26.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.2.2 指数函数的性质(实际应用题)(4)

2.2.2 指数函数的性质(实际应用)(4)
教学目标：培养学生的数学应用意识. 教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 （一）复习：（课前练习） 1.(课时训练P40练习4)
方程||2
1()2
x x =的实数解的个数是 .
分析:可以应用作图法求得方程的解的个数.
可以通过作图的方法得到具体的实数解的值!
2.函数
2()x x
f x a
-= (
0,1a a >≠且)在[2,4]x ∈上是增函
数，则a 的取值范围为_ .
分析:2()x x
f x a
-= ⇒2
u x x =-, [2,4]x ∈ , u
y a =
∵2
u x x =-, 在[2,4]x ∈ 上为增函数,
而
2()x x
f x a
-= (
0,1a a >≠且)在[2,4]x ∈上也是增
函数
∴u
y a = 必是增函数, ∴1a
> .
特别说明:
内函数2
u x x =
-, [2,4]x ∈ , 其值域为[2,12]u ∈
外函数u
y a = ,定义域为[2,12]u ∈
复合函数2()x x
f x a
-=定义域为[2,4]x ∈.
改编: 函数
2()ax x
f x a
-= (0,1a a >≠且)在[2,4]x ∈上是增函数，
则a 的取值范围为_ .
要分类讨论! ①当a ＞1时,
u y a =为单调递增函数，而2u ax x =-的对称
轴方程为x ＝a 21
, 知1,
1102,2a a a >⎧⎪⇒>⎨
<≤⎪⎩
, 2
u ax x =-在x ]4,2[∈上递增，
由复合函数的性质知a ＞1满足题意;
②当0＜a ＜1时,
u y a =为单调递减函数，而2u ax x =-的对
称轴方程为x ＝a 21, 知01,1
01
84,2a a a
<<⎧⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩, 2u ax x =-在x ]4,2[∈上递
减，由复合函数的性质知1
08
a <≤
满足题意; 综上所述,由①②可得1
(0,](1,)8
a ∈+∞ .
例1．(课本P52例4)
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解析：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842；
……
y=，
一般地，经过x年，剩留量0.84x
x0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
y=0.5
0.84x
y=4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2．(课本P53例5)
复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息的方法!
4期后的本利和为4(1)y a r =+
…………………
课本第53页例5的思考:
(1)第几期后的本利和超过本金的1.5倍?
1000(1 2.25%)
x
y =⨯+
由上表可得第19期后的本利和超过本金的1.5倍. (2)要使10期后的本利和翻一番,利率应为多少?(精确到0.001)
分析: 10(1)2a r a +=
可解得110
21r =-=0.07177346253629310.072≈ .
练习1: (课时训练P39练习2)
某工厂一年中12月的产量是1月的产量的m 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A.11m
B.12
m
C.1-
D.1-
解析:月平均增长率假设为x , (每月均为x ),1月的产量为a ,则12月的产量为11(1)a x +, 由已知得11(1)a x +=ma ,
由此可得1x =- .
练习2: (课时训练P40练习5)
银行定期存款中,存期为1年、2年、3年的年利率分别为
2.25%、2.43%、2.70%,现将1000元人民币存入银行,问:应怎
样存取能使3年后得的本金和利息之和最大?
分析:①分别存3年1年的定期,每个年终提取出本利和重新存入银行,则可得31000(1 2.25%)1069.03⨯+=元;
②先存1年定期,提取出本利和,再存2年定期可得
⨯++⨯=元;
1000(1 2.25%)(12 2.43%)1072.194
③先存2年定期,提取出本利和,再存1年定期可得
⨯+⨯⨯+=元;
1000(12 2.43%)(1 2.25%)1072.194
⨯+⨯=元;
④直接存3年的,可得1000(13 2.70%)1081
故使用三年定期存取可获得本利和最大.
例3．(课本P54例6)
作图如下:
25.26.苏教版·数学Ⅰ_§2.2.2 指数函数图象的变换.gsp
例3.(课时训练P39例3)
某城市现有人口总数100万,如果年自然增长率为1.2% . (1)写出该城市人口数y (万人)与年份x (年)的函数关系式; (2)错助计算器或计算机计算大约多少年后,该城市人口将达到120万人(精确到1年)
分析:(1) 100(1 2.2%)100 1.012x x y =⨯+=⨯ (2)由题意可得120100 1.012x =⨯ (列表法)
由上表可得,至少需要15年可达到120万.
(课时训练P40练习7) 已知函数2
()131
x f x =+
- (1)求()f x 的定义域和值域; (2)判断()f x 的奇偶性; (3)讨论()f x 的单调性.
解析:(1)由310x -≠得0x ≠,∴()f x 的定义域为{|0}x x ≠;
∵311x ->-且310x -≠, ∴
1031x >-或1
131
x
<--, ∴2031x >-或2231x <--, 从而得21131x +>-或21131
x +<-- 故()f x 的值域为{|11}y y y ><-或.
(2)∵231()13131
x x x f x +=+=--,
∴3113()()3113
x x
x x
f x f x --++-===---. ∴()f x 是奇函数. (3)设12x x < , 则
211212
12222(33)
()()3131(31)(31)
x x x x x x f x f x --=-=---- (*) ①当120x x <<时,21330x x ->,1310x ->,2310x ->, ∴(*)式大于0 . ∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴()f x 在(0,)+∞上是减函数.
②当120x x <<时,21330x x ->,1310x -<,2310x -<, ∴(*)式大于0 . ∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴()f x 在(,0)-∞上是减函数.
综上,函数()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞上均是减函数.
课外作业:
1.对于函数y ＝122
)3
1(－－x x ，
（1）求函数的定义域，值域； （2）确定函数的单调区间．
2.若函数y ＝1
212·－－－x x a
a 为奇函数，
（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．
3.已知函数y ＝x （
1
31－x
＋21
）．
（1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0． 4.如果函数y ＝122－＋x x a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值． 答案:
1.对于函数y ＝122)3
1(－－x x ，
（1）求函数的定义域，值域； （2）确定函数的单调区间．
解析：函数y ＝1
22)
3
1(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u
)3
1(“复合”而成．
（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u
)3
1
(总有意义，∴定义域为R ；
又由u ≥－2，∴0＜u
)3
1(≤9，∴原函数的值域为（0，9］． （2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，
∴1
)3
1(u ＞2
)
3
1(u ，即y 1＞y 2． ∴函数y ＝1
22)3
1(－－x x 在［1，＋∞）上递减．
同理可得函数y ＝1
22)3
1(－－x x 在（－∞，1）上递增．
点评：形如y ＝)
(x f a
（a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：
（1）定义域与函数定义域相同；
（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝u
a （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)
(x f a
（a ＞0，a ≠1）的值域；
（3）函数y ＝)
(x f a （a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝u
a （a ＞0，a ≠1）按照
“同增异减”的原则来确定．
从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．
2.若函数y ＝1
212·－－－x
x a
a 为奇函数， （1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函
数的单调性．
解析：先将函数1
212·－－－x x a
a 化简为y ＝121－－x a ．
（1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即
121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋x
x
2121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－
21－121－x ，∴x
2－1≠0． ∴函数y ＝－21－1
21
－x 定义域为{x |x ≠0}．
（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x
2－1＞－1． ∵x
2－1≠0，∴0＞x
2－1＞－1或x
2－1＞0．
∴－
21－121－x ＞21，－21－121－x ＜－2
1
， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2
1
}．
法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－2
1，可得x 2＝
2
121
＋
－
y y ． ∵x 2＞0，∴
2121＋
－
y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2
1
}．
（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1211－x ＝)
12)(12(22122
1－－－x x x x ．
∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x
．
∴12x
－22x
＜0，12x －1＜0，22x
－1＜0．
∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－
21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－1
21
－x 在（－∞，0）上递减．
点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，
∵x 2为增函数，∴x
2－1为增函数，
121－x 递减，一1
21－x 为增函数，∴y ＝－21－121
－x 在（0，＋∞）
上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y ＝)
(1
x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）．
3.已知函数y ＝x （
1
31－x
＋21
）． （1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0．
解析：（1）定义域为{x |x ≠0}．
（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋131－－x ＋1）＝x （1
331－－x x
＋1）＝0，
∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x
3＞1，∴x
3－1＞0．∴131－x ＋21＞2
1
． ∴x （
131－x
＋2
1）＞21
x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0； 当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x
3－1＞－1．∴131－x ＋2
1＜－1．
∴x （131－x ＋2
1
）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．
综上，f （x ）在定义域上恒大于0．
点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用分类讨论来逐步求解．
4.如果函数y ＝122－＋x x a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．
解析：设t ＝x
a ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1． （1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a
1
≤t ≤a ． ∵t ＝x
a 在［－1，1］上递增，
∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［
a
1
，a ］时也递增， ∴原函数在［－1，1］上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．
由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）． （2）若1＞a ＞0，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a ≤t ≤a
1
． ∵t ＝x
a 在［－1，1］上递减， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［a ，
a
1
］时递增， ∴原函数在［－1，1］上递减．
可得当x ＝－1时，y max ＝a －
2＋2a －
1－1＝14，解得a ＝
31或a ＝－5
1
（舍）． 综上，由(1)(2)可得a ＝
3
1
或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．。