2016-2017年江西省景德镇一中17班高一下学期期末数学试卷及答案

2016-2017学年江西省景德镇一中17班高一（下）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数=（）
A．﹣i B．1+i C．i D．1﹣i
2．（5分）设集合，，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜0或3＜x≤4}B．{x|﹣2≤x≤0或3≤x≤4}
C．{x|﹣2＜x≤4}D．{x|0＜x＜3}
3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19=2，则S19的值为（）
A．38 B．﹣19 C．﹣38 D．19
4．（5分）某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（）
A．72 B．144 C．108 D．192
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，几何体的表面积为（）
A．4+2（+）B．6+2（+）C．10 D．12
6．（5分）（x﹣）5的展开式中x2的系数为（）
A．40 B．80 C．﹣32 D．﹣80
7．（5分）已知函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[﹣
，]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．
8．（5分）已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是（）
A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行
B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直
C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直
9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）
A．B．C．D．
10．（5分）如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D 折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF2|=|F1F2|，则
+的最小值为（）
A．6+2B．8 C．6+2D．6
12．（5分）函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）
A．（﹣2，﹣]B．（﹣2，﹣）
C．（﹣，﹣1]D．（﹣，﹣1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.）
13．（5分）已知向量，满足||=1，•（+）=﹣3，则在方向上的投影为．
14．（5分）设x，y满足不等式组，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则的最小值为..
15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．16．（5分）对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f （x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：
①f（x）=；
②f（x）=sinx；
③f（x）=；
④f（x）=
其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（写出所有正确的序号）．
三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．
（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．
18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别
为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
23．设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A．（1）对任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．（2）若a+b=1，a，b∈R+，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．
2016-2017学年江西省景德镇一中17班高一（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数=（）
A．﹣i B．1+i C．i D．1﹣i
【解答】解：=，
故选：B．
2．（5分）设集合，，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜0或3＜x≤4}B．{x|﹣2≤x≤0或3≤x≤4}
C．{x|﹣2＜x≤4}D．{x|0＜x＜3}
【解答】解：={x|﹣2≤x≤4}，
={x|=＞0}={x|x＞3或x＜0}，
则A∩B={x|﹣2≤x＜0或3＜x≤4}，
故选：A．
3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19=2，则S19的值为（）
A．38 B．﹣19 C．﹣38 D．19
【解答】解：∵a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19=2，
∴2a10﹣2a10﹣a10=2，
∴a10=﹣2，
∴S19=19a10=﹣38，
故选：C．
4．（5分）某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老
师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（）
A．72 B．144 C．108 D．192
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、将两名女老师看成一个整体，考虑两人之间的顺序，有A22=2种情况，
②、将这个整体与除甲之外的3人全排列，有A44=24种情况，排好后，除去两端，有3个空位可选，
③、将甲安排在3个空位中，有3种情况，
则不同的安排方法的种数有2×24×3=144种；
故选：B．
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，几何体的表面积为（）
A．4+2（+）B．6+2（+）C．10 D．12
【解答】解：由三视图得到几何体如图：所以几何体的表面积为：
=6+2（）；
故选：B．
6．（5分）（x﹣）5的展开式中x2的系数为（）
A．40 B．80 C．﹣32 D．﹣80
【解答】解：∵（x﹣）5，
==（﹣2）r x，
∴T r
+1
令5﹣，解得r=2，
∴（x﹣）5的展开式中x2的系数为：（﹣2）2=40．
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[﹣
，]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[﹣
，]上的图象交于A，B，C三点，
令sin（πx+）=cos（πx+），可得π•x+=2kπ+，或π•x+=2kπ+，k∈Z．
再结合x∈[﹣，]，解得x=﹣2，﹣1，0，
可得A（﹣2，）、B（0，﹣）、C（0，），∴△ABC的面积是•2•=，故选：D．
8．（5分）已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是（）
A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行
B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直
C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直
【解答】解：对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故错；
对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，
如下图，直角三角形ACB的直角动点在平面α内，边AC、BC可以与平面都成300角，故错．
对于C，若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，显然错；对于D，若两条直线与平面α都垂直，则线a，b平行，故正确；
故选：D．
9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）
A．B．C．D．
【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，
则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．
作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，
可求得EF=B1C=．
故选：B．
10．（5分）如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D 折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设D1在平面ABC的射影为O，
由题意，CB⊥平面D1CB，∴CD⊥D1B，
∵D1C=，BC=1，
∴D1B=，
∴=AB2，
∴D1B⊥D1A，
由等面积可得D1O•=1，∴D1O=，
∴直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为=，
故选：B．
11．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF2|=|F1F2|，则
+的最小值为（）
A．6+2B．8 C．6+2D．6
【解答】解：由题意可知：|PF2|=|F1F2|=2c，
设椭圆的方程为+=1（a1＞b1＞0），
双曲线的方程为﹣=1（a2＞0，b2＞0），
又∵|F1P|+|F2P|=2a1，|PF1|﹣|F2P|=2a2，
∴|F1P|+2c=2a1，|F1P|﹣2c=2a2，
两式相减，可得：a1﹣a2=2c，
则+=+===（++18）
≥•（2+18）=8．
当且仅当=，即有e2=3时等号成立，
则+的最小值为8，
故选：B．
12．（5分）函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）
A．（﹣2，﹣]B．（﹣2，﹣）
C．（﹣，﹣1]D．（﹣，﹣1）
【解答】解：令f（x）＞0，得：kx+4＞，
令g（x）=，则g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，
故g（x）在（1，e）递增，在（e，+∞）递减，
画出函数草图，如图示：
，
结合图象，解得：﹣2＜k≤﹣，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.）
13．（5分）已知向量，满足||=1，•（+）=﹣3，则在方向上的投影为﹣4．
【解答】解：向量，满足||=1，•（+）=﹣3，
可得2+•=1+•=﹣3，
即有•=﹣4，
则在方向上的投影为==﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（5分）设x，y满足不等式组，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则的最小值为4..
【解答】解：由题意作出其平面区域，
由解得，x=4，y=6；
又∵a＞0，b＞0；
故当x=4，y=6时目标函数z=ax+by取得最大值，
即4a+6b=4；
即a+b=1；
故=（）（a+b）
=1+1++≥2+2×=4；
（当且仅当a=，b=时，等号成立）；
则的最小值为4．
故答案为：4．
15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，
当t=时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
16．（5分）对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f （x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：
①f（x）=；
②f（x）=sinx；
③f（x）=；
④f（x）=
其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③④（写出所有正确的序号）．
【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，
满足0≤f（x）≤1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；
函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，
满足﹣1≤f（x）≤1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；
函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，
其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；
函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，
满足0≤f（x）≤1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．
故满足题意的有①③④．
故答案为①③④．
三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．
（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N+），当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣
﹣（）n﹣2+2（n∈N+），
1
∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，
化为2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．
∵b n=2n a n．∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1．
令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即a1=．
又b1=2a1=1，∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，
∴a n=．
（Ⅱ）解：∵c n=log2=n，
∴=﹣，
∴T n=（1﹣）+（﹣）+…（﹣）=1+﹣﹣，
由T n，得1+﹣﹣，即+＞，
∵f（n）=+单调递减，f（4）=，f（5）=，
∴n的最大值为4．
18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由已知，
即cosCsinB=（2sinA﹣sinC）cosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
△ABC 中，sinA≠0，
故．…6分．
（2）a+c=2，
由（1），因此b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac …9分
由已知b2=（a+c）2﹣3ac=4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值为1．…12分
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），
，．
设平面PBD的一个法向量为，
则由，得，取z=，得．
取平面PAD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解：，平面BDP的一个法向量为．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞
|=||=||=．
20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别
为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），
所以=，得m2=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，消去x得
2y2+my+﹣1=0
则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由，=2，可知G（，），H（，）
|GH|2=+
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）
所以（）＜0，即m2＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．
21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．
【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），
∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，
∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，
联立解得a=b=1．
（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，
∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．
∴f′（x）+a==﹣+，
∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．
存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f （x）max+a=，
①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）
=，解得a≥．
min
②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x ∈[e，e2]上为增函数，
∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．
（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，
且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．
∴a≥，与矛盾．
（或构造函数即可）．
综上可得：a的最小值为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0，），C1（）．
=（），=（），，
．
（1）∵cos＜＞==．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；
（2）设平面BA 1D的一个法向量为，
由，得，取x=，得；
取平面A 1AD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为
．
23．设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A．（1）对任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．（2）若a+b=1，a，b∈R+，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．【解答】解：（1）关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A，
则a＞|﹣2|且a≤|﹣﹣2|，即有＜a≤，①
∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有
|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，
∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有
a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②
由①②可得＜a≤1，
由a∈N，则a=1；
（2）若a+b=1，a＞0，b＞0，
则+=+=+（+）
≥+2=，
当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为．。

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