[推荐学习]2018版高考数学二轮复习大题规范练5“17题～19题”+“二选一”46分练文

大题规范练(五) “17题～19题”＋“二选一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知等差数列{a n }中，a 2＝5，前4项的和为S 4＝28.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n
，T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 2b n －1＋a 1b n ，求T n .
【导学号：04024232】
解：(1)∵S 4＝
a 1＋a 4
2
＝2(a 1＋a 4)＝2(a 2＋a 3)＝28，
∴a 2＋a 3＝14.∵a 2＝5，∴a 3＝9，∴公差d ＝4. 故a n ＝4n －3.
(2)∵b n ＝2n ，∴T n ＝(4n －3)·21＋(4n －7)·22＋…＋5·2n －1
＋1·2n
，①
∴2T n ＝(4n －3)·22
＋(4n －7)·23
＋…＋5·2n ＋1·2
n ＋1
，②
②－①得，T n ＝－(4n －3)·2＋4×(22
＋23
＋ (2)
)＋2n ＋1
＝6－8n ＋
4×
－2n －1
1－2
＋2
n ＋1
＝6－8n ＋(2
n ＋3
－16)＋2
n ＋1
＝5·2
n ＋1
－8n －10.
18．如图1所示，在三棱锥A ­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝CD ＝4，BD ＝42，E ，F 分别为AC ，
CD 的中点，G 为线段BD 上一点，且BE ∥平面AGF .
(1)求BG 的长；
(2)求四棱锥A ­BCFG 的体积.
【导学号：04024233】
图1
解：(1)连接DE 交AF 于M ，连接GM ，则M 为△ACD 的重心，
且DM ME ＝21
. 因为BE ∥平面AGF ，所以BE ∥GM ，所以DG BG ＝2
1
，
所以BG ＝42
3
.
(2)设BD 的中点为O ，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝22， 所以AO ⊥OC ，AO ⊥BD ，从而AO ⊥平面BCD ， 所以V A ­BCD ＝13×12×4×4×22＝162
3.
又易知V A ­FDG ＝1
3V A ­BCD ，
所以V A ­BCFG ＝23V A ­BCD ＝322
9
.
19．某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设，推进网络提速降费的指导意见》，对宽带网络进行了全面的光纤改造．为了调试改造后的网速，对新改造的1 000户用户进行了测试，随机抽取了若干户的网速，网速全部介于13 M 与18 M 之间，将网速按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；…；第五组[17,18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图2所示，已知图中从左到右的前三个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
图2
(1)试估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数； (2)求测试中随机抽取的用户数；
(3)若从第一、五组中随机抽取2户的网速，求这2户的网速的差的绝对值大于1 M 的概率.
【导学号：04024234】
解：(1)网速在[16,17)内的频率为0.32×1＝0.32，
又0.32×1 000＝320，
∴估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数为320. (2)设图中从左到右前三个组的频率分别为3x,8x,19x ， 依题意，得3x ＋8x ＋19x ＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x ＝0.02， 设测试中随机抽取了n 户用户，则8×0.02＝8
n
，∴n ＝50，
∴测试中随机抽取了50户用户．
(3)网速在第一组的用户数为3×0.02×1×50＝3，记为a ，b ，c . 网速在第五组的用户数为0.08×1×50＝4，记为m ，n ，p ，q . 从第一、五组中随机抽取2户的基本事件有
{a ，b }，{a ，c )，{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，c }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，
p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，{m ，n }，{m ，p }，{m ，q }，{n ，p }，
{n ，q }，{p ，q }，共21个．
其中，抽取的2户的网速的差的绝对值大于1 M 所包含的基本事件有{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，
q }，共12个，
∴所求概率P ＝1221＝47
.
(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)
22．【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线E 的极坐标方程为ρ＝4tan θ
cos θ，倾斜角为
α的直线l 过点P (2,2)．
(1)求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
(2)设l 1，l 2是过点P 且关于直线x ＝2对称的两条直线，l l 与E 交于A ，B 两点，l 2与E 交于C ，D 两点，求证：|PA |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.
【导学号：04024235】
解：(1)由题意易得E 的直角坐标方程为x 2
＝4y (x ≠0)，l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α
(t 为参数)．
(2)证明：∵l 1，l 2关于直线x ＝2对称，∴l 1，l 2的倾斜角互补．设l 1的倾斜角为α1，
则l 2的倾斜角为π－α1，把直线l 1的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t cos α1，y ＝2＋t sin α1(t 为参数)代入
x 2＝4y (x ≠0)，并整理得t 2cos 2α1＋4(cos α1－sin α1)t －4＝0，由根与系数的关系，
得t 1t 2＝－4cos 2α1，即|PA |·|PB |＝4
cos 2α1
.
同理，得|PC |·|PD |＝4
cos 2
π－α1
＝4
cos 2
α1
， ∴|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |， 即|PA |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.
23．【选修4－5：不等式选讲】已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；
(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥|2x －1|－t 2
＋32
t ＋1成立，求实数t 的取值范围.
【导学号：04024236】
解：(1)因为f (x )＝|x ＋3|－m ，所以f (x －3)＝|x |－m ≥0， 因为m >0，所以x ≥m 或x ≤－m .
又因为f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 所以m ＝2.
(2)因为f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1，所以|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2
＋32t ＋3.
令g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|，则
g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－3，
3x ＋2，－3＜x ＜12，
－x ＋4，x ≥1
2
，
故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝72
，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2
－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1，
即实数t 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞)．。