函数零点易错题、三角函数重难点教师版)
必修4：三角函数易错题精选(已稍微分类,适合中上等学生考前查漏补缺)
三角部分易错题选
一、选择题：
1．设cos1000=k ，则tan800是（ B ）
A 、k k 21-
B 、k k 21--
C 、k k 2
1-± D 、21k
k -±
2．△ABC 中，已知cosA=
135，sinB=5
3
，则cosC 的值为（ A ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65
16
-
1． 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
6
π或π65
D ．
3π或3
2π
2． 在∆ABC 中，3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则∠C 的大小为（ A ） A.
π
6
B.
56
π C.
π
π656
或 D.
π
π323
或 解： ∴选A 注意代入检验。
3．已知tan α tan β是方程x 2
+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2
,2π
π)，则α+β=（ ）
A ．
3
π
B ．
3
π或-π32
C ．-
3
π或π32
D ．-π3
2
正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 4．为了得到函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移
6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3
π
答案: B 5．函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅+=2tan
tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C
2
π D 23π 答案: B
6．曲线y=2sin(x+)4
πcos(x-4
π)和直线y=2
1
在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，
三角函数易错题
高中数学易做易错题(三角函数)
1．若角α终边上一点P 的坐标为（θcos ，θsin ）（Z k k ∈+≠,2
π
πθ）
，则θα-＝ 。
错解：由θαtan tan =得πθαk =-（Z k ∈）。
正解：同时θαsin sin =，θαcos cos =，∴πθαk 2=-（Z k ∈）。
2．已知βαβαtan 3tan ,sin 2sin ==，求α2cos 。
错解：由1cot csc 22=-ββ消去β得1cot 9csc 422=-αα，解得8
3cos 2
=α。
分析：遗漏0sin =α的情形。还有1cos 2=α的情形。
3．已知α、β∈（0，π），13
5)sin(,2
12
tan
=
+=
βαα
，求βcos 。
错解：544
1121
22
tan
12
tan
2sin 2
=+
⨯=+=
ααα，534114112
tan
12tan 1cos 2
2
=+
-=+-=
ααα
∵α、β∈（0，π），∴13
12169
251)(sin 1)cos(2
±
=-±=+-±=+βαβα，
∴αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= ∴65
16cos -
=β，或65
56cos =
β。
分析：∵)sin(13
554sin βαα+=>=
，∴2
π
βα>+，∴13
12)c o s (-=+βα
，∴
65
16cos -
=β。
4．设πα<<0，2
1cos sin =
+αα，则α2cos 的值为 。
错解：4
32sin -=α，∵πα220<<，∴4
72cos ±
=α。
正解：∵0cos ,0sin <>αα且02
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、难题)
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、
难题)
初三《三角函数》经典题汇编（易错题、难题）
概述
本文档以初三数学学科的《三角函数》为主题，整理了一些经
典的题，主要包括易错题和难题。这些题旨在帮助学生加深对三角
函数的理解和应用能力。
题目列表
1. 题目：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另
一条直角边的长度。
难度：易错题
答案：12
2. 题目：已知角A的正弦值为1/2，求角A的度数。
难度：易错题
答案：30°
3. 题目：已知角B的余弦值为3/5，求角B的度数。
难度：易错题
答案：53.13°
4. 题目：已知角C的正切值为2，求角C的度数。
难度：难题
答案：63.43°
5. 题目：已知直角三角形的一条直角边为8，角A的正弦值为3/4，求斜边的长度。
难度：难题
答案：10
6. 题目：已知角A的弧度为π/6，求角A的正弦值。
难度：难题
答案：1/2
7. 题目：已知角B的弧度为5π/6，求角B的正切值。
难度：难题
答案：√3
结论
通过解答这些经典习题，学生可以巩固对三角函数的基本概念和相关计算方法的掌握。这些题目既包括易错题，帮助学生强化知识记忆，又包括难题，提高学生的解题能力。建议学生针对这些题目进行练习，加深对三角函数的理解和应用能力，从而在考试中取得好成绩。
三角函数易错点剖析
ʏ安徽省宿城第一中学 孙桂英
ʏ安徽省合肥市第一中学
毕 飞 三角函数问题是高中数学学习的重要内容之一,因其概念性较强,解题方法灵活等特点,在解题的过程中如果审题不清,概念理解不到位,忽视隐含条件等,很容易导致解题出错,下面就常见的典型错误加以分析,希望引起同学们的重视㊂
易错点一㊁三角函数的定义运算出错
例1 已知角α
的终边上有一点
P (4t ,-3t )(t ʂ0),求α的各三角函数值㊂错解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t )
,且t ʂ0,所以r =|P O |=
(4t )2+(-3t
)2
=5t ㊂所以s i n α=y
r =-3t 5t =-35,c o s α=
x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34
㊂
剖析:设角α的终边上任一点的坐标为
(x ,y ),它与原点的距离为r =x 2+y 2
>
0,则s i n α=y r ,c o s α=x r ,t a n α=y x
(x ʂ0)
㊂当已知坐标中含有参数时,需注意分类讨论㊂错解中有两处错误:(1)去根号后没有加绝对值;(2)没有对t ʂ0这个条件加以分析㊂正解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t )
,且t ʂ0,所以r =|P O |=(4t )2+(-3t
)2
=5|t |
㊂当t >0时,α是第四象限角,则r =|P O |=
5t ,所以s i n α=y
r =-3t 5t =-35,c o s α=
x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34
;
当t <0时,α是第二象限角,则r =|P O |=
三角函数易错题
三角函数易错问题辨析
由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见问题进行分析。
例1、求函数)3
2tan(π
-
=x y 的对称中心。
错解：该函数图象与x 轴的交点为对称中心，由ππ
k x =-
3
2得对称中心为
⎪⎭⎫
⎝⎛+0,62
ππk 。 正解：图象以及渐近线与x 轴的交点为对称中心，由2
32ππ
k x =-
得对称中心为
⎪⎭⎫
⎝⎛+0,64
ππ
k 。 例2、求函数x
x y 2
tan
1tan 2-=的周期。
错解：因为x x
x
y 2tan tan 1tan 22=-=
，所以所求函数的周期为2
π
。
正解：所求函数应化为⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
≠=22tan ππk x x y ，画出图象（注意挖去⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+0,2ππk ）
，则可得所求函数的周期为π。
例3、求函数x y tan =的周期。错解：因为x y tan =的周期为π，所以x y tan =的周期为
2
π
。
正解：由图象可知，x y tan =的周期仍为π。
例4、求函数()2
1sin +
=x x f 的周期。
错解：因为x sin 周期为2π，所以()2
1sin +
=x x f 的周期为π。
正解：由图象可知，()2
1sin +
=x x f 的周期仍为2π。
例5、求函数()x x x f tan cot -=的周期。
错解：因为函数x cot 和函数x tan 的周期均为π，所以()x f 的周期为π。
正解：因为()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≠=-
=
22cot 2cos sin sin cos πk x x x x
三角函数典型超级易错题
三角函数典型超级易错题
三角函数是高中数学中的一个重要章节，涉及到许多概念和性质。虽
然三角函数的基本理论并不难以理解，但由于其具有一些易错点，所以在
做题过程中可能会遇到一些挑战。本文将就三角函数中的一些典型易错题
进行详细分析和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 题目：已知$\tan x=\frac{3}{4}$，求$\sin x$和$\cos x$的值。
解答：首先，根据定义，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以我
们可以得到一个等式：
$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$
接下来，我们可以利用三角函数的定义和性质，将$\sin x$和$\cos
x$之间的关系进行转化。通过三角函数的定义，我们知道$\sin x$和
$\cos x$是有关的：
$$\sin^2x+\cos^2x=1$$
将其变形得到：
$$\sin^2x=1-\cos^2x$$
将上式代入第一个等式中，得到：
$$\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$
进一步整理，得到二次方程：
$$4-4\cos^2x=3\cos x$$
将其变形，得到：
$$4\cos^2x+3\cos x-4=0$$
这是一个关于$\cos x$的一元二次方程，我们可以使用求根公式求解。令$a=4$，$b=3$，$c=-4$，带入求根公式：
$$\cos x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
代入数值，我们可以解得：
$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{9+64}}{8}$$
第五章 三角函数典型易错题集(解析版)
第五章 三角函数典型易错题集
易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ） A ．6
π
B ．
3
π C ．6
π-
D ．3
π
-
【错解】B
将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603
ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，
把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。 【正解】D 【详解】
将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603
π
π-⨯=-. 故选：D.
易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5
x α=
，则tan α=（ ） A ．43-或4
3
B ．34
C ．43
D ．34
-
【错解】A
解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1
cos 5
x α=
， ∴
15x
，
解得：3x =±，
所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33
α-∴=
=-或者44tan 33α-∴==-
点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α
1
5x
=
方程时容易造成两种错误:①
293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是
忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。 【答案】C 【详解】
解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1
易错点05 三角函数-备战2023年高考数学考试易错题(解析版)(全国通用)
易错点05 三角函数
易错点1：三角函数的定义
此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。 易错点2：三角函数图象变换 函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是
先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平
移. 易错点3：由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法 （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22
M m M m
A B -+==
. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2π
T
ω=
. （3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕ
ω
-
作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=
π2
； “第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π
2
； “第五点”为ωx ＋φ=2π. 易错点4： 给值（式）求角（值）
函数零点易错题三角函数重难点教师版
函数零点易错题 三角函数重难点 教师版
函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误
例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ
错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．
正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ．
点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求．
2． 因函数的图象不连续而致误
例２．函数()x
x x f 1+=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ． 错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x
x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．
正解：函数的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0
高三复习中三角函数易错题型
《 三角函数》易错题分析
1 、 （典型例题)函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 ＿
[考场错解] 填2
1-π
∵函数y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->-).0(sin ,12sin 2
1).0(sin ,12sin 2
1
x x x x
∴函数的最小正周期为T=π
π
=2
2.最大值为-2
1
∴最小正周期与最大值的和是2
1-π.
[专家把脉]上面解答错在最小正周期的计算，应结合其图象考虑. 对症下荮填2
12-π
∵ y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤---+≤-)22(,12sin 2
1)22(,12sin 2
1
ππππππk x k x k k x 作出其图
像知原函数的最小正周其为2π，最大值为-2
1.故最小正周期和最大
值之和为2π-2
1.
2．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . [考场错解] 填[0，3]
∵f(x)=⎩⎨
⎧∈-∈]
2,(,sin ]
,0[,sin 3πππx x x x ∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点， ∴k ∈[0，3]．
[专家把脉] 上面解答求出k 的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k 有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k 有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解． [对症下药] 填(1，3)
∵f(x)⎩⎨
⎧∈--∈]
2,(,sin ]
,0(,sin 3πππx x x x 作出其图像如图
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案解析
新高中数学《三角函数与解三角形》专题解析
一、选择题
1．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．725,26⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣
3
π
）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：
令2sin （ωx ﹣
3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω
，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =
322ππωω+，x B =46ππ
ωω
+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，
即
322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
2．已知函数(
)sin f x a x x =的一条对称轴为56
x π
=
，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：
三角函数典型超级易错题
三角函数典型超级易错题
在学习三角函数时，有一些典型的超级易错题需要我们格外注意。这些题目通常会使用一些常见的三角函数关系和恒等式，但可能涉及一些巧妙的代数推导或几何图形的变换，容易让人产生困惑。在本篇文章中，我将针对其中的一个典型题目进行详细分析，帮助大家理解和解答。
题目：已知角A满足cos(A) = sin(75°)，求A的取值范围。
Step 1：将sin(75°)转化为cos的形式
根据三角函数的基本性质，我们知道sin(90°-θ) = cos(θ)。因此，sin(75°) = cos(90°-75°) = cos(15°)。
Step 2：利用三角函数之间的恒等式化简
根据三角函数之间的一些常见的恒等式，我们可以化简cos(A) = cos(15°)，然后将A的取值范围进行推导。
首先，根据cos函数的周期性质，我们可以得到cos(A) = cos(2πn ± 15°)，其中n为整数。此时，我们可以得到一个取值范围：A = 2πn ± 15°，其中n为整数。
但需要注意的是，余弦函数在一周期内是一个有界函数，其取值范围在[-1,1]之间。因此，我们需要利用这个限制条件对取值范围进行进一步的推导。
对于cos(A) = cos(15°)，我们可以通过在单位圆上绘制出cosθ = cos(15°)的图像，注意到cos取值范围在[-1, 1]之间，从而推导出A的取值范围。
在以原点为中心的单位圆上，我们找到cos(15°)所对应的角度。由
于cos(15°) = cos(-15°)，我们只需在单位圆上找到这两个角度对应
三角函数易错题
三角函数的易错题
1.题目：求函数y = 2sin(πx) 在区间[-2, 2] 上的零点个数。
分析：首先，考虑函数y=2sin(πx) 在x=±1 和x=±23 处的取值，因为这些点是正弦函数 sin(πx) 的周期性对称点。然后，通过计
算这些点的函数值，可以确定在这些点上函数是否为零。
解答：当x=−2时，y=2sin(−πx)=−2sin(2π)=0。当x=−1时，y=2sin(−π)=−2。当x=0 时，y=2sin(0)=0。当x=21 时，
y=2sin(2π)=2。当x=1 时，y=2sin(π)=2。当x=23 时，
y=2sin(23π)=−2。当x=2 时，y=2sin(2π)=0。根据这些计算结
果，函数在区间[−2,2]上有3 个零点：−2,0,2。
2.题目：已知 cos(75∘+α)=−53，则 sin(150∘−α) 的值为_______．
分析：首先，利用诱导公式将 sin(150∘−α) 转换
为−cos(15∘+α)。然后，利用已知的 cos(75∘+α) 值来求
解−cos(15∘+α)。
解答：sin(150∘−α)=−cos(15∘+α)
=−cos[90∘−(75∘+α)]
=−sin(75∘+α)
=−(−53)=53
故答案为 53。
三角函数的易错题专题及答案
三角函数的易错题专题及答案
三角函数易错题专题
一、选择题
1.___α的终边落在直线x+y=0上，则sinα1-cos2α的值等于( )
解析：由于终边在直线x+y=0上，所以sinα=-cosα，代入原式得：-cosα-cos2α。再利用余弦的半角公式cos2α=2cos^2α-1，得到原式化简为-2cos^2α-cosα。选项B。
2.将函数y=sin2x的图像向右平移π/4个单位，得到的解析式为( )
解析：向右平移π/4个单位相当于将原来的自变量x替换成x-π/8，所以新的解析式为y=sin2(x-π/8)。根据正弦的平移公式sin(x-π/8)=sinxcos(π/8)-cosxsin(π/8)=cos(π/8)sinx-
sin(π/8)cosx，所以新的解析式为y=cos(π/8)sin2x-sin(π/8)cos2x。选项D。
3.在△ABC中，锐角A满足sin4A-cos4A≤sinA-cosA，则( )
解析：利用正弦的平方和余弦的平方公式，将不等式右边化简为2sin^2A-2sinAcosA，左边化简为2sin^2A-2cos^2A。所
以原不等式化简为sin^2A+2cos^2A-2sinAcosA≤0，即(sinA-cosA)^2≤0，只有当sinA=cosA时等号成立。所以A=π/4，选
项B。
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为( )
解析：根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入数据得sinB=√3/2，所以B=π/3或5π/3.由于三角形有两解，所以B的
三角函数易错题解析
23、已知定义在区间[-，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，
当x[-，]时，函数f(x)=Asin(x+)(A>0, >0,-<<)，其图象如图所示。
(1)求函数y=f(x)在[-，]的表达式；
(2)求方程f(x)=的解。
解：(1)由图象知A=1，T=4()=2，=
在x[-，]时 将(，1)代入f(x)得f()=sin(+)=1
而原函数的图象与的图象大致相同 只是在上图中去掉所对应的点 从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因
正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一 定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（ ）。A. B. C.
D. 。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解 法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观 察，从而求得周期。 例题9 求函数的值域 答案：原函数可化为 设则 则， 当 错解： 错因：不考虑换元后新元t的范围。 例题10 已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区 间[0，]上是单调函数，求和的值。 正解：由是偶函数，得 故
17、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____
答案：0<ω≤ 点评：
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数重点易错题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数重点易错题
单选题
1、若tanθ=2，则
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）
A ．2
5B ．−2
5C ．6
5D ．−6
5 答案：A
分析：由二倍角正弦公式和同角关系将
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ
转化为含tanθ的表达式，由此可得其值.
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ
=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)
sinθ−cosθ=
sinθ(sinθ−cosθ)2
sinθ−cosθ
=
sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ
=
tan 2θ−tanθtan 2θ+1
=2
5．
故选：A.
2、已知扇形的圆心角为3π
4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C
解析：利用S =1
2αr 2即可求得结论. 由扇形面积公式得：S =1
2×
3π4
×42=6π.
故选：C.
3、要得到函数y =3sin(2x +π
4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（ ）. A ．向左平移π
4
个单位长度B ．向右平移π
4
个单位长度
C ．向左平移π8个单位长度
D ．向右平移π
8个单位长度
分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可. 将y =3sin2x 向左移动π
8个单位长度有y =3sin2(x +π
8)=3sin(2x +π
4)，
∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π
8
个单位长度，即可得y =3sin(2x +π
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函数零点易错题 三角函数重难点 教师版
函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．
1． 因＂望文生义＂而致误
例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ
错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数
()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．
正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ．
点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求．
2． 因函数的图象不连续而致误
例２．函数()x
x x f 1
+=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x
x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0 =+ x x 得012=+x 方程无实数解． 点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个 零点的往往借助于函数的单调性．若函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0 例３．判定函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内是否有零点． 错解：因为()()111-==-f f ，所以()()011>-f f ，函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数()x f 在区间[]b a ,上的函数图像是连续曲线，且()()0>b f a f ，也可能在[]b a ,内有零点．如函数 ()12-=x x g 在区间[]1,1-上有()()011>-g g ，但在[]1,1-内有零点2 1±=x ． 正解：当∈x []1,1-时，()132-≤-=x x f ，函数()x f y =在[]1,1-上的图象与x 轴没有交点，即函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 法二：由032=-x 得∉±=2 3x []1,1-，故函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数2)1(-=x y 有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即()()0 例４．已知二次函数()m x m x x f 2)1(2+--=在[]1,0上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围． 错解：由函数的零点的性质得()()010 错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在[]1,0上有二重根；②终点的函数值可能为０． 正解：⑴当方程02)1(2=+--m x m x 在[]1,0上有两个相等实根时， ()0812 =--=∆m m 且12 1 0<-< m ，此时无解． ⑵当方程02)1(2=+--m x m x 有两个不相等的实根时， ① 有且只有一根在[]1,0上时，有()()010 点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化． 本文已在《学苑新报》上发表 方程的根与函数的零点 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 1.C 2.D 3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数. ∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B. 4. 求证方程231 x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 4. 证明：设函数2()31 x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数. 而0(0)3210f =-=-<，115 (1)3022 f =-=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程 231x x x -= +的实根个数. 5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 . （2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点. ∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<， 解得1 2 a > . （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤， ∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得2 3m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2 (,]3 -∞-. 6. 已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 6. 解：令 2 ()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是