3.1.2 第2课时指数函数的应用

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3.1.2 指数函数的图象和性质

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第三章 §3.1 §3.1.2
第二课时
名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1
2．函数图像的对称变换 (1)函数 y＝f(－x)的图像与函数 y＝f(x)的图像关于 y 轴对称． (2)函数 y＝－f(x)的图像与函数 y＝f(x)的图像关于 x 轴对称． (3)函数 y＝－f(－x)的图像与函数 y＝f(x)的图像关于原点对称．
变式训练 1 (2011· 成都市玉林中学高一月考)函数 f(x)＝ ax－b 的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
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第三章 §3.1 §3.1.2
第二课时
名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
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第三章 §3.1 §3.1.2
第二课时
名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1
解析 f(－x)＝2
2－(－x)2
＝2
2－x2
＝f(x)，
∴f(x)是偶函数． f(x)是由 y＝2t，t＝2－x2 复合而成． ∵y＝2t 在定义域上单调递增，t＝2－x2 在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．
例 1 已知 f(x)＝2x，作出下列函数图像． (1)y＝f(x)－1； (2)y＝－f(x)．
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第三章 §3.1 §3.1.2
第二课时
名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1

原创1：3.1.2 指数函数（二）（导学式）

利用换元法求值域.
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
[解析](1)令t= − = − −
又y=

为减函数，∴y= ≥，

∴值域为[ ，+∞).

+ ,则t≤1，
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
(2)定义域为R. 令t＝2x,则t>0，
y=4x－2x+1+1=t2－2t+1=(t－1)2.
是R上的增函数
是R上的减函数
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
(2) 0.6－1.2和0.6－1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)0.60.4和0.70.4.
[解析] (1)考察函数y=1.5x,
由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,
因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察函数y=0.6x, ∵0<0.6<1,∴函数y=0.6x在R上是减函数,
∵−1.2>−1.5,∴0ຫໍສະໝຸດ 6－1.2<0.6－1.5.
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？
[思路分析]
可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年
后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行
具体计算.
典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用

第2课时指数函数及其图象、性质(二) 高一数学

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-

=

+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√

;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√

≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+

因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.

2013版高考数学 3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用课件苏教版必修1

这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量
关于时间的函数关系式.
解
设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量
y=1×0.84=0.841；
经过2年，剩留量
y=0.84×0.84=0.842
…… 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84x（x>0）.
【例4】某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利
3期后的本利和为
y=a(1+r)3
……
x期后的本利和为 y=a(1+r)x， x∈N*，
审清题意，建立相应的函数模型
即本利和y随存期x变化的函数关系式为 y=a(1+r)x， x∈N*. （2）将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式，得 y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元) 即5期后的本利和约为1117.68元.
系（1）解:
1 27
y 3
2 ( x 1)
（2）
（3） y
3
2x
(1)y=32x的图象向左平移1个单位； (2)因为 y 3
1 2
2( x 1 ) 2 ，所以y=32x的图象向左平移
个单位；
(3)因为 y 32 x 3 3
3 2
3 2( x ) 2 ，所以y=32x的图象向右平移
2
在其定义域内y为增函数，则函数的最大值为7，最小值为
1 . 4
时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务。
第2课时指数函数及其性质的应用
1、掌握指数函数的图象；(重点）
2、会解简单的指数型方程；（重点、难点） 3、掌握函数图象的平移变换和对称变换.(重点、难点）

高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册

第2课时　指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一　比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶　注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷　如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸　与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1　利用指数函数的单调性比较大小例1　若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1　下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2　已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3　指数型函数的单调性例3　求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3　函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4　指数函数性质的综合问题例4　已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4　已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时　指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性　图象　中间值要点二单调性　单调性要点三相同　相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1　解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1　解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析巩固训练2　解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3　解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4　解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。

2019版高中数学苏教版必修一课件：第三章 3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用

解析 1 年后价格为 8 100×(1－13)＝8 100×23＝5 400(元)， 2 年后价格为 5 400×(1－13)＝5 400×23＝3 600(元)， 3 年后价格为 3 600×(1－13)＝3 600×23＝2 400(元)．答案 2 400元
知识点二与指数函数复合的函数单调性 1．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同
规律方法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断． (2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较． (4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值 0,1进行分组，再比较各组数的大小．
(2)分情况讨论： ①当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6， ∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得 x<－1 或 x>5； ②当 a>1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当 0<a<1 时，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)；当 a>1 时，(－1,5)．
(1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1.2,0.6－1.5； (3)2.3－0.28,0.67－3.1.
解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的．又2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R上是减少的．因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)(中间量法)由指数型函数的性质，知 2.3－0.28<2.30＝1， 0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.

高中数学：3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.7-0.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)23(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.7-0.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以23(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二指数型函数的单调性例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+x x的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三指数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x ＋1)(32x＋1). ∵x 1＜x 2，∴32x －31x ＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数. (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f (x )的值域为(－1,1).规律方法指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe 12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，在f (x )的单调区间[m ，n ]上，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。

3.1.2指数函数

5.对称性: y=ax和 y=a-x的图象关于轴对称注意：请同学们自己将函数的图象和性质总结并列成表
a>1 y
图象
0<a<1
y y=ax
a>1
2 1
y=ax x
2
1
0<a<1 x
o
o
１．定义域：R 性 2. 值域: (0,+∞)
3.过点(0,1)并且⑴a>1,当x>0时y>1;当x<0,y∈(0,1) ⑵1>a>0,当x>0, y∈(0,1);当x<0,y∈(1,+∞)
（3）1.70.3 ， 0.93.1.
小结比较指数幂大小的方法： ①、单调性法：利用函数的单调性，数的特征
是底同指不同（包括可以化为同底的）。 ②、中间值法：找一个 “中间值”如“1”来过渡,
数的特征是底不同指不同。
精讲点拨
题型三:函数的定义域和值域
例3.求下列函数的定义域和值域
2 3 x （2） y 2

这两个函数有何特点?
0
1
a
概念剖析
思考1:为何规定a0，且a1 ?

( 3) 3 1 2 x有些会没有意义，如当a=0时，a 0 2 0 x
当a<0时，a x有些会没有意义，如当a=1时，a 恒等于1，没有研究的必要. 思考2:指数式a x中X∈R都有意义吗 ?
(1) 1.7 与 1.7 (2) 0.8 与 0.8 4 a 4 b (3)已知（） ( ) ，比较a, b的大小。 7 7
a a+1 -0.1 -0.2
跟踪练习课本P93练习A 2.
应用新知

新教材人教A版数学必修第一册讲义4-2-2第2课时指数函数的性质及其应用

第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案] 当a >1时，若x >0，则y >1；若x <0，则0<y <1.当0<a <1时，若x >0，则0<y <1；若x <0，则y >12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a >0.3b ，则a >b .( )(2)函数y ＝3x 2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y ＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m >1，则m >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一利用指数函数的单调性比较大小【典例1】比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y ＝0.7x 在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.选D.[答案]D题型二解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2； (2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， ∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[针对训练]2．已知32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围． [解] 由32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，得32x －1≥30.5. ∵函数y ＝3x 在R 上为增函数，∴2x －1≥0.5，得x ≥34.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 3．若a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为增函数，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为减函数，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 当0<a <1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，＋∞. 题型三指数型函数的单调性【典例3】已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断． [解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c 且cc且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5 [解析] 函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.[答案] D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. [答案] B3．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( ) A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a[解析] 由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .[答案] C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的递增区间． [答案] A5．已知函数f (x )＝2－x 2＋2x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[0,3]上的值域．[解] (1)函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (0)＝1，f (1)＝2，f (3)＝18，所以f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (3)＝18，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 课内拓展课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y ＝f (a x )”型函数的单调性【典例1】如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．[解] 令t ＝a x (t >0)，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t ＝－1.①若a >1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．②若0<a <1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t ＝a x 的形式，再利用定义域和函数y ＝a x 的单调性求出t 的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y ＝f (a x )”型函数的奇偶性【典例2】设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x 2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [解析] 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.[答案] B 2．若0.72x －1≤0.7x 2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] ∵函数y ＝0.7x 在R 上为减函数，且0.72x －1≤0.7 x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A. [答案] A[解析] 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减，可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故，∴a >c ，故a >c >b .[答案] A4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.[答案] D5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数[解析] 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.[答案] A 二、填空题6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． [解析] 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2. ∵t >0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x ＝1，∴x ＝0. [答案] 0 7．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．[解析] 设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，故解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．[答案] 4 三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解] (1)1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.综合运用11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23[解析] 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a0，即13≤a <1，故选B.[答案] B12．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析] 令3x ＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)． ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案] [14，＋∞)13．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．[解析] 解法一：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象向右平移1个单位得到函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象(如图所示过点(0,2))，当m <0时，再向下平移|m |个单位就可以得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，需要有m ≤－2.解法二：由题意得，因为0<12<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，故m 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1(a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．[解] (1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝1－23x＋1. ∵f (－x )＝1－23－x ＋1＝1－2·3x 1＋3x ＝1－2(3x＋1)－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．。

课件3：2.1.2 指数函数及其性质第2课时　

(4)取中间量19012 ，
∵y＝190x在R上为减函数，又12>13， ∴19012 <19013 ，∴4512 <19013 .
比较幂值大小的三种类型及处理方法
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)57－1.8，57－2.5；(2)23－0.5，34－0.5；
(3)0.20.3,0.30.2.
∴函数f(x)的值域为[2，＋∞).
课堂小结 1．比较指数式的大小，多用指数函数的单调性． 2．注意函数图象由简单到复杂的变换过程． 3．研究较复杂的函数性质时，首先要搞清它是由哪些简单函数复合而成，这样容易理解整体性质．
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1.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则．如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧．耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0 判定． (3)巧用图象的特征．在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定．
3．已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋2ax，a为常数，若f(x)为偶函数．
(1)求a的值； (2)判断函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用单调性定义给予证明； (3)求函数f(x)的值域．
解析： (1)由f(x)为偶函数，得对任意实数x都有2x＋2ax＝21x＋a·2x成立，即2x(1－a)＝21x·(1－a)， ∴1－a＝0，∴a＝1. (2)由(1)知f(x)＝2x＋21x，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，

高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第2课时习题课指数函数及其性质的应用课件北师大版

定义域由t=ax的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求y=
( ) 型函数的
定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调
性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要
先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出
2 -||
3
=
3 ||
2
2 -||
的值域为[1,+∞).
3
≥
3 0
=1.
2
.
5.解方程:22x+2+3×2x-1=0.
解∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令 t=2 (t>0),则方程可化为 4t +3t-1=0,解得
x
x=-2.
2
1
t= 或
4
x
t=-1(舍去).∴2
x
1-x
1
x> .
2
)
3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=
答案 -4
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
2
∴f(-8)=-f(8)=-83 =-4.
2
3
,则f(-8)的值是
.
2
4.函数y=
3
答案 R
-||
的定义域是
,值域是
[1,+∞)
解析函数的定义域为 R.
∵|x|≥0,∴y=
故 y=
综上可知,当a>1时,函数f(x)的定义域为[2,+∞);

3.1.2(二)指数函数教案

3.1.2 指数函数(二)【学习要求】1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质;2.会求指数形式的函数的定义域、值域、最值,以及单调性、奇偶性判断与证明;3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小,解不等式.【学法指导】通过指数函数性质的应用,了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理,培养观察问题,分析问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用指数函数的图象的变化规律来判断;(3)对于底数不同指数也不相同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.2.简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式,可借助y ＝a x 的单调性求解;(2)形如a f(x)>b 的不等式,可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式,再借助y ＝a x 的单调性求解;(3)形如a x >b x 的不等式,可借助两函数 y ＝a x ,y ＝b x 的图象求解.3.当a>1时,函数y ＝a f(x)与函数y ＝f(x)的单调性相同 ;当0<a<1时,函数y ＝a f(x)与函数y ＝f(x)的单调性相反研一研：问题探究、课堂更高效探究点一指数函数底数大小与图象的关系导引指数函数y ＝a x (a>0且a≠1),当底数越大时,函数图象间有怎样的关系？问题1观察同一直角坐标系中函数①y ＝⎝⎛⎭⎫12x ,②y ＝⎝⎛⎭⎫13x ,③y ＝3x ,④y ＝2x 的图象,你能得出什么规律？答： (1)当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快.(2)当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减速度越快.(3)底数互为倒数时,图象关于y 轴对称.问题2 当a>b>0(a≠1且b≠1)时,对任意一个实数x 0.什么时候a x0 >b x0 ？什么时候a x0b>1时,x 0∈(0,＋∞),a x0 >b x0 ;x 0∈(－∞,0),a x0 a>b>0时,x 0∈(0,＋∞),a x0 >b x0 ;x 0∈(－∞,0),a x0 b>0(a≠1且b≠1)始终有x 0∈(0,＋∞) ,a x0 >b x0 ;x 0∈(－∞,0),a x0 <b x0 ;x 0＝0,a x0 ＝b x0 .小结： x 0为正数时,不论底数大于1还是大于0小于1,底数大的指数函数对应的函数值大;当x 0为负数时,底数大的指数函数对应的函数值小.因此对于几个不同的指数函数,当自变量为相同的数时,可以通过其函数值的大小比较底数的大小,即过与y 轴平行的直线与指数函数图象的交点向y 轴投影后,通过y 轴的数值大小比较底数的大小. 例1 下图是指数函数①y ＝a x ,②y ＝b x ,③y ＝c x ,④y ＝d x 的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是 ( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c解析：在y 轴的右侧作y 轴的平行线,过四个交点向y 轴投影,投影点在上面的底数大,于是得答案B.小结：对于当自变量取同一值,比较指数函数底数大小的题目,只要记准函数①y ＝⎝⎛⎭⎫12x ,②y ＝⎝⎛⎭⎫13x ,③y ＝3x ,④y ＝2x 的图象的位置,加以类比,即可得出答案. 跟踪训练1比较下列各组中两个数的大小:(1)⎝⎛⎭⎫54 2.3和⎝⎛⎭⎫45 2.3;(2)0.6－2和⎝⎛⎭⎫43－23 . 解： (1)⎝⎛⎭⎫45 2.3＝⎝⎛⎭⎫54－2.3;∵2.3>－2.3,∴⎝⎛⎭⎫54 2.3>⎝⎛⎭⎫54－2.3,即⎝⎛⎭⎫54 2.3>⎝⎛⎭⎫45 2.3.(2)由指数函数的性质知0.6－2>1,⎝⎛⎭⎫43－23<1,∴0.6－2>⎝⎛⎭⎫43－23.探究点二指数形式的函数的单调性、奇偶性例2 设a 是实数,f(x)＝a －22x ＋1(x ∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数. 证明：设x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －22 ＋1－⎝⎛⎭⎫a －22 ＋1＝22 ＋1－22 ＋1＝－＋＋.由于指数函数y ＝2x 在R 上是增函数,且x 1<x 2,所以2 x1 <2 x2 ,即2 x1 －2 x2 <0,又由2x >0得2 x1＋1>0,2 x2＋1>0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,f(x)为增函数.小结：上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性.跟踪训练2 用函数单调性定义证明a ＞1时,y ＝a x 是增函数.证明：设x 1,x 2∈R 且x 1＜x 2, 并令x 2＝x 1＋h (h ＞0,h ∈R), 则有a x2－a x1 ＝a x1＋h －a x1 ＝a x1 (a h －1),∵a ＞1,h ＞0,∴a x1>0,a h >1, ∴a x2 －a x1 >0,即a x1 <a x2 故y ＝a x (a ＞1)为R 上的增函数.探究点三指数形式在实际中的应用例3 截止到1999年底,我们人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?分析：可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x 年后我国人口数为y 亿, 1999年底,我国人口约为13亿;经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿;经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿;经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿;…… 经过x 年人口数为13(1＋1%)x 亿,则y ＝13(1＋1%)x .当x ＝20时,y ＝13(1＋1%)20≈16(亿). 答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题,设原值为N,平均增长率为p,则对于经过时间x 后总量y ＝N(1＋p)x ,像y ＝N(1＋p)x 等形如y ＝ka x (k≠0,a>1且a≠1)的函数称为指数型函数.跟踪训练3 某市2000年国民生产总值为20亿元,计划在今后的10年内,平均每年增长8%,问2010年该市国民生产总值可达多少亿元(精确到0.01亿元)?解：设该市国民生产总值在2000年后的第x 年为y 亿元,则:第1年:y ＝20＋20×8%＝20(1＋8%)＝20×1.08,第2年:y ＝20×1.08＋20×1.08×8%＝20×1.082,第x 年:y ＝20×1.08x (x ∈N,1≤x≤10),第10年:y ＝20×1.0810≈43.18(亿元). 答： 2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若a ＝0.5 ,b ＝0.5 ,c ＝0.5 ,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a解析 ∵y ＝0.5x 在R 上是减函数,12>13>14, ∴0.512 <0.513 <0.5 14. 2.函数y ＝16－4x 的值域是 ( )A.[0,＋∞)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)解析 ∵4x >0,∴0≤16－4x <16, ∴16－4x ∈[0,4).3.设0<a<1,则关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2>a 2x 2＋2x －3的解集为____________.解析 ∵0<a<1,∴y ＝a x 在R 上是减函数, 又∵a2x 2－3x ＋2>a2x 2＋2x －3, ∴2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3,解得x>1. 课堂小结：1.比较两个指数式(值)的大小主要有以下方法:(1)比较形如a m 与a n 的大小,可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小,一般找一个“中间值c”,若a m <c 且cc 且c>b n ,则a m >b n .2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式,可借助y ＝a x 的单调性求解.如果a 的值不确定,需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论.(2)形如a x >b 的不等式,注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式,再借助y ＝a x 的单调性求解.(3)形如a x >b x 的不等式,可借助图象求解.。

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数第2课时对数的运

第2课时对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________．答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．【解】原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0，故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0，所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5）＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2，所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________．解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132，整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0，即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16，所以b 2＝a 或b 16＝a ，即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010，即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。

高中数学必修一：3.1.2指数函数+教学设计

《3.1.2指数函数》教案一．教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B 版）第三章第一节第二课《指数函数》。

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质之后系统学习的第一个函数，为今后进一步熟悉函数的性质和应用，进一步研究等比数列的性质打下坚实的基础.因此本节课的内容是至关重要的.它对知识起到了承上启下的作用。

二.学情分析根据这几年的教学我发现学生在后面学习中一遇到指对数问题就发蒙,原因是什么呢？问题就出在学生刚刚学完函数的性质，应用又是初中比较熟悉的一次二次函数。

一下子出现了一个非常陌生的函数而且需要记很多性质。

学生感觉很吃力，也就没有了兴趣，当然就学不好了。

三.教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.四.教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

五：教法：探究式教学法通过学生自主探索、合作学习，让学生成为学习的主人，加深对所得结论的理解六.教学过程：（一）预习检测1：老师想和大家订一个合同：接下来的一个月（30天），老师每天给你10万元，而你第一302天只需给我2分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍。

你想和老师订这个合同吗？请思考：（1）你的总收入是多少？学生回答：（2）你的支出呢？第1天支出：学生回答：分221= 第2天支出：学生回答：分422= ......第30天支出：学生回答：请写出你每天支出钱数随时间（单位：天）变化的函数关系并画出函数图象：301,,2*≤≤∈=x N x y x2：《庄子天下篇》庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭. 请思考：第一天剩余长度：学生回答：21211=⎪⎭⎫ ⎝⎛第二天剩余长度：学生回答：41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛......第x 天剩余长度y 是多少？并画出函数图象：*,21N x y x∈⎪⎭⎫⎝⎛=（二）自主学习 1．指数函数的定义⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：万元30010101010=++++①x y 2=（∈x *N ）和xy )21(=（∈x *N ）这两个解析式有什么共同特征？学生回答：两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

3.1.2 指数函数

张喜林制3.1.2 指数函数教材知识检索考点知识清单1．指数函数一般地，函数)10(=/>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是，值域是指数函数)10(=/>=a a a y x 且的图象如图3 -1 -2 -1.2．指数函数)10(=/>=a a a y x 且具有的性质(l)定义域为，值域为．(2)函数图象在x 轴的且都通过点 (3)当1>a 时，这个函数是当10<<a 时，这个函数是要点核心解读1．关于指数函数的定义中约定0>a 且1=/a 的问题在指数函数)10(=/>=a a a y x且中约定”且“10≠>a a 有两个主要目的： (1)使函数的定义域是R ； (2)使函数具有单调性，事实上，如果a<0，如,2-=a 则,41,21)2(=-=x y x对 ,61都没有意义；如果a=0，则x y 0= 对x≤0都没有意义；如果a=l ，则,11==x y 它的定义域、值域、对应法则已经“定型”，没有必要对其再研究．2．关于指数函数的图象和性质(1)在学习指数函数x a y =时，应当想图象，抓特征，说性质，做到数形结合．(2)理解并掌握指数函数的数值变化规律．如0,1>>x a 时，时0,10;1<<<>x a a x ,1,1>>a a x<<<<0;100x a x 时，0,1><x a 时，.10<<x a(3)解决与指数函数有关的问题应考虑其单调性． (4)图象特征的口诀记忆(如图3-1-2 -2).多个图象像束花，(0，1)这点把它扎．撇增捺减无例外，底互倒时y 轴夹.1=x 为判底线，交点纵标看小大．重视数形结合法，横轴上面图象察．3．指数函数结构形式的认识(1)函数xy 32⋅=不是指数函数．(2)指数函数必须满足xa 的系数为1，指数是系数为l 的x 的一次单项式，定义域为R.如：函数k a y a y a y x x x +===+,,21（a>0且a≠1，k≠0）都不是指数函数，同样，,x a y =定义域为R的真子集的函数也不是指数函数．4．指数不等式(1)当a>l 时，⋅>⇔>)()()()(x g x f a ax g x f (2)当O<a<l 时，⋅<⇔>)()()()(x g x f a ax g x f典例分类剖析考点1指数函数的判断[例1] 给出下列函数：;4)1(x y = ;)2(4x y = ;3)3(x y -= ;)4()4(x y -= ;)5(x y π= ;2)6(2x y = ;)7(x x y = ⋅=/>-=)121()12()8(a a a y x 且是指数函数的是( )．)5)(3)(1.(A )8)(5)(2.(B )8)(5)(1.(C )6)(4)(2.(D[试解] 做后再看答案，发挥母题功能） [解析] (2)的未知数在底数位置； (3)是指数函数x y 3=与-1的乘积；(4)底数为-4，这与条件a>0且a ≠1矛盾；（6）指数为2，不是变量x ； (7)中底数是未知数． [答案] C[点拨] 由题目可获取以下主要信息： (1)自变量都是x ；(2)式子右边的底数或指数位置含有常数或参数．解答本题可先观察函数式的整体结构，再根据定义加以判断．母题迁移 1．函数xy 12=是否为指数函数？考点2定义域、值域问题[例2] (1)求下列函数的定义域：;22x y -=① 2415-=-x y ②(2)求122+=x xy 的值域．[解析] ,0,0,0)1(22=∴≤∴≥-x x x ① ∴ 函数的定义域是{0}.,22,024)5(25=/∴=/---x x ②⋅=/∴=/-∴211,1102x x ∴ 函数的定义域是}211|{=/∈x R x (2)函数的定义域为R ．,211121121122x x x x x y +-=+-+=+= 又,01211,11210,121,02<+-<-<+<>+>x x xxx xxy 212,121110+=∴<+-<∴的值域为(0，1).[点拨] (2)中求值域容易漏掉)(0211x f xa y =⋅>+的定义域即是f(x)的定义域，母题迁移 2．求下列函数的值域：;2)1(1xy -= xy -=15)2(； ⋅-=xy )21(1)3(考点3比较大小问题[例3] 比较下列各组数的大小：;9.08.0)1(4.05.0与 ;)21(,8,4)2(5.148.09.0- .4.03.0)3(3.0.4.0与[解析] 比较大小题，可考虑函数的单调性，或与特殊值比较，以确定大小，4.05.04.05.05.05.09.08.0,9.09.0,9.08.0)1(<∴<<又,2)21(,28,24)2(5.15.144.148.08.19.0===-又x y 2=在R 上为增函数，48.05.19.08)21(4>>∴- (3)函数x y 3.0=是R上的减函数，函数3.0x y =在),0[+∞上是增函数，,4.03.0,3.03.03.03.03.04.0<<∴34.04.03.0α<∴[点拨] (1)题为“搭桥”法，即当两个数不好比较大小时，可找到一个与题中两个数都能比较大小的数，从而利用“桥梁”解决问题(2)题为单调性法，可用单调性比较几个数的大小．(3)题引入中间数,3.03.0使这两个数一个比它大，而另一个比它小．母题迁移3．已知,2.1,8.0,8.08.09.07.0===c b a 则a 、b 、c 的大小关系为。

高中数学(人教新课标B版)教学设计必修一：3.1.2 指数函数

示范教案整体设计教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式，它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的164，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y ＝(14)x ，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫做指数函数，引出本节课题．思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2－2,1621324149,27,16－.再提问怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，14，2,9，17，先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题．推进新课新知探究提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是__________．2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的关系式是__________．讨论结果：1.y ＝0.84x 2.y ＝2x 提出问题1你能说出函数y ＝0.84x 与函数y ＝2x 的共同特征吗？2你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？3为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1？4为什么指数函数的定义域是实数集？5如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．对于问题(1)，看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值．对于问题(2)，一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量．对于问题(3)，为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．对于问题(4)，在(3)的规定下，我们可以把a x 看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义．对于问题(5)，使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y.(2)对于两个解析式y ＝0.84x 和y ＝2x ，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义：一般地，函数y ＝a x (a ＞0，a≠1，x ∈R )叫做指数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是实数集R .(3)a ＝0时，x ＞0时，a x 总为0；x≤0时，a x 没有意义． a ＜0时，如a ＝－2，x ＝12，a x ＝(－2)21＝－2显然是没有意义的．a ＝1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a ＞0，a≠1.此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a ＞0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R .(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数．提出问题1前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？ 2前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象？说明它的步骤., 3利用上面的步骤，作函数y ＝2x 的图象.4利用上面的步骤，作函数xy )21( 的图象.5观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？6根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？7把y ＝2x 和xy )21(=的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？ 8你能证明上述结论吗？9能否用y ＝2x 的图象画xy )21(=的图象？请说明画法的理由.10什么是限制函数？活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x…1814121248…(4)列表． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝(12)x…8421121418…作图如下图．(5)通过观察上图，可知图象左右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0＜y＜1；x＞0时，y＞1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察下图，可知图象左右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图象以作比较，y＝3x，y＝6x，y＝(13)x，y＝(16)x.重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．(6)一般地，指数函数y＝a x在a＞1和0＜a＜1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．图象特征函数性质a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R＋函数图象都过定点(0,1) a0＝1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，a x＞1 x＞0，a x＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，a x＜1 x＜0，a x＞1一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞1 0＜a＜1(7)在同一坐标系中作出y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象，如下图．经过仔细研究发现，它们的图象关于y 轴对称．(8)证明：设点P(x 1，y 1)是y ＝2x 上的任意一点，它关于y 轴的对称点是P 1(－x 1，y 1)，它满足方程y ＝(12)x ＝2－x ，即点P 1(－x 1，y 1)在y ＝(12)x 的图象上．反之亦然，所以y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称．(9)因为y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．(10)由指数函数的定义可知，指数函数的定义域是实数集，但在实际问题中不都如此．例如，开始引进的两个函数的例子，函数y ＝2x 的定义域是非负整数集，函数y ＝0.84x 的定义域是正整数集，它们的定义域都是指数函数定义域的子集，而且它们在其定义域内分别与指数函数y ＝2x ，y ＝0.84x 取相同的值．通常，我们把这类函数称为指数函数的“限制函数”．应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？y ＝x 2，y ＝8x ，y ＝2·4x ，y ＝(2a －1)x (a ＞12，a≠1)，y ＝(－4)x ，y ＝πx ，y ＝6x3＋2.活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y ＝x 2，y ＝2·4x ，y ＝6x 3＋2都不符合y ＝a x 的形式，教师强调y ＝a x 的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式)，指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式．解：y ＝8x ，y ＝(2a －1)x (a ＞12，a≠1)，y ＝πx 是指数函数；y ＝(－4)x ，y ＝x 2，y ＝2·4x ，y＝6x 3＋2不是指数函数．2比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y ＝1.7x 的图象，如下图．在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函数单调性：(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y ＝1.7x ，当x ＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y ＝0.8x ，当x ＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.(3)因为1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值.思路2例1求下列函数的定义域和值域： (1)412－x y =；(2)||)32(x y －=.活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式．解：(1)令x －4≠0，则x≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域是{x ∈R |x≠4}，又因为1x －4≠0，所以412－x ≠1，即函数412－x y =的值域是{y|y ＞0且y≠1}．(2)因为－|x|≥0，所以只有x ＝0. 因此函数||)32(x y －=的定义域是{x|x ＝0}．而||)32(x y －=＝(23)0＝1，即函数||)32(x y －=的值域是{y|y ＝1}．点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的2比较下列两个数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4)53322,)31(－－. 活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及时评价学生．解法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行大小的比较：对(1)，因为30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7；对(2)，因为0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，因为1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，因为32)31(－＝2.080 084,2－35＝0.659 754，所以32)31(－＞2－35.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：对(1)，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7；对(2)，因为函数y ＝0.75x 在R 上是减函数，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，由指数函数的性质知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，由指数函数的性质知32)31(－＞(13)0＝1＝20＞2－35，所以32)31(－＞2－35.解法三：利用图象法来解，具体解法略．点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”.知能训练1．下列关系中正确的是()答案：D2．函数y＝a x(a＞0，a≠1)对任意的实数x、y都有()A．f(xy)＝f(x)·f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)·f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)答案：C3．函数y＝a x＋5＋1(a＞0，a≠1)恒过定点__________．答案：(－5,2)拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，如下图．x …－2 －1 0 1 2 3 …10 …y＝2x…0.25 0.5 1 2 4 8 … 1 024 …y＝3x...0.11 0.33 1 3 9 27 (59)049…y＝10x…0.01 0.1 1 10 100 1 000 …1010…从表格或图象可以看出：(1)x＜0时，有2x＞3x＞10x；(2)x＞0时，有2x＜3x＜10x；(3)当x从0增长到10，函数y＝2x的值从1增加到1 024，而函数y＝3x的值从1增加到59 049.这说明x＞0时y＝3x比y＝2x的函数值增长得快．同理y＝10x比y＝3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a＞b＞1时，(1)x＜0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x＝1；(3)x＞0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越大，x＞0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(如下图所示)，对照底数为2、3、10的指数函数的图象，研究指数函数y＝a x(0＜a＜1)中a对函数的图象变化的影响．由此得：一般地，0＜a＜b＜1时，(1)x＞0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x＝1；(3)x＜0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越小，x＞0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图象和性质．3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业课本本节练习B2、3.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数的概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a 是大于0而不等于1的，本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料例1 (1)求使不等式4x ＞32成立的x 的集合； (2)已知a 45＞a2，求实数a 的取值范围．活动：学生先思考，再讨论，然后回答．(1)由于x 在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．解：(1)4x ＞32，即22x ＞25.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2x ＞5，即x ＞52.满足4x ＞32的x 的集合是(52，＋∞)．(2)由于45＜2，则y ＝a x 是减函数，所以0＜a ＜1.点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键．例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则 y 2－y 1＝ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即ax 2－x 1－1＞0. 又因为ax 1＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝ax 2ax 1＝ax 2－x 1.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．例3截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿；经过1年人口约为13(1＋1%)亿；经过2年人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；经过x年人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y＝13(1＋1%)x，当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x年后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数．(设计者：韩双影)第2课时导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．推进新课新知探究提出问题1指数函数有哪些性质？2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？3对复合函数，如何证明函数的单调性？4如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质．一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例思路1例在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如下图．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …2x…0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …2x＋1…0.25 0.5 1 2 4 8 16 …2x＋2…0.5 1 2 4 8 16 32 …比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如下图．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …2x…0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …2x－1…0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 …2x－2…0.312 5 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 …比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝a x＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝a x的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x 的图象向左移动m 个单位得到y ＝a x ＋m 的图象；当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m|个单位得到y ＝a x ＋m 的图象．上述规律也简称为“左加右减”．思路2例1设a ＞0，f(x)＝e x a ＋aex 在R 上满足f(－x)＝f(x)．(1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f(－x)＝f(x)可建立方程． (2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式． (1)解：依题意，对一切x ∈R 有f(－x)＝f(x)成立，即1ae x ＋ae x＝e x a ＋a e x .所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝e x1－e x2＋1e x1－1e x2＝(e x1－e x2)(1e x1＋x2－1)＝e x1(e x2－x1－1)·(1－e x1＋x2e x1＋x2)．由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 2＋x 1＞0，e x2－x1－1＞0,1－e x2＋x1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．点评：在已知等式f(－x)＝f(x)成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．例2已知函数f(x)＝3x ，且x ＝a ＋2时，f(x)＝18，g(x)＝3ax －4x 的定义域为． (1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并用定义证明； (3)求g(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝3x ，且x ＝a ＋2时f(x)＝18，所以f(a ＋2)＝3a ＋2＝18.所以3a ＝2. 所以g(x)＝3ax －4x ＝(3a )x －4x . 所以g(x)＝2x －4x .(2)因为函数g(x)的定义域为，令t ＝2x ，因为x ∈时，函数t ＝2x 在区间上单调递增，所以t ∈，则g(t)＝t －t 2＝－(t 2－t)＝－(t －12)2＋14，t ∈．因为函数t ＝2x 在区间上单调递增，函数g(t)＝t －t 2在t ∈上单调递减，所以函数g(x)在区间上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间上任意两个值，且x 1＜x 2，g(x 2)－g(x 1)＝2x 2－4x 2－2x 1＋4x 1＝(2x 2－2x 1)－(2x 2－2x 1)(2x 2＋2x 1)＝(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)，因为0≤x 1≤x 2≤1，所以2x 2＞2x 1，且1≤2x 1＜2,1＜2x 2≤2. 所以2＜2x 1＋2x 2＜4.所以－3＜1－2x 1－2x 2＜－1，可知(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)＜0. 所以g(x 2)＜g(x 1)．所以函数g(x)在区间上单调递减． (3)因为函数g(x)在区间上单调递减，所以x ∈时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．因为g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，所以－2≤g(x)≤0.故函数g(x)的值域为．点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑．知能训练求函数y ＝(12)|1＋2x|＋|x －2|的单调区间．活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．解：由题意可知2与－12是区间的分界点．当x ＜－12时，因为y ＝(12)－1－2x －x ＋2＝(12)1－3x ＝23x －1＝12·8x ，所以此时函数为增函数．当－12≤x ＜2时，因为y ＝(12)1＋2x －x ＋2＝(12)3＋x ＝2－3－x ＝18·(12)x ，所以此时函数为减函数．当x≥2时，因为y ＝(12)1＋2x ＋x －2＝(12)3x －1＝21－3x ＝2·(18)x ，所以此时函数为减函数．当x 1∈上单调递增，在＋＋…＋＝500×1＝500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性也进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．作业课本习题3—1 B 3、5、6.设计感想指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断． y n ＝m(1＋a)n 就是复利公式，其中m 为本金，a 为年利率，y n 为n 年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y 100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y 100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．(设计者：刘玉亭)。

新教材高中数学指数函数的图象和性质第2课时指数函数的图象和性质的综合应用课时作业新人教A版必修第一册

第2课时指数函数的图象和性质的综合应用必备知识基础练1．函数f (x )＝(a －1)x是R 上的单调减函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．0<a <1 D ．a >12．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x在(0,＋∞)上单调递增,则实数a 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2 3．下列不等式中成立的是( ) A ．1.12.1<1.11.9B ．0.82.1<0.81.9C ．0.82.1>1.11.9D ．1.12.1<0.82.14．[2022·广东汕尾高一期末]若a ＝(12)13,b ＝(14)13,c ＝(12)14,则( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．b >c >aD ．a >b >c5．[2022·江苏宿迁高一期末]函数f (x )＝x 22x＋2－x的图象大致是( )6．(多选)已知函数f (x )＝e x－e －x,则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )是奇函数 B ．函数f (x )是偶函数 C ．函数f (x )在R 上是减函数 D ．函数f (x )在R 上是增函数7．函数f (x )＝2|x |的递增区间是________． 8．已知a ＝5＋12,函数f (x )＝a x,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则m 、n 的大小关系为________．关键能力综合练1．已知函数y ＝(a －2)x,且当x <0时,y >1,则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．2<a <3 C ．a >4 D ．3<a <42．若(13)2a ＋1>(13)4－a,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,1)B ．(1,＋∞)C ．(3,＋∞)D ．(－∞,3)3．已知实数x ,y 满足(12)x <(12)y,则下列关系式中恒成立的是( )A.x 2>y 2B ．πx >πyC ．1x <1yD ．x >y4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x ≥1a x ，x <1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A ．a >1B ．1<a <32C ．1<a <2D ．1<a ≤325．设14<(14)b <(14)a<1,那么( )A ．a a<a b<b aB ．a a<b a<a bC ．a b<a a<b aD ．a b<b a<a a6．[2022·重庆九龙坡高一期末](多选)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1,则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为R B.函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )的图象关于y 轴对称D ．函数f (x )在R 上为增函数7．若f (x )＝a 2x －1＋12是奇函数．则实数a 的值是________.8．函数f (x )＝(12)x2－2x －3的单调减区间是________．9．[2022·湖南邵阳高一期末]已知函数f (x )＝a 3－x,(a 为常数,a >0且a ≠1),若f (2)＝3.(1)求a 的值； (2)解不等式f (x )>9.10．[2022·广东广州高一期末]已知f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 和f (1)的值；(2)根据单调性的定义证明：f (x )在定义域上为增函数．核心素养升级练1．(多选)设函数f (x )＝2x,对于任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),下列命题中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0D ．f (x 1＋x 22)<f （x 1）＋f （x 2）22．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________． ①定义域为R ； ②值域为(－∞,1)；③对任意x 1,x 2∈(0,＋∞)且x 1≠x 2,均有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.3．[2022·湖北十堰高一期末]已知函数f (x )＝2a ＋2x ＋11＋2x .(1)当a ＝6时,求方程f (x )＝2x的解；(2)若对任意x ∈(0,＋∞),不等式f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第2课时指数函数的图象和性质的综合应用必备知识基础练1．答案：B解析：函数f (x )＝(a －1)x是R 上的单调减函数, 所以0<a －1<1,解得1<a <2. 2．答案：D解析：由题得2a 2－5a ＋3＝1,∴2a 2－5a ＋2＝0,∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时,f (x )＝2x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意；当a ＝12时,f (x )＝(12)x在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意．所以a ＝2. 3．答案：B解析：A.因为y ＝1.1x 在R 上是增函数,所以1.12.1>1.11.9,故错误； B ．因为y ＝0.8x 在R 上是减函数,所以0.82.1<0.81.9,故正确； C ．因为0.82.1<1,1.11.9>1,所以0.82.1<1.11.9,故错误； D ．因为1.12.1>1,0.82.1<1,所以1.12.1>0.82.1,故错误． 4．答案：A解析：b ＝(14)13＝(12)23,因为y ＝(12)x 在R 上为减函数,且14<13<23,所以(12)14>(12)13>(12)23,所以c >a >b .5．答案：C 解析：x ∈R ,f (－x )＝x 22－x＋2x＝f (x ),所以f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称,排除选项AB ；当x >0时,f (x )＝x 22－x ＋2x >0,故D 错误．6．答案：AD解析：f (－x )＝e －x－e x ＝－f (x ),函数f (x )＝e x －e －x的定义域为R , 函数f (x )是奇函数,A 正确,B 错误；y ＝e x 为R 上的增函数,y ＝e －x 为R 上的减函数,则函数f (x )＝e x－e －x为R 上的增函数,C 错误,D 正确． 7．答案：(0,＋∞)解析：因为f (x )＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0（12）x ，x ≤0,故函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞).8．答案：m >n 解析：∵a ＝5＋12>1,所以,函数f (x )＝a x为R 上的增函数, ∵f (m )>f (n ),∴m >n .关键能力综合练1．答案：B解析：∵当x <0时,y >1,∴0<a －2<1,解得2<a <3. 2．答案：A解析：因为函数y ＝(13)x在R 上为减函数,∴(13)2a ＋1>(13)4－a,等价于2a ＋1<4－a ,解得a <1, 所以实数a 的取值范围是(－∞,1). 3．答案：B解析：由(12)x <(12)y 以及指数函数y ＝(12)x为减函数,可得x >y ,对于A,当x ＝1>y ＝－1时,x 2>y 2不成立,故A 不正确；对于B,根据指数函数y ＝πx为R 上的增函数可知,πx>πy恒成立,故B 正确；对于C,当x >0,y <0时,1x <1y不成立,故C 不正确；对于D,当x 或y 为负数时,x 或y 无意义,所以D 不正确． 4．答案：D解析：根据题意可列不等式如下,⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1（2－a ）＋1≥a 解得 1<a ≤32,选项D 正确． 5．答案：C解析：∵14<(14)b <(14)a<1,∴0<a a b, 因为y ＝x a在(0,1)单调递增,所以a a0,所以函数f (x )的定义域为R ,因此本选项结论正确；B ：f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1,由2x >0⇒2x＋1>1⇒0<12x ＋1<1⇒－2<－22x ＋1<0⇒－1<1－22x＋1<1,所以函数f (x )的值域为(－1,1),因此本选项结论正确； C ：因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f (x ),所以函数f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,不关于y 轴对称,因此本选项说法不正确；D ：因为函数y ＝2x ＋1是增函数,因为y ＝2x＋1>1,所以函数y ＝22x ＋1是减函数,因此函数f (x )＝1－22x ＋1是增函数,所以本选项结论正确．7．答案：1解析：由题意f (－x )＋f (x )＝0即a2－x－1＋12＋a 2x －1＋12＝0,－a ＋1＝0,a ＝1. 8．答案：(1,＋∞)解析：由题知函数f (x )的定义域为R ,∵y ＝(12)x 单调递减,故只需求出y ＝x 2－2x －3的单调递增区间即可,∵y ＝x 2－2x －3开口向上,对称轴为x ＝1,故在(1,＋∞)单调递增,∴f (x )＝(12)x 2－2x －3的单调递减区间是(1,＋∞).9．解析：(1)∵函数f (x )＝a 3－x,f (2)＝3,∴f (2)＝a3－2＝a ＝3,∴a ＝3.(2)由(1)知f (x )＝33－x,由f (x )>9,得33－x>32,∴3－x >2,即x <1,∴f (x )>9的解集为(－∞,1).10．解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)＝0,a ＝1, f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1, f (1)＝13.(2)设任意x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝－22x 1＋1＋22x 2＋1＝2（2x 1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 2＋1）, ∵x 1<x 2,∴2x 1<2x 2,2x 1－2x 2<0, 所以f (x 1)－f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2), 故f (x )在定义域上为增函数．核心素养升级练1．答案：AD 解析：2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2,所以A 项成立；2x 1＋2x 2≠2x 1x 2,所以B 项不成立；函数f (x )＝2x在R 上是单调递增函数,若x 1>x 2,则f (x 1)>f (x 2),则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0,若x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2),则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0,故C 项不正确；函数f (x )＝2x任意两点之间的连线在其图象的上方,所以f (x )＝2x的图象满足f (x 1＋x 22)<f （x 1）＋f （x 2）2,故D 项正确．2．答案：f (x )＝1－12x (答案不唯一)解析：f (x )＝1－12x ,定义域为R ；12x >0,f (x )＝1－12x <1,值域为(－∞,1)；是增函数,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞)且x 1≠x 2,均有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.3．解析：(1)当a ＝6时,由f (x )＝2x,可得12＋2x ＋11＋2x ＝2x,则(2x )2－2x －12＝0,所以2x ＝4或2x＝－3(舍去),解得x ＝2. 故方程f (x )＝2x的解为2.(2)由题意知2a ＋2x ＋11＋2x ≥a 在(0,＋∞)上恒成立,即2×2x ≥a (2x－1)在(0,＋∞)上恒成立．又因为x ∈(0,＋∞),所以2x－1>0,则a ≤2×2x2x －1＝2＋22x －1.因为22x －1>0,所以2＋22x －1>2,所以a ≤2,即a 的取值范围是(－∞,2].。