2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
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[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条， 但它们实轴与虚轴的长的比值 相同．
2 2 c b b 2 (2)e ＝ 2＝1＋ 2， 是渐近线Leabharlann Baidu斜率或其倒数． a a a
2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的 对称中心 叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e＝ 2.
利用几何性质求双曲线方程
x2 y2 (1)已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲 a b 线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方 程为( ) x2 y2 B． － ＝1 12 4
2 y D．x2－ ＝1 3
x2 y2 A． － ＝1 4 12 x2 2 C． －y ＝1 3
(2)求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐 标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
a2－b2 a2＋b2 [解] (1)椭圆C1的离心率e1＝ ，双曲线C2的离心率e2＝ . a a a2－b2 a2＋b2 由e1e2＝ a · a ＝
b2 1－a · b2 1＋a ＝ b2 1 3 b 2 ，解得a ＝2，所以a＝
x2 y2 (2)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 3，则其渐近线方程为( a b A．y＝± 2x 1 C．y＝± x 2 B．y＝± 2x 2 D．y＝± x 2
b2 1＋ a ＝
)
c B [在双曲线中，离心率 e＝ ＝ a 双曲线的渐近线方程是 y＝± 2x.]
b 3，可得 ＝ 2，故所求的 a
[基础自测] 1．思考辨析 (1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( (2)等轴双曲线的渐近线是 y＝± x.( ) ) )
(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．(
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
x2 2．双曲线 －y2＝1 的顶点坐标是( 16 A．(4,0)，(0,1) C．(0,1)，(0，－1)
[解析] (1)不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c＝2，点 A 的坐标为(1， b 3)，所以 ＝ 3，又 c2＝a2＋b2，所以 a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为 a
)
B．(－4,0)，(4,0) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a＝4，因此双曲线的顶点坐 标是(－4,0)，(4,0)．]
x2 y2 3 3．若双曲线 4 －m＝1(m＞0)的渐近线方程为 y＝± 2 x，则双曲线的焦点 坐标是________. 【导学号：46342096】
[跟踪训练] 1．(1)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝± 2x 的是(
2 y A．x2－ ＝1 4
)
x2 2 B． －y ＝1 4
2 x D．y2－ ＝1 4
y2 2 C． －x ＝1 4
C [A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，可排除；C、D 选项中双曲线
2 y2 2 x 1 2 的焦点在 y 轴上，令 －x ＝0，得 y＝± 2x；令 y － ＝0，得 y＝± x.故选 C．] 4 4 2
m (－ 7，0)，( 7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为 y＝± x，∴m 2 x2 y2 ＝3， 求得双曲线方程为 － ＝1， 从而得到焦点坐标为(－ 7， 0)，( 7， 0)．] 4 3
[合 作 探 究· 攻 重 难]
根据双曲线方程研究几何性质
x2 y2 (1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为 2＋ 2＝1，双曲线 C2 的方程 a b x2 y2 3 为 2－ 2＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为( a b 2 A．x± 2y＝0 C．x± 2y＝0 B． 2x± y＝0 D．2x± y＝0 )
2 2 2 ，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± 2 x，即x± 2y＝0.
[答案]
A
(2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)， x2 y2 化为标准方程m－ n ＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)， m＋n c 离心率 e＝ ＝ ＝ a m n 1＋ . m
1 (2) 渐 近 线 方 程 为 y ＝ ± x ， 且 经 过 点 A(2 ， － 3) 的 双 曲 线 方 程 为 2 ________________. 【导学号：46342097】
[思路探究]
(1)△OAF 是边长为 2 的等边三角形⇒求 c 和点 A 的坐标⇒
渐近线的斜率⇒求 a，b (2)方法一：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况求解． 方法：待定系数法求解．
第二章
圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线 及离心率的意义．(难点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 y 2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2
图形
范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率 渐近线
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
2b 实轴长＝ 2a ，虚轴长＝
c e＝a>1
b y＝± ax
a y＝± bx
思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)． n mn ∴渐近线的方程为 y＝± x＝± x. m m
[规律方法]
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值． (3)由 c2＝a2＋b2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
2 2 c b b 2 (2)e ＝ 2＝1＋ 2， 是渐近线Leabharlann Baidu斜率或其倒数． a a a
2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的 对称中心 叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e＝ 2.
利用几何性质求双曲线方程
x2 y2 (1)已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲 a b 线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方 程为( ) x2 y2 B． － ＝1 12 4
2 y D．x2－ ＝1 3
x2 y2 A． － ＝1 4 12 x2 2 C． －y ＝1 3
(2)求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐 标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
a2－b2 a2＋b2 [解] (1)椭圆C1的离心率e1＝ ，双曲线C2的离心率e2＝ . a a a2－b2 a2＋b2 由e1e2＝ a · a ＝
b2 1－a · b2 1＋a ＝ b2 1 3 b 2 ，解得a ＝2，所以a＝
x2 y2 (2)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 3，则其渐近线方程为( a b A．y＝± 2x 1 C．y＝± x 2 B．y＝± 2x 2 D．y＝± x 2
b2 1＋ a ＝
)
c B [在双曲线中，离心率 e＝ ＝ a 双曲线的渐近线方程是 y＝± 2x.]
b 3，可得 ＝ 2，故所求的 a
[基础自测] 1．思考辨析 (1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( (2)等轴双曲线的渐近线是 y＝± x.( ) ) )
(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．(
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
x2 2．双曲线 －y2＝1 的顶点坐标是( 16 A．(4,0)，(0,1) C．(0,1)，(0，－1)
[解析] (1)不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c＝2，点 A 的坐标为(1， b 3)，所以 ＝ 3，又 c2＝a2＋b2，所以 a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为 a
)
B．(－4,0)，(4,0) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a＝4，因此双曲线的顶点坐 标是(－4,0)，(4,0)．]
x2 y2 3 3．若双曲线 4 －m＝1(m＞0)的渐近线方程为 y＝± 2 x，则双曲线的焦点 坐标是________. 【导学号：46342096】
[跟踪训练] 1．(1)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝± 2x 的是(
2 y A．x2－ ＝1 4
)
x2 2 B． －y ＝1 4
2 x D．y2－ ＝1 4
y2 2 C． －x ＝1 4
C [A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，可排除；C、D 选项中双曲线
2 y2 2 x 1 2 的焦点在 y 轴上，令 －x ＝0，得 y＝± 2x；令 y － ＝0，得 y＝± x.故选 C．] 4 4 2
m (－ 7，0)，( 7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为 y＝± x，∴m 2 x2 y2 ＝3， 求得双曲线方程为 － ＝1， 从而得到焦点坐标为(－ 7， 0)，( 7， 0)．] 4 3
[合 作 探 究· 攻 重 难]
根据双曲线方程研究几何性质
x2 y2 (1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为 2＋ 2＝1，双曲线 C2 的方程 a b x2 y2 3 为 2－ 2＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为( a b 2 A．x± 2y＝0 C．x± 2y＝0 B． 2x± y＝0 D．2x± y＝0 )
2 2 2 ，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± 2 x，即x± 2y＝0.
[答案]
A
(2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)， x2 y2 化为标准方程m－ n ＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)， m＋n c 离心率 e＝ ＝ ＝ a m n 1＋ . m
1 (2) 渐 近 线 方 程 为 y ＝ ± x ， 且 经 过 点 A(2 ， － 3) 的 双 曲 线 方 程 为 2 ________________. 【导学号：46342097】
[思路探究]
(1)△OAF 是边长为 2 的等边三角形⇒求 c 和点 A 的坐标⇒
渐近线的斜率⇒求 a，b (2)方法一：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况求解． 方法：待定系数法求解．
第二章
圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线 及离心率的意义．(难点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 y 2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2
图形
范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率 渐近线
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
2b 实轴长＝ 2a ，虚轴长＝
c e＝a>1
b y＝± ax
a y＝± bx
思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)． n mn ∴渐近线的方程为 y＝± x＝± x. m m
[规律方法]
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值． (3)由 c2＝a2＋b2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．