2016年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.3、实践与探索课件6
华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次
学习目标： (1) 会求出二次函数 y ax2 bx ca 0 与x轴、y轴的交点
的坐标；
(2) 了解二次函数 y ax2 bx ca 0与一元二次方程、一元
二次不等式之间的关系； (3) 在具体的画图象及解决问题过程中，培养数学模型思想 在共同探究中增强应用数学的意识，民展应用意识。
探究与归纳： 问题2：二次函数 y ax2 bx ca 0 与相应的一元二次方 程 ax2 bx c 0a 0 之间有怎样的关系？
归纳：二次函数 y ax2 bx ca 0与x轴的交点的横坐标 等于相应的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的实数根； 二次函数 y ax2 bx ca 0 与x轴的交点的横坐标的正负 与一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的实数根的正负一致。 二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个数与相应 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0的实数根的个数有关。
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
分析: (2) 两个交点都在原点的左侧，也就是方程
x2 m 2x m 1 0 有两个负实数根，因而必须符合条
件① △>0；② x1 x2 0 ；③ x1 x2 0 ，综合以上条件 可解得所求m的值的范围。
解: 由 x1 x2 0 得：m-2<0 ∴ m<2 又 ∵ x1 x2 0 得：-m-1>0 ∴ m<-1
探究与归纳： 问题1：二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个
数取决于什么？
归纳：二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个
华东师大版九年级下册数学课件26.3实践与探索 (共19张PPT)
y x2 6x 9
y x2 2x 2
做一做 1.
求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精确到0.1） 分析，一元二次方程 x2 2x 1 0 的根就是：抛物线 y x2 2x 1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解得：x1 -3 x2 2
所以,函数y x2 x 6的图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 y x2 6x 9的图象和二次 函数 y x2 2x 2 的图象,分别说出一元二次
方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0的根的情况.
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
解：设二次函数 y x2 2x 1
作出函数图象 y x2 2x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
九年级数学下册 26.3 实践与探索(第1课时)课件 (新版)华东师大版
能力(nénglì)拓展
已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查(diào chá) 反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出 10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定 价才能使利润最大？
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于 40%又不得高于60%，则销售单价(dānjià)定为 多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多 少？
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以(suǒyǐ)定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125
元.
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价(dìng jià)为65元时 可
第十一页，共15页。
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销 售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会 导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20 件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得(huòdé)最大利润 ?
解：设售价提高x元时，半月内获得(huòdé)的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
第十二页，共15页。
新(chuàngxīn)学习
第十五页，共15页。
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均 结600个橙子.现准备多种一些橙子树以 提高产量,但是如果多种树,那么树之间的 距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计(gūjì),每多种一棵树,平均 每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市 场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果 园的总产值最高，果园的总产值最高约 为多少？
九年级数学下册 26.3 实践与探索(第4课时)课件 (新版)华东师大版
请问这位同学(tóng xué)的跳远成绩是 多少已？知函数(hánshù)值y=o，求对应自变量
x.
高度h(m)与时间t(s)之间具有
的关系:
h=20t-5t2
球从飞出到落地需要多少时间？
已知函数值h=o，求对应自变量t.
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ax +bx2+c=0 (a≠0).
26.3 实践与探索(tàn suǒ) (第4课时)
第一页，共14页。
s表示(biǎoshì)离天 t台表的示距(b离iǎ;oshì)行驶的
时间.
s/km
120
s= - 60t+120(0≤t ≤2)
0
t/h
第二页，共14页。
探究新知
高度(gāodù)y(m)与水平距 离x(m)之间具有的关系:
1.不与x轴相交(xiāngjiāo)的D抛物线是( )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图
象与x轴交点(jiāodiǎnC)情况是( )
A 无交点(jiāodiǎn) 交点(jiāodiǎn)
第三页，共14页。
探究新知
h=20t-5t2
(1)球的飞行高度能否达到15m? 若能,需要(xūyào)多少飞行时间? 已知函数(hánshù)值h=15，求对应自变
量t. (2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少(duōshǎo)飞行时间?
华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次
5
当X=1时，y有最大值，最大值为 9
5
∴
喷出的水流距水平面的最大高度为
9 5
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么
水池的半径至少为多少时？才能使喷出的水流都落在水池
内？
A
y x2 2x 4 5
y
A
O 图①
O 图②
x
思考：求水池的半径，实际上就是要求什么？
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当 水面宽AB=1.6米，涵洞顶点与水面的距离为2.4米，这时， 离开水面1.5米处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1米。
解: (2) ∵ DE⊥AC，DF⊥BC
A
∴ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
∴
DE AE BC AC
即： x 8 y
48
∴ y=8-2x （0<x<4）
D
E
BF
C
（1）如图，已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8， 点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别 为点E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y。 (1) 用含y的代数式表示AE； (2) 求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3) 设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值。
x
将B点坐标代入抛物线，得：
E FD
∴ –2.4=a×0.82 ∴ a 15
4
∴ 抛物线的解析式为 y 15 x2
4
由题意，得：CF=1.5
A
C
B
设D(m,-1.5)
将D(m,-1.5)代入抛物线
y
15 x2 4
，得：
2实践与探索课件华东师大版九年级数学下册
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
当 x 100 5 时,y 20(5)2 100 5 6000 6125.
2 (20) 2
2
2
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
学习目标
自主学习
合作探究
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二 利用二次函数解决商品利润问题
问题探究2：降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
20-x
300
300+20x
6000
问题提出：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 应：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：销售利润问题中常用的数量关系： （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
第26章 二次函数 26.3 实践与探索
第1课时
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题. 2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学 模型选择最优化方案. 3.体会数学建模的思想,感受数学的实际应用价值.
学习目标
华东师大版九年级下册数学26.3实践与探索(华师大版全)
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点. 点A、C的坐标分别 是（－1，0）、（0， ）. 3
2
(1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动 点，求△ABP面积的最大值.
灿若寒星
灿若寒星
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴 交于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、 C的坐标分别是（－1，0）、（0， 3 ）. (1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一 个动点，求△ABP面积的最大值.
（2）解：由 y=-x2 +2x+5/4=-(x-1)2 +9/4=0时 解得x1=5/2 ,x2=-1/2(不符合题意，舍去）
答：水池的半径至少为5/2米时，才能使喷出的 水流都落在水池内。
灿若寒星
1、如图所示是一学生推铅球时，铅
球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数 关系式 y 1 x2 2 x 5 。
12 3 3
问：此学生把铅球推出多远？。
y
分析：此题实际上求抛物线与x轴的交点
∵y 0
∴ 1 x2 2 x 5 0
12
33
x2 8x 20 0
(x 10)(x 2) 0
o
x
x1 10
x2 2
(舍去)
∴此同学把铅球推出了10米
灿若寒知二次函数y=2(x+1)2+1,(-2≤x≤1），
则y的最小值是 1
，y的最大值
是9 。
灿若寒星
总结：
• 二次函数应用于抛物线的实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧 道、涵洞等。
华师大版九年级数学下册第二十六章《实践与探索(2)》精品课件
xx
窗户面积S
x2
2xy 2
2x
15
7x 4
4
x
x 2
2
y
7
2
x2
15
2
x
7
x
15
2
2 14
225 . 56
或用公式 :当x b 2a
15 14
1.07时, y最大值
4ac b2 4a
225 56
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.02.
2. B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出 发，A船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，B 船以每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船 相距最近？最近距离是多少？
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x (0<x<6）
(2)当x＝
b 2a
时3 ，S最大值＝
4ac＝3b62 （平方米）
4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
B
C
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例．一养鸡专业户计划用 116m长的篱笆围成如图所 示的三间长方形鸡舍，门 MN宽2m，门PQ和RS的宽都 是1m，怎样设计才能使围 成的鸡舍面积最大？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
华师大版九年级数学下册第二十六章《实践与探索(3)》课件
练 顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
习
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手 时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水 平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线 为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?
(选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5
∴这条抛物线所表示的二Leabharlann 次函数为:y0.5x2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
30.5x2
x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 (2 6 4)m
返回
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线
1、使教育过程成为一种艺术的事业。 2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 7:09:27 AM 3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
华师大版九年级数学下册《26.3.5实践与探索面积问题》PPT课件
bcm
┐
A
40cBm
N
3
或用公式 :当x
b 2a
15时,
y最大值
4ac b2 4a
300.
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其
中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
设点P的坐标为(x0, y0)
∵ S △ABC =│4-(-2)│×│-3│÷2=9
∴ S △ABP =│4-(-2)│×│y0│÷2=9
∴│y0│=3 即 y0= ±3
y
当y0=3时，
3/8x2-3/4x-3=3
解得 x1 1 17 x2 1 17
A
B
-2 0
4x
当y0= - 3时，
-3 C
3/8x2-3/4x-3=-3 解得x1=0，x2=2
4
xx
2.窗户面积S
x 2
2xy
2x15 7x x x2
7 x2 15 x 22
或用公式 :当x
b 2a
7
2 x
15
2
215
14 1.07时,
14
4 225 .
56
y最大值
4ac b2 4a
2y 225
56
4.02.
4.如果抛物线y= -x2+2(m-1)x+m+1与x轴交 于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B 点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的 长是b．
二次函数y ax2 bx c(a 0)在y轴 上的截距是c,则抛物线与y轴的交点 坐标是(0,c)
26.3 第1课时 抛物线形实际问题(课件)九年级数学下册(华东师大版)
1 m2 3 2.25 ， 整理得，m2 9 ，解得 m 3（舍去）或 m 3 ，
12
∴平移后抛物线顶点为3,3 ，∴抛物线应向右平移 1 个单位．
课堂练当习堂练习
1. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在 某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可 卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价 应定为 25 元.
解：设每件玩具的售价定为x元时，月销售利润
恰为2160元，根据题意，得
x 20 200 10 x 30 2160
整理，得 x2 70x 1216 0 解得 x1 38，x2 32 ∵每件玩具售价不能高于40元，答：每件玩具
的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160
元；
（2）解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润
为迎佳节，拟在图①桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的
灯笼，如图③.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m； 素 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m； 材 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后 2 成轴对称分布．
问题解决
任 务
1
确定桥 在图②中建立合适的直角坐标系，求抛物 拱形状 线的函数表达式.
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)，
顶点 B 坐标为 (1，2.25).
数学化
●
D
y ● B(1，2.25) A●(0，1.25)
x
o
●
C
设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定
系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25.
华师大版九年级数学下册第二十六章《实践与探索(1)》公开课课件
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小值，是 1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
4ac b2
物线开口向 上 ，有最低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值，
4ac b2
是 4a 。
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最小值是 5 。
∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平 均结600个橙子.现准备多种一些橙子树 以提高产量,但是如果多种树,那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均 每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市 场售价约2元，问增种多少棵橙子树， 果园的总产值最高，果园的总产值最高 约为多少？
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
合作交流
华师大版九年级数学下册教案：26.3 实践与探索
26．3 实践与探索第1课时 二次函数的应用教学目标一、基本目标会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】利用二次函数解决实际问题的步骤． 【教学难点】读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，当x ＝－b2a 时，函数值y 有最小值，其值为4ac －b 24a ；若a ＜0，当x ＝－b 2a 时，函数值y 有最大值，其值为4ac －b 24a.2．建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出所求函数的解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析判断并进行相关的计算． 3．常见的二次函数模型：直观图象式：直接由物体运动的轨迹，如喷出的水流、涵洞等建立数学模型解决问题． 情景应用式：根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题． 几何综合式：与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25 m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．根据设计图纸已知：在图2所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54.(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)、与x 轴、y 轴的交点，解答题目的问题．【解答】(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． (2)解方程－x 2＋2x ＋54＝0，得x 1＝－12，x 2＝52，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，0， ∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．【例2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m?【互动探索】(引发学生思考)根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y ＝ax 2.根据AB ＝1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m ，那么B 点坐标应该是(0.8，－2.4)，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D 的坐标及ED 的长．【解答】设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2(a ＜0)．由题意，得点B在抛物线上，且B(0.8，－2.4)，将B(0.8，－2.4)代入y＝ax2(a＜0)，解得a＝－154，∴所求函数解析式为y＝－154x2.设点D的坐标为(x，－0.9)(x>0)，则有－0.9＝－154x 2，解得x＝65，故DE宽度为265＜1，∴涵洞宽ED不超过1 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：球出边线了．【教师点拨】抛物线的解析式为y＝－245(x－9)2＋5.5.代入C点的纵坐标0，得x≈20.12＞18，所以球出边线了．2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管(如图1)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的坐标系进行计算．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．图1图2解：(1)y ＝－12x 2＋12. (2)80米．3．如图，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：(1)抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5.(2)0.2 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】某跳水运动员在进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023 m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时运动员在距水面高度5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．【互动探索】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式．(2)要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5 m 以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为335m 时的纵坐标即可．【解答】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为(0，0)、(2，－10)，且顶点A 的纵坐标为23，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4ac －b 24a ＝23，4a ＋2b ＋c ＝－10.解得⎩⎨⎧ a ＝－256，b ＝103，c ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－2，c ＝0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－b2a ＞0，∴a ＝－256，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－256x 2＋103x .(2)此次试跳会出现失误．理由如下： 由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，即当x ＝1.6时，y ＝⎝⎛⎭⎫－256×⎝⎛⎭⎫852＋103×85＝－163， 此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5.因此，此次试跳会出现失误．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的关系教学目标一、基本目标1．经历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．2．理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y ＝h(h是实数)交点的横坐标．二、重难点目标【教学重点】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．【教学难点】用图象法解一元二次不等式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ (1)方程x 2＋x －2＝0的根是x 1＝－2，x 2＝1； (2)方程x 2－6x ＋9＝0的根是x 1＝x 2＝3； (3)方程x 2－x ＋1＝0的根的情况是无实根.4．若二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ＋3，则其函数图象与x 轴交点的情况是没有交点. 5．给出三个二次函数：①y ＝x 2－3x ＋2；②y ＝x 2－x ＋1；③y ＝x 2－2x ＋1. 它们的图象分别为(1)观察图象与x 轴的交点个数，分别是2个、0个、1个． (2)你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的情况有关．(3)能否利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象寻找方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解？能．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】画出函数y ＝x 2－x －34的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？(2)当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系？(3)x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0?【互动探索】(引发学生思考)数形结合法：画出函数图象→根据所画图象解决问题． 【解答】函数图象如图所示：(1)图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，0、⎝⎛⎭⎫32，0，与y 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－34. (2)当x ＝－12或x ＝32时，y ＝0，x 的取值与方程x 2－x －34＝0的解相同．(3)当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0；当－12＜x ＜32时，y ＜0.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法：(1)二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．活动2巩固练习(学生独学)1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－3，x2＝1.2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点是(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.4．已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)通过观察图象，在x＞0及当y≥－6时，试求x的取值范围．解：(1)∵y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，∴图象开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－8)．画出的函数图象如下图所示：(2)∵对称轴x＝1，图象开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．(3)由图知，点(0，－6)关于x＝1的对称点为(2，－6)，∴在x＞0及当y≥－6时，x的取值范围为x≥2.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C，求四边形ABCD的面积．【互动探索】(1)要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断方法．(2)由a＝4→确定A、B、C、D的坐标→求四边形ABCD的面积．【解答】(1)证明：令y＝x2－(a－1)x＋a－2＝0.∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，∴不论a 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)由题可知，当a ＝4时，y ＝x 2－3x ＋2. 配方，得y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14， ∴A ⎝⎛⎭⎫32，－14. 当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∴B (1，0)、D (2，0)． 当x ＝0时，y ＝2， ∴C (0，2)，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：0，0个根．练习设计请完成本课时对应训练！第3课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的根教学目标一、基本目标1．掌握方程与函数间的转化．2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．二、重难点目标【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】用图象法求解一元二次方程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？由于作图或观察可能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．2．根据二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：(1)直接作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(3)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＝－bx－c，再分别作出抛物线y1＝ax2和直线y2＝－bx－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．在难以读出交点的坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近似根．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x2＋2x－3＝0；(2)2x2－5x＋2＝0.【互动探索】(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交点坐标即可．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图象，得到它们的交点(－3，9)、(1，1)，如图1，则方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.(2)先把方程2x 2－5x ＋2＝0化为x 2－52x ＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝52x －1的图象，如图2， 得到它们的交点⎝⎛⎭⎫12，14、(2，4)，则方程2x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝12，x 2＝2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的近似解时，可先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0化为x 2＋b a x ＋c a ＝0，然后分别画出函数y ＝x 2和y ＝－b a x －c a的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解．【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋32，y ＝x 2；(2)⎩⎨⎧y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x . 【互动探索】(引发学生思考)(1)可以通过直接画出函数y ＝－12x ＋32和y ＝x 2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－12x ＋32的图象，如图1， 得到它们的交点⎝⎛⎭⎫－32，94、(1，1)， 则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋32，y ＝x 2的解为⎩⎨⎧ x 1＝－32，y 1＝94，⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝1. (2)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2＋2x 和y ＝3x ＋6的图象，如图2，得到它们的交点(－2，0)、(3，15)，则方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x 的解为⎩⎨⎧ x 1＝－2，y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝15.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.62．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 2＝kx ＋b (k ≠0)的图象交于A (－2，4)、B (8，2)，求能使y 1<y 2成立的x 的取值范围．解：－2＜x ＜8.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。