第1讲数与式配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练

合集下载

(2020年整理)初升高数学衔接教材(完整).doc

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。

③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +；（15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++；（17）2235294x xy y x y +-++-第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

初升高数学衔接教材(完整)(2020年8月整理).pdf

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。

③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集．例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式：（1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++；（17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。

新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第01讲集合的概念与集合间的基本关系练习(学生版+解析)

第01讲集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *；所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ；所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ；所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、韦恩图韦恩(V enn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子B A集个数为2n －2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( )A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．3-考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( ) A ．8 B ．6C ．7D ．15【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( ) A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．14.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①①5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．86.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±17.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( ) A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①①6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( ) A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C 2QD ．0∈Z7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．28.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *；所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ；所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ；所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、韦恩图韦恩(Venn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数答案:D解析：对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案:B解析：13是实数,①正确；3是无理数,①错误；－3是整数,①错误；－3是无理数,①正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．1-C ．0D ．3-答案:C解析：由元素的互异性可得22321321a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈答案:AB解析：对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确；对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，答案:BD解析：由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围解析： (1)①2,B ∈{}1B x a x a =-<<,①12a a -<<,即23a <<, ①实数a 的取值范围为23a <<；(2)①B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,①115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( )A ．8B ．6C ．7D ．15答案:C 解析：{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案:A解析：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( )A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师答案:B解析：对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案:D解析：①R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,①表示空集,①π①R ,0①Q ,0.7①N ,0①①, ①正确的个数为1 .故选D .4.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①① 答案:A解析：①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 答案:B解析：因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B. 6.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( ) A ．0B ．1C ．－1D ．±1答案:B 解析：因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( )A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解答案:BCD解析：对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合.故选BCD8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．答案:0解析：当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形答案:C解析：由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案:B解析：{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①①,共2个. 故选B.3.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合{}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3答案:A 解析：因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A4.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<答案:A 解析：当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( )A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①① 答案:D解析：对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于①,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,①正确；对于①,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,①错误；对于①,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,①正确；对于①,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,①正确.故选D.6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( )A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z答案:AC解析：A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案:ABC解析：因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 答案:(),3-∞解析：①A C ⊆,①A 和C 如图：①a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______．答案:{}|43,N n n k k =+∈解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.解析：(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。

初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。

2021年初升高数学无忧衔接(沪教版2020)专题01 数与式(详解版)

专题01 数与式《初中课程要求》在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．《高中课程要求》由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、单选题1．（2020·上海高一开学考试）下列分解因式错误的是（）A．a2-5a+6=(a-2)(a-3)B．1-4m2+4m=(1-2m)2C．-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)D．3ab+14a2b2+9=(3+12ab)22．（2020·上海高一开学考试）实数a､b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．55a b->-B．66a b>C．a b->-D．0a b->3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e均为正整数，且满足15.18111abcde=++++，则a b c d e++++=（）A．13B．14C．15D．16课程要求热身练习二、填空题4．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.5．（2020·上海高一开学考试）分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 6．（2020·上海高一开学考试）已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.三、解答题7．（2020·上海高一开学考试）已知2310x x -+=，求3313x x ++的值.一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+；（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）知识精讲将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(nn b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；三、二次根式 1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程． 2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩四、分式 1、分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．五、幂的运算 1、幂的运算法则①n m n m a a a +=⋅ ②n m n m a a a -=÷ ③()n m nma a ⋅= ④()n n nb a ab ⋅=2、当指数由正整数扩充到有理数时，有如下规定：①()010a a =≠ ②()；为正整数m a a amm,01≠=- ③()；为正整数n m a a anmnm ,,0≥= ④().,,011为正整数n m a aaa nmnmnm >==-六、不定方程或方程组我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程32=-y x ，方程组⎩⎨⎧=++=++18023100z y x z y x 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果a 、b 是互质的正整数，c 是整数，且方程c by ax =+ ①有一组整数解0x 、0y ，则此方程的一切整数解可以表示为⎩⎨⎧+=-=aty y btx x 00（t 为任意正整数）证：因为0x 、0y 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②因此()()c by ax at y b bt x a =+=++-0000．这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解．设x '、y '是方程①的任一整数解，则有c y b x a ='+'③③-②得()()00y y b x x a -'-=-'④由于()1,=b a （互质），所以a ｜0y y -'，即at y y +='0，其中t 是整数．将at y y +='0代入④，即得bt x x -='0．因此x '、y '可以表示成bt x x -=0，at y y +=0的形式，所以bt x x -=0，at y y +=0表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.典例剖析【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是，如果2=AB ，那么x 为； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.B AO B(A)O A O o【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【例7】试比较下列各组数的大小：（1 （2【例8】化简：（1；（21)x <<．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【例10】若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．【例11】设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．【例12】计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝．【例13】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且17,,2345=-==c a d c b a ，求d －b 的值．【例14】求71511=+y x 的整数解．【例15】求方程6x+22y=90的非负整数解．1.解绝对值方程：321-=---x x x ．2．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．3．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．4．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．对点精练5．化简下列各式：(1(21)x ≥6．计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2 (3 (4)7．计算：(1)21)(1++-- (2+8．设x y =，求33x y +的值．9．已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值．10．请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭．11.求方程7x+19y=213的所有正整数解．这些知识点既是初中的基础，也是高中的敲门砖，我们将其深入拓展，以适应高中的难度，同学们一定要将这些知识点了解掌握，为高中的数学学习打下一个良好的基础．反思总结一、单选题1．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）把多项式2221a a b --+分解因式，结果是（） A ．(1)(1)a b a b +-++ B ．(1)(1)a b a b --+- C ．(1)(1)a b a b --++D ．(1)(1)a b a b ---+2．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）若多项式2317x x b +-分解因式的结果中有一个因式为4x +，则b 的值为（） A ．20B ．-20C ．13D ．-133．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）在2-，(3)--，5，6-这四个数中，最大的数是（） A ．2-B ．(3)--C ．5D ．6-4．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价%a ，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（） A ．2188(1%)118a += B ．2188(1%)118a -=C ．188(12%)118a -=D ．()21881%118a -=5．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）据报道，今年我市高考报名人数约为76500人，用科学记数法表示的近似数为47.710⨯，则精确到（） A ．万位B ．千位C ．个位D ．十分位6．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）求值：111111114916225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为（） A ．815B ．1115C ．1315 D ．14157．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）因式分解22a a b b --+=（） A ．()()1a b a b -+- B ．()()1a b a b -++ C ．()()1a b a b ++-D ．()()1a b a b +--8．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）若23a b =，则a ba b +=-（） A ．6- B ．5-C ．6D ．5课后练习二、填空题9．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）如果2a b cx y z===，则456456a b c x y z ++++=___________；10．（2020·天津南开中学高一开学考试）已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________.11．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）计算22tan 602--︒+=___________. 12．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）计算+=2019___________13．（2020·上海交大附中高一开学考试）若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy yx y ++=+____________.14．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________. 15．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）分解因式：22a ab +=______.16．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）已知0x y z ++=，0xyz ≠，则111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.17．（2020·四川眉山市·=________．18．（2020·四川省武胜烈面中学校高一开学考试）把2712x x -+分解因式的结果是______. 三、解答题19．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）先化简，再求值：22224431a ab b b a b a ab a b a ⎡⎤++÷---⎢⎥--⎣⎦，其中a ，b 满足42a b a b +=⎧⎨-=-⎩20．（2020·220201413(2)(1)|3|4π-⎛⎫⨯-----+- ⎪⎝⎭．21．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）先化简，再求值：已知1x =，求221121x x x x x x x+⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭的值.22．（2020·江苏徐州市·高一月考）（1）分解因式：424139x x -+；（2）已知方程2310x x --=的两根为1x 和2x ，求()()1233x x --的值.23．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）已知()()224a b abA ab a b +-=- （a ，0b ≠且a b ）（1）化简A ；（2）若点(),P a b 在反比例函数5y x=-的图象上，求A 的值.24．（2020·江苏南通市·启东中学高一开学考试）把下列各式分解因式：（1）a 7－ab 6 ；（2）(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋6 ；（3）x 3＋19x －20 ．25．（2020·安徽省舒城中学）（1（2）先化简再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =专题01 数与式《初中课程要求》在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．《高中课程要求》由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、单选题1．（2020·上海高一开学考试）下列分解因式错误的是（） A ．a 2-5a +6=(a -2)(a -3) B ．1-4m 2+4m =(1-2m )2 C ．-4x 2+y 2=-(2x +y )(2x -y ) D ．3ab +14a 2b 2+9=(3+12ab )2【答案】B【分析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A 选项根据十字相乘分解因式可知正确；B 选项中的1+4m 2-4m =(1-2m )2，左右两边不相等，所以B 是错的；C 选项根据平方差公式可知正确；D 选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题.2．（2020·上海高一开学考试）实数a ､b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）课程要求热身练习A ．55a b ->-B ．66a b >C ．a b ->-D ．0a b ->【答案】C【分析】根据数轴判断出,a b 对的正负关系以及绝对值的大小，即可求解，得到答案. 【详解】由图可知，实数0b a <<，且b a <，所以55a b ->-，66a b >，a b -<-，0a b ->，故关系式不成立的是选项C . 故选：C.【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，以及绝对值的大小比较，着重考查分析问题和解答问题的能力.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【分析】根据表达式进行转化．【详解】9111115.1850.185555555051115055559119911515144=+=+=+=+=+=+=++++++++， ∴5,5,1,1,4a b c d e =====，∴16a b c d e ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础．二、填空题4．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________. 【答案】()221x -【分析】利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+分解因式【详解】解：2441x x -+=()221x - 故答案为：()221x -【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题.5．（2020·上海高一开学考试）分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 【答案】()()22x y x y +++【分析】前三项用十字相乘法分解因式()()22322x xy y x y x y =++++，后两项提公因数()2422x y x y +=+，在对其提公因式()2x y +得答案.【详解】利用分组分解法（前三项与后两组）()()()()()22322422222x xy y x y x y x y x y x y x y ++++=++++=+++故答案为：()()22x y x y +++【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题.6．（2020·上海高一开学考试）已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.【答案】１【分析】将式子三个一分组，每组都有因式x 2+x +1，求得答案. 【详解】由210x x ++=，则20072006x x +++321x x x +++20052200222(1)(1)(1)11x x x x x x x x x =++++++++++=.故答案为：１.【点睛】本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题. 三、解答题7．（2020·上海高一开学考试）已知2310x x -+=，求3313x x ++的值. 【答案】21. 【分析】先求出13x x +=，再化简原式为211[()3]3x x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭，即得解. 【详解】2131003x x x x x-+=∴≠∴+=.由题得原式=222111113[()3]3x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++=++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2333321=-+=.故答案为：21【点睛】本题主要考查因式分解、配方和求代数式的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+；（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：知识精讲()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(nn b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；三、二次根式 1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程． 2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩四、分式 1、分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．五、幂的运算 1、幂的运算法则①n m n m a a a +=⋅ ②n m n m a a a -=÷ ③()n m nma a ⋅= ④()n n nb a ab ⋅=2、当指数由正整数扩充到有理数时，有如下规定：①()010a a =≠ ②()；为正整数m a a amm,01≠=- ③()；为正整数n m a a anmnm ,,0≥= ④().,,011为正整数n m a aaa nmnmnm >==-六、不定方程或方程组我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程32=-y x ，方程组⎩⎨⎧=++=++18023100z y x z y x 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果a 、b 是互质的正整数，c 是整数，且方程c by ax =+ ①有一组整数解0x 、0y ，则此方程的一切整数解可以表示为⎩⎨⎧+=-=aty y btx x 00（t 为任意正整数）证：因为0x 、0y 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②因此()()c by ax at y b bt x a =+=++-0000．这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解．设x '、y '是方程①的任一整数解，则有c y b x a ='+'③③-②得()()00y y b x x a -'-=-'④由于()1,=b a （互质），所以a ｜0y y -'，即at y y +='0，其中t 是整数．将at y y +='0代入④，即得bt x x -='0．因此x '、y '可以表示成bt x x -=0，at y y +=0的形式，所以bt x x -=0，at y y +=0表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．典例剖析【答案】0<x 或4>x 【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.13A B x4C D xP |x －1||x －3|图1．1－1【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是，如果2=AB ，那么x 为； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值. 【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值，B(A)O BAOoA O o.【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式22]31)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++．（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++ （2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+．【例7】试比较下列各组数的大小：（1 （2【难度】★★【解析】（11===，1===，>，（2）∵1=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，【例8】化简：（1；（21)x <<．【难度】★★【解析】（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<， ∴11x x>>，所以，原式＝1x x-．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C 【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1()1(1)(2)1()1()1()1()1(111222222222222222222+-+=+++=+++++=+++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 方法二：可利用特值法将A 、B 、D 一一排除。

第2讲因式分解配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练

第 2 讲因式分解练习（A）一．选择题：1.下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是（）( A) (a -b)2 =a 2 - 2ab +b 2(B) m2 -m =m2 (1 -1 ) m(C) a 2 - 3a - 4 =a(a - 3) - 4 (D)3x3 - 9x 2 - 3x = 3x(x 2 - 3x - 1)2.- (2a -b)(2a +b) 是下列多项式（）的分解结果（A）4a 2 -b 2（B）4a 2 +b 2（C）- 4a 2 -b2（D）- 4a 2 +b23.下列分解不正确的是（）（A）x 2 + 8x +16 = (x + 4)2 （B）- 4a 2 +12ab - 9b 2 = (2a - 3b)2（C） x2 -1x +13 36= (x -1)26（D）4a 2 b 2 + 4ab + 1 = (2ab + 1)24.下列各式中，能用平方差公式分解因此的是（）（A）－a 2 ＋b 2 （B）－a 2 －b 2 （C）a 2 ＋b 2 （D）a 3 －b 25.已知m＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2 －mnx－m－n 分解因式的结果是（A）(x－1) (x－4) （B）(x＋1) (x＋4)（）（C）(x＋1) (x－4) （C）(x－1) (x＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（）A．a2－b 2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1；B．（m＋3）2＝m2＋6m＋9；C．x 5y－xy 5＝xy（x 2＋y 2）（x＋y）（x－y）；D．a 4 - 2a 2 b 2 -b 4 = (a +b)2 (a -b)2二．填空题：7. 分解因式：18m 2 (a -b) - 9m(a -b) = .8. 分解因式：(2m -n)2 - (3m + 2n)2 = . .9. 分解因式：x 2 - 2x -a 2 - 2a = .10. 分解因式：x2 + ꘸xy + 2y2 + 2x + ጤy = _ .11. 分解因式：4a 2 - 5a - 6 = .12.分解因式：6x 2n-1 y m - 4x 2n+1 y 3m= .13.已知∆ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a 2 -ac =b2 -bc ，判断∆ABC 的形状. ..14.已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x 2007 +x 2006 + ……+x3 +x 2 +x + 1 = ..三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x)2 — 1ጤ x2 + x + 2ጤ.16. 因式分解：x + 1 x + ꘸x + ′x + h + 1′.17. 因式分解：(x + ′)ጤ+ (x + ꘸)ጤ— 82.）18. 因式分解：(x2 + xy + y22—ጤxy(x2 + y2).19. 因式分解： x2 - 2xy - 8 y2 -x -14 y - 6 .20. 因式分解：x꘸— 9x + 8.21.因式分解：x8 +x +1.22.如果多项式x2 —a + ′x + ′a—1 能分解成两个一次因式x + h x + h 的乘积，b，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式x3 -x 2 + 2x +k 能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果kx 2 - 2xy + 3y 2 + 3x - 5 y+ 2 能分解成两个一次因式乘积，求k 2 + 5k + 0.25 的值.因式分解测试（B）一．选择题：1.把多项式4 x2y-4x y2- x3 分解因式得结果是（）A. 4xy(x-y)-x2B. –x(x-2y)2C. x(4xy-4y2- x2)D. –x(-4xy+4y2+ x2)2.下列分解因式错误的是（）A．a 2－5a＋6＝（a－2）（a-3）B．1－4m 2＋4m＝（1－2m）2C．－4x 2 ＋y 2 ＝-(2x＋y)（2x－y）D．3ab＋1a 2b 2 ＋9＝（3＋1ab）2 4 23. 在多项式－a 2 －b 2 －2ab，2ab―a 2 ―b 2 ，a 2 －b 2 ＋2ab，(a＋b) 2 －10(a＋b)＋25 中，能用完全平方公式分解因式的有（）（A）1 个（B）2 个(C）3 个（D）4 个4.已知a、b、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5.已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个6.实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7.因式分解：x2 -xy +xz -yz = .8. 因式分解：x 4 -y 4 + 4x 2 + 4 = .9. 因式分解：x2（x-2）-16（x-2）= .10. 因式分解：6 y2 -11y-10= .11. 因式分解：4x2-4x-y2+4y-3= .12. 如果正整数x、y 满足方程x2-y2=64，则这样的正整数对（x，y）的个数是.13. 若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x 恒成立，则n= .14. 已知x-1 是多项式x3-3x+k 的一个因式，那么k= .三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x + ጤ)2 + 8x x2 + x + ጤ + 1′x216. 因式分解：x2 + x + 1 x2 + x ++ 2 — 1217. 因式分解： 6x2 - 5xy - 6 y 2 + 2x + 23 y- 20 .18. 因式分解： x4 +x3 - 3x2 - 4x - 4 .19.如果a, b 是整数，且x2 -x -1是ax3 +bx2 +1 的因式，求a、b 的值.20.已知：a, b, c 为三角形的三条边，且a2 + 4ac + 3c2 -3ab - 7bc + 2b2 = 0 . 求证： 2b =a +c .21.如果x2 + hxy + ay2 —′x+ ጤጤy — 2ጤ可分解为两个一次因式的积，求a 的值.22. 已知x꘸+ x2 + x + 1 =꘸，求x2꘸꘸8 + 2x2꘸꘸꘸+ ′x199⺁.23.正数a、b、c 满足ah + a + h = hh + h + h = ha + h + a = ꘸，求：(a + 1)(b + 1)(c + 1)的值.24.若代数式x x + 1 x + 2 x + ꘸+ p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1 且一次项系数相同），求p 的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2.D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24.A提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2t—1y N（꘸x2—2y2N）提示：提取公因式2x2t—1y N；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c 为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16. ( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)(x2+8x+12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x + ጤ + 1)ጤ+ (x + ጤ— 1)ጤ— 82令t=x+4，所以t + 1 ጤ— 1 + t — 1 ጤ— 81= t + 1 2 — 1 t + 1 2 + 1 + t — 1 2 + 9 t — 1 2 — 9=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18. （x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1 时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21. (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22. a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=—′ —1′+h因为b、c 为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。

【暑假提升】第1讲数与式(精讲篇)-2020年数学初高中衔接讲与练

第1讲乘法公式、根式与指数运算亲爱的同学，大家好！祝贺你们进入高中阶段学习！此时我想到一种食品----牛轧花生糖，你们猜猜我的寓意是什么？我想借用这5个字“牛、轧、花生、糖”.下面谈谈我对这5个字的理解.提起牛，人们会说牛气冲天、老黄牛、牛劲.是的，我们学习就是要一股牛气，要有一股初生牛犊的精神，要有牛气冲天的干劲，要不畏难、不怕苦，要勤于思考、敢于实践，要有高涨而持续的学习热情.牛在紧要关头不仅有冲劲，在平时耕田拉车中还特有韧劲，我们学习特别需要能长久维持的韧劲，它是我们成功的必要条件，有了这股韧劲，就能克服一切困难，集中精力，发奋读书，即使身体小有不适或遇到一些困难，也能尽量坚持学习，这是对自己意志的考验.你们肩负父母的期望，气如长虹，意志如钢！“轧”音同“扎”，寓意是学习要扎实.数学学习的扎实表现在：（1）不满足于听懂、看懂，关键要能准确地书写表达出来，还要能举一反三，否则，没有真懂.要把老师说的、书上写的经过大脑思索“消化”为自己的心中之物.（2）运算要既快又准.速度慢了不行，但算错了更不行！（3）关注细节.哪怕是一个符号的错误，都会让你体会前功尽弃的滋味，细节决定命运！现在做题如此，以后做事也一样！要做到这3条，必须在课堂上认真听讲、用心思考、勤于演算、善于笔记、大胆发言.在课后还要通过一定数量模仿性练习、提高性练习等高质量作业才能牢固掌握，做作业不互相对答案，不抄袭，遇有不懂问题可以相互讨论，但懂了以后自己再独立做出了.还要自觉学会归纳解题成功的经验和总结失败的教训，做到吃一堑，长一智，形成个人独具特色的数学学习方法和理解力.花生的果实生长在地下，默默的被大地滋润着，在直到成熟才离开土地，营养价值极高.滋润着学生成长的是国家以及你们的父母和老师.“花生”的“生”单独字面有陌生、生疏的意思，“花”有相间的意思，此处借用“花生”是想说在学习过程中会时常出现一些新的问题和困难，这需要我们以正确的态度去对待，是强调客观原因，还是知难而进，独立思考，不耻下问，是对每个同学学习毅力的考验.“花生”的谐音是“化生”，借指数学中常用的方法––––化生为熟、化难为易、化繁为简、化远为近.这是数学学习中解决问题的一条重要途径，是学会分析问题和解决问题的重要方法.你们是祖国的未来，一往无前，所向披靡！糖是大家喜欢的食品，它给我们辛苦的学习带来一丝甜意，我希望大家在繁重的学习间隙，可以唱支歌、跳曲舞来调节生活，来体验学习的甜蜜，体会生活的甜美.但是大家知道，生活并不全是歌舞.葡萄在成熟之前是苦腻的，这预示着我们今后4年的学习生活将是异常艰苦，那种时而忽然开朗，眼前一片光明，时而百思不解，眼前一片黑暗，那种纠结、烦躁、甚至愤怒，没有亲身经历的人是难以体会的！这样的经历是一个人成长、成熟所必须的，我们只能面对，没有逃避的余地，这或许是“先苦后甜”的深刻含义吧.这使我想起晚清学者王国维《人间词话》中的：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界.‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路’，此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’，此第二境也；‘众里寻他千百度，回头蓦见，那人正在灯火阑珊处’，此第三境也.”第一句话形容学海无涯，只有勇于登高远望者才能寻找到自己要达到的目标，只有不畏惧孤独寂寞，才能探索有成.第二句话比喻为了寻求真理或者追求自己的理想，废寝忘食、夜以继日，就是累瘦了也不觉得后悔.第三句话比喻经过长期的努力奋斗劳而无获，正值困惑难以解脱之际，突然获得成功.一种“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”的感觉油然而生，恍然间由失望达到久久期盼的愿望.体现的是偶然中的必然这一深刻哲理.同学们：学习中没有永远的落后，暂时的落后并不可怕，只要把我们的聪明才智用到学习上，就一定能赶上！同时要求同学们在学习上要做到：敢想、敢说、敢问、敢笑，在交流中要做到：大胆、大方、大声、大度.学习困难时想到牛轧糖，我相信你们学习的信心更足、克服困难的意志更坚强、解决问题方法更多、成绩提高得更快、明天的日子会更甜美！最后，请大家欣赏几幅关于牛的图片：这头耕地的黄牛左边是肥美的草地，但头这头水牛的右边繁花似锦，偏偏把也不抬，专注拉犁头扭向左边，排除干扰，抵制诱惑尽. 力做好现在“本职工作”---耕地.这是一头讨人喜欢的牛，它在认准目标这幅图的意思只有靠大家自己解读以后，竭尽全力往前冲！一、乘法公式⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ 两数差乘以两数平方和+两数积⑶立方和公式： 3322()()a b a b a ab b +=+-+两数和乘以两数平方和-两数积 ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++三数平方和+三数两两积的2倍⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±一降一升一三一，左加右边是正号，左减右边正负间(6)1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++前减后乘以前降后升，中间是加号乘法公式是数学运算的基础，必须牢牢掌握，并能熟练运用.记忆乘法公式除了直接记公式，还可以用文字语言记忆，比如第（4）组第2个公式的文字语言表示：三个数和的平方等于这三个数平方和加上这三个数两两积的2倍.文字语言记忆的好处是能加上对公式的理解，不受字母变化的影响，比如第（4）组第2个公式中的a 、b 、c 换成e 、f 、g ，文字表达是一样的.乘法公式还有图形证法。

【初升高数学衔接教材】1～16讲参考答案

第一讲因式分解例1：解：由多项式的乘法法则易得))(()(2d cx b ax bd x bc ad acx ++=+++∴∴3×（－3）+2×1＝－7∴)32)(13(3762-+=--x x x x 例2：解：∴原式＝])([])([2222b a x b a x +-⋅-- ＝))()()((b a x b a x b a x b a x --+++--+ 例3：解：原式＝)3103()44(422+--+-y y x y x＝)3)(13()44(42---+-y y x y x ＝)]3(2)][13(2[-+--y x y x ＝)32)(132(-++-y x y x点评：以上三例均是利用十字相乘来因式分解，其中例3中有x 、y ，而我们将其整理x 的二次三项式。

故又称“主元法”。

例4：解：如果要分解的因式的形式是，唯一确定的，那么可以考虑利用待定系数法 ∵)3)(32(93222y x y x y xy x +-=-+则可设)3)(32(2031493222n y x m y x y x y xy x +++-=+-+-+（m 、n 待定） ∴原式＝mn y n m x n m y xy x +-+++-+)33()2(93222比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+20333142m n n m n m 解得m ＝4，n ＝53 2 1-3 x 2 －(a －b)2 x 2－(a －b)22x －(3y －1)2xy －3∴原式＝)53)(432(+++-y x y x（2）在例3中利用了十字相乘法，请同学们用待定系数法解决。

例5：解：（1）)61)(1()1(6)1)(1()66()1(762233+++-=-+++-=-+-=-+x x x x x x x x x x x ＝)7)(1(2++-x x x或)7)(1()1(7)1)(1()77()(76233++-=-+-+=-+-=-+x x x x x x x x x x x x 或)7)(1()1)(1(6)1)(1(7)66()77(7622333++-=-+-++-=---=-+x x x x x x x x x x x x x x解：（2）15++x x ＝)1()1()1()(232225+++-=+++-x x x x x x x x)1()1)(1(222+++++-=x x x x x x )1)(1(232+-++=x x x x例6：解：把198757623+-+x x x 用含有132--x x 的代数式表示∴321990339 198739 261987576132223232+--+--+----x x x x x x x x x x x x∴19901990)13)(32(1987576223=+--+=+-+x x x x x x 课堂练习答案：1、（1）))()()()((2222y xy x y xy x y x y x z y x +++--+-+ （2）)1)(1)(1)(1(--+--+++b a b a b a b a （3）)42)(2)(14(2++-+m m m m2、（1）)22)(22(22+-++x x x x （2）)8)(1(2-+-x x x3、（1）)1)(23(+-++y x y x （2）)23)(12(+--+y x y x4、－15、2-=ab第二讲分式例题解析答案：例1：解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2例2：解：观察各分母的特点知，式中第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易∴原式＝4422442222232))(())((b a b a b a b b a b a b b a b a a -+--++-+++ ＝011))((22224422222222=---=-+-+-+ba b a b a b a b a b a b a 例3：解：设a m n =，b nm=，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a ba b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(n m n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c ba abc b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+-----------＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bcb bcbc b b bc b 例6：解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

初高衔接知识第一讲：数与式的运算(含练习+参考答案)

第一讲：数与式的运算班级：______姓名：__________问题一、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 （1）化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．（2）利用绝对值的几何意义求13x x -+-的最小值．问题二、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式：（2）立方差公式（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式例1 （1）计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．（2）已知1x y +=，求333x y xy ++的值．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．问题三、二次根式0)a ≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例 1 化简：（1；（21)x <<．例2 试比较下列各组数的大小：（1（2问题四、分解因式例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋x －(a 2－a )；（3）321x x -+参考答案问题1例1 当1352x <<时，原式5213318x x x =-+-=- 当132x ≥时，原式52138x x x =--+=-例2当1x ≤时，原式1324x x x =-+-+=-+，当1x =时，有最小值2当13x <<时，原式=132x x --+=，恒为2当3x ≤时，原式1324x x x =-+-=-，当3x =时，有最小值2综上所述，最小值为2问题2例1原式()()336111x x x =+-=-例2()33223+331x y x x y y x y =+++=()3331x y xy x y ∴+++=代入1x y +=得3331x y xy ++=问题3例11.原式2= 2.原式11x x x x =-=- 例31.==1010=2.==> 问题四例11.原式()()12x x =--2.原式 ()()221x a x a x a x a =-++=+-+3.原式()()()2111x x x x x x ⎛=-++=-+ ⎝⎭⎝⎭高一数学衔接知识讲义一练习班级：________姓名：_________1．下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±2．计算（）（A （B （C ）（D ）3= （）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<4=________；5．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．6．不等式13x ->的解为_________________；||x x >的解为___________________；7．利用绝对值的几何意义写出|1||3|x x ---的最大值为___________；最小值为______________；8．化简：20042005⋅=_______________________；9．因式分解324x x --=___________________________；10．若1,1x y xy +==-，则33x y -=__________________． 11．若2220x xy y +-=，求22223x xy y x y +++的值12．解方程22112()3()10x x x x+-+-=．参考答案1-3 D C D4-10 1；>；4x >或2x <-，0x <；2，-22(2)(22)x x x -++；± 11 解：222(2)(-)0x xy y x y x y ++=+=；x y =或2x y =-；当x y =时，原式=22223522x x x x ++=；当2x y =-时，原式=2222246145y y y y y -+=-+；综上所述：15-或5212 解：22211()2x x x x+=+-；令1t x x =+；则22350t t -+=； (25)(1)0t t -+=；152t =，21t =-；当152x x +=时； 25102x x -+=； 259()416x -=； 12x =，212x =；当11x x +=-时； 210x x ++=，30∆=-<，无解；综上所述：12x =，212x =。