新人教版八年级下册18.2.3正方形的定义与性质公开课PPT
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18.2.3 正方形
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到 C D 位置，且 AD AB 时，此 时的图形又变成了什么特殊的图形吗？
图形的 对称性
中心对称 既是中心对 既是中心对 称图形又是 称图形又是 图形 轴对称图形 轴对称图形
典例解析
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
B
C
4、 如图，在正方形ABCD中，点E在 对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为 什么？ D C 解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴，而点E在对称轴 上，点B为点D关于AC 的对称点， 所以 BE=DE
E A B
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
正方形与其它四边形的关系
正方形是最特殊的平行四边形 四边形 正方形是特殊的矩形 正方形是特殊的菱形 平行四边形
矩形
正 方 菱形 形
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2则AC=
2 , 2
2
O
4 正方形的面积S=______
B
2
C
3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
等腰直角三角形（
判断题:
（6）正方形一定是矩形．（ √ ） （7）正方形一定是菱形．（ √ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 √ ） 形． （
√
）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
×
× ×
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
正方形的定义：
有一组邻边相等 的矩形是正方形。 _________________ 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形。 有一组邻边相等且有一个角是直角 _______________________________ 的平行四边形是正方形。
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一
点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90°AD=CD ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠ ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD＝45°
6、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边 在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H 。
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
对角线
对角线相等且互 对角线互相 相垂直平分，每 垂直，每条 条对角线平分一 对角线平分 组对角 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2)
BH⊥AF
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连
结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEபைடு நூலகம்＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到 C D 位置，且 AD AB 时，此 时的图形又变成了什么特殊的图形吗？
图形的 对称性
中心对称 既是中心对 既是中心对 称图形又是 称图形又是 图形 轴对称图形 轴对称图形
典例解析
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
B
C
4、 如图，在正方形ABCD中，点E在 对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为 什么？ D C 解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴，而点E在对称轴 上，点B为点D关于AC 的对称点， 所以 BE=DE
E A B
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
正方形与其它四边形的关系
正方形是最特殊的平行四边形 四边形 正方形是特殊的矩形 正方形是特殊的菱形 平行四边形
矩形
正 方 菱形 形
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2则AC=
2 , 2
2
O
4 正方形的面积S=______
B
2
C
3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
等腰直角三角形（
判断题:
（6）正方形一定是矩形．（ √ ） （7）正方形一定是菱形．（ √ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 √ ） 形． （
√
）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
×
× ×
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
正方形的定义：
有一组邻边相等 的矩形是正方形。 _________________ 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形。 有一组邻边相等且有一个角是直角 _______________________________ 的平行四边形是正方形。
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一
点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90°AD=CD ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠ ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD＝45°
6、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边 在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H 。
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
对角线
对角线相等且互 对角线互相 相垂直平分，每 垂直，每条 条对角线平分一 对角线平分 组对角 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2)
BH⊥AF
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连
结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEபைடு நூலகம்＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC