第三章3.1-3.1.1数系的扩充和复数的相关概念

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念

A 级 基础巩固

一、选择题

1．给出下列说法，其中正确说法的个数是( ) ①如果两个复数的差等于0，那么这两个复数相等

②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a i ＞b i

③如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0

④复数a ＋b i 不是实数

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：只有①的说法正确，其余都是错的．

答案：A

2．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部是互为相反数，则b 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－2 D.2

解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝

2.

答案：B

3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R)，则2x ＋y 的值为( )

A.2 B ．2 C ．0 D ．1

解析：由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨

⎪⎧x ＋y ＝0，

x －1＝0，

所以x ＝1，x ＋y ＝0，故2x ＋y ＝1.

答案：D

4．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是 ( )

A ．2－2i

B ．2＋i

C ．－5＋5i

D.5＋5i

解析：2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i 的实部为－2，所以新复数为

2－2i.

答案：A

5．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，且

M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为 ( )

A ．4

B ．－1

C ．－1或4

D ．－1或6

解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，可

得m ＝－1. 答案：B

二、填空题

6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R)满足z <0，则m ＝________.

解析：根据题意得⎩

⎪⎨⎪⎧m2－1＝0，

m<0，因此m ＝－1.

答案：－1

7．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m

＝________．

解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m2＋2m －3＝0，

m －1≠0，

解得m ＝－3.

答案：－3

8．复数z ＝cos

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋θ＋sin

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π2，π2，若z 是实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值为

________．

解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ.

当z 是实数时，cos θ＝0.因为θ∈⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

－π2，π2，

所以θ＝±π

2；当z 为纯虚数时⎩⎪⎨

⎪⎧－sin θ＝0，cos θ≠0，

又θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π2，π2，所以θ＝0.

答案：±π

2 0

三、解答题

9．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z

：

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．

解：z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.

(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是

虚数．

(3)由⎩

⎪⎨⎪⎧m2＋3m ＋2＝0，

m2－m －6≠0，解得m ＝－1，

所以m ＝－1时，z 是纯虚数．

10．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的

值．

解：x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得

(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得

⎩⎪⎨⎪⎧x2

0＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2，k ＝－22或⎩⎪⎨

⎪⎧x0＝－2，k ＝2 2.

所以方程的实根为x 0＝

2或－2，

所以方程的实根为x 0＝2或－2，

相应的k 值为k ＝－22或22.

B 级 能力提升

1．若复数(x 2＋y 2－4)＋(x －y )i 是纯虚数，则点(x ，y )的轨迹是( )

A ．以原点为圆心，以2为半径的圆

B ．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)

C ．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线

D ．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，2)，(－2，－

2)

解析：因为复数(x 2＋y 2－4)＋(x －y )i 是纯虚数，所以x 2＋y 2－4＝0，且x ≠y ，可解得x 2＋y 2＝4(x ≠y )，故点(x ，y )的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，

并且除去两点(2，2)，(－2，－2)．

答案：D

2．若复数z ＝cos

θ＋(m －sin

θ－cos

θ)i 为虚数，则实数m 的取值范围是____________________．

解析：依题意有m ≠sin θ＋cos θ.因为sin θ＋cos θ＝

2⎝ ⎛⎭

⎪⎫22sin θ＋2

2 cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，所以m ∈(－∞，－2)

∪(2，＋∞)．

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

3．如果log 12

(m ＋n )－(m 2－3m )i ＞－1，求自然数m ，n 的值．

解：因为log 12

(m ＋n )－(m 2－3m )i ＞－1，

所以log 12

(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数．

从而有⎩⎨⎧log12

（m ＋n ）＞－1，

－（m2－3m ）＝0，

由m 2－3m ＝0得m ＝0或m ＝3.

当m ＝0时代入log 12

(m ＋n )＞－1，得0＜n ＜2，