江苏盐城市射阳高中数学第3章不等式32一元二次不等式的解法(3)学案苏教版5!

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高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式2教案苏教版必修

3.2 一元二次不等式（2）教学目标：1. 进一步巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；会解简单的分式不等式，简单的含参数的不等式；掌握简单的含有参数的一元二次不等式恒成立问题；2. 渗透数形结合，分类讨论的数学思想.教学重点：初步掌握含有参数的一元二次不等式的求解和恒成立问题.教学难点：解含有参数的一元二次不等式．教学方法：合作探究.教学过程：一、问题情境1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2．问题：写出关于x 的不等式102x x -<-解集；3．问题：写出关于x 的不等式()(1)0x a x --<解集.二、学生活动1.学生合作探究，给出结论，教师点评，并给出新问题：（1）解关于x 的不等式213x x -≤-；（2）解关于x 的不等式()2()0x a x a --<．三、建构数学1. 学生合作探究，并给出具体思路；2. 呈现课题：简单的含参数的一元二次不等式.四、数学运用1．例题.例2. 关于x 的不等式220mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围.2．练习.（1）函数()22lg 21y x x k =-+-的定义域为R ，求实数k 的取值范围. （2）若关于x 的不等式232x ax >+的解集为{}2x x b <<，求实数,a b . 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容： 1. 解简单的分式不等式以及含有参数的一元二次不等式，进一步巩固了一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系；2．含有参数的一元二次不等式的恒成立问题的处理.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

高中数学第3章不等式 2 一元二次不等式的解法教学案(无答案)苏教版必修5

江苏省泰兴中学高一数学教学案(92)必修5_03一元二次不等式的解法班级姓名目标要求1、通过函数图象了解一元二次不等式与对应函数、方程的关系2、会解一元二次不等式重点难点重点：一元二次不等式的解法难点：准确把握分类讨论的标准典例剖析例1．解不等式（1）22211x x -<--+≤；（2）1302xx -≤+例2．解关于x 的不等式：22540()x mx m m R -+>∈例3．解关于x 的不等式：20()x x a a R -+≤∈例4．已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

学习反思1、求解一元二次不等式时应根据结构特征灵活选择方法，例如配方、因式分解等2、对于简单的含参数的一元二次不等式要特别注意二次项为负数的情形，此时应将二次项系数变为正数，原不等式的方向要改变3、对于分式不等式0x a x b-≥-要特别注意0x b -≠ 课堂练习1、不等式241290x x ++≤的解集为______________.2、不等式(2)(3)0x x +->的解集为 .3、已知函数y =R ，则实数k 的取值范围是 .4、关于x 的不等式(1)(2)0(1)x a x a a ---><的解集为_________________.5、不等式11x x x x >++的解集为_________________ . 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为___________________.7、解下列不等式（组）：（1）225121x x x +≤++ （2）0,()1t x t R x ->∈- （3）230201x x x x ⎧-≤⎪⎨->⎪+⎩江苏省泰兴中学高一数学作业(92)班级姓名得分1、不等式223434x x x x -->-+的解集为__________________.2、已知集合2{|320},{|}A x x x B x x m =-+≥=≥，若A B R ⋃=，则实数m 的取值范围是3、若关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集为{|51}x x -≤≤，则m n -的值为4、若10<<a ,则不等式0)1)((<--a x a x 的解集为__________________. 5、已知集合22{|10},{|30}E x x F x x x =-<=-<，则E F ⋂等于6、已知0,0a b ><，则关于x 的不等式1b a x<<的解集为_________________________ 7、若实数a 、b 满足0a b +<，则关于x 的不等式0b x x a -<+的解集为_____________________ 8、解下列不等式：（1）425140x x --> （2）(3)(1)0(0)x mx m -->≥9、若对任何实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求实数k 的取值范围。

高中数学第三章不等式 §3.2.1一元二次不等式(一)导学案苏教版必修5

3.2一元二次不等式（一）第 22 课时一、学习目标1.熟练掌握一元二次不等式及其解法。

2.会运用一元二次不等式解有关问题。

二、学法指导1.解一元二次不等式的一般步骤：当0a ＞时，解形如20(0)ax bx c ++≥＞或20(0)ax bx c ++≤＜的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程20ax bx c ++=的解；（2）画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集。

2．一元二次不等式恒成立的情况： 20(0)ax bx c a ++≠＞恒成立00a ⎧⇔⎨∆⎩＞＜ 20(0)ax bx c a ++≠＜恒成立00a ⎧⇔⎨∆⎩＜＜判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅四、课堂探究例1 解下列不等式：（1）27120x x -+>；（2）2230x x --+≥；（3）2210x x -+<；（4）2220x x -+<．解：例2 已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．解：例 3 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．解：例 4 已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解：例 5 若不等式0122>-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围解：五、巩固训练 P 69练习+课课练六、课堂回顾作业布置。

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式(二)学案苏教版必修5

跟踪训练 2 解下列不等式．
2x－ 1
2－ x
(1)
≥0； (2)
>1.
3x＋ 1
x＋3
3/9
类型三不等式恒成立问题例 3 设函数 f ( x) ＝ mx2－mx－ 1. (1) 若对于一切实数 x， f ( x)<0 恒成立，求 m的取值范围； (2) 对于 x∈[1,3] ， f ( x)< － m＋ 5 恒成立，求 m的取值范围．
m<0，若 m≠0，则
Δ＝ m2＋4m<0
? － 4<m<0.
∴－ 4<m≤0.
(2) 要使 f ( x)< － m＋ 5 在 x∈[1,3] 上恒成立．
需使
1 m x－
2＋
3 m－
6<0
在
x∈[1,3]
上恒成立．
24
7/9
令
1 g( x) ＝ m x－2
2＋ 3m－ 6，x∈[1,3] 4
．
当 m>0 时， g( x) 在 [1,3] 上是增函数，
梳理一般的分式不等式的同解变形法则： fx
(1) g x >0? ____________ ；
fx (2) g x ≤０?
；；
fx
f x － ag x
(3) g x ≥ a?
gx
≥0.
知识点二一元二次不等式恒成立问题思考 x－ 1>0 在区间 [2,3] 上恒成立的几何意义是什么？区间 [2,3] 与不等式 x－ 1>0 的解集
轴上方．区间 [2,3] 内的元素一定是不等式 x－ 1>0 的解，反之不一定成立，故区间 [2,3] 是
不等式 x－ 1>0 的解集的子集．

高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法课件苏教版必修5

若a1＝1，即a＝1，则x∈∅；
若a1>1，即0<a<1，则1<x<a1.
综上所述，当a<0时，原不等式的解集为
xx<1a或x>1

；当a＝0
时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为
x 1<x<a1

；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的
2．方程 x2－2x－3＝0 与不等式 x2－2x－3>0 的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
[提示] 方程 x2－2x－3＝0 的解集为{－1,3}．不等式 x2－2x－3>0 的解集为{x|x<－1 或 x>3}，观察发现不等式 x2－2x－3>0 解集的端点值恰好是方程 x2－2x－3＝0 的根．
4．三个“二次”的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式求方程f(x)＝0 f(x)＞0或的解
有两个不等的实数解 x1，x2
有两个相等的实没有实
数解x1＝x2
数解
画函数y＝f(x) 的示
意图 f(x)＜0
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x23<x<1

高中数学 3.2一元二次不等式(3)教案苏教版必修5

第 4 课时：§3.2 一元二次不等式（3）【三维目标】：一、知识与技能1. 经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；2.让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．3.培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

二、过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；三、情感、态度与价值观1.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.2.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

【教学重点与难点】：重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学方法：诱思引探教学法3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a=++>、相应的方程20(0)ax bx c a++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1)234x x->；(2)0322>-+-xx；(3) 2(1)(30)0x x x--->；(4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材69P 例2）用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2 （教材70P 例3）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3（教材70P 例4）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．三、巩固深化，反馈矫正教材71P 练习四、归纳整理，整体认识有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；五、承上启下，留下悬念六、板书设计（略）七、课后记：。

江苏省盐城市射阳县高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式的解法(3)学案苏教版必修5

一元二次不等式的解法（3）教学目标：会解与一元二次不等式有关的实际问题及恒成立问题；教学难点：分类讨论思想的运用预习任务：看书P77-P79 弄懂下列概念，完成相应问题。

1、已知有一根1米长的绳子。

●请问能否用这1米长的绳子围成面积为34平方米的矩形？； ●请问用这1米长的绳子围成矩形面积的最大值为； ●若设矩形的长为x 米，且围成矩形的面积不小于316平方米，则x 的取值范围为； 2、某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个●若上涨x(元)，请写出销售利润y （元）与x(元)的函数关系式；；●如果销售利润为360元，那么销售价上涨几元？；●问销售价定为多少元时，销售利润不小于360元？；3、制作一个高为20厘米的长方体容器，底面矩形的长比宽多10厘米，并且容积不少于4000平方厘米，则底面矩形的宽至少应为；4、销售某种商品，单价为a 元时，售出的数量是b ，经市场调研可以预测，若单价上涨m ℅，则售出的数量将减少150m ，为了使得该商品的销售金额最大，m 应定为多少？5、总结：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一般解法步骤：探究案探究一：●用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于6002m的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？练习：将1米长的铁丝分成两部分，其中一部分为x，用这两部分的铁丝分别围成两个等边三角形，若要使得这两个等边三角形的面积之和不大于173128平方米？则x的取值范围为（直接写结果）探究二：●某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件（x N•∈）与货价p元∕件之间的关系为1602p x=-，生产x件所需成本为50030C x=+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？练习：见书第79页练习第3题主备人：袁彩伟编号： 32015-2016版高中数学必修五一元二次不等式的解法（3）作业第3课时1、、若不等式2ax bx c ++＞0的解是2＜x ＜3，求不等式20bx ax c -->的解集。

高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式学案苏教

3.2 一元二次不等式第一课时一元二次不等式的解法[新知初探]1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是________．解析：变形为(3x ＋1)2≤0，∴x ＝－13.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－132．不等式2x ＋35－x 2>0的解集是________．解析：原不等式等价于x 2－2x －35<0，即(x ＋5)(x －7)<0，即－5<x <7. 答案：{x |－5<x <7}3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是________．解析：由x 2－2x －5>2x 得x 2－4x －5>0，因为方程x 2－4x －5＝0的两根为－1,5. 故不等式x 2－4x －5>0的解为x <－1或x >5. 答案：{x |x <－1或x >5}4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是________．解析：根据定义，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 答案：(－2,1)[典例] 解下列不等式： (1)x 2－x －6>0； (2)25x 2－10x ＋1>0； (3)－2x 2＋x ＋1<0.[解] (1)方程x 2－x －6＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝3，结合二次函数y ＝x 2－x －6的图象知x 2－x －6>0的解集为{x |x >3或x <－2}．(2)方程25x 2－10x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝15.结合二次函数y ＝25x 2－10x ＋1的图象知25x 2－10x ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠15.(3)法一：方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1，函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图象是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和(1,0)，如图，观察图象知不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >1. 法二：在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0，方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1；画出函数y ＝2x 2－x －1的图象如图所示．观察图象，可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >1.[活学活用]1．不等式x 2＋x －12<0的解集是________．解析：由x 2＋x －12＝0，解得x 1＝3，x 2＝－4. ∴不等式x 2＋x －12<0的解集是{x |－4<x <3}．答案：{x |－4<x <3} 2．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0; (2)x (4－x )≤x (x ＋3)－3.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，∴(2x ＋1)(x －2)<0.故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (2)原不等式可化为2x 2－x －3≥0， ∴(2x －3)(x ＋1)≥0，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1或x ≥32.[典例] 解不等式：x ＋3>1.[解] 法一：原不等式化为2x －1x ＋3－1>0，即x －4x ＋3>0，所以x －4与x ＋3同号．故有⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，x ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x ＋3<0.解得x >4或x <－3，所以原不等式的解集为{x |x <－3或x >4}．法二：原不等式化为x －4x ＋3>0，等价于(x －4)(x ＋3)>0，∴原不等式解集为{x |x <－3或x >4}．x x >0，xx<0否含有等号，如f xg x≥0x ，xx ，x，[活学活用] 不等式x －1x≥2的解集为____________．解析：x －1x ≥2化为x －1x－2≥0，即－x －1x ≥0，即x ＋1x≤0.它等价于⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，x ≠0⇒－1≤x <0.∴原不等式解集为{x |－1≤x <0}．答案：{x |－1≤x <0}[典例] 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．[解] 因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．[活学活用] 1．已知x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝____________.解析：ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0. 即ax 2＋(a －1)x －1<0.∴－1，－12是方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－a －1a ，－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，a <0.解得a ＝－2.答案：－22．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－ba，2×3＝c a，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)．即6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.层级一学业水平达标1．不等式x 2>x 的解集是________．解析：由x 2>x ，得x (x －1)>0，所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x 2－9≥0，或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3，或x ＝±3，即x ≤－3或x＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为____________．解析：∵x 2－1<0的解集为{x |－1<x <1}，x 2－3x <0的解集为{x |0<x <3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}4．关于x 的不等式(ax －2)(x ＋1－a )<0的解集为A ，若2∈A ，则a 的取值范围为________．解析：因为2∈A ，所以(2a －2)(2＋1－a )<0，得a ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)5．不等式3x －1x －2≤0的解集为____________．解析：不等式3x －1x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －2≠0，解得13≤x <2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <26．函数y ＝x ＋3＋log 2(x 2－4x ＋3)的定义域为________．解析：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x 2－4x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x >3或x <1，解得－3≤x <1或x >3.答案：[－3,1)∪(3，＋∞)7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在1<x <4内有解，则实数a 的取值范围是____________．解析：令f (x )＝2x 2－8x －4－a ＝2(x －2)2－12－a 数形结合知只需f (4)>0即可．即2×42－8×4－4－a >0，解得a <－4. 答案：(－∞，－4) 8．不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________．解析：ax x －1<1化为ax x －1－1<0，即a －x ＋1x －1<0. 等价于[(a －1)x ＋1](x －1)<0. ∴(a －1)x 2－(a －2)x －1<0.∴1,2是方程(a －1)x 2－(a －2)x －1＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a －2a －1，1×2＝－1a －1，解得a ＝12.答案：129．求函数y ＝lg(x 2－2x －3)＋1－x 2＋3x ＋10的定义域．解：依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，－x 2＋3x ＋10>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >3，－2<x <5，∴不等式组的解是－2<x <－1或3<x <5， ∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3,5)． 10．若函数f (x )＝2 016ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．层级二应试能力达标1．不等式x2x －1<0的解为________．解析：x (2x －1)<0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 2．集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x <2或x >3}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2或3<x ≤4}．答案：{x |1≤x <2或3<x ≤4}3．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－2,1)，则不等式ax 2＋(a ＋b )x ＋c －a <0的解集为________．解析：由题意，∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－2,1)，∴a <0，－2＋1＝－b a，(－2)×1＝c a，∴b ＝a ，c ＝－2a ，∴不等式ax 2＋(a ＋b )x ＋c －a <0为ax 2＋2ax －3a <0，即x 2＋2x －3>0， (x ＋3)(x －1)>0， ∴x <－3或x >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)4．关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b －x ＋5>0的解集是________．解析：不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⇒a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5.答案：(1,5) 5．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．解析：由题意知－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.∴2x 2＋bx ＋a <0可化为2x 2－2x －12<0. 即x 2－x －6<0.∴(x －3)(x ＋2)<0，解得－2<x <3. ∴2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－2<x <3}．答案：{x |－2<x <3}6．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：27．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．8．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a>1， ∴a <0且c a>1，∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0， ∴函数y ＝f (x )必有两个不同的零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝b －a 2＋4ac a 2＝－2a －c2＋4ac a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋4，由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)[典例] 已知a ＞0，解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0. [解] 当a >0时，原不等式可化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0.(1)当0<a <1时，两根的大小顺序为2<2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a或x <2；(2)当a ＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x |x ≠2}；(3)当a >1时，两根的大小顺序为2>2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2；当a ＝1时，原不等式解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2.解含参数的不等式时，解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ≥0)．解：原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0， (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； (2)当a ＞0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1. 综上，a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1.[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ [解] (1)依题意，得y ＝[1.2(1＋0.75x )－(1＋x )]×1 000(1＋0.6x )＝1 000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)，所以本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式为y ＝1 000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)．(2)依题意，得1 000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)＞(1.2－1)×1 000，化简，得3x 2－x ＜0，解得0＜x ＜13.所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x 元，则[30－(x －15)×2]·x >400，即x 2－30x ＋200<0，因方程x 2－30x ＋200＝0的两根为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解为10<x <20，又因为x ≥15，所以15≤x <20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.[典例] 对任意x ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________．[解析] 由题意知Δ＝(m －4)2－4(4－2m )≤0，得m ＝0. [答案] {0} [一题多变]1．[变条件]对任意x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求m 的取值范围．解：①当m ＝0时，f (x )的值不恒大于零，舍去；②当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －2－4m －2m ，此不等式组无解，故m ∈∅.综上知，不存在这样的实数m ，使函数f (x )的值恒大于零．2．[变条件]对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求m 的取值范围．解：由题意知(x －2)m ＋x 2－4x ＋4>0，(x －2)m >－x 2＋4x －4，因为x ∈[－1,1]，所以x －2<0，所以m <－x 2＋4x －4x －2＝－(x －2)，所以m <1.即m 的取值范围为(－∞，1)．3．[变条件、变设问]对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－ 4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g＝x －1＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．层级一学业水平达标1．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是____________．解析：x 2－4ax －5a 2>0化为(x －5a )(x ＋a )>0， ∵a <0，∴5a <－a . ∴x >－a 或x <5a . 答案：{x |x <5a 或x >－a } 2．已知a <0，则关于x 的不等式axx －2>1 的解集是________．解析：不等式ax x －2>1可化为a －x ＋2x －2>0，不等式等价于(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21－a (x －2)>0.∵a <0，∴不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21－a (x －2)<0. ∵21－a<2. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪21－a <x <2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪21－a <x <2 3．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＝0时，有1<0，故A ＝∅成立；当a ≠0时，要使A ＝∅，须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，∴0<a ≤4，综上a ∈[0,4]．答案：[0,4]4．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2＋1，x <2a ＋4若不等式组有解，∴2a ＋4>a 2＋1，即a 2－2a －3<0.∴－1<a <3. 答案：(－1,3)5．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：x 2－ax ＋2a >0恒成立⇔Δ<0，即a 2－4×2a <0，解得0<a <8. 答案：(0,8)6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]7．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：[－1,4]8．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m <3.答案：(1,3)9．已知对任意x ∈(0，＋∞)不等式x 2－ax ＋2>0恒成立，求实数a 的取值范围．解：令f (x )＝x 2－ax ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋2－a 24，(1)当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)为单调递增的．f (0)＝2>0，故a ≤0时，x 2－ax ＋2>0恒成立．(2)当a >0时f (x )＝x 2－ax ＋2的对称轴为x ＝a2.∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ＝2－a 24.若x 2－ax ＋2>0在x ∈(0，＋∞)恒成立，只要2－a 24>0即可，∴0<a <2 2.综上，若x 2－ax ＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为(－∞，22)． 10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.层级二应试能力达标1．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－3a －2在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x 2－2x －(a 2－3a －5)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－3a －5)<0，∴a 2－3a －4<0， ∴－1<a <4，即实数a 的取值范围为(－1,4)．答案：(－1,4)2．对任意a ∈[－2,3]，不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0恒成立，则x 的取值范围为____________．解析：设f (a )＝x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－2x ＋6＋x 2－6x ＋9>0，f ＝3x －9＋x 2－6x ＋9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－8x ＋15>0，x 2－3x >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x <3或x >5，x <0或x >3.∴x <0或x >5.即x 的取值范围为(－∞，0)∪(5，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(5，＋∞)3．关于x 的不等式ax 2＋2x ＋a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，易知条件不成立；当a ≠0时，要使不等式ax 2＋2x ＋a >0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a 2<0，解得a >1.答案：(1，＋∞)4．关于x 的不等式x 2＋ax ＋a 24－c <0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由x 2＋ax ＋a 24－c <0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－c －a 2<x <c －a 2，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a2＝6.解得c ＝9.答案：95．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则a 的取值范围为________．解析：(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 6．若m 2x －1mx ＋1<0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为m ≠0，所以分两种情况讨论：(1)m >0，不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，1m 2，显然不适合题意；(2)m <0，(ⅰ)当m ＝－1时，不等式化为－(x －1)2<0，对于x ≠1均成立；(ⅱ)当－1<m <0时，不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1m ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2，＋∞，要使不等式m 2x －1mx ＋1<0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，必须1m 2<4，结合－1<m <0，解得－1<m <－12；(ⅲ)当m <－1时，不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1m 2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，＋∞，所以－1m≤4恒成立．综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－127．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从2015年开始第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且2015年后每月再投入1万元进行员工培训，且测算得自2015年后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且2015年第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问2015年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．解：2015年改革后经过n 个月的纯收入为(T n －300－n )万元，公司若不进行改革，由题设知2015年后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得2015年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元．所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)，第二个月：70－3－2(2－1)，第三个月：70－3－2(3－1)， …第n 个月：70－3－2(n －1)，所以不改革时的纯收入为：70n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋n n －2·2万元，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧90＝a ＋b ，170＝2a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝80，b ＝10，由题意建立不等式：80n ＋10－300－n >70n －3n －(n －1)n ，整理，得n 2＋11n －290>0，得n >12.4，因为n ∈N ，故取n ＝13.答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．8．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围． (2)若对一切m ∈[－2,2]不等式恒成立，求x 的取值范围．解：(1)不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，不等式变为1－2x <0，对任意实数x 不恒成立，故m ＝0不满足；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m －m ，则m 无解．综上可知不存在这样的m ，使不等式恒成立． (2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，当x 2－1＝0时，即x ＝±1，检验得x ＝1时符合题意，当x 2≠1时，则其为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m ≤2时在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0. ②解①，得x <－1－72或x >－1＋72，解②，得1－32<x <1＋32.由①②，得－1＋72<x <1＋32，且x ≠1，综上得x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.。

高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式的解法教案高二数学教案

第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
三、学习者特征分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了。可以引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备。
（六）归纳小结，强化思想
设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．
（七）布置作业，拓展延伸
必做题：课本第80页习题A组 1，2.
选做题：（1）若关于的一元二次方程有两个不相
（二）创设情景，提出问题
首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6 米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？
（设计意图：①开篇引入数学实际问题，贴近生活，直奔主题，构造悬念，激活学生的思维兴趣；②让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．）
目的:强调对于实际问题还应考虑实际情况（即长度必须大于零）．另外，再次巩固学生对三个“二次”的理解．（五）Fra bibliotek习检测，巩固收获
（1）求下列一元二次不等式的解集：
（2）函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
（设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）

高中数学第3章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学

第2课时一元二次不等式的应用1．掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点) 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)3．会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点)[小组合作型]含参数的一元二次不等式的解法(1)解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.(2)解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1<0(a ∈R )．【精彩点拨】 (1)解相应方程的根―→比较讨论两根大小―→得解集【自主解答】 (1)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }．(2)原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)<0，当a ＝0时，x <1；当a >0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)<0，∴－1a<x <1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1<a <0时，－1a>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)>0，∴x >－1a或x <1；当a <－1时，－1a<1，∴x >1或x <－1a.综上，原不等式的解集是：当a ＝0时，{x |x <1}；当a >0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a<x <1；当a ＝－1时，{x |x ≠1}；当－1<a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1或x >－1a ；当a <－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1a或x >1.含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[再练一题]1．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0(a ∈R )．【解】 Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：(1)当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . (2)当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)， x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x <14－a －a 2－16，⎭⎬⎫或x >14－a ＋a 2－16；当a ＝4时，原不等式的解集为 {x |x ∈R ，且x ≠－1}.一元二次不等式的实际应用某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？【精彩点拨】 (1)利用“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”． (2)解“y >(12－10)×10 000”即可．【自主解答】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －12－10×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内．解不等式应用题的一般步骤：(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题．[再练一题]2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．【解】设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.[探究共研型]不等式的恒成立问题探究1 ax 2bx c 【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.探究2 不等式f (x )≤a 恒成立，x ∈[m ，n ]的等价条件是什么？【提示】 f (x )≤a ，x ∈[m ，n ]恒成立⇔f (x )的最大值≤a ，x ∈[m ，n ]．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【精彩点拨】 (1)分m ＝0和m ≠0两类，结合函数图象求解． (2)利用函数最值或分离变量m ，求范围．【自主解答】 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )是增函数， ∴g (x )的最大值为g (3)＝7m －6<0， ∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )是减函数，∴g (x )的最大值为g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述，m <67.法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0， ∴m <6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.又x ∈[1,3]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋34＝7， ∴m <67.有关不等式恒成立求参数的取值范围问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否分离参数，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解．[再练一题]3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】由题意可知当m ＋1＝0，即m ＝－1时，原不等式可化为2x －6<0，不符合题意，应舍去；当m ＋1≠0时，由(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝m －12－12m ＋1m －1<0，解得m <－1311.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311. [构建·体系]1．若a <0，则关于x 的不等式(x －5a )(x ＋a )>0的解集为________.【导学号：91730057】【解析】 ∵a <0，∴－a >5a ， ∴(x －5a )(x ＋a )>0的解集为 {x |x >－a 或x <5a }．【答案】 {x |x >－a 或x <5a }2．关于x 的不等式x (x ＋m )－2<0的解集为(－1，n )，则实数m ，n 的值分别为__________．【解析】不等式x (x ＋m )－2<0，即x 2＋mx －2<0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝－m ，－1×n ＝－2，解得m ＝－1，n ＝2.【答案】－1,23．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是________．【解析】当k ＝0时，－38<0显然成立．当k ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋3k <0，即－3<k <0.综上可知－3<k ≤0. 【答案】 (－3,0]4．已知不等式ax 2＋2x －4>0的解集为空集，则a 的取值范围是__________．【解析】由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4＋16a ≤0对x ∈R 恒成立，解得a ≤－14.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14 5．已知a >0，解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.【解】当a >0时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0.(1)当0<a <1时，两根的大小顺序为2<2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a或x <2； (2)当a ＝1时 ,2＝2a，原不等式的解集为{x |x ≠2}；(3)当a >1时，两根的大小顺序为2>2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2；当a ＝1时，原不等式的解集为{}x |x ≠2；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋ab －x<0的解集为________．【解析】原不等式等价于(x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0. 又a ＋b <0，∴b <－a .∴原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }．【答案】 {x |x >－a 或x <b }2．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在1<x <4内有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝2x 2－8x －4－a ＝2(x －2)2－12－a 数形结合知只需f (4)>0即可，即2×42－8×4－4－a >0，解得a <－4. 【答案】 (－∞，－4)3．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，则x ∈(0,1]时，f (x )min ＝f (1)＝12－4×1＝－3，∴m ≤－3.【答案】 (－∞，－3]4．若f (x )＝kx 2－6kx ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.【导学号：91730058】【解析】由题意知，kx 2－6kx ＋8≥0对任意实数x 恒成立．当k ＝0时，8≥0显然成立，当k ≠0时，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝－6k 2－4×k ×8≤0，解得0<k ≤89，综上，0≤k ≤89.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，89 5．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 【答案】 (－1,3)6．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量为________台．【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，∴x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．【答案】 1507．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．【解析】因为x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，所以k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2且k ≠0.【答案】 k ≥4或k ≤2且k ≠08．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：91730059】【解析】由题意可知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )·(1－x －a )， ∴原不等式可化为(x －a )(1－x －a )<1. 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以只需Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)<0. 解得－12<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 二、解答题9．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．【解】 ①a ＝－2时，原不等式⇔－1≥0无解．②当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22－4a 2－4×－1<0⇔－2<a <65.由①②知－2≤a <65.10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式x －cax －b>0(c 为常数)．【解】 (1)由题知a >0，且1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a，∴a ＝1，b ＝2，(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0，当c >2时，其解集为{x |x >c 或x <2}，当c <2时，其解集为{x |x >2或x <c }，当c ＝2时，其解集为{x |x ≠2}．[能力提升]1．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2＋1，x <2a ＋4，若不等式组有解，∴2a ＋4>a 2＋1，即a 2－2a －3<0， ∴－1<a <3. 【答案】 (－1,3)2．对任意a ∈[－2,3]，不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0恒成立，则x 的取值范围为________．【解析】设f (a )＝x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f －2＝－2x ＋6＋x 2－6x ＋9>0，f3＝3x －9＋x 2－6x ＋9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－8x ＋15>0，x 2－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <3或x >5，x <0或x >3，∴x <0或x >5.【答案】 (－∞，0)∪(5，＋∞)11 3．若a ＋1>0，则不等式x ≥x 2－2x －a x －1的解集为________．【解析】 ∵x ≥x 2－2x －a x －1＝x －12－a ＋1x －1＝x －1－a ＋1x －1， ∴1≥－a ＋1x －1， ∴x ＋a x －1≥0，∴(x ＋a )(x －1)≥0. 又a ＋1>0，∴1>－a ，∴原不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤－a }．【答案】 {x |x ≥1或x ≤－a }4．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解】 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，即5x －14－3x≥0，又1≤x ≤10，所以5x 2－14x －3≥0，解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故当x ＝6时，y max ＝457 500，即甲厂以6千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

高中数学 32(一元二次不等式(3))教案苏教版必修5 教案

【教学重点与难点】：重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；【学法与教学用具】：1. 学法：2.教学方法：诱思引探教学法3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式:(1)234x x ->；(2)0322>-+-x x ；(3)2(1)(30)0x x x --->；(4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材69P 例2）用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的X 围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2（教材70P 例3）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3（教材70P 例4）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．三、巩固深化，反馈矫正教材71P 练习四、归纳整理，整体认识有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；五、承上启下，留下悬念六、板书设计（略）七、课后记：。

高中数学第三章不等式 3.2 第1课时简单的一元二次不等式及其解法学案苏教版必修5-苏教版高

第1课时简单的一元二次不等式及其解法学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．知识点一一元二次不等式的概念思考我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2>1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2>1的解集吗？答案能使不等式x2>1成立的x的值，都是不等式的解，如x＝2.不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集．梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．(3)不等式所有解的集合称为解集．知识点二“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a∪⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2)∅∅知识点三一元二次不等式的解法思考根据上表，尝试解不等式x 2＋2>3x . 答案先化为x 2－3x ＋2>0.∵方程x 2－3x ＋2＝0的根x 1＝1，x 2＝2， ∴原不等式的解集为{x |x <1或x >2}．梳理解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(其中a >0)．(2)计算Δ＝b 2－4ac ，以确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0是否有解． (3)有根求根．(4)根据图象写出不等式的解集．1．mx 2＋5x <0是一元二次不等式．(×)2．解不等式ax 2＋bx ＋c >0，即求横坐标x 取哪些值时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方．(√)3．解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是．(√)类型一一元二次不等式的解法命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解集．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12. 反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．跟踪训练1 求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法解 ∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2>0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥2. 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x 2＋2x －3>0. 考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法解不等式可化为x 2－2x ＋3<0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.反思与感悟将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担．跟踪训练2 求不等式－3x 2＋6x >2的解集．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法解不等式可化为3x 2－6x ＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴不等式－3x 2＋6x >2的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－33<x <1＋33. 命题角度3 实际问题中的一元二次不等式例3 某校园内有一块长为800m ，宽为600m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．考点一元二次不等式的应用题点一元二次不等式在实际问题中的应用解设花卉带的宽度为x m(0<x <300)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]．反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练3 在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任．考点一元二次不等式的应用题点一元二次不等式在实际问题中的应用解由题意列出不等式s 甲＝0.1x 甲＋2甲0.01x >12，s 乙＝0.05x 乙＋20.005乙x >10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．类型二 “三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值解由题意得，x 1＝1和x 2＝2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根．由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∴不等式bx 2＋ax ＋1>0，即2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x ＞1. 反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．跟踪训练4 已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值解方法一由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝ba，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x ＞1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0，得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x ＞1. 2．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，则a ＝________. 考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值答案 3解析由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.3．不等式x 2＋x ＋2<0的解集为________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 ∅解析由Δ＝12－4×2<0，根据y ＝x 2＋x ＋2的图象(图略)知x 2＋x ＋2<0的解集为∅. 4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________．考点一元二次不等式的应用题点一元二次不等式在实际问题中的应用答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }解析日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．1．解一元二次不等式的常见方法：(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得{x |x >n 或x <m }；若(x －m )(x －n )<0，则可得{x |m <x <n }．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标．一、填空题1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为____________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 解析因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为____________．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值答案 {x |－1≤x ≤2}解析由题意知，－ba ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t >0的解集是____________．考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t 解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t >0⇔(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0⇔t <x <1t.4．函数y ＝17－6x －x2的定义域为__________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 (－7,1)解析由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1.5．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为__________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 {x |x ≠－2}解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0， ∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是____________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 (－3,1)∪(3，＋∞) 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，由x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，由x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．7．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为______________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 {x |x <－lg2}解析由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12，解得x <－lg 2.8．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是________．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 “三个二次”间对应关系的应用答案 a <α<β<b解析设g (x )＝(x －a )(x －b )，则g (x )向上平移2个单位长度得到f (x )的图象，由图易知a <α<β<b .9．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是_____________________________________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式组的解法答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.10．不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集为__________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法答案 {x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}解析原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．11．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的定义答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 二、解答题12．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，求∁U A . 考点一元二次不等式的应用题点一元二次不等式解集与集合运算解依题意，得∁U A 中的元素应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 2－4x ＋3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >1，x ≤1或x ≥3，解得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．13．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值解由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－ba ，－13×2＝ca ，∴b＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2－5x －3<0，解得－12<x <3，∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3.三、探究与拓展14．解不等式|x －2|－|x －5|≥x 2－8x ＋14. 考点一元二次不等式的解法题点一元二次不等式的解法解设f (x )＝|x －2|－|x －5|. ①当x ≤2时，f (x )＝－3，而x 2－8x ＋14＝(x －4)2－2≥－2，∴f (x )≥x 2－8x ＋14无解；②当2<x <5时，f (x )＝2x －7，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －7≥x 2－8x ＋14，2<x <5，解得3≤x <5；③当x ≥5时，f (x )＝3，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－8x ＋14≤3，x ≥5，解得5≤x ≤4＋ 5.综上，原不等式的解集为[3,4＋5]．15．已知集合A ＝{x |x 2－x －12<0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a ≠0}，若C ⊇(A ∩B )，求实数a 的取值范围．考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 “三个二次”间对应关系的应用解 A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |x <－4或x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x <4}，要使C ⊇(A ∩B )，需⎩⎪⎨⎪⎧ 22－4a ·2＋3a 2≤0，42－4a ·4＋3a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2－8a ＋4≤0，3a 2－16a ＋16≤0. 解得43≤a ≤2，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2.。

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