北理工数学实验作业
2024年北京理工大学附属实验学校中考零模数学试题(解析版)
北理工实验初三年级数学零模测试一、选择题：（每小题2分，共16分）1. 据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】300 000是6位整数，用科学记数法表示时，，.【详解】解：300 000=3×105，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法表示为（，为整数）.2. 如图是几何体的三视图，该几何体是A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥【答案】C【解析】【详解】由展开图的特点知识是三棱柱的展开图.故选C ．3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（）A. 2B.C.D. 【答案】B 60.310⨯5310⨯6310⨯43010⨯3a =615n =-=10n a ⨯110a ≤<n a b a b a -<<b3-【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，先根据数轴求出，，再估算出，进而得到，据此可得答案．【详解】解：由数轴可知，∴，∵，∴，∴，∴四个选项中只有B 选项符合题意，故选：B ．4. 如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD =76°，则∠BOM 等于（ ）A. 38°B. 104°C. 142°D. 144°【答案】C【解析】【分析】根据对顶角相等的性质，得∠AOC =76°，根据补角的定义，得∠BOC =104°；由射线OM 平分∠AOD ，根据角平分线定义，∠COM =38°，即可求解．【详解】解：∵∠BOD =76°∴∠AOC =76°∴∠BOC =104°∵OM 平分∠AOC∴∠COM =38°∴∠BOM =∠COM ＋∠BOC =142°．故选C ．【点睛】本题主要考查角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义，掌握角平分线定义，对顶角的性质，12a <<21a -<-<-12<<11,242-<<-<<12a <<21a -<-<-124<<12<<11,242-<<-<<补角的定义是解题的关键．5. 正十边形的外角的度数是( )A. 18°B. 36°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．【详解】∵多边形的外角和为360°∴正十边形的外角的度数故答案为：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角问题，掌握多边形外角和定理是解题的关键．6. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为，故选：B.【点睛】考点：概率7. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为AD ∥BC ，3603610︒==︒1613122313AO CO12131419所以△ADO ∽△CBO ，所以，又，，所以，故选B ．考点：相似三角形的判定与性质．8. 为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．【详解】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，AD AO BC CO=1AD =3BC =13AO CO =重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．故选：B ．【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：（每小题2分，共16分）9.x 的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．10. 分解因式：ab 2﹣4ab +4a =________．【答案】a （b ﹣2）2【解析】【详解】ab 2﹣4ab +4a=a （b 2﹣4b +4）=a （b ﹣2）2故答案为a （b ﹣2）2．11. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，12x ≥210x -≥12x ≥12x ≥x 220x x m +-=m 1-x 220x x m +-=∴，∴，∴，故答案为：．12. 分式方程的解为____________________．【答案】【解析】【分析】根据解分式方程的方法即可求解．【详解】解：去分母得：，移项合并得：，系数化为，解得：，检验，把代入原分式方程，原分式方程有意义，∴是原分式方程的解，故答案为：．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解方程的方法，检验根是否符合分式方程等知识是解题的关键．13. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为，则的值为_______．【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，故答案为：0.240b ac ∆=-=()22410∆=-⨯⨯-=m 1m =-1-312422x x x -=--53x =312422x x x -=--312(2)22x x x -=--322x x -=-35x =--153x =53x =53x =53x =xOy y x =m y x=12,y y 12y y +120y y +=【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.14. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．【答案】15【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案．【详解】解：连接，∵过圆心，为的中点，∴，∵分米，C 为的中点，∴分米，设圆的半径为x 分米，则分米，∵分米，∴分米，在中，由勾股定理，18AB =C AB D O CD 27CD =AO 9AC BC ==x OA OD x ==()27OC x =-x AO CD C AB CD AB ⊥18AB =AB 9AC BC ==OA OD x ==27CD =()27OC x =-Rt OAC 222AC OC OA +=∴，∴，即拱门所在圆的半径是15分米．故答案为：15．15. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们身高（单位：）如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙队170175173174183则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可．【详解】解：由题意得，，，∴；，，∴，故答案为：，．16. 平面直角坐标系中，将抛物线在x 轴和x 轴下方的部分记作，将沿x 轴翻折记作，和构成的图形记作G ．关于图形G ，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______．①图形G 关于原点对称；②图形G 关于直线对称；③图形G 的面积为S ，满足．的()222927x x +-=15x =cm x 甲x 乙><、=2S 甲2S 乙><、==<177176175172175175cm 5x ++++==甲170175173171183175cm 5x ++++==乙x x =甲乙()()()()222221721752175175176175177175 2.85S -+⨯-+-+-==甲()()()()()22222217017517317517417517517518317518.85S -+-+-+-+-==乙22S S <甲乙=<xOy 21y x =-1G 1G 2G 1G 2G y x =2S π<<【答案】①③【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．【详解】解：如图，由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误；观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积，所以，图形的面积满足，故③正确．故答案为：①③．三、解答题（17-22题，每小题5分，23-24题，每小题6分，25题5分，26-28题，每小题7分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式加减计算法则求解即可．G y x =G S ABC ∆O G 2S π<<()101π32sin 453-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭2-【详解】解：．18. 解不等式组．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．19. 已知，求代数式的值.【答案】，【解析】【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再整体代值求解即可．【详解】解：()101π32sin 453-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭123=+--13=+--2=-23123x x x x -<⎧⎪+⎨>⎪⎩115x -<<23123x x x x -<⎧⎪⎨+>⎪⎩①②1x >-15x <115x -<<1a b -=2222222a b ab b a a ab a ⎛⎫--÷- ⎪+⎝⎭()12a b -122222222a b ab b a a ab a ⎛⎫--÷- ⎪+⎝⎭()()()2222a b a b a ab b a a b a +--+=÷+，当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握分式混合运算法则并正确计算是解答的关键．20. 如图，在ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE=BC ，连结DE ，CF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB =4，AD =6，∠B =60°，求DE 的长．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD ∥BC ，且AD =BC ；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF 的对边平行且相等（DF =CE ，且DF ∥CE ），即四边形CEDF 是平行四边形；（2）如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H ，构造含30度角的直角△DCH 和直角△DHE ．通过解直角△DCH 和在直角△DHE 中运用勾股定理来求线段ED 的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD 中，AD BC ，且AD =BC∵F 是AD 的中点∴DF =AD又∵CE =BC∴DF =CE ，且DF CE∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H ．()()22a b a a a b -=⨯-()12a b =-1a b -=11212==⨯ 12 1212在▱ABCD 中，∵∠B =60°，∴∠DCE =60°．∵AB =4，∴CD =AB =4，∴CH=CD =2，DH．在▱CEDF 中，CE =DF =AD =3，则EH =1．∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ．21. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m 为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）当m =1时，或满足题意（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m 的值．【小问1详解】解：∵二次函数为 ，∴，，．∴，∴此方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】∵当m =1时，原方程：，为1212=21502x mx m -+-==4x =-2x 21502x mx m -+-=12a =b m =-5c m =-()()222214452101092b ac m m m m m ∆=-=-⨯=-=-+-+>21402x x --=∴原式可化，则，∴或，∴当m =1时，或满足题意（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，流速为，开水的温度为流速为，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为．【解析】【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．【详解】解：设该学生接温水的时间为，根据题意可得：，解得，∴，∵，∴，答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为．为228=0x x --()219x -==4x =-2x =4x =-2x 30℃20ml /s 100℃，20ml /s 280ml 60℃⨯=⨯8s 6s s x 20ml x ()28020ml x -s x ()()()2060302802010060x x ⨯-=-⨯-8x =208160ml ⨯=280160120ml -=120206s ÷=8s 6s23. 一次函数的图像与轴交于点，且经过点．（1）当时，求一次函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1）y =x +，点A 的坐标为(-4，0) （2）【解析】【分析】（1）当m =2时，把点C 的坐标代入y =kx +4k (k ≠0)，即可求得k 的值，得到一次函数表达式，再求出点A 的坐标即可；（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：∵m =2，∴将点C (2，2)代入y =kx +4k ，解得k =；∴一次函数表达式为y =x +，当y =0时，x +=0，解得x =-4∵一次函数y =x +的图像与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(-4，0)．【小问2详解】解：如图，y =kx +4k (k ≠0)过定点，()40y kx k k =+≠x A ()2,B m =2m A 1x >-x =y x ()40y kx k k =+≠k 134313k ≤-13134313431343()=+4k x ()4,0-∵当时，，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数y =kx +4k (k ≠0)的值，∴，，解得k ≤−．∴k≤−．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．24. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a ．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分：b ．丙参加比赛的得分统计图如下图：（说明：丙在第四轮比赛中被淘汰）1x =-1y x ==-=y x ()=+4k x 1x =-41k k -+≤-1313根据以上信息，回答下列问题；（1）已知点A 的坐标为，则此轮比赛中；甲的得分为 ，与甲同场答题的百人团中，有 人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有 轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为 ；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】（1）26；74．（2）2；乙． （3）【解析】【分析】（1）根据题意每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分，因此由点A 的坐标可求甲的得分．又百人团答错的人数即为选手该轮得分，故可求出百人团答错的人数，进而得到百人团中答对的人数；（2）由图可得横坐标大于纵坐标的点有2个，故甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；图中5个点的横坐标即为甲的得分，纵坐标为乙的得分，再根据第二个图可得到乙的得分最高；（3）方差衡量数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小．由图可得乙的得分的波动比甲的大，故百人团答对的人数波动也打，故．小问1详解】甲得分为26，百人团答对人数为：【()26,1821s 22s 21s 22s <2212s s <()26,18A ∴1002674-=故答案为：26；74．【小问2详解】∵丙的最后两轮得分均为0∴丙的总得分最少∵图中的点中，横坐标大于纵坐标的点有2个,各点的纵坐标之和大于横坐标之和∴乙的总得分高于甲的总得分∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙故答案为：2；乙．【小问3详解】∵由图可知甲的得分在30分左右波动，而乙的得分波动更大∴甲参赛时百人团答错人数的波动比乙参赛时百人团答错的人数波动更小∴甲参赛时百人团答对人数的波动比乙参赛时百人团答对的人数波动更小故答案为：．【点睛】本题主要考查在材料阅读下解决实际问题，涉及到平面直角坐标系中点的坐标，统计中的方差，正确理解题意是解题的关键．25. 如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求半径的长．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形三线合一得出，再由等腰三角形的性质得出，利用等量代换确定，即可证明；（2）根据垂径定理得出，再由正切函数的定义得出，设半径的长为r，则2212s s ∴<<AB O CD AB ⊥E D DH CB ⊥CB H F DH CF CD =CF O 1tan 2DCB ∠=8=CF O OC DCH FCH ∠∠=OCB OBC ∠=∠90OCF ∠=︒4CE DE ==2BE =O，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：连接，如图所示：∵，，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵为的半径，∴是的切线；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设半径的长为r ，则，∵，2OE r =-OC CF CD =CH DF ⊥CH DCF ∠DCH FCH ∠∠=CO BO =OCB OBC ∠=∠CD AB ⊥90BCE OBC ∠+∠=︒90OCB HCF ∠∠+=︒90OCF ∠=︒OC CF ⊥OC O CF O 8=CF CF CD =8CD =CD AB ⊥4CE DE ==1tan 2DCB ∠=12BE CE =2BE =O 2OE r =-222OE CE OC +=∴，解得：，∴半径的长为5．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，正切函数的定义，垂径定理及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．26. 已知抛物线的对称轴为直线．（1）若点在抛物线上，则_____；（2）若点在抛物线上，时，直接写出取值范围；（3）已知，为抛物线上两点，，且，若，求的取值范围．【答案】（1）1 （2）或（3）或【解析】【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键．（1）将点代入抛物线表达式得：，则，即可求解；（2）当时，，即可求解；当时， 即，，同理可解；（3）根据题意可得抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则由可得，据此讨论t 的取值范围去绝对值求解即可．【小问1详解】解：将点代入抛物线表达式得：，∴∴；【小问2详解】解：当时，，∴抛物线的表达式为：，∴顶点坐标为的()22224r r -+==5r O 23y ax bx =++x t =()23，t =()()12,1,,5x x 1t =a ()1,A m y ()21,B t y +24m ≤≤213y y <<0a >t 2a ≥2a ≤-13t <<3t >()23，3423a b =++2b a =-0a >31a -+≤a<035a -+≥213y y <<10t t m t t +-<-<-()23，3423a b =++2b a=-12b t a=-=1t =2b a =-()()2222321313y ax ax a x x a a x a =-+=-+-+=--+()13a -+，∵点在抛物线上当时，解得：；当时， 即，解得：；综上所述，或；【小问3详解】解：∵，∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，当时， ∵，∴，∴，当时，则，此时不符合题意；当时，，∴，∴，∵，∴；当时，则，∴，∵，∴；综上所述，或．27. 如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B ，D 重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点()()1215x x ，，，0a >31a -+≤2a ≥a<035a -+≥2a ≤-2a ≥2a ≤-0a >0x =3y =213y y <<10t t m t t +-<-<-10m t t <-<-0t <1m t t <-<-0t m <<1m t t <-<12t m m t +<⎧⎪⎨>⎪⎩12m t m <<-24m ≤≤13t <<t m >1t m t <-<1t m >+24m ≤≤3t >13t <<3t >ABC AB AC =()045B αα∠=︒<<︒AD E BD ED E 2αEF AF CB，使，连接．（1）补全图形；（2）判断的位置关系______，证明结论；（3）若，且，直接写出______．【答案】（1）画图见解析（2），证明见解析（3【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）如图所示，延长到H ，使得，连接，则是的中位线，得到，，由旋转的性质可得，可证明；再由线段之间的关系证明，即可证明，得到，则由三线合一定理可得；（3）设，由（2）得，则，证明，则，，即可得到．【小问1详解】解；如图所示，即为所求；G GE CE =GF AF GF ，30α=︒GB AB =DE DB=AF GF ⊥GF GF HF =AG AH CH 、、EF HCG △2CH EF =EF CH ∥2ED EF DEF α==，∠ACH ABG =∠∠22BG CH EF DE ===()SAS ABG ACH ≌AG AH =AF CF ⊥DE x =2GB DE =2GB AB x ==AD BC ⊥12AD AB x ==BD ==DE DB ==【小问2详解】解：，证明如下：如图所示，延长到H ，使得，连接，∵，，∴是的中位线，∴，，∴，由旋转的性质可得，∴，∵，∴，∴，，∴；∵是中线，∴，∴，∴，∴，∴，∴；AF GF ⊥GF GF HF =AG AH CH 、、GE CE =GF HF =EF HCG △2CH EF =EF CH ∥180GCH CEF =︒-∠∠2ED EF DEF α==，∠1802GCH α=︒-∠AB AC =ABC ACB α∠=∠=180180ABG ABC α=︒-=︒-∠∠180ACH GCH ACB α=+=︒-∠∠∠ACH ABG =∠∠AD BD CD =2BG EG BE CE BE CD DE BE BD DE BE DE =-=-=+-=+-=22BG CH EF DE ===()SAS ABG ACH ≌AG AH =AF CF ⊥【小问3详解】解：设，由（2）得，又∵，∴，∵，是中线，∴，∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股DE x =2GB DE =GB AB =2GB AB x ==AB AC =AD AD BC ⊥30ABD α==︒∠12AD AB x ==BD ==DE DB ==定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，对于已知的点C 和图形W ，给出如下定义：若存在过点C 的直线l ，使之与图形W 有两个公共点P ，Q ，且C ，P ，Q 三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P 是图形W 的“相合点”．（1）已知点，线段与线段组成的图形记为W ；①点中，图形W 的“相合点”是___；②点M 在直线上，且点M 为图形W 的“相合点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r ，直线与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若在线段上存在⊙O 外的一点P ，使得点P 为⊙O 的相合点，直接写出r 的取值范围．【答案】（1）①，②或；（2或【解析】【分析】（1）①由题作出草图即可判断；②根据中点坐标公式分为（Ⅰ）为中点，（Ⅱ）为中点，（Ⅲ）为中点，建立不等式组即可得解；（2）先根据题意设过的直线交⊙O 于、，作直线交⊙O 于、，连接、，通过证明，以及圆的基本性质解得，再分为（Ⅰ）与⊙O 相离，（Ⅱ）与⊙O 相交，两种情况建立不等式求解．【详解】解：（1）作图1如图示，①由图1可知为、中点，为、中点，对不存在符合要求的情况，故答案为：、；设，在上，在上，②（Ⅰ）为中点，则，，，解得，xOy (0,2),(4,0)A B OA OB 123(1,1),(3,1),(3,2)C C C -2y x =-+3y x r =+-EF 13,C C 20m -≤≤14m ≤≤r ≤<r >M PQ P MQ Q PM P M N OP A B NB AM PBN PMA △∽△3r PO r <≤EF EF 3P 3C 3Q 1C 1P 1Q 2C 1C 3C (),2M m m -+P OA Q OB M PQ ()0,24P m -+()2,0Q m 0242024m m ≤-+≤⎧∴⎨≤≤⎩12m ≤≤（Ⅱ）为中点，则，，，解得：，（Ⅲ）为中点，则，，，解得：，综上：或；（2）令，解得，，令，则，即，，则，与横轴所成锐角为，在⊙O 外部，设过的直线交⊙O 于、，作直线交⊙O 于、，连接、如图2,,,又,,,，又是弦，，，又在⊙O 外部，；P MQ 20,2m P -+⎛⎫ ⎪⎝⎭(),0Q m -202204m m -+⎧≤≤⎪∴⎨⎪≤-≤⎩20m -≤≤Q PM ,02m Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,2P m -022042m m ≤-≤⎧⎪∴⎨≤≤⎪⎩24m ≤≤20m -≤≤14m ≤≤3=0y x r =+-)x r =-(),0F OF 0x =3y r =-(0,3)E r -3OE r =-OF =∴EF EFO ∠30︒P P M N OP A B NB AM 180B AMN AMN PMA ∠+∠=︒=∠+ B PAM ∴∠=∠APM NPB ∠=∠ PBN PMA ∴△∽△PM PN PA PB ∴= PM MN= 2222()()MN PO r PO r PO r ∴=-+=-MN 2MN r ∴≤∴22222()()8MN PO r PO r PO r r =-+=-≤P 3r PO r ∴<≤当过二、三、四象限时，，⊙O 的半径为，一定在⊙O 内部，即一定与⊙O 相交，若与⊙O 相离则直线必过一、二、四象限，（Ⅰ）与⊙O 相离，相离时直线过一、二、四象限如图2，要求存在在⊙O 外部且是⊙O 的相合点，作，，则只需，，，（Ⅱ）与⊙O 相交且存在在⊙O 外部如图3：直线过二、三、四象限，连接⊙O 与的交点,则只需，，解得：，或．EF3OE r =-r E ∴EF ∴EF EF EF EF P OD EF⊥sin 30OD OF ∴=︒=max =)r PO OF r <-min 3r PO OD ≥=r ≤<EF P EF EF G max =3)r PO OF r <-min 3r PO OG r ≥==r >r ≤<r >懂新定义，根据新定义会利用参数建立不等式，结合圆的性质作答是本题的关键．。
北京理工大学数学专业应用随机过程期末试题(MTH17096)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。
二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。
三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。
（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。
五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。
令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。
（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。
六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。
北京理工大附属中学2024届初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析
北京理工大附属中学2024届初中数学毕业考试模拟冲刺卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC 的长为（）A．16 B．14 C．12 D．62．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=31x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣14．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850发芽的频率mn0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950下面有三个推断：①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；③若n 为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（ ） A ．①B ．①②C ．①③D ．②③5．如图，点F 是ABCD 的边AD 上的三等分点，BF 交AC 于点E ，如果△AEF 的面积为2，那么四边形CDFE 的面积等于( )A ．18B ．22C ．24D ．466．小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．()5,2B ．()3,4-C ．()6,3-D ．()4,6--7．反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜﹣1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若点P(x ，y)在上，则点P′(﹣x ，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，直线a 、b 被c 所截，若a ∥b ，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°9．7的相反数是( ) A ．7B ．－7C ．17D ．－1710．已知反比例函数y=8k x-的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞8B ．k≥8C ．k≤8D ．k ＜8二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为_______．13．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长为_____．14．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．15．观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…则第20个数是_____． 16．数据：2，5，4，2，2的中位数是_____，众数是_____，方差是_____．17．为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数x 及其方差s 2如下表所示：甲 乙 丙 丁 x1′05″331′04″261′04″261′07″29s2 1.1 1.1 1.3 1.6如果选拔一名学生去参赛，应派_________去．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．19．（5分）华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．求y与x的函数关系式；每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？20．（8分）如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．21．（10分）阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．22．（10分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：按要求作图：先将△ABO绕原点O 逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数kyx 的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C，（1）求出k的值；（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC＋PD的最小值（不必说明理由）．24．（14分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式；该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点，由点E为AC的中点知DE为△ABC中位线，故△ABC的周长是△CDE 的周长的两倍，由此可求出BC的值.【题目详解】∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，∴D为BC中点，∵点E为AC的中点，∴DE为△ABC中位线，∴DE=12 AB，∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.∴AB+AC+BC=42，∴BC=42-15-15=12，故选C.【题目点拨】此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.2、C【解题分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【题目详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．3、A【解题分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【题目详解】在实数范围内有意义，∴x﹣1＞0，解得：x＞1．故选：A．【题目点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4、D【解题分析】①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400，数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的的概率即可求得绿豆发芽的粒数，③正确．【题目详解】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确．故选D．【题目点拨】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．5、B【解题分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE的面积.【题目详解】解：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22.故选B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.6、B【解题分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．【题目详解】根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有B符合．故选：B．【题目点拨】此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．7、B【解题分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【题目详解】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m ＞0 故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误； 将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y ＝xm，得到h ＝﹣m ，2k ＝m ， ∵m ＞0 ∴h ＜k 故③正确； 将P(x ，y)代入y ＝x m 得到m ＝xy ，将P′(﹣x ，﹣y)代入y ＝xm得到m ＝xy ， 故P(x ，y)在图象上，则P′(﹣x ，﹣y)也在图象上 故④正确， 故选：B ． 【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键． 8、A 【解题分析】试题分析：首先根据三角形的外角性质得到∠1+∠2=∠4，然后根据平行线的性质得到∠3=∠4求解． 解：根据三角形的外角性质， ∴∠1+∠2=∠4=110°， ∵a ∥b ， ∴∠3=∠4=110°， 故选A ．点评：本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，属于基础题，难度较小． 9、B 【解题分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【题目详解】 7的相反数是−7， 故选：B. 【题目点拨】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义. 10、A 【解题分析】本题考查反比例函数的图象和性质，由k-8＞0即可解得答案． 【题目详解】 ∵反比例函数y=8k x-的图象位于第一、第三象限， ∴k-8＞0， 解得k ＞8， 故选A ． 【题目点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k ＞0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、()1,1m -- 【解题分析】【分析】将抛物线的解析式由一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标. 【题目详解】y=mx 2+2mx+1=m(x 2+2x)+1 =m(x 2+2x+1-1)+1 =m(x+1)2 +1-m ，所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m ）， 故答案为（-1，1-m ）.【题目点拨】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线的解析式转化为顶点式是解题的关键.12、 【解题分析】如图，作OH ⊥CD 于H ，连结OC ，根据垂径定理得HC=HD ，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt △OPH 中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=15，即CD=2CH=215．【题目详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22OC OH15-∴15故答案为15【题目点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可13、4【解题分析】试题解析：∵3 cos5BDC∠=，可∴设DC=3x，BD=5x，又∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AD =DB =5x ，又∵AC =8cm ，∴3x +5x =8，解得，x =1，在Rt △BDC 中，CD =3cm ，DB =5cm ， 222253 4.BC DB CD =-=-=故答案为:4cm.14、55cm 2【解题分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.【题目详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm 2，故答案为: 55πcm 2.【题目点拨】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆锥的表面积=πrl +πr 2.15、41400【解题分析】观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可．【题目详解】解：观察数列得：第n 个数为221n n +，则第20个数是41400． 故答案为41400． 【题目点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键．16、2 2 1.1．【解题分析】先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]进行计算即可． 【题目详解】 解：把这组数据从小到大排列为：2，2，2，4，5，最中间的数是2，则中位数是2；众数为2；∵这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)÷5=3， ∴方差是：15[(2−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=1.1. 故答案为2，2，1.1.【题目点拨】本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.17、乙【解题分析】 ∵x 丁〉x 甲x 〉乙＝x 丙，∴从乙和丙中选择一人参加比赛，∵S 乙2＜S 丙2，∴选择乙参赛，故答案是：乙．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（12）(3) 【解题分析】（1）由勾股定理求出BP 的长， D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，所以点E 是△ABC 的重心,然后求得BE 的长. （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ,所以BD FD BF DA DC CA ==，然后可求得EF =8，所以14CP CE BF EF ==，所以13CP PA =，因为PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，在△ABC 中可求得cosA 的值. （3）由22BP CD CD BD AB =⋅=⋅，∠PBD=∠ABP ，证得△PBD ∽△ABP ，再证明△DPE ∽△DCP 得到2PD DE DC =⋅，PD 可求.【题目详解】解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4,∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213, ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心,∴241333BE BP ==, （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ,∴BD FD BF DA DC CA==, ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC ,∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8,∴2184CP CE BF EF ===, ∴14CP CA =， ∴13CP PA =，设CP=k ，则PA=3k ， ∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴PA=PB=3k,∴22BC k =，∴26AB k =，∵4AC k =，∴6cos A =, （3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB==,∵222BP CD=，∴22BP CD CD BD AB=⋅=⋅,∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP,∴∠BPD=∠A,∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，△DPE∽△DCP，∴2PD DE DC=⋅,∵DE=3,DC=5，∴.【题目点拨】本题是一道三角形的综合性题目，熟练掌握三角形的重心，三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的关键.19、（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元【解题分析】利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；【题目详解】（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，∵抛物线开口向下，∴当x＝11时，y有最大值1805，答：售价定为189元，利润最大1805元；【题目点拨】本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．20、（1）y=12x2﹣3x+1；tan∠ACB=13；（2）m=163；（3）四边形ADMQ是平行四边形；理由见解析.【解题分析】（1）由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=12x2-3x+1，作BG⊥CA，交CA的延长线于点G，证△GAB∽△OAC得BGAG=OCOA，据此知BG=2AG．在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2，可求得．继而可得（2）作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK，易得四边形OBHC是正方形，应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK，设K（1，h），则BK=h，HK=HB-KB=1-h，AK=OA+HK=2+（1-h）=6-h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=83，据此求得点K（1，83）．待定系数法求出直线CK的解析式为y=-13x+1．设点P的坐标为（x，y）知x是方程1 2x2-3x+1=-13x+1的一个解．解之求得x的值即可得出答案；（3）先求出点D坐标为（6，1），设P（m，12m2-3m+1）知M（m，1），H（m，0）．及PH=12m2-3m+1），OH=m，AH=m-2，MH=1．①当1＜m＜6时，由△OAN∽△HAP知ONPH=OAAH．据此得ON=m-1．再证△ONQ∽△HMQ得ON HM =OQHQ．据此求得OQ=m-1．从而得出AQ=DM=6-m．结合AQ∥DM可得答案．②当m＞6时，同理可得．【题目详解】解：（1）将点A（2，0）和点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+1，得4240{16440 a ba b++=++=，解得：123 ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩；∴该抛物线的解析式为y=12x2﹣3x+1，过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G=90°．∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，∴△GAB∽△OAC．∴42BG OCAG OA===2．∴BG=2AG，在Rt△ABG中，∵BG2+AG2=AB2，∴（2AG）2+AG2=22，解得：AG=255．∴BG=455，CG=AC+AG=25+255=1255．在Rt△BCG中，tan∠ACB═13 BGCG=．（2）如图2，过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形．应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK，设K（1，h），则BK=h，HK=HB﹣KB=1﹣h，AK=OA+HK=2+（1﹣h）=6﹣h，在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2，∴22+h2=（6﹣h）2．解得h=83，∴点K（1，83），设直线CK的解析式为y=hx+1，将点K（1，83）代入上式，得83=1h+1．解得h=﹣13，∴直线CK的解析式为y=﹣13x+1，设点P的坐标为（x，y），则x是方程12x2﹣3x+1=﹣13x+1的一个解，将方程整理，得3x2﹣16x=0，解得x1=163，x2=0（不合题意，舍去）将x1=163代入y=﹣13x+1，得y=209，∴点P的坐标为（163，209），∴m=163；（3）四边形ADMQ是平行四边形．理由如下：∵CD∥x轴，∴y C=y D=1，将y=1代入y=12x2﹣3x+1，得1=12x2﹣3x+1，解得x1=0，x2=6，∴点D（6，1），根据题意，得P（m，12m2﹣3m+1），M（m，1），H（m，0），∴PH=12m2﹣3m+1，OH=m，AH=m﹣2，MH=1，①当1＜m＜6时，DM=6﹣m，如图3，∵△OAN∽△HAP，∴ON OA PH AH，∴21342ONm m -+=22m -， ∴ON=2682m m m -+-=(4)(2)2m m m ---=m ﹣1， ∵△ONQ ∽△HMQ ， ∴ON OQ HM HQ=， ∴4ON OQ m OQ=-， ∴44m OQ m OQ-=-， ∴OQ=m ﹣1，∴AQ=OA ﹣OQ=2﹣（m ﹣1）=6﹣m ，∴AQ=DM=6﹣m ，又∵AQ ∥DM ，∴四边形ADMQ 是平行四边形．②当m ＞6时，同理可得：四边形ADMQ 是平行四边形．综上，四边形ADMQ 是平行四边形．【题目点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、三角函数等知识点．21、sin 2A=2cosAsinA【解题分析】 先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出12CE =，∠CED=2∠A ，最后用三角函数的定义即可得出结论 【题目详解】解：如图，作Rt △ABC 的斜边AB 上的中线CE ， 则1122CE AB AE ===， ∴∠CED=2∠A ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt△ACD中，CD=ACsinA，在Rt△ABC中，AC=ABcosA=cosA在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED=sin12CD AC ACE⋅== 2ACsinA=2cosAsinA【题目点拨】此题主要解直角三角形，锐角三角函数的定义，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，构造出直角三角形和∠CED=2∠A是解本题的关键．22、(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解题分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【题目详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【题目点拨】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．23、（2）2；（2）y=x+2；（334【解题分析】（2）确定A、B、C的坐标即可解决问题；（2）理由待定系数法即可解决问题；（3）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′的长．【题目详解】解：（2）∵反比例函数y=kx的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，∴A（2，2），B（-2，-2），C（3，2）∴k=2．（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则有221 m nm n++⎧⎨-+-⎩＝，解得11mn⎧⎨⎩＝＝，∴直线AB的解析式为y=x+2．（3）∵C、D关于直线AB对称，∴D（0，4）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值223+5=34【题目点拨】本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．24、(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.【解题分析】【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【题目详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，3313≤x≤60，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.。
北理工数学实验报告
实验名称：线性代数实验——矩阵运算与线性方程组的求解实验目的：1. 理解矩阵的基本概念和运算规则。
2. 掌握线性方程组的求解方法。
3. 利用数学软件进行矩阵运算和线性方程组的求解。
实验时间：2023年X月X日实验地点：北理工计算机实验室实验器材：1. 计算机2. MATLAB软件3. 纸和笔实验内容：一、矩阵的基本运算1. 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，它们的行数和列数必须相同。
矩阵加法是将对应位置的元素相加。
2. 矩阵减法：与矩阵加法类似，矩阵减法是将对应位置的元素相减。
3. 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则A与B可以进行乘法运算。
矩阵乘法的结果是一个新矩阵，其元素是A的行与B的列对应元素的乘积之和。
4. 转置矩阵：给定一个矩阵A，其转置矩阵A'的行数等于A的列数，列数等于A 的行数。
转置矩阵的元素是A中对应位置的元素。
二、线性方程组的求解1. 高斯消元法：通过行变换将线性方程组转化为上三角矩阵，然后逐步求解未知数。
2. 克莱姆法则：当线性方程组系数矩阵的行列式不为零时，可以求出每个未知数的唯一解。
3. MATLAB求解：利用MATLAB中的函数求解线性方程组。
实验步骤：1. 创建矩阵：在MATLAB中创建两个矩阵A和B，并观察它们的性质。
2. 矩阵运算：进行矩阵加法、减法、乘法和转置运算，并观察结果。
3. 线性方程组求解：利用高斯消元法、克莱姆法则和MATLAB函数求解线性方程组。
实验结果与分析：1. 矩阵运算：通过实验，我们掌握了矩阵的基本运算规则，并成功进行了矩阵加法、减法、乘法和转置运算。
2. 线性方程组求解：利用高斯消元法、克莱姆法则和MATLAB函数求解线性方程组，得到了正确的解。
3. MATLAB求解：通过MATLAB函数求解线性方程组，我们发现MATLAB具有强大的矩阵运算和线性方程组求解功能，能够方便地解决实际问题。
实验总结：本次实验使我们深入了解了矩阵的基本概念和运算规则，掌握了线性方程组的求解方法。
三年级北师大版上册数学应用题实验学校习题
三年级北师大版上册数学应用题实验学校习题班级：__________ 姓名：__________1. 一列火车早上7：00从甲地出发，15：00到达乙地，这列火车共行驶了多长时间？2. 小红家有一个密码箱，其密码是由0至9中不同的四个数字组成的，由于疏忽，她只记住了后三位是365，那么小红要想打开箱子，最多需要试几次？3. 汤清杨和哥哥在开学时都买了一些作业本,如果哥哥给他3本的话,那么两个人的作业本数就一样多;如果汤清杨给哥哥1本的话,那么哥哥的本数就是他的3倍。
汤清杨和哥哥各买了多少本作业本?4. 修路队已经修路360米，还剩下未修的是已经修好的5倍。
这条路有多长？5. 兰兰读一本100页的故事书，每天读8页，她从8月11日开始读，能在8月21日读完这本故事书吗？6. 学校食堂王师傅买了 4 袋面粉，每袋面粉 118 元，他付给收银员一些钱后，收银员找给他 28 元，王师傅给的是多少钱？7. 明明和丽丽分别从相距220km的两地同时相向而行。
明明每小时行10km，丽丽每小时行12km，几小时后相遇？8. 一列火车每小时行驶125千米，早上8:00从昆明出发，中午11：00到丽江，昆明到丽江一共有多少千米？9. 某汽车厂计划全年生产汽车16800台，结果提前2个月就完成了全年的生产任务。
照这样的速度，全年可生产汽车多少台？10. 饲养场有黄牛和黑牛一共84头,黄牛卖掉20头后和黑牛同样多,饲养场原有黄牛和黑牛各多少头?11. 从甲地到乙地全长396千米，一辆汽车平均每小时行78千米，5小时能从甲地到达乙地吗？12. 每张成人票19元，买6张成人票大约要多少钱？13. 果园里今年收苹果728千克，收的梨是苹果的3倍，收梨多少千克？收苹果和梨一共多少千克？14. 图书馆购进一批少儿图书，其中《成语故事》72本，《寓言故事》比《成语故事》多18本。
《童话故事》的本数是《寓言故事》的3倍，购进《童话故事》多少本？15. 为庆祝“六·一”，学校大门旁边挂一排彩色气球，按照一个黄气球，两个红气球，三个绿气球的顺序排列。
北理工数学实验作业
1. 1/e2. 33.14.e³5. ∞6. 07.∞8.09.1/2 10.0 11.e2c12.不存在13. 1/12Matlab实验过程：1.1/exp(1)syms n;f=(1-1/n)^n;limit(f,n,inf)ans =1/exp(1)2.3syms n;f=(n^3+3^n)^(1/n);limit(f,n,inf)ans =33. 1syms n;f=(1+sin(2*n))/(1-cos(4*n));limit(f,n,pi/4)ans =14.e^3syms x;f=(1+cos(x))^(3*sec(x));limit(f,x,pi/2)ans =exp(3)5.infsyms x;f=(x^2)*exp(1/(x^2));limit(f,x,0)ans =Inf6.0syms x;f=(x^2-2*x+1)/(x^3-x);limit(f,x,1)ans =7.infsyms x;f=((2/pi)*atan(x))^x;limit(f,x,+inf)Inf8.0syms x y;f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));limit(limit(f,x,0),y,0)ans =9.1/2syms x;f=(1-cos(x))/(x*sin(x));limit(f,x,0)ans =1/210.0syms x;f=atan(x)/(2*x);limit(f,x,inf)ans =11.exp(2*c)syms c;f=sym('((x+c)/(x-c))^x');limit(f,'x',inf)ans =exp(2*c)12.极限不存在syms x;f=cos(1/x);limit(f,x,0)ans =limit(cos(1/x), x = 0)13.1/12syms x;f=1/(x*log(x)^2)-1/(x-1)^2;limit(f,x,1)ans =1/12二．观察函数logbx,当b=1/2,1/3,1/4和b=2,3,4时函数的变化特点，总结logbx的图形特点。
北理工_数据分析_实验5_数据拟合
北理工_数据分析_实验5_数据拟合引言概述：数据拟合是数据分析中常用的一种方法，通过将实际观测数据与数学模型进行拟合，可以得到模型的参数估计值，从而对未观测数据进行预测和判断。
本文将介绍北理工数据分析实验5中的数据拟合方法及其应用。
一、线性回归拟合1.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性回归拟合方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定最佳拟合直线。
具体步骤包括：计算样本均值、计算样本方差、计算相关系数、计算回归系数、计算拟合直线方程。
1.2 判定系数判定系数是评估线性回归拟合效果的指标，它表示回归模型能够解释因变量变异程度的比例。
判定系数的取值范围为0到1，越接近1表示拟合效果越好。
计算判定系数的公式为：R^2 = 1 - (残差平方和 / 总平方和)。
1.3 拟合诊断拟合诊断是判断线性回归拟合效果的重要步骤，它通过分析残差图、QQ图和杠杆值等指标来评估拟合模型的合理性和可靠性。
合理的拟合模型应该满足残差呈正态分布、残差与拟合值无明显相关、杠杆值在合理范围内等条件。
二、非线性回归拟合2.1 指数拟合指数拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈指数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将指数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.2 对数拟合对数拟合是一种常用的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈对数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将对数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.3 多项式拟合多项式拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它通过将自变量的高次幂作为新的自变量，将拟合问题转化为线性回归问题。
多项式拟合可以拟合出更为复杂的曲线，但需要注意过拟合的问题。
三、曲线拟合评估3.1 残差分析残差分析是评估曲线拟合效果的重要方法，它通过分析残差的分布、残差的自相关性、残差的异方差性等指标来判断拟合模型的合理性。
北理工《概率论与数理统计》在线作业
北理工《概率论与数理统计》在线作业
北理工《概率论与数理统计》在线作业是为
学生提供的一种通过互联网接收任务、交作
业和咨询教师的教育课程。
该课程旨在让学
生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论
和应用，并培养学生良好的思维方法和创新
能力，从而为他们未来的工作和学习奠定坚
实的基础。
北理工《概率论与数理统计》在线作业包括
课程大纲、在线视频、在线作业、课件下载
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学生可以在教师的
指导下完成在线作业，提高自己的学习效果，同时也可以通过在线咨询解决遇到的疑难问
题。
在学习过程中，学生需要掌握概率分布、随机变量、样本和统计量的重要概念，了解
各种分布之间的关系和性质，掌握多种分布
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为了取得好成绩，学生需要严格按照教师的
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些知识应用到实际问题中，解决实际问题并
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索精神，积极思考问题和应对挑战，不断提高自己的能力和素质，为未来的发展做好充分准备。
北师大五年级数学下综合实践作业设计
北师大五年级数学下综合实践作业设计
摘要：
一、引言
二、北师大五年级数学下综合实践作业设计的目的
三、北师大五年级数学下综合实践作业的具体内容
四、北师大五年级数学下综合实践作业的设计原则
五、北师大五年级数学下综合实践作业的实施方法
六、总结与展望
正文：
一、引言
在我国，教育部门一直致力于推进素质教育，提倡将理论与实践相结合。
北师大五年级数学下综合实践作业设计正是这一理念的体现，旨在培养学生的实践能力和创新精神。
二、北师大五年级数学下综合实践作业设计的目的
1.提高学生的数学应用能力
2.培养学生的动手操作能力
3.增强学生的团队协作意识
4.提升学生的自主学习能力
三、北师大五年级数学下综合实践作业的具体内容
1.生活中的数学问题
2.数学建模
3.数学游戏
4.数学实验
四、北师大五年级数学下综合实践作业的设计原则
1.遵循课程标准，紧密结合教材
2.注重实践性，突出学生的主体地位
3.强调合作学习，培养团队精神
4.注重过程评价，提高学生的反思能力
五、北师大五年级数学下综合实践作业的实施方法
1.教师提供指导，引导学生自主完成作业
2.小组合作完成，促进交流与分享
3.教师评价与学生自评相结合，全面了解学生的学习情况
4.定期展示优秀作品，提高学生的学习积极性
六、总结与展望
北师大五年级数学下综合实践作业的设计与实施，有助于提高学生的数学素养，培养学生的实践能力和创新精神。
北京理工大附中高三零模考试数学试卷+++2012
北京理工大附中高三零模考试数学试卷 2012.3.17满分150分，考试时间120分钟一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
） 1、已知集合{0,1,2},M ={|2,},N x x a a M ==∈则集合M N = （ ）()A {0} ()B {0,1} ()C {1,2} ()D {0,2}2、等比数列{}n a 中， 48,2,a q ==-则7a 的值为（ ）()A 64- ()B 64 ()C 48- ()D 483、已知,a b为非零向量，则a b a b +=- 成立的充要条件是（ ）()A a b //()B a b 和有共同的起点 ()C=a b ()D a b ⊥4、设两个平面,αβ及直线l ，下列三个条件：①l α⊥；②l β//； ③αβ⊥；若以其中两个为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中真命题的个数为（ ）()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 05、阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是（ ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 76、直线1413x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被曲线)4πρθ=+所截得的弦长是（ ）()A 2()B 3()C 75()D 857、已知0a b <<，且直线220ax by -+=始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则下列不等式正确的是（ ）()A 2log 1a > ()B 22log log 2a b +>- ()C 2log ()0b a -< ()D 2log ()1b b a a +<8、对于函数()2cos f x x x =，以下结论成立的是（ ）()A 点(,0)2π是函数()y f x =图象的一个对称中心； ()B 函数()yf x =的图象关于直线x π=对称；()C 函数()f x 在[,0]π-上单调递增，在[0,]π上单调递减；()D 存在常数0M>，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则其虚部为_________.10、从6名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少有一名女生，则不同的选法有______种.11、如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90oA C D ∠=，且6AB =，4AC =，12A D =，则A E =_______。
北师大版 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列数学好玩其一：滴水实验(操作实验探索规律)
2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列数学好玩其一：滴水实验（操作实验探索规律）专项练习1．笑笑通过实验得出：一个滴水的水龙头40秒漏10克水，如果水龙头按这个速度漏水，那么：（1）1小时漏掉多少克水呢？（2）8小时漏掉多少克水呢？（3）1天漏掉多少克水呢？2．1个滴水的水龙头40秒漏20克水，如果1瓶矿泉水大约500克，那么按这样的漏水的速度，一天漏掉的水大约是多少瓶？3．如果说1个水龙头1年漏的水够1126人饮用1天，而学校每个水龙头都这样漏水（学校有水龙头约100个），1年浪费的水可供多少人饮1天？4．一个未关紧的水龙头大约25分可滴满一杯水，一个上午按五小时算会浪费多少杯水？如果一杯水的质量是200克，这些浪费的水有多少克？5．今天我做了一个实验，把碗放在一个不停滴水的水龙头下，一分钟后，我数了一下，一共滴了30滴水，那么如果每分都能节约30滴水，照这样计算，一小时能节约多少滴水？一天呢？6．一千克大米约50000粒，某城市约500000人，如果每人每天浪费一粒大米，那么这个城市的人四月份大约浪费多少千克大米？如果一个人每月大约吃10千克大米，那么这个城市的人四月份浪费的大米约够多少个人吃一个月？7．节约用水的方法很多，比如在抽水马桶水箱里放一个装满水的矿泉水瓶，每次冲马桶可以节约用水1250克，以每天冲16次马桶计算，一天可以节约用水多少千克，一个月按30天计算可以节约用水多少千克？8．研究表明：1个人除了正常的饮食外，每天应饮水1400克才能维持人体需要。
根据上面的数据，1个没拧紧的水龙头1年漏掉的水大约有1576800克，大约可供多少个人饮1天？9．悠悠和萌萌一起做了一个滴水实验，统计数据后发现：一个没有拧紧的水龙头平均每小时大约漏掉1千克的水，照这样计算，一天会漏掉多少千克的水？一年（按365天计算）呢？10．氧气是我们人类生存必不可少的资源。
据统计，1万平方米的森林一天大约能产生730千克氧气，能满足大约900人一天的氧气需求。
北京理工大附中分校2024届初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析
北京理工大附中分校2024届初中数学毕业考试模拟冲刺卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值大于2的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元，她的付款方式有（）种．A．1 B．2 C．3 D．43．估计112的值在（）A．0到l之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间4．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5．从2，0，π，13，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．15B．25C．35D．456．估计7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（）A．B．C．D．8．如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，BC平分∠ABE，AB∥CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为（）A．70°B．65°C．62°D．60°10．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．正方体二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为1cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm1．12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为______________.13．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．14．若反比例函数y=1mx的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是_____．15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰1．将△CDE 绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（1）求点P在一次函数y＝x＋1图象上的概率．18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．19．（8分）(1)计算：(a－b)2－a(a－2b)；(2)解方程：23x-＝3x．20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．（1）求证：DC=DE；（2）若AE=1，23EFFD=，求⊙O的半径．21．（8分）某食品厂生产一种半成品食材，产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式1p x82=+，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，如下表：销售价格x(元/千克) 2 4 ⋯10市场需求量q/(百千克)12 10 ⋯ 4已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克()1求q与x的函数关系式；()2当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；()3当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃.若该半①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式；②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围.(利润=售价-成本) 22．（10分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）23．（12分）（1）计算：2﹣2﹣12+（1﹣6）0+2sin60°．（2）先化简，再求值：（121x xx x---+）÷22121xx x-++，其中x=﹣1．24．如图所示，某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚A点处测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米．另一部分同学在山顶B点处测得山脚A点的俯角为45°，山腰D点的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC．(计算过程和结果都不取近似值)参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】【题目详解】解：∵绝对值等于2的数是﹣2和2，∴绝对值等于2的点是点A．故选A．【题目点拨】此题主要考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．2、C【解题分析】分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x，y都是非负整数可求得x，y的值．详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，由题意，2x+5y=27∴x=12（27-5y）∵x，y是非负整数，∴15xy⎧⎨⎩＝＝或111xy⎧⎨⎩＝＝或63xy⎧⎨⎩＝＝，∴付款的方式共有3种．故选C.点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再根据实际意义求解．3、B【解题分析】∵9<11<16,∴34<<,∴122<<故选B.4、B【解题分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．【题目详解】根据两点确定一条直线．故选：B．【题目点拨】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．5、C【解题分析】，0，π，13，6这5个数中只有0、13、6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【题目详解】，0，π，13，6这5个数中有理数只有0、13、6这3个数，∴抽到有理数的概率是35，故选C．【题目点拨】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键．6、B【解题分析】分析：直接利用2＜3，进而得出答案．详解：∵2＜3，∴3+1＜4，故选B．的取值范围是解题关键．7、A【解题分析】试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A．考点：简单几何体的三视图．8、C分析：过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数.详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.故选C.点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.9、A【解题分析】由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．【题目详解】∵AB∥CD,∠C=35°，∴∠ABC=∠C=35°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=70°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=70°.故选：A.【题目点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.10、C【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.【题目详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【题目点拨】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、10π【解题分析】分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=1π•5=10π，∴圆锥的侧面积=12•10π•1=10π（cm1）．故答案为10π．点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12•l•R，（l为弧长）．12、2 501030 x yx y+=⎧⎨+=⎩【解题分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．【题目详解】依题意得：2 501030x yx y+=⎧⎨+=⎩．故答案为2 501030x yx y+=⎧⎨+=⎩．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．13、k＜1【解题分析】【题目详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=，解得：.故答案为：.【题目点拨】熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.14、m>1【解题分析】∵反比例函数m1yx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，∴m1->0，解得：m>1，故答案为m>1.15、1800°【解题分析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．考点：多边形内角与外角．16、2【解题分析】分析：设CD=3x，则CE=1x，BE=12﹣1x，依据∠EBF=∠EFB，可得EF=BE=12﹣1x，由旋转可得DF=CD=3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，即可得到（3x）2+（1x）2=（3x+12﹣1x）2，进而得出CD=2．详解：如图所示，设CD=3x，则CE=1x，BE=12﹣1x．∵CD CACE CB==34，∠DCE=∠ACB=90°，∴△ACB∽△DCE，∴∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∴∠ABF=∠BFE．又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠EBF=∠EFB，∴EF=BE=12﹣1x，由旋转可得DF=CD=3x．在Rt△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（3x）2+（1x）2=（3x+12﹣1x）2，解得x1=2，x2=﹣3（舍去），∴CD=2×3=2．故答案为2．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）见解析；（1）.【解题分析】试题分析：（1）画出树状图（或列表），根据树状图（或表格）列出点P所有可能的坐标即可；（1）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在一次函数图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率. 试题解析：（1）画树状图：或列表如下：∴点P所有可能的坐标为（1，-1），（1,0）（1,1）（-1，-1），（-1,0）（-1,1）.∵只有（1,1）与（-1，-1）这两个点在一次函数图像上，∴P（点P在一次函数图像上）=.考点：用（树状图或列表法）求概率.18、（1）说明见解析；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由见解析．【解题分析】（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△EAF≌△AEC（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．19、 (1) b 2 (2)1【解题分析】分析：(1)、根据完全平方公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案；(2)、收下进行去分母，将其转化为整式方程，从而得出方程的解，最后需要进行验根．详解：(1) 解：原式＝a 2－2ab ＋b 2－a 2＋2ab ＝b 2 ；(2) 解:()233x x =-， 解得：x ＝1，经检验 x ＝1为原方程的根， 所以原方程的解为x ＝1．点睛：本题主要考查的是多项式的乘法以及解分式方程，属于基础题型．理解计算法则是解题的关键．分式方程最后必须要进行验根．20、 (1)见解析;(2)32. 【解题分析】（1）连接OD ，由DH ⊥AC ，DH 是⊙O 的切线，然后由平行线的判定与性质可证∠C =∠ODB ，由圆周角定理可得∠OBD =∠DEC ，进而∠C =∠DEC ，可证结论成立；（2）证明△OFD ∽△AFE ，根据相似三角形的性质即可求出圆的半径.【题目详解】（1）证明：连接OD ，由题意得：DH ⊥AC ，由且DH 是⊙O 的切线，∠ODH=∠DHA=90°，∴∠ODH=∠DHA=90°，∴OD ∥CA ，∴∠C=∠ODB ，∵OD=OB ，∴∠OBD=∠ODB ，∴∠OBD=∠C ，∵∠OBD=∠DEC ，∴∠C=∠DEC ，∴DC=DE ；（2）解：由（1）可知：OD ∥AC ，∴∠ODF=∠AEF ，∵∠OFD=∠AFE ，∴△OFD ∽△AFE ， ∴，∵AE=1，∴OD=，∴⊙O 的半径为．【题目点拨】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，难度中等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.21、（1） q x 14=-+；（2）2x 4≤≤；（3）213105y (x )24=--+①；②当134x 2<≤时，厂家获得的利润y 随销售价格x 的上涨而增加．【解题分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）由题意可得：p ≤q ，进而得出x 的取值范围；（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可．【题目详解】（1）设q =kx +b （k ，b 为常数且k ≠0），当x =2时，q =12，当x =4时，q =10，代入解析式得：212410k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：114k b =-⎧⎨=⎩，∴q 与x 的函数关系式为：q =﹣x +14；（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p ≤q ，∴12x +8≤﹣x +14，解得：x ≤4，又2≤x ≤10，∴2≤x ≤4； （3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x ≤10，由题意得：厂家获得的利润是：y=qx﹣2p=﹣x2+13x﹣16=﹣（x132-）21054+；②∵当x132≤时，y随x的增加而增加．又∵产量大于市场需求量时，有4＜x≤10，∴当4＜x132≤时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．【题目点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键．22、见解析.【解题分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【题目详解】如图，点P为所作．【题目点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．23、（1）534（2）20172018【解题分析】（1）根据负整数指数幂、二次根式、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【题目详解】解：（1）原式=14﹣33=14﹣33543（2）原式=2 (1)(1)(2)(+1)(1)21 x x x x xx x x-+--⋅+-=222 12(+1)(1)21 x x x xx x x--+⋅+-=2 21(+1) (1)21 x xx x x-⋅+-=+1 xx，当x=﹣1时，原式=2018+12018--=20172018．【题目点拨】本题考查分式的化简求值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24、1)米【解题分析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE=FC．∵∠HBA=∠BAC=45°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15°．又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°，∴△ADB是等腰三角形．∴AD=BD=180（米）．在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=DE AD，∴DE=180•sin30°=180×12=90（米），∴FC=90米，在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=BF BD，∴=（米）．∴+90=90+1）（米）．答：小山的高度BC为90）米．。
北理工数值分析大作业
数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。
（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。
2023-2024学年北京市北京理工大学附属中学高三下学期三模数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市北京理工大学附属中学高三下学期三模数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，其中x，y是实数，则A.1B.C.D.22.已知集合，若，则a可能是()A. B.1 C.2 D.33.在展开式中，常数项的二项式系数为()A.4B.3C.2D.14.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.5.已知双曲线的一个焦点坐标是，则m的值及E的离心率分别为()A. B. C.1，2 D.6.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为()A.3B.2C.D.7.已知是三个不同的平面，，则“”是“”的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要8.已知直线，圆，下列说法错误．．的是()A.对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点；B.当且仅当时，直线l被圆O所截弦长为；C.对任意实数a，圆O不关于直线l对称；D.存在实数a，使得直线l与圆O相切．9.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，，则的周长为()A.10B.11C.D.1210.平面内相距7m的A，B两点各放置一个传感器，物体P在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与P的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线a经过点，，，曲线b经过点，且若P的运动轨迹与线段AB相交，则P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及分别为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角的终边经过点，且，则m等于__________.12.已知抛物线的焦点为F，则F的坐标为__________；过点F的直线交抛物线C于两点，若，则的面积为__________.13.已知等比数列满足：，请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式：__________.14.已知函数①若，则的最小正周期是__________；，②若，则的值域是__________.15.设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2024-2025学年北京理工大学附中高三(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京理工大学附中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|x ≤5}，集合B ={x|x(x−2)>0}，则A ∩B =( )A. {2,3,4}B. {3,4,5}C. [2,5)D. (2,5]2.下列函数中，值域为R 且区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =−x 3B. y =x(x−2)C. y =xD. y =lg |x|3.若a >b ，则下列各式一定成立的是( )A. a 2>b 2B. ac 2>bc 2C. a 3>b 3D. 1a 2<1b 24.已知函数f(x)=lnx +2x−6，则它的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知f(x)={(3a−1)x +4a,x <1log a x,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,13)C. [17,13)D. [17,1)6.已知f(x)=log 14x ，则不等式f(x)≥−43(x−1)的解集为( )A. (−∞,14]∪[1,+∞) B. (−∞,14]∪[12,+∞)C. (0,14]∪[12,+∞)D. (0,14]∪[1,+∞)7.已知a >0，b >0，则“a +b ≤2”是“ab ≤1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)满足f(−2−x)=f(−2+x)，对任意x 1，x 2∈(−∞,−2]，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞) B. (−2,2)C. (−∞,−4)∪(0,+∞)D. (−4,0)9.某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100(3x +1−2x )元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是( )A. 2千克/小时B. 3千克/小时C. 4千克/小时D. 6千克/小时)，b=f(ln 2 10.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x−1)=−f(x)，且在[0,1]上单调递增，a=f(20232)，c=f(2022)，则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
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一．
1. 1/e
2. 3
3.1
4.e³
5. ∞
6. 0
7.∞
8.0
9.1/2 10.0 11.e2c12.不存在13. 1/12
Matlab实验过程：
1.1/exp(1)
syms n;
f=(1-1/n)^n;
limit(f,n,inf)
ans =
1/exp(1)
2.3
syms n;
f=(n^3+3^n)^(1/n);
limit(f,n,inf)
ans =
3
3. 1
syms n;
f=(1+sin(2*n))/(1-cos(4*n));
limit(f,n,pi/4)
ans =
1
4.e^3
syms x;
f=(1+cos(x))^(3*sec(x));
limit(f,x,pi/2)
ans =
exp(3)
5.inf
syms x;
f=(x^2)*exp(1/(x^2));
limit(f,x,0)
ans =
Inf
6.0
syms x;
f=(x^2-2*x+1)/(x^3-x);
limit(f,x,1)
ans =
7.inf
syms x;
f=((2/pi)*atan(x))^x;
limit(f,x,+inf)
ans =
Inf
8.0
syms x y;
f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2+y^2)); limit(limit(f,x,0),y,0)
ans =
9.1/2
syms x;
f=(1-cos(x))/(x*sin(x));
limit(f,x,0)
ans =
1/2
10.0
syms x;
f=atan(x)/(2*x);
limit(f,x,inf)
ans =
11.exp(2*c)
syms c;
f=sym('((x+c)/(x-c))^x');
limit(f,'x',inf)
ans =
exp(2*c)
12.极限不存在
syms x;
f=cos(1/x);
limit(f,x,0)
ans =
limit(cos(1/x), x = 0)
13.1/12
syms x;
f=1/(x*log(x)^2)-1/(x-1)^2;
limit(f,x,1)
ans =
1/12
二．观察函数logbx,当b=1/2,1/3,1/4和b=2,3,4时函数的变化特点，总结logbx的图形特点。
>> x=0.01:0.1:100;
>> y1=log2(x);
>> y2=log2(x)/log2(3);
>> y3=log2(x)/log2(4);
>> plot(x,y1,'k',x,y2,'g',x,y3,'r')
>> gtext('b=2');gtext('b=3');gtext('b=4')
>> hold on
>> y4=log2(x)/log2(1/2);
>> y5=log2(x)/log2(1/3);
>> y6=log2(x)/log2(1/4);
>> plot(x,y4,'k',x,y5,'g',x,y6,'r')
>> gtext('b=1/2');gtext('b=1/3');gtext('b=1/4')
特点：
1.对数函数log b x 总经过（1，0）点
2.对数函数log b x 当底b<1时是单调下降的，当底b>1时是单调增的
3.在x 轴上方（或者下方）沿顺时针方向看，b 越来越大
4.对数函数log b x ，b<1（或者b>1）时，当x<1时，b 越小函数值越小，而当x>1时，b 越小函数值越大。
三．用f (x )=cosx 2的函数图形,探索f (x )的图形与f (a x ),af (x ),f (x+b ),f (x )+b 图形之间的关系。
0102030405060708090100
-8-6
-4
-2
2
4
6
8
f(x)与f(ax)的关系：下图中，黑线为a=1,红线为a=2/3,绿线为a=3/2。
实验过程如下：
x=-2*pi:0.1:2*pi;
y=cos(x.^2);
y1=cos((3*x/2).^2);
y2=cos((2*x/3).^2);
plot(x,y,'k',x,y1,'g',x,y2,'r')
结论：f(ax)为f(x)在水平方向上发生尺度变换，当|a|>1时，f(x)图像沿水平轴向原点压缩|1/a|倍，当|a|<1时，f(x)图像沿水平轴自原点拉伸|1/a|倍。
f(x)与af(x)的关系：下图中，黑线为a=1，绿线为a=2，红线为a=1/2，紫红线为a=-2。
实验过程如下：
-8-6
-4-202468
x=-2*pi:0.01:2*pi;
y=cos(x.^2);
y1=2*cos(x.^2);
y2=(1/2)*cos(x.^2);
y3=-2*cos(x.^2);
plot(x,y,'k',x,y1,'g',x,y2,'r',x,y3,'m')
结论：af(x)为f(x)在垂直方向发生尺度变换，a>1时，f(x)沿垂直轴自原点拉伸为原来的a 倍，0<a<1时，f(x)沿垂直轴向原点压缩为原来的a 倍，a<0时，f(x)以水平轴为轴发生反转并变为原来的a 倍。
f(x)与f(x+b)的关系：下图中，黑线f(x)，红线为f(x+b)(b>0)，绿线为f(x+b)(b<0)。
实验过程如下：
x=-2*pi:0.01:2*pi;
y=cos(x.^2);
y1=cos((x+1).^2);
y2=cos((x-1).^2);
plot(x,y,'k',x,y1,'r', x,y2,'g')
结论：f(x+b) ,b>0时，f(x)向左平移b 个单位，b<0时，f(x)向右平移|b|个单位。
f(x)与f(x)+b 的关系：黑线f(x),红线f(x)+b(b>0),绿线f(x)+b(b<0)
-8-6-4-202468
-1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
实验过程如下：
x=-2*pi:0.01:2*pi;
y=cos(x.^2);
y1=cos(x.^2)+1;
y2=cos(x.^2)-1;
plot(x,y,'k',x,y1,'r',x,y2,'g')
结论：f(x)+b ,b>0时，f(x)向上平移b 个单位，b<0时，f(x)向下平移|b|个单位。
四．假设有一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有m 个人患病，每个人年平均传染率为k ，治愈率为i ，若一年内等时间间隔检测n 次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？
设第j 检测患病人数为m j ，递归公式如下：
m j =(1+k/n)(1-i/n)m j-1，m 0=m;
上式化为：m j =m(1+k/n)j (1-i/n)j
一年后患病人数为m n =m(1+k/n)n (1-i/n)n
N 趋于无穷大时，实验过程为：
syms n m k i
x=limit(m*(1+k/n)^n*(1-i/n)^n,n,inf)
x=
exp(k)/exp(i)*m
n 趋于无穷大时，极限为e k-i /m ，所以若检测次数无限增加，一年后传染病人数不会无限增加。
-8-6-4-202468
-2-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2。