在x∈（0，2]恒成立，由2x+﹣1≥2﹣1=2﹣1，当且仅当2x=即x=时，上式取得等号，可得﹣m≤2﹣1，即m≥1﹣2．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，a2•a4=，a6=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=8+log2a n，数列{|b n|}的前n项和为T n，求T20．【分析】（1）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a2•a4=，a6=．可得q4=，=，解得a1，q，即可得出．（2）b n=8+log2a n=9﹣n．设数列{b n}的前n项和为：S n=．则数列{|b n|}的T20=b1+b2+……+b9﹣b10﹣……﹣b20=2S9﹣S20．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2•a4=，a6=．∴q4=，=，解得a1=1，q=．∴a n=．（2）b n=8+log2a n=9﹣n．设数列{b n}的前n项和为：S n==﹣+n．∵n≤9时，b n≥0；n＞10时，b n＜0．数列{|b n|}的T20=b1+b2+……+b9﹣b10﹣……﹣b20=2S9﹣S20=2×﹣=102．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）已知函数f（x）=﹣x2+（a﹣2）x+4，g（x）=lg（其中a∈R）．（1）若x1，x2∈[1，3]且x1≠x2时，满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，求a的取值范围；（2）当函数g（x）为奇函数时，求函数f（x在[t，t+1]上的最大值．【分析】（1）由题意知函数f（x）在[1，3]上是单调减函数，根据二次函数的图象与性质求出a的取值范围；（2）求出函数g（x）为奇函数时a的值，代入f（x）中，利用分类讨论法求出二次函数f（x）在[t，t+1]上的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣x2+（a﹣2）x+4，当x1，x2∈[1，3]且x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，∴f（x）在x∈[1，3]上是单调减函数，根据二次函数的图象与性质知，≤1，解得a≤4，a的取值范围是a≤4；（2）当函数g（x）=lg（其中a∈R）为奇函数时，g（﹣x）+g（x）=lg+lg=lg=0，∴=1，解得a=±1，验证a=﹣1不合题意，舍去；∴a=1，∴f（x）=﹣x2﹣x+4，图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=﹣，分以下三种情况讨论；①对称轴在区间右边，即t+1≤﹣，∴t≤﹣时，f（x）在[t，t+1]上的单调递增，最大值为f（t+1）=﹣t2﹣3t+2；②对称轴在区间内，即t＜﹣＜t+1，∴﹣＜t＜﹣时，f（x）在[t，t+1]上的最大值为f（﹣）=；③对称轴在区间左边，即t≥﹣，f（x）在[t，t+1]上单调递减，最大值为f（t）=﹣t2﹣t+4；综上，t≤﹣时，f（x）的最大值为﹣t2﹣3t+2；﹣＜t＜﹣时，f（x）的最大值为；t≥﹣时，f（x）的最大值为﹣t2﹣t+4．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是中档题．19．（16分）如图，某生态园内准备开发一个三角形区域ABC，要求∠ACB=120°，AC与BC都不超过6百米．在区域内还需修建直道CD，将该区域分成两个小区域种植不同的花卉，CD平分∠ACB，点D在AB上，CD=2百米．记三角形区域ABC的面积为S．（1）当小区域△ACD的面积为平方百米时，求S的值；（2）设AC=x，BC=y①求y关于x的函数关系式，并指出它的定义；②试确定x，y的值，使S取得最小值，并求出该最小值．=S△ACD+S△BCD，解方程可得【分析】（1）由三角形的面积公式可得AC=3，由S△ABCBC，再由三角形的面积公式可得所求值；=S△ACD+S△BCD，借助三角形的面积公式可得所求函数式及定义域；（2）①由S△ABC②S=xysin120°，运用y的关系式，可得S的函数，再由换元法和基本不等式可得最小值和x，y的值．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，点D在AB上，∠ACB=120°，∴∠ACD=∠BCD=60°，∵△ACD的面积为平方百米，=AC•CD•sin60°=×AC×2×=，∴S△ACD解得AC=3（百米），由S=S△ACD+S△BCD，△ABC可得AC•BCsin120°=AC•DCsin60°+BC•DCsin60°，即有3BC=3×2+2BC，解得BC=6，S△ABC=×3×6×=；（2）设AC=x，BC=y，=S△ACD+S△BCD，①由S△ABC可得AC•BCsin120°=AC•DCsin60°+BC•DCsin60°，即为xy=2x+2y，可得y=，函数的定义域为（2，+∞）；②S=xysin120°=xy=x•=•，可令x﹣2=t（t＞0），可得x=t+2，则S=•=（t++4）≥×（4+4）=4，当且仅当t=2即x=y=4百米时，S取得最小值4平方百米．【点评】本题考查函数关系式的求法，考查函数的最大值的表达式的求法，考查函数性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（16分）若数列{a n}的前n项和为S n，且满足等式a n+2S n=3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）①设b n=（﹣1）nλa n+1﹣n2，若数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围；②2数列{a n}中是否存在三项a m，a n，a p（m，n，p∈N*且m＜n＜p）满足2a n=a m+a p？若存在，请求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）a n+2S n=3（n∈N*）．n≥2时，a n﹣1+2S n﹣1=3，相减可得：a n﹣a n﹣1+2a n=0，即a n=a n﹣1．n=1时，a1+2a1=3，解得a1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）①b n=（﹣1）nλa n+1﹣n2=（﹣1）nλ•﹣n2．数列{b n}是单调递减数列，，化为：λ•（﹣1）n＞×（﹣2n﹣1）．对n分类讨论即可得出．可得b n＞b n+1②假设数列{a n}中存在三项a m，a n，a p（m，n，p∈N*且m＜n＜p）满足2a n=a m+a p．可得=+，化为：3m+p﹣3n﹣p=3n﹣m﹣3m+p，而3m+p﹣3n﹣p＞0，3n﹣m﹣3m+p＜0，进而判断出结论．【解答】解：（1）a n+2S n=3（n∈N*）．n≥2时，a n﹣1+2S n﹣1=3，相减可得：a n﹣a n+2a n=0，即a n=a n﹣1．﹣1n=1时，a1+2a1=3，解得a1=1．∴数列{a n}是等比数列，公比为，首项为1．∴a n=．（2）①b n=（﹣1）nλa n+1﹣n2=（﹣1）nλ•﹣n2．，∵数列{b n}是单调递减数列，∴b n＞b n+1∴（﹣1）nλ•﹣n2＞（﹣1）n+1•λ•﹣（n+1）2，化为：λ•（﹣1）n＞×（﹣2n﹣1）．n=2k﹣1时，λ＜×（2n+1）．∴λ＜．n=2k时，λ＞×（﹣2n﹣1）．∴λ＞﹣．∴实数λ的取值范围是．②假设数列{a n}中存在三项a m，a n，a p（m，n，p∈N*且m＜n＜p）满足2a n=a m+a p．则=+，化为：3m+p﹣3n﹣p=3n﹣m﹣3m+p，而3m+p﹣3n﹣p＞0，3n﹣m﹣3m+p＜0，∴等式不成立，因此假设不成立．∴数列{a n}中不存在三项a m，a n，a p（m，n，p∈N*且m＜n＜p）满足2a n=a m+a p．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

南通市通州区第二学期高一数学期末试卷及答案

南通市通州区第二学期高一数学期末试卷及答案 The latest revision on November 22, 2020南通市通州区2010-2011学年度第二学期教学质量检测高一数学试题一、选择题（每题只有一个正确结论，把正确结论前的代号填在第Ⅰ卷答题栏内，用答题卡的学校，直接涂卡，每小题5分，共60分） 1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是A.45,1B.135,1-C.90，不存在D.180，不存在2. 空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能3.由11,3a d ==确定的等差数列{}n a 中，当298n a =时，序号n 等于 A ．99 .100 C4.下列结论正确的是A.若,a b c d >>，则a c b d ->-B. 若,a b c d >>，则a d b c ->-C.若,a b c d >>，则ac bd >D. 若,a b c d >>，则a bd c>5.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是A. α内所有的直线与a 异面.B. α内不存在与a 平行的直线.C. α内存在唯一的直线与a 平行.D. α内的直线与a 都相交.6.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为B13C. 26D .207.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为正视图侧视图俯视图A.2324,12cm cm ππB. 2315,12cm cm ππC. 2324,36cm cm ππD. 2312,12cm cm ππ8.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于A ．3060︒︒或B ．4560︒︒或C ．12060︒︒或D ． 15030或9.已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于A ．50B ．70C ．80D ．9010.△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是=18,b=20,A=120° =60,c=48,B=60° =3,b=6,A=30° =14,b=16,A=45°11.设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值是C. 6 12.已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则113x y+的最小值为B.D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分．13.在空间直角坐标系o xyz -中，点(1,2,3)P 关于xoy 平面的对称点的坐标是 14.在x 轴上的截距为2，在y 轴上截距为3的直线方程为 15.在△ABC 中，()()()a c a c b b c +-=+，则A ∠=16.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+= 三、解答题：本大题共6个小题．17题10分，18-22题各12分，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤． 17.（满分10分）已知集合2{|60}A x x x =-++>，2{|280}B x x x =+->,求A B .18. （满分12分）求过两直线3420x y +-=和220x y ++=的交点且与直线3240x y -+=垂直的直线方程.19. （满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为1CC 、11B C 、1DD 的中点，O 为BF 与1B E 的交点，（1）证明：BF ⊥面11A B EG（2）求直线1A B 与平面11A B EG 所成角的正弦值.20．（满分12分）如图，一架直升机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知直升机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度.21. （满分12分）已知直线l 过点(3,3)M --，圆N:224210x y y ++-=，l 被圆N 所截得的弦长为45.（1）求点N 到直线l 的距离；（2）求直线l 的方程.22. （满分12分）已知数列{}n a 中，*1121,()2nn na a a n N a +==∈+ （1）求 1234,,,a a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式.南通市通州区2010-2011学年度第二学期教学质量检测高一数学试题答案一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1-5 C D B B B 6-10 D A D B D 11-12 C C二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.(1,2,3)- 14. 3260x y +-= 15.23π三、解答题：（本大题共6个小题．17题10分，18-22题各12分，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤．） 17.解：由260-x x ++>，知 23x -<< 故 {}23A x x =-<<；………4分由2280x x +->，知 4x <-，或2x > 故{}4,2B x x x =<->或………8分因此 {}{}{}234,223A B x x x x x x x =-<<<->=<<或………10分18.解：设与直线3240x y -+=垂直的直线方程为230,()x y a a R ++=∈………3分由 3420,220.x y x y +-=++=⎧⎨⎩ 可以得到2,2.x y =-⎧⎨=⎩故交点的坐标为(2,2)-………6分又由于交点在所求直线上，因此 22320,()a a R ⨯⨯+=∈（-）+ 从而 2a =-………9分故所求的直线方程为2320x y +-=.………12分19. （1）证明：因为 111BB B C =，11B F C E =，1BF B E =所以111BB F B C E ∆∆≅从而 111C EB BFB ∠=∠ 在11Rt B C E ∆中 111190C EB C B E ∠+∠=故11190BFB C B E ∠+∠= 从而190FOB ∠=即 1BF B E⊥………2分又因为 11DC BCC B ⊥平面，GE ∥DC所以11GE BCC B ⊥平面 ………4分又因为11BF BCC B ⊂平面故 BF GE ⊥ 又因为 1B E GE E⋂=所以 11BF A B EG⊥平面………6分（2）解：如右图，连接1A O由（1）知，11BO A B EG ⊥平面故 1BA O ∠即为直线1A B 与平面11A B EG 所成角………8分设正方体的棱长为1 ，则12A B =，21512BF ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 在Rt 214b b ac BB F∆-±-中，有 11BB BF BO BB =故21BB BO BF ==5=5………10分所以11105sin 2BO BAO===A B ∠………12分20．解：设山顶的海拔高度为x 千米．过点P 作PD AB ⊥交AB 于点D ，则10PD x=- ，依题意，6AB =………2分在Rt PBD ∆中，10sin 75sin(4530)PD xPB -==+ （＊）………4分在APB ∆中，由正弦定理，得sin sin PB ABPAB BPA =∠∠（＊＊）………8分由（＊）（＊＊），得 106sin 30sin(4530)sin 45x -=+………10分解得，1733x -=即山顶的海拔高度为172-千米．………12分21.解：（1）设直线l 与圆N 作ND AB ⊥交直线l点．………2分由224210x y y ++-=，得 N 4分又AB = 故 ND ==所以点N 到直线l 6分（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为 3x =-N 到l 的距离为3，又圆N 的半径为5，易知42AB=,即8AB =≠不符合题意，故直线l 的斜率存在；………8分于是设直线l 的方程为： 3(3)y k x +=+ 即：330kx y k -+-=所以圆心(0,2)N -到直线l 的距离d ==①由（1）知， d = ②………10分由①②可以得到12,2k k ==-或故直线l 的方程为 230x y -+=，或290x y ++=………12分 22（1) 解：因为11a = 所以1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+………4分新课标第一网（2）解：因为*12()2nn na a n N a +=∈+所以 1211122n n n n a a a a ++==+ *1111()2n n n N a a +∴-=∈ ………8分又 111a = 故 1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列………10分所以 1111(1)22nn n a +=+-=，因此 21n a n =+ ………12分所以 113224n n n n a a ++-= 因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为34的等差数列.所以 1331(1)22444n na n n =+-=- 故2(31)2n n a n -=-⋅………8分（3）解：由（1）知，当2n ≥时，142n n S a -=+故 311424(34)22(34)22n n n n S a =n +=n ---=+⋅-⋅-⋅+ ，2n ≥又 111S a ==故 1(34)22n n S =n --⋅+，n N *∈………12分。

南通市2017届高三数学最后一卷 --- 参考答案与评分建议

2(sin x cos π + cos x sin π Βιβλιοθήκη 2 3 2 3…… 2 分
2sin x π ， 2 3

…… 4 分 …… 6 分
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T 2π 4π ． 1 2 （2）由 f ( 2 ) 2 ，得 2sin 2 ，即 sin 1 ． 2 3 2 3 3 3 所以 f (2 ) 2sin( ) 3 2
因为 x 0 ，所以 x2 1 ，此时切点为 ( 1 , 5 ) ，切线方程为 y 3x 4 ． 12 分 2 2 2 令 y 5 ，得 x 1 ，即点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米． 3 3 答：当点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米，通道 PQ 最短． 3 （方法二）当直线 PQ 与边界曲线相切时， PQ 最短．若直线 PQ 斜率不存在，则直线方程为 x 4 ，不符合题意； 3 若直线 PQ 斜率存在，设 PQ 方程为 y k ( x 4 ) ，代入 y x 1 ， 3 x 化简得 (k 1) x 2 4 kx 1 0 ． 3 当 k 1 时，方程有唯一解 x 3 （舍去）， 4 当 k 1 时，因为直线与曲线相切，所以 ( 4 k ) 2 4(k 1) 0 ， 3 解得 k 3 或 k 3 （舍去）， 4 此时直线 PQ 方程为 y 3x 4 ，令 y 5 ，得 x 1 ，即点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米． 3 3 答：当点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米，通道 PQ 最短． 3 18. （本小题满分 16 分） …… 14 分 …… 12 分 …… 10 分 …… 14 分 …… 8 分

2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试题(解析版)

故选：A．
【点睛】
本题考查球的截面圆性质，球心与截面圆圆心连线与截面圆垂直．
8．设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】分类讨论，考虑截距为0和不为0两类，分别求解．
【详解】
若截距为0，则斜率，直线方程为，
若截距不为0，设直线在轴上截距为，直线方程为或，
2．在中，若，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角．
【详解】
∵ ，由正弦定理得，
设，
则，又是三角形内角，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题．
3．使式子有意义的的取值范围是（）
A．函数在区间上单调递减，上单调递增
B．函数的最小值为，没有最大值
【点睛】
本题考查交集元素的个数，关键在于计算，考查计算能力，注意集合的元素为点，属基础题.
6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“一一”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）
【详解】
，∴ ，当且仅当，即时等号成立，A正确；
由前面推导可知，即，当且仅当时等号成立，B正确；
由已知，，时，取得最小值，C正确；
，，，
，没有最小值．D错误．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查用二次函数的性质求最值．对于有前提条件的二元二次式的最值问题用代入法化为一元二次函数，然后由二次函数知识求得最值，是一种快速求解的方法，消元后注意剩下的元的取值范围．

江苏省南通市通州区2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析

江苏省南通市通州区2024届数学高一第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（）A．B．C．D．2．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A．60 B．55 C．45 D．503．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．④4．已知ABC 的三个顶点都在一个球面上，22,4AB BC AC ===，且该球的球心到平面ABC 的距离为2，则该球的表面积为（） A ．80πB ．16053πC ．32πD ．6423π5．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域概率为49；（2）豆子落在黄色区域概率为13；（3）豆子落在绿色区域概率为29；（4）豆子落在红色或绿色区域概率为13；（5）豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos a A b B =，那么ABC ∆的形状一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格99.510.511销售量 118 6 5由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的（）A ．10B ．11C ．12D ．10.58．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（） A ．7B ．6C ．5D ．49．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减10．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4πθ-=( )A ．2B ．-3C ．-1D ．-3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．（5分）某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人．现采用分层抽样调查学生的视力情况．已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了人．2．（5分）已知命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，则a的取值范围是．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[﹣1，2]，则输出值为2的概率为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）若复数z＝（a+i）2是纯虚数（i是虚数单位），a为实数，则复数z的模为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）设向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则tan（）的值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a﹣1有三个零点，则实数a的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（15分）在△ABC中，已知sin A﹣cos A＝1，cos B＝，AB＝4+．（1）求内角A的大小；（2）求边BC的长．17．（15分）如图，圆O的半径为2，点P是圆O的一条半径OA的中点，BC是圆O过点P的动弦．（1）当P是BC的中点时，求的值；（2）若＝，λ，μ∈R，且BP＝2PC．①λ，μ的值；②求cos∠BOC的值．18．（15分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（15分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（15分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．【解答】解：由分层抽样的定义得＝＝，得n＝27，即三个年级一共抽取27人，故答案为：272．【解答】解：命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，即为∀x∈R，e x+a≥0为真，由e x＞0，可得0≤a，则a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：格根据程序框图，当x∈[﹣1，0）时，由于x＜0，则输出y＝1，当x∈[0，2]时，由于x≥0，则输出y＝2，根据几何概型公式P＝．故答案为：5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：∵z＝（a+i）2＝（a2﹣1）+2ai是纯虚数，∴，即a＝±1．∴z＝±2i，则|z|＝2．故答案为：2．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．10．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则sinθ﹣2cosθ＝0，∴tanθ＝2，∴tan（）＝＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝a+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝如图：则0＜a+1＜所以实数a的取值范围是﹣2＜a＜．故答案为：（﹣2，）．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）∵，∴2sin（A﹣）＝1，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣＝，∴A＝．（2）∵sin2B+cos2B＝1，cos B＝，B∈（0，），∴sin B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，在△ABC中，．∴＝，解得BC＝5．17．【解答】解：（1）因为P为圆O的弦的中点，所以OP⊥BC，因为P为的OA的中点，所以OP＝OA＝1，在Rt△BPO中，OP＝1，OB＝2，所以∠BOP＝60°，所以∠BOC＝120°，所以＝||•||＝cos∠BOC＝2×＝﹣2．（2）①因为BP＝2PC，所以＝2，所以，又，且与不共线，所以，μ＝．②因为＝，所以＝（）2，即＝++，因为OP＝1，OA＝OB＝2，所以1＝，所以＝﹣．故cos∠BOC＝＝＝﹣．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，则集合A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R），若z+＝4，则复数z的模为．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，则f（﹣2）的值为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝6，S4＝30，则S6＝．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．12．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若C＝，且a+b＝6，则边长c的最小值为．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（1，2sinθ），＝（sin（），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．17．（14分）已知等差数列{a n}满足a2+a3＝7，其前9项和为54．设数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（16分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，求直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程．22．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．求过点（2，0）且被圆C截得弦长为2的直线l的极坐标方程．23．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图．按规定，测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格．（1）为了提高体能，将两组学生中成绩优秀及成绩合格的学生任意排成一排互相交流，求成绩合格的学生互不相邻的排法种数；（2）从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取3次，记抽到优秀成绩的次数为X，求X的概率分布及数学期望．24．已知（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1，n∈N*．（1）求A n＝a i；（2）设B n＝2×3n+（n﹣1）2n+2n2，求证：n≥4且n∈N*时，A n＞B n．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，集合A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．【解答】解：∵z＝a+i，∴＝a﹣i，则由z+＝4，得2a＝4，a＝2．∴z＝2+i，则|z|＝．故答案为：3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣[22﹣log22]＝﹣3．故答案为：﹣3．5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：根据双曲线方程可知a＝1，b＝，∴c＝＝2，∴左准线l的方程为x＝﹣，对于抛物线来说＝，∴p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x．故答案为：y2＝2x．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：根据等比数列的性质得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即（S4﹣S2）2＝S2（S6﹣S4），又S2＝6，S4＝30，代入得：（30﹣6）2＝6（S6﹣30），解得S6＝126．故答案为：12610．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．12．【解答】解：△ABC中，C＝，且a+b＝6，∴a2+b2+2ab＝36；又a2+b2≥2ab，∴4ab≤36，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取“＝”；由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3ab≥36﹣3×9＝9，∴c≥3，即边长c的最小值为3．故答案为：3．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）因为⊥，所以•＝0，所以2sinθ+sin（θ+）＝0，即sinθ+cosθ＝0．因为cosθ≠0，所以tanθ＝﹣．（2）由a∥b，得2sinθsin（θ+）＝1，即2sin2θcos+2sinθcosθsin ＝1，即（1﹣cos 2θ）+sin 2θ＝1，整理得，sin（2θ+）＝，又θ∈（0，），所以2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣＝，即θ＝．17．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2+a3＝7，其前9项和为54，可得2a1+3d＝7，9a1+×9×8d＝54，解得a1＝2，d＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*），可得＝+（n﹣1）＝1+（n﹣1）＝（n+1），则S n＝n（n+1），当n＝1时，b1＝1；当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+1）﹣n（n﹣1）＝n，上式对n＝1也成立，综上可得b n＝n，n∈N*；（2）c n＝+＝+＝2+﹣，数列{c n}的前n项和为T n＝2n+1﹣+﹣+…+﹣＝2n+1﹣，由T n+1﹣T n＝2n+3﹣﹣2n﹣1+＝2+﹣＞0，可得T n递增，T n≥T1＝，由对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，可得a≤T1，即a≤．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，∴MN＝＝，设（x，y）为l1上任意一点，两次变换后对应点为（x′，y′），∴＝，∴，∴，∵x+2y＝0，∴x′+y′﹣2x′＝0，即x′﹣y′＝0，∴直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程为x﹣y＝0．22．【解答】解：∵在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．∴圆心C的直角坐标为：（1，），∴圆C的半径r＝＝2，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．设圆心C到直线l的距离为d，则＝4，解得d＝1，极坐标（2，0）化为直角坐标为（2，0），（i）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意，（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，∴＝1，即|k+|＝，解得k＝﹣，此时直线l的直角方程为x＝2或x+﹣2＝0，即x+﹣2＝0，∴直线l的方程为x＝2或x+﹣2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＝2，或．23．【解答】解：（1）两组学生中成绩优秀的学生有4人，成绩合格的学生有2人，所以排成一排互相，成绩合格的学生互不相邻的排法种数：＝480种．（2）由题意，X～B（3，），所以P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．X的分布列：所以X的数学期望E（X）＝3×＝1．24．【解答】（1）解：在（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1中，取x＝﹣1，得a0+a1+a2+…+a n+1＝3n+1．∴A n＝a i＝3n+1；（2）证明：要证A n＞B n，即要证3n+1＞2×3n+（n﹣1）2n+2n2，也就是证3n＞（n﹣1）2n+2n2，以下利用数学归纳法证明：①当n＝4时，左边＝34＝81，右边＝3×24+2×42＝80，左边＞右边，不等式成立；②假设当n＝k（k≥4且k∈N*）时不等式成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，当n＝k+1时，3k+1＝3×3k＞3（k﹣1）2k+6k2，∵[3（k﹣1）2k+6k2]﹣[k•2k+1+2（k+1）2]＝（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2，当k≥4时，（k﹣3）2k＞0，且，∴（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2＞0，∴3（k﹣1）2k+6k2﹣＞k•2k+1+2（k+1）2，∴当n＝k+1时，3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2成立．综合①②可得，n≥4且n∈N*时，∴n≥4且n∈N*时，A n＞B n．。

江苏省南通市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案

江苏省南通市2017-2018学年⾼⼀下学期期末考试数学试题Word版含答案江苏省南通市2017-2018学年⾼⼀下学期期末考试数学试题参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底⾯积，h 为⾼.第Ⅰ卷（共60分）⼀、填空题：本⼤题共14个⼩题,每⼩题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.函数sin 23y x π??=+的最⼩正周期为__________． 2.已知集合{}{}|11,1,0,2A x x B =-<<=-，则AB =___________．3.函数y =___________．4.在ABC ?中，设⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()()3a b c b c a bc +++-=，则⾓A 的⼤⼩为_________．5.已知某正四棱锥的底⾯边长和侧棱长均为2cm ，则该棱锥的体积为__________3cm . 6.设,a b 为单位向量，且,a b 的夹⾓为23π，则()a b b +的值为_________. 7.已知⽅程24xx =-的根在区间()(),1k k k Z +∈上，则k 的值为_________． 8.()10123nn =+∑的值为_________．9.在正⽅体1111ABCD A BC D -中，与1AC 垂直的⾯对⾓线的条数是___________． 10.设函数()(),1xf x kak R a -=∈>的图象过点()()0,8,3,1A B ，则log a k 的值为__________．11.如图，三个相同的正⽅形相接，则tan ABC ∠的值为__________．12.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能⼤的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.13.已知sin cos 4cos sin 055ππαα-=，则sin 53cos 10παπα?-- ?的值为．14.已知正数,x y 满⾜11410x y x y +++=，则11x y+的最⼤值为．⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，共90分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别在棱11,BC B C 上（均异于端点），且111,AD C D A E C D ⊥⊥.（1）求证：平⾯1ADC ⊥平⾯11BCC B ；（2）求证：1//A E 平⾯1ADC .16.设,OA OB 不共线，且(),OC aOA bOB a b R =+∈. （1）若12,33a b ==，求证：,,A B C 三点共线；（2）若,,A B C 三点共线，问：a b +是否为定值？并说明理由.17. 已知ABC ?的外接圆的半径为1，A 为锐⾓，且3sin 5A =. （1）若2AC =，求AB 的长；（2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值.18. 某⼯⼚2万元设计了某款式的服装，根据经验，每⽣产1百套该款式服装的成本为1万元，每⽣产x （百套）的销售额（单位：万元）()20.4 4.20.8,05914.7,53x x x P x x x ?-+-<≤?=?->?-?. （1）若⽣产6百套此款服装，求该⼚获得的利润；（2）该⼚⾄少⽣产多少套此款式服装才可以不亏本？（3）试确定该⼚⽣产多少套此款式服装可使利润最⼤，并求最⼤利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+⽣产成本）19. 设a 为实数，函数()()2,f x x x a a x R =---∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[]2,2-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.20.设等差数列{}n a 是⽆穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 满⾜*1,nn nS b n N a =-∈. （1）若255,40a S ==，求2b 的值；（2）若数列{}n b 为等差数列，求n b ；（3）在（1）的条件下，求证：数列{}n a 中存在⽆穷多项（按原来的顺序）成等⽐数列.江苏省南通市2017-2018学年⾼⼀下学期期末考试数学试题答案⼀、填空题1. π2. {}03. []3,4-4. 3π127. 1 8. 2076 9. 6 10. 3 11.1712. 8 13. 35 14. 9⼆、解答题15. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平⾯ABC ，因为AD ?平⾯ABC ，所以1CC AD ⊥．⼜1AD C D ⊥，111CC C D C =，11,CC C D ?平⾯11BCC B ，所以AD ⊥平⾯11BCC B ，⼜AD ?平⾯1ADC ，所以平⾯1ADC ⊥平⾯11BCC B ；（2）因为11A E C D ⊥，由（1）同理可得，1A E ⊥平⾯11BCC B ，⼜由（1）知，AD ⊥平⾯11BCC B ，所以1//A E AD ，⼜1A E ?平⾯1ADC ，AD ?平⾯1ADC ，所以1//A E 平⾯1ADC ． 16．证明：（1）当12,33a b ==时，1233OC OA OB =+，所以()()2133OC OB OA OC -=-，即2BC CA =，所以//BC CA ，所以,,A B C 三点共线．（2）a b +为定值1，证明如下：因为,,A B C 三点共线，所以//AC AB ，不妨设()AC AB R λλ=∈，所以()OC OA OB OA λ-=-，即()1OC OA OB λλ=-+，⼜OC aOA bOB =+，且,OA OB 不共线，由平⾯向量的基本定理，得1a b λλ=-??=?，所以1a b +=（定值）．17．解：（1）在ABC ?中，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得， 362sin 2155a R A ==??=，因为3sin ,0,42A A π??=∈，所以4cos 5A ===，在ABC ?中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，26245522c c+- ?=，解得85c =，所以AB 的长为85；（2）由（1）知，3sin 35tan 4cos 45A A A ===，所以()()()31tan tan 1343tan tan 311tan tan 9143A AB B A A B A A B+--=--===+--?．在ABC ?中，A B C π++=，所以()313tan tan 7949tan tan 313tan tan 13149A B C A B A B ++=-+===-?-．18．解：（1）当6x =时，利润()()()9626114.7261 3.763y P =-+?=--+?=-（万元）；（2）考虑05x <≤时，利润()()()2220.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-，令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，所以min 1x =；（3）当05x <≤时，由（2）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时，min 3.6y =（万元），当5x >时，利润()()()99214.729.7333y P x x x x x x ? =-+=--+=--+ ?--??，因为)93x x x -+≥=--（当且仅当933x x -=-，即6x =时，取“=”），所以max 3.7y =（万元），综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）⽣产6百套此款服装，该⼚获得利润3.7万元；（2）该⼚⾄少⽣产1百套此款式服装才可以不亏本；（3）该⼚⽣产6百套此款式服装时，利润最⼤，且最⼤利润为3.7万元． 19．证明：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*）取0x =，得()00f =，即20a a -=，解得0a =，此时()()2f x x x =-，所以()()13,11f f -=-=-，从⽽()()11f f -≠-，这与（*）⽭盾，所以假设不成⽴，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）()()()222,23,x a x a x af x x a x a x a ?-++≤?=?-++->??，①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2,2a +??-∞ 上单调递减，在2,2a a +??上单调递增，在[),a +∞上单调递减，不符；②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +上单调递增，在2,2a +??+∞上单调递减，不符；③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(],2-∞上单调递减，在[)2+∞，上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数．综上，2a =．（3）①当2a =时，由（2）知，()f x 是R 上的单调减函数，⾄多1个零点，不符；②当2a >时，由（2）知，222a x a +<=<，所以()f x 在[]2,2-上单调递减，所以()f x 在[]2,2-上⾄多1个零点，不符；③当2a <时，由（2）知，222a x a +>=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +??上单调递增，在2,22a +??上单调递减．因为()f x 在区间[]2,2-上恰有3个零点，所以()()()212222380,0,024a a a f a f a a f -++??-=+>=-<=> ?-??， ()20f a =-<，解得04a <<-4a >+2a <，故04a <<+a 的取值范围是(0,4-．20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为⽆穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以**1,a N d N ∈∈，（1）由255,40a S ==得，1154 5,5402a d a d ?+=+=，解得12,3a d ==，所以21222215S a b a a =-==；（2）因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即3212132111SS S a a a ??-=-+-，所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍），此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=；（3）由（1）知，等差数列{}n a 的通项公式()*231,n a n n N =+-∈，下证：对任意的*n N ∈，124n n b -=?都是{}n a 中的项，证明：当2n ≥时，因为1224114443n n ---++++=，所以()()12222242314441232144411n n n n b ---=?=?+++++=+++++-?()22214441n a -+++++=，其中()22*214441n N -+++++∈，⼜1n =时，112b a ==，所以对任意的*n N ∈，124n n b -=?都是{}n a 中的项，所以，数列{}n a 中存在⽆穷项（按原来的顺序）成等⽐数列．。

2016-2017学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷(答案+解析)

江苏省南通市通州区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．2．（5分）若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为．3．（5分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．4．（5分）函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为．5．（5分）若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．6．（5分）已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为．7．（5分）已知两曲线f（x）=cos x与g（x）=sin x的一个交点为P，则点P到x轴的距离为．8．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为．9．（5分）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=，=．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为．12．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则•的值为．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣3x．若方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα的值；（2）求cos2α的值．16．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面P AB⊥平面PCD．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．（1）试将•表示α的函数f（α），并写出其定义域；（2）求函数f（α）的值域．18．（16分）如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l．①求直线MN的方程；②求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．20．（16分）已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．【参考答案】一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．2【解析】∵集合A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数a的值2．故答案为2．2．﹣2【解析】∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为﹣2．3．【解析】∵AB=2，AC=3，∠A=120°，∴S△ABC=AB•AC•sin A==．故答案为．4．（﹣2，1）【解析】函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．5．（1，2）【解析】指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2；∴实数a的取值范围是（1，2）．故答案为（1，2）．6．4【解析】圆（x﹣2）2+y2=6的圆心为C（2，0），半径r=，圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∵直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，∴弦AB的长|AB|=2=2=4．故答案为4．7．【解析】两曲线f（x）=cos x与g（x）=sin x的一个交点为P，设点P的坐标为（x，y），由cos x=sin x，可得tan x=，∴x=kπ+，k∈Z，∴y=±，∴点P到x轴的距离为|y|=，故答案为．8．24π【解析】∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，∴长方体的对角线AC1==2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC1，可得半径R=，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=24π故答案为24π．9．【解析】==+=+=﹣．∴，则λ+μ=．故答案为10．【解析】设三棱锥O1﹣DEF的高为h1，三棱锥O﹣DEF的高为h2，则h1+h2=AA1=2，∴V O﹣DEF+V=+=S△DEF•（h1+h2）==．故答案为．11．【解析】g（x）=f（x﹣）=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω），∴g（）=sin（﹣ω）=0，即﹣ω=kπ，k∈Z，∴ω=3kπ，又0＜ω＜6，∴ω=3，∴f（x）的最小正周期为T=．故答案为．12．﹣【解析】由余弦定理可得cos A===，可得•=4×4×=14，由BD为∠ABC的平分线，可得===2，AD=，即有•=•（﹣）=•（﹣）=2﹣•=×16﹣14=﹣．故答案为﹣．13．{﹣1，1}【解析】当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+3x）=﹣x2﹣3x，由f（x）+x﹣t=0得t=，令g（x）=，作出g（x）的函数图象如图所示：∵方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，∴t=1或t=﹣1．故答案为{﹣1，1}．14．[2，1+]【解析】由题意，，将m=﹣代入l1：mx﹣y﹣2m+2=0，化简可得x2+y2﹣2x﹣2y=0，即有M在以圆心C1（1，1），半径为的圆上，又点A（2a，0）（a＞0），设M（x，y），MA2+MO2=2a2+16，可得（x﹣2a）2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2+y2﹣2ax+a2﹣8=0，可得M在以圆心C2（a，0），半径为2的圆上，由两圆相交可得≤|C1C2|≤3，即为≤≤3，解得2≤a≤1+．故答案为[2，1+]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．解：（1）∵tan（α﹣）==﹣．∴解得：tanα=．（2）∵tanα=，∴cos2α===．16．证明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，∵在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点，∴EF CD，AB，∴EF AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，∴PB⊥CD，∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，∵PB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．17．解：（1）根据题意，||=1，∠AOC=α，∴=（cosα，sinα），=（cos（α+），sin（α+）），=（cosα，0）；∴=﹣=（cos（α+）﹣cosα，sin（α+）），∴f（α）=•=cosα[cos（α+）﹣cosα]+sinαsin（α+）=cos[（α+）﹣α]﹣cos2α=﹣=﹣cos2α，其中α∈（0，）；（2）由（1）知，f（α）=﹣cos2α，α∈（0，）时，2α∈（0，），cos2α∈（，1），∴﹣cos2α∈（﹣，﹣），∴函数f（α）的值域为（﹣，﹣）．18．解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，∴∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=3（海里）．（2）由题意可知CD=3，∠ACD=60°，在△ABC中，由余弦定理得AC==3，在△ACD中，由余弦定理AD==3，由正弦定理得：，即，解得sin∠DAC=，∴∠DAC=45°，∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3海里处．19．解：（1）①∵圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，MN∥l，∴直线MN的斜率k=k AB=﹣，∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），整理，得：4x+3y﹣5=0．②点O（0，0）到直线MN的距离d==1，MN=2=2=2，点O到直线l的距离|OP|==4，∴P到MN的距离h=4﹣1=3，∴△PMN的面积S△PMN===3．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设M（x0，y0），则直线MN的斜率k==，∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为﹣，∴直线OP的方程为y=﹣，联立，解得点P的坐标为（，﹣），∴=（，﹣），∵=（x0，y0），，∴==﹣4==0，∴⊥，∴PM⊥OM．∴直线PM与圆O相切．20．解：（1）f（x）=a|x﹣1|+1=，∵a＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又f（1）=1，∴f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，∵f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）的所有零点之和为2．（2）①b=0时，f（x）=a|x|+1，∴g（x）=x2﹣a|x|﹣1，∴g（﹣x）=g（x），即g（x）是偶函数，∵a＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵g（2x+1）≤g（x﹣1），∴|2x+1|≤|x﹣1|，解得﹣2≤x≤0．原不等式的解集为[﹣2，0]；②b=1时，g（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣1=，若a=0，则g（x）=x2﹣1，则g（x）在[0，2]上单调递增，∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=3，不符合题意；若a＞0，则g（x）在[0，1]上单调递增，g（1）=0，当x＞1时，g（x）的对称轴为x=，∵g（x）在[1，2]上最大值为0，且g（1）=0，∴≥，即a≥3．若a＜0，则g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）＞g（1）=0，不符合题意．综上，a≥3．。

江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测数学文科试卷(解析版)

2017-2018学年（下）高二期末质量监测文科数学一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置．．．．．．．.1. 某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了__________人。

【答案】27【解析】分析：根据分层抽样的概念得按比例抽样:.详解：因为分层抽样，所以三个年级一共抽取.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.2. 已知命题“，”为假命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据命题真假得恒成立，即得的最大值.详解：因为命题为假命题，所以恒成立，所以的最大值.点睛：根据命题与命题否定的真假性关系进行转化，即特称命题为假命题，则对应全称命题为真命题，再根据恒成立知识转化为对应函数最值问题.3. 若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有种，甲被选中事件数有,所以甲被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4. 如图是一个算法流程图，若输入值，则输出值为2的概率为__________．【答案】【解析】分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结果.详解：因为，所以输出值为2的对应区间为[0,2],因此输出值为2的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．5. 某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．【答案】25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.6. 如图所示的伪代码，最后输出的值为__________．【答案】21【解析】分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S.详解：执行循环得结束循环，输出.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．【答案】2【解析】分析：先化z为代数形式，再根据纯虚数概念得a，最后根据复数模的定义求结果.详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8. 直线：，：.则“”是“与相交”的__________条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)【答案】必要不充分【解析】分析：先根据直线相交得条件，再根据两个条件关系确定充要性.详解：因为与相交，所以所以“”是“与相交”的必要不充分条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 将函数的图象向左平移个单位，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求关系式，解得最小值.详解：因为函数的图象向左平移个单位得，所以因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10. 类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为的正四面体的内切球半径为__________．【答案】【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径.详解：设正四面体的内切球半径为，各面面积为,所以.11. 设向量，，且，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据向量垂直得，再根据两角差正切公式求解.详解：因为，所以,因此点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据对数函数以及二次函数作函数图像，再根据函数图像确定满足条件时实数的取值范围. 详解：如图函数图像，所以.13. 设函数，. 若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．【答案】2【解析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14. 在平面直角坐标系中，原点在圆：内，过点的直线与圆交于点，.若面积的最大值小于2,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据三角形面积公式确定∠ACB范围，再根据垂径定理圆心到直线距离范围，最后结合O在圆内求实数的取值范围详解：因为面积的最大值小于2,，所以,所以圆心C到直线距离因此点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，三棱柱中，，分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且，求证:平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，所以,因为为的中点，所以为中点.又因为为中点，所以,又面，面所以平面(法三)如图3，取的中点,连结、. 在中，因为、分别为、的中点，所以.因为面，面所以平面.在三棱柱中，且，又因为、分别为、的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以,又面，面，所以面因为面，面，，面，面，所以面面,又面,所以平面(2)因为，为的中点，所以，因为面面，面面，面，所以面，又面，所以面面点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 在中，已知,,.(1)求内角的大小;(2)求边的长.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据配角公式得，解得A，（2）先根据平方关系得，根据两角和正弦公式求，再根据正弦定理求边的长.详解：解：（1）因为所以，即因为，所以所以，所以(2)因为，所以所以在中，所以，得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.17. 如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦.(1)当是的中点时，求的值; (2)若，,,且.①,的值; ②求的值.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值; ②由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所以在中,,所以,所以所以（2）① 因为所以所以又，且与不共线所以，② 因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．18. 如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.【答案】（1）（2）开发区域的面积为【解析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式; (2)令，化简，再根据三角函数有界性确定t范围，解得最小值，同时求出开发区域的面积. 详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以时，取得最小值.此时，，的面积答：开发区域的面积为（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，则因为，所以，所以由，得记因为在上单调递减，所以当时最小此时，即，所以的面积答：开发区域的面积为点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 如图，点,,,分别为椭圆:的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线过点，与椭圆交于点，已知当直线轴时，.(1)求椭圆的离心率;(2)若当点与重合时，点到椭圆的右准线的距离为上.①求椭圆的方程;②求面积的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】分析：（1）先求当直线轴时，，再根据条件得，最后由解得离心率，（2）设直线为，，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，即得，令，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.详解：解：（1）在中，令可得，所以所以当直线轴时，又，所以所以，所以（2）① 因为，所以，椭圆方程为当点与点重合时，点坐标为又，所以此时直线为由得又，所以所以椭圆方程为② 设直线为由得即，恒成立设，则，所以令，则且，易知函数在上单调递增所以当时，即的面积的最大值为点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.20. 设,函数,是函数的导函数, 是自然对数的底数. (1)当时,求导函数的最小值; (2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值; (3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点. 详解：解：（1）当时，记则，由得.当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为（3）记，因为存在极大值与极小值，所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.①当时，，单调递增，此时不存在两个零点；②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由（1）知时，有所以在上单调递增，所以时,因为且，的图像在单调且不间断，所以在上，有且只有一个零点.又在上单调所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.。