2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2：第三章 章末复习课 Word版含答案

章末复习课

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1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．

2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．

3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．

4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.

5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量．

6．不全为实数的两个复数不能比较大小．

7．复平面的虚轴包括原点．

专题一复数的概念

解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x ＋y i(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．

[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a，则a

b

的值为________．

(2)满足方程x 2－2x －3＋(9y 2

－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点有________． 解析：(1)因为(1＋i)(1－b i)＝a (a ，b ∈R)，

则1＋b ＋i(1－b )＝a ，

因此⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以a b

＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，所以⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3或－1，y ＝13，

所以点(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，⎝

⎛⎭⎪⎫－1，13. 答案：(1)2 (2)2个

归纳升华

1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．

2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想．

[变式训练] 设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i

为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12

解析：1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（2a ＋1）i 5

，由于该复数为纯虚数，所以2－a ＝0，且2a ＋1≠0，因此a ＝2.

答案：A

专题二 复数的四则运算及几何意义

历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．

复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．

[例2] (1)设z ＝11＋i ＋i ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－i 1＋i 2，则|z |＝________． (2)在复平面内，复数z ＝2i 1＋i

(i 为虚数单位)的共轭复数对应点为A ，点A 关于原点O

的对称点为B ，求：

①点A 所在的象限；

②向量AB →

对应的复数．

(1)解析：因为

11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋i 2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2i 22＝(－i)2＝－1. 所以z ＝12＋i 2－1＝－12＋i 2

. 因此|z |＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22 (2)解：①z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）

＝1＋i ， 所以z 的共轭复数＝1－i ，

所以点A (1，－1)位于第四象限．

②又点A ，B 关于原点O 对称．

因为点B 的坐标为B (－1，1)，则z B ＝－1＋i

所以向量AB →

对应的复数为z B －z A ＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i.

归纳升华

复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：

(1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.(2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.

(3)(1±i)2＝±2i.(4)1i ＝－i.(5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i

＝－i. (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．

[变式训练] 设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5

＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a

＋(2a －5)i(a ∈R)，若z －1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→²OZ 2→的值． 解：依题意得z －1＋z 2为实数，又z －1＝3a ＋5

－(10－a 2)i ， 所以z －1＋z 2＝3a ＋5＋21－a

＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0，

则a 2

＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.

又a ＋5≠0，所以a ＝3.

此时z 1＝38

＋i ，z 2＝－1＋i. 所以OZ 1→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)． 所以OZ 1→²OZ 2→＝38³(－1)＋1³1＝58

. 专题三 共轭复数与复数的模

共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝

.

(2)z ∈R ⇔＝z . (3)z ≠0，z 为纯虚数⇔＝－z .

[例3] 已知z －1z ＋1

为纯虚数，且(z ＋1)( ＋1)＝|z |2，求复数z .

解：由(z ＋1)( ＋1)＝|z |2⇒z ＋z ＝－1.①

由于z －1z ＋1

为纯虚数， 所以z －1z ＋1＋＝0⇒z ²－1＝0.②

设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入①②得

a ＝－12

，a 2＋b 2＝1.

所以a ＝－12，b ＝±32

. 所以z ＝－12±32

i.

归纳升华

共轭复数的性质

(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －

⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．

(3)若z ≠0且z ＋z －

＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．