离散数学图论课件

定义 一个(n，m)(n2)的简单无向图，若它 为n-1次正则图，则称该(n，m)图为无向简单 完全图，简称完全图,记为Kn。
有向完全图
定理 设无向完全图G有n个顶点，则G有n(n-1)/2条边。
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例：
例：如图 (a)、(b)、(c)、(d)所示，它们分别是无向的简 单完全图K3，K4，K5和有向的简单完全图K3。
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例：
例：在下图中，给出了图G以及它的真子图G’和生成子图 G’’。G’是结点集{v1，v2，v4，v5，v6}的导出子图。
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五、补图
定义 设G＝<V，E>为具有n个结点的简单图,从完 全图Kn中删去G中的所有的边而得到的图称为G的 补图(或G的补)，记为G 。
定义 Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>是图，Ｇ’＝<Ｖ’，Ε’>是 Ｇ的子图，Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ” 是Ｅ”中边所 关联的所有顶点集合，则Ｇ”＝<Ｖ”，Ｅ”>称 为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。
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定理
1.在无向图G＝<V，E>中，所有结点的度数的总和等于
边数的两倍，即：
deg(v) 2m；
2. 在有向图G＝<V，E>中v，V所有结点的出度之和等于所
有结点的入度之和，所有结点的度数的总和等于边数
的两倍，即：
deg (v) deg (v) m，
vV
vV
deg(v) deg (v) deg (v) 2m。
一、图的术语
定义 一个图是一个三元组<V(G),E(G),φG>,简记为G＝<V,E>， 其中：
1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个非空集合,vi(i＝1,2,3,…,n)称为结 点,简称点,V为结点集；
2) E ＝ {e1,e2,e3,…,em} 是 一 个 有 限 集 ， ei(i ＝ 1,2,3,…,m) 称 为 边,E为边集，E中的每个元素都有V中的结点对（有序偶 或无序偶）与之对应。
vV
vV
vV
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定理
定理 在图G＝<V，E>中，其V＝{v1,v2,v3,…,vn}，E＝ {e1，e2，……，em}，度数为奇数的结点个数为偶数。
证明 V1＝{v|vV且deg(v)＝奇数}，V2＝{v|vV且 deg(v)＝偶数}。显然，V1∩V2＝Φ，且V1∪V2＝V，于是
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四、子图
定义 设有图G＝<V，E>和图G1＝<V1，E1>，若G和 G1满足：
若V1V，E1E，则称G1是G的子图，记为G1G； 若G1G，且G1G(即V1V或E1E)，则称G1是G的真
子图，记为G1G；
定义 若V1＝V，E1E，则称G1是G的生成子图；
定义 若V2V，V2Φ，以V2为结点集，以两个端点均 在V2中的边的全体为边集的G的子图称为V2导出的 子图，简称G的导出子图。
4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
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续：
9) 含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图； 10) 每条边都是无向边的图称为无向图； 11) 每条边都是有向边的图称为有向图； 12) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。 13) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为
奇数，ห้องสมุดไป่ตู้称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数，
则称此结点为偶度数结点。
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例：
例： deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1； deg(v2)＝3，deg+(v2)＝2，deg-(v2)＝1； deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3； deg(v4)＝deg+(v4)＝deg-(v4)＝0； deg(v5)＝1，deg+(v5)＝0，deg-(v5)＝1；
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例： (a)
例： (b)
(c)
(d)
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例：
例：
(e)
(f)
(g)
(h)
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例：
(i)
例： (j)
(k)
(l)
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例：
(m)
例： (n)
(o)
(p)
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二、度数
定义 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数，称为该结点的度数，记为deg(v)；
有： deg(v) deg(v) deg(v) 2m。
vV
vV1
vV2
由于上式中的2m和偶度数结点度数之和均为偶数，因而
奇数的结点个数也为偶数。于是|V1|为偶数(因为V1中的 结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
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三、完全图
定义 在图G＝<V，E>中，若所有结点的度数均有相 同度数d，则称此图为d次正则图。
终点的几条边，则这几条边称为平行边，在无向图中，两个
结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行 边，两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj)或<vi， vj>的重数； 14) 含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图；无自回路 的线图称为简单图。
15) 赋权图G是一个三元组<V,E,g>或四元组<V,E,f,g>，其中，V 是结点集合，E是边的集合，g是从E到非负实数集合的函数。
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图的术语
1) 若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为 e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或
弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是 边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
定义 在有向图G＝<V，E>中，以结点v(vV)为始点引出的 边的条数，称为该结点的引出度数,简称出度,记为deg+(v)； 以结点v(vV)为终点引入的边的条数，称为该结点的引 入度数，简称入度,记为deg-(v)；而结点的出度和入度之 和称为该结点的度数，记为deg(v)，即 deg(v)＝deg+(v)+deg-(v)；