第3章 力偶系

B
MO(F)
k
A(x,y,z)
F
（2）力矩的转向； 转向； ）力矩的转向
i
O
j h
r
y
作用面方位。 （3）力矩作用面方位。 ）力矩作用面方位
x
MO(F )
MO(F) =Fh=2△OAB = rFsina = r×F ★ 须用一矢量表征
M O (F ) = r × F
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
力对点的矩矢的性质
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转 动效应，可以用该点的一个矩矢来度量， 动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等 于二力分别对该点之矩矢的矢量和。 于二力分别对该点之矩矢的矢量和。
Mo Mo(F2) Mo(F1)
F3 Fn F2
F1 F2
o
o
F1
MO = MO (F ) + MO (F2 ) 1
对于平面力系
MO (FR ) = MO (F ) + MO (F2 ) + L + MO (Fn ) = ∑MO (Fi ) 1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x O
α
F
A y
Fx
x
v MO(F) = MO(Fx ) + MO(Fy ) = xFy − yFx
x
Fx
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
3.力对点之矩与力对轴之矩的关系 3.力对点之矩与力对轴之矩的关系
i j k MO (F) = r × F = x y z Fx Fy Fz
Mx (F) = yFz − zFy My (F) = zFx − xF z Mz (F) = xFy − yFx
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第 3章 力 偶 系
基本问题： 基本问题：
（1）力对点之矩矢的概念及计算 力对点之矩矢的概念及计算； 力对轴之矩矢的概念及计算； （2）力对轴之矩矢的概念及计算 （3）力偶矩矢的概念; 力偶矩矢的概念; 力偶的性质、力偶系的合成与平衡. （4）力偶的性质、力偶系的合成与平衡. 汇交力系 力偶系 基本力系
2. 力对轴之矩的解析表达式
F = Fx + Fy + Fz = Fxi + Fy j + Fz k
Mz (F) = MO (Fxy ) = MO (Fx ) + MO (Fy ) = xFy − yFx
i
z
Fz F
A(x,y,z) B
Fy
k O
Fx y
j
y
a
x Fxy b
Fy
Mx (F) = yFz − zFy My (F) = zFx − xFz Mz (F) = xFy − yFx
Fy = −F cosα cos β Fz = F sinα
MO (F) = Fbsin α i −Fasinα j + (Fbsin α sin β − Fasin α cos β) k
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
(2) 利用力矩关系
Mx (F) = Fb = Fbsinα z My (F) = −Fza = −Fasinα Mz (F) = Fb − Fy a x = Fbcosα sinβ − Fa cosα cosβ
MO (F2 ) =2∆OAD = OA⋅ Od
MO (FR ) = MO (F ) + MO (F2 ) 1
F1
C
MO (FR ) = ∑MO (Fi )
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
对于作用于刚体上n个力组成的力系 对于作用于刚体上 个力组成的力系
M O (F ) = r × F
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
力对点之矩矢的解析表达式
z B
r = xi + yj + zk F = Fxi + Fy j + Fzk
i j k MO (F) = r × F = x y z Fx Fy Fz = ( yFz − zFy )i + (zFx − xFz ) j + (xFy − yFx )k i
MO (FR ) = MO (F ) + MO (F2 ) +L+ MO (Fn ) = ∑MO (Fi ) 1
证明： 证明： b c O A d D F2 FR B x FR= F1 + F2 而： Ob = Oc + Od
MO (FR ) =2∆OAB = OA⋅ Ob
MO (F ) =2∆OAC = OA⋅ Oc 1
Fb Fb Fb MD (F) = i+ j+ k 2 2 2 2 2
z
C
F
O D A
r
b AC = − i + bk
rB
B
y
[ MD(F)]AC = MD(F) ⋅ rAC
Fb Fb Fb = i+ j+ k .(−bi + bk) 2 2 2 2 2 Fb2 Fb2 = − 2 2 2 Fb2 = 2 2
v MO (FR ) = ∑(xi Fyi −yi Fxi )
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例 题
已知： 已知：Fn，α，r
求：力 Fn 对轮心 的力矩。 对轮心O的力矩 的力矩。 ：（1） 解：（ ）直接计算

O
MO (Fn ) = Fnh = Fnr cosα
h
O —— 矩心 h —— 力臂 力矩单位: 力矩单位:
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； ＋ 使物体逆时针转时力矩为正； 使物体顺时针转时力矩为负。 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。 牛米（N·m），千牛米 千牛米（kN ·m) 牛米 千牛米
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
x
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例 题
已知： 已知： F 、 a、b、c 求：力F 对OA轴之矩 轴之矩
z
解：（1）计算 MO(F) ：（ ）
i j k MO (F) = r × F = 0 b 0 0 0 F r = Fbi
（2）利用力矩关系
A c O
2. 力对点的矩矢
空间的力对O点之矩取决于： 空间的力对 点之矩取决于： 点之矩取决于 大小； （1）力矩的大小； ）力矩的大小
z
B
MO(F)
k
A(x,y,z)
F
（2）力矩的转向； 转向； ）力矩的转向
i
O
j h
r
y
作用面方位。 （3）力矩作用面方位。 ）力矩作用面方位
x
MO(F )
MO(F) =Fh=2△OAB = rFsina = r×F ★ 须用一矢量表征
MO = MO (F ) + MO (F2 ) +L+ MO (Fn ) = ∑MO (F) 1
如果对于平面力系，则上式全部使用代数量。 如果对于平面力系，则上式全部使用代数量。
合力矩定理
合力对任一点之矩矢等于所有各分力对于该点之 矩矢的矢量和。 矩矢的矢量和。
MO (FR ) = MO (F ) + MO (F2 ) +L+ MO (Fn ) = ∑MO (F) 1
力对点之矩矢的解析表达式
z B
r = xi + yj + zk F = Fxi + Fy j + Fzk
i j k MO (F) = r × F = x y z Fx Fy Fz = ( yFz − zFy )i + (zFx − xFz ) j + (xFy − yFx )k i
2 2 F =− Fj + Fk 2 2 b rB = − i + bj 2
MD (F) = rB × F i = −b / 2 0 j b k 0
x
A
z
C
F
O D
rB
B
y
−F / 2 F / 2
Fb Fb Fb = i+ j+ k 2 2 2 2 2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
（2）利用合力之矩定理计算 ） F Fn
α
h
MO (Fn ) = MO (Fr ) + MO (F) = MO (F) = Fnr cosα
Fr
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§3-2 力对轴之矩
1. 力对轴之矩的概念 Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb ★ 力对轴的矩等于力在垂直 x 于该轴的平面上的投影对轴 与平面交点的矩。 与平面交点的矩。
力偶的作用效应是使刚体的转动状态发生改变。 力偶的作用效应是使刚体的转动状态发生改变。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§3-1 力对点之矩矢
1.平面中力对点之矩 平面中力对点之矩
B
F
MO (F) = ±F ⋅ h