抛物线中面积问题优秀教案

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用平行线解决抛物线中的面积问题 (导学案)

过P点作PQ⊥线段BC于点Q，
连接OQ。若S△OQC=2S△PQC，求P的坐标。
二、学习新知。
问题2：连接AC，请同学们在
坐标轴上找一点D，使得S△ACD=3,
请同学们思考并找寻。
问题3：抛物线上是否存在一点E，使得
S△ACE=3,若存在，求E点的坐标；若不存
在，请说明理由。
归纳：
三、课堂训练。
1、在刚才的例题中，连接BC,在抛
物线上有一点F，且S△BCF=3,求F的坐标。
2、如行线解决抛物线中的面积问题 (导学案)
徐古中学杨军
导学目标：1、理解并掌握用平行线解决抛物线中面积问题的方法，进一步提高学生的分析、推理能力和计算能力。
2、培养学生的在数学学习中的转化思想，感受转化思想在数学活动中的作用。
3、通过学习，培养和提升学生运用数学知识解决问题的能力，感受成功的喜悦。
导学重、难点：1、如何在坐标轴上找到满足条件的点。
2、作出正确的平行线并求出其解析式。
导学过程：一、复习故知，引出新知。
我们已经学习了二次函数图像的内容，知道了二次函数的解析式和图像的联系。下面我们来看一个问题：
问题1：如图，抛物线y=-x2+2x+3与两轴
交于A、B、C三点，请同学们求出它们的坐标。
交y轴于C，在抛物线上有一点P，
使得S△ACP=4，求点P的坐标。
3、如图，抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于A、B两点，
交y轴于点C，其顶点为P,连PC。抛物线上有一点E,且S△PCE=15,求点E的坐标。
4、如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC。P为抛物线
对称轴右侧第一象限内一点，

“平移抛物线求面积”教学设计

“平移抛物线求面积”教学设计点评：山东—吴金华一、创设情境,导入新课情境如图1,在一块长20m ,宽12 m 的草坪中有一条抛物线形的路,它的横向宽度为2 m ,你能根据图中的数据,计算阴影部分的面积吗?点评：问题情境与学生生活联系紧密，有利于激发学生学习的积极性。

【学生活动】思考,发言. 【教师活动】总结,组织学生评价.点评：学生活动和教师活动过于简略。

教师对学生活动应具有预见性，当根据学生表现，给予切实的评价；教师活动当体现学法与解题方法的指导作用。

答案:把路的右边(或左边)的部分向左(或右)平移,空出一部分(如图所示),该部分图形的面积与抛物线形路的面积相等,故阴影部分的面积为:20×12-20×2=200m 2.点评：解题方法巧妙。

借助图形平移的性质，化抽象为具体，使学生的思路豁然开朗，不言而喻。

【感悟】借助图形平移的性质,可把不规则图形的计算问题转化为规则图形的计算问题,突显平移的优越性.二、合作交流,解读探究问题1如图2,抛物线y 1＝-x 2＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2,则阴影部分的面积S =_________.【引导分析】1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是多少?2.把抛物线y 1在第一象限内的部分向右平移几个单位长度,与抛物线y 2重合?3.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案:1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是(0,2),(1,2).2.把抛物线y 1在第一象限内的部分向右平移1个单位长度,与抛物线y 2重合.3.阴影部分面积与矩形PONM 图形面积相等(即为:2).【双向沟通】师生互动:学生在教师的引导下,就上面引导分析中的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价,并就不正确的结论进行纠正,形成共识,得出正确结论.教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时,进行解题方法的归纳.问题2如图3,试求两条抛物线y 1=21-x 2＋1、y 2=21-x 2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分图1 图3图2的面积.【引导分析】1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是多少?2.抛物线 y 2=-21x 2-1可以看成是由抛物线y 1=-21x 2＋1,向哪个方向平移几个单位而得? 3.把格点矩形ABCD 向下平移几个单位长度后,两抛物线重合?此时,它可与哪个格点矩形重合?4.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案: 1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是(0,2), (0,0).2.抛物线y 2由抛物线y 1向下平移2个单位长度而得.3.格点矩形ABCD 向下平移2个单位长度后,两抛物线重合.此时,它可与哪个格点矩形BEFC 重合.4.阴影部分面积与矩形ABCD 面积相等(即为:8).【双向沟通】师生互动:学生在教师的引导下,就上面的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价,并就不正确的结论进行纠正,形成共识,得出正确结论.教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时,进行解题方法的归纳.点评：引导分析环环相扣，意在帮助学生构建抛物线形路面的教学模型，将不规则图形转化为规则图形，符合学生的认知规律。

初三数学一轮复习面积问题综合教案(含练习)

Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.7面积问题§7-1铅锤法如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 为常数）与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点D ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）设点P 为抛物线对称轴上的一个动点．①如图1，若点P 为抛物线的顶点，求PBC △的面积．②是否存在点P 使PBC △的面积为6?若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．面积定值1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 1.如图，长方形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx =+经过点()1,4B 和点()3,0E 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在线段OC 上，且BD DE ⊥，BD DE =，求D 点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得BDM △的周长为最小，并求BDM △周长的最小值及此时点M 的坐标；（4）在条件（2）下，从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点F ，使得FAD △的面积最大?若存在，请求出FAD △面积的最大值及此时F 点的坐标；若不存在，请说明理由．2面积最大如图，曲线1y 抛物线的一部分，且表达式为()()2132333y x x x =--≤，曲线2y 与曲线1y 关于直线3x =对称．（1）求A ，B ，C 三点的坐标和曲线2y 的表达式；（2）过点C 作CD x 轴交曲线1y 于点D ，连接AD ，在曲线2y 上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标；（3）在（2）的条件下，设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线2y 上是否存在一点P ，使PMN △的面积最大?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图1，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴相交于点C ，连接BC ．点P 为抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，交直线BC 于点G ，交x 轴于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）当P 位于y 轴右边的抛物线上运动时，过点C 作CF ⊥直线l ，F 为垂足．当点P 运动到何处时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与OBC △相似?并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P 在位于直线BC 上方的抛物线上运动时，连接PC ，PB ．请问PBC △的面积S 能否取得最大值?若能，请求出最大面积S ，并求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．3§7-2面积综合（2018福建）如图，直线与双曲线相交于，两点，轴，轴，则面积的最小值为．如图，OAC△和BAD△都是等腰直角三角形，90ACO ADB∠=∠= ，反比例函数6yx=在第一象限的图象经过点B，则OAC△与BAD△的面积之差OAC BADS S-△△为（）A.36B.12C.6D.3 1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.（2018盐城）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，且与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接，．（Ⅰ）若点的横坐标为面积最大值，并求此时点的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值?若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．2如图，已知抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为()1,0-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B ，C ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点1M ，2M ，3M 使得1M BC △，2M BC △，3M BC △的面积均为定值S ，求出定值S 及1M ，2M ，3M 这三个点的坐标．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.（2017苏州）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，．点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求，的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小?如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．3如图①，己知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中()0,3C ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，交第一象限的抛物线于点E ．（1）求a 的值；（2）如图①，抛物线上两点C ，E 间的一动点F 关于AD 的对称点F '恰好落在线段BD 上，求F 点坐标；（3）若动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN △的面积是APM △面积的2倍，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()4,0A -，与y 轴交于点()0,4B ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在x 轴上有一点P ，点P 在直线AB 的垂线段为PC ，C 为垂足，且2PC =求点P 的坐标；（3）如图（2），将原抛物线向左平移，使平移后的抛物线过原点，与原抛物线交于点D ，在平移后的抛物线上是否存在点E ，使APE ACD S S =△△?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．4如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．（1）求OBC ∠的度数；（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且OCE OCDB S S =△四边形，求此时P 点的坐标；（3）过点P 作PF x ⊥轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第7次课同步练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()0,4A ，()1,0B ，()5,0C ，其对称轴与x 轴相交于点M ．（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PAB △的周长最小?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使NAC △的面积最大?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点()3,0A 和点()2,3B ，过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB ，BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当DBC ADC S S =△△时，求点D 的坐标．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第7次课作业1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++经过A ，B ，C 三点，已知()4,0B ，()2,6C -．（1）求该抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）点()(),12D m n m -<<在抛物线图象上，当ACD △的面积为278时，求点D 的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点()4,0B ，与过A 点的直线相交于另一点53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DC x ⊥轴，垂足为C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过P作PN x ⊥轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求PCM △面积的最大值。

2020年中考数学专题突破一：抛物线中的面积问题(铅垂高)

专题一：抛物线中的面积问题（铅垂高）【导例引入】导例：抛物线2123333y x x =-++交x 轴正半轴于点A （33，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线，线段CD 的长为，△ABC 的面积为．【方法指引】如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝·PQ·，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ 最大时，S △PAB 取得最大值．导例答案：3 2 33【例题精讲】类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM＝BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．类型三：由已知面积来定未知面积类问题例3. 如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．（2）①求证：抛物线l经过点C．②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标（2）由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y＝0，从而可证明点抛物线l经过点C；如图1所示；过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．类型四：与面积倍分有关的综合题例4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y＝﹣x﹣3，线段CD的长为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN（点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M，N．【分析】（1）根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C，顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，求出BM的解析式，找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；（3）找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，M，N在抛物线上，求出与AF垂直的点M，N的坐标即可．【真题精炼】1．（2018•青海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．2．（2017秋•吴中区期末）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．3．（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．4．（2014秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时，求m的值．（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．5．（2013秋•苏州期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，﹣4）．（1）求A的坐标及抛物线的解析式；（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC 上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△P AA1面积的3倍，求点P的坐标．参考答案例1 【解答】解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），．设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，∴∠OEC＝2∠ABC．∴tan∠OEC＝＝．当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．∵tan∠MGD＝，∴GM＝6k，GD＝3k，∴GC＝MG﹣CM＝2k，∴GR＝k，CR＝k．∴RD＝3k﹣k＝k．∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x ＝．∴点D的横坐标为．综上所述，当点D的横坐标为2或．【例2】解：（1）∵A（1，0），对称轴l为x＝﹣1，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM+∠NBQ＝90°．∵∠PMB＝90°，∴∠PBM+∠BPM＝90°．∴∠BPM＝∠NBQ．又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣3，0），点Q的坐标为（﹣1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．∵点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上B、C之间的一个动点，∴结合图象可知点P的纵坐标为﹣2，将y＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3，得﹣2＝x2+2x﹣3，解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+（舍去），∴此时点P的坐标为（﹣1﹣，﹣2）；（3）存在．如图2，连接AC．可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y＝x2+2x﹣3，∵点A（1，0），∴OA＝1．∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝﹣3．即点C（0，﹣3）．∴OC＝3．由（2）可知S四边形PBAC＝S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC＝BM•PM+（PM+OC）•OM+OA•OC＝（x+3）（﹣y）+（﹣y+3）（﹣x）+×1×3＝﹣y﹣x+．将y＝x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC＝﹣（x2+2x﹣3）﹣x+＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜x＜0，∴当x＝﹣时，S四边形PBAC有最大值．此时，y＝x2+2x﹣3＝﹣．∴当点P的坐标为（﹣，﹣）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为．例3：【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（1，0）．又∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3．∴B（0，3）．将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）．（2）①证明：由旋转的性质可知；OC＝OB＝3，∴C（﹣3，0）．当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3＝﹣9+6+3＝0，∴点抛物线l经过点C．②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），∴GE＝1，OE＝4．∴S梯形GEOC＝（GE+OC）•OE＝×（1+3）×4＝8．∵由旋转的性质可知；OD＝OA＝1，∴DE＝3．∴S△OCD＝OC•OD＝×3×1＝，S△GED＝EG•ED＝×1×3＝．∴S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED＝8﹣﹣＝5．（3）如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．∵PG∥CD，∴△PCD的面积＝△GCD的面积．∵OD＝OA＝1，∴D（0，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b．∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得：，解得：k＝，b＝1，∴直线CD的解析式为y＝+1．∵PG∥CD，∴直线PG的一次项系数为．设PG的解析式为y＝x+b1．∵将点G的坐标代入得：+b1＝4，解得：b1＝，∴直线PG的解析式为y＝+．∵将y＝+与y＝﹣x2﹣2x+3联立．解得：，，∴P（﹣，）．例4：【解答】解：（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．CW＝•cos∠DCW＝1．DW＝•sin∠DCW＝1．∴C点坐标为（0，﹣3），D点坐标为（1，﹣4），由顶点式可得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2分）（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，根据二次函数解析式可得：A（﹣1，0），由直线CD的解析式可知：E（﹣3，0），∵C（﹣3，0），∴∠AEH＝45°，∴△OEH是等腰三角形，∵OH⊥EC，∴H点的坐标是（﹣1.5，﹣1.5）∵AF∥CD，∴∠OAF＝45°，∴G（﹣0.5，﹣0.5），∵M是GH的中点，∴M（﹣1，﹣1），求出BM的解析式y＝x﹣，此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（﹣，﹣）．（3分）（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，则直线MN的解析式为y＝x+b，∵MN＝AF，∴M（1，﹣4），N（2，﹣3）．（4分）【真题精讲】1、【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB＝2，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB＝∠ABC＝45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝1，BC＝2，CD＝d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴，∴CD＝AB＝1，∴d+2＝1，∴d＝﹣1，∴D（0，﹣1）②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d＝6，∴D（0，6）；（3）如图，∵CE∥轴，∴令y＝﹣2，∴﹣2＝﹣x2+3x﹣2，∴x＝0（舍）或x＝3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF＝﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF＝HF×3＝（﹣m2+2m）＝﹣（m2﹣2m+1）+＝﹣（m﹣1）2+∴m＝1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．3．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP＝S△BPE+S CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S△BCP最大＝（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝，②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），解得m＝﹣当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，m2﹣4m+3＝0，解得m＝1或m＝3（舍）当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，解得m＝2或m＝3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．4．【解答】解：（1）由题意可得：y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，0＝m（x﹣3）（x+1），解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）如图1，∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，∴顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2＝BD2．DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．故m＝﹣时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；（3）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，则×（）2﹣﹣＝﹣，故P（，﹣）．5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，点B 的坐标为（1，﹣4），∴xy＝k＝1×（﹣4）＝﹣4，∴双曲线y＝﹣，∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内，∴可设A点坐标为：（﹣m，m）（m＞0），代入双曲线解析式得；m＝2，∴点A（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，2），B（1，﹣4），O（0，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x；（2）由A（﹣2，2），B（1，﹣4），代入y＝kx+d得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣2，设E（n，﹣n2﹣3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，﹣2n﹣2），∴EF＝（﹣n2﹣3n）﹣（﹣2n﹣2）＝﹣n2﹣n+2，∴S△ABE＝S△AEF+S△BEF＝×（﹣n2﹣n+2）×3＝﹣（n+）2+，∴S△ABE的最大值为：，此时，n＝﹣，﹣n2﹣3n＝，∴E（﹣，）；（3）∵B（1，﹣4）且直线BC∥x轴，∴令﹣x2﹣3x＝﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴C（﹣4，﹣4），∴S△ABC＝5×6×＝15，过点C作AB的平行线CD，交抛物线于点D，设直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x+t，则﹣4＝﹣2×（﹣4）+t，解得：t＝﹣12，∴直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x﹣12，令﹣2x﹣12＝﹣x2﹣3x，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去），当x＝3时，y＝﹣18，∴存在点D（3，﹣18）满足条件．6．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴×8•x＝×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝4，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP＝，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△CDB∽△CPQ，∴＝，即，解得：PQ＝2，∴点Q的坐标为（1，11）．7．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，∴解得：∴b、c的值分别为﹣4，3；（2）∵A（0，3），B（1，0），∴OA＝3，OB＝1，可得旋转后C点的坐标为（4，1），当x＝4时，由y＝x2﹣4x+3得y＝3，可知抛物线经过y＝x2﹣4x+3经过点（4，3）∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．（3）∵点P在y＝x2﹣4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x02﹣4x0+1），将y＝x2﹣4x+1配方得y＝（x﹣2）2﹣3∴对称轴为直线x＝2，∵S△PMM1＝3S△P AA1 MM1＝AA1＝2∴x0＜2，①当0＜x0＜2时，∵S△PMM1＝3S△P AA1，×2×（2﹣x0）＝3××2×x0，解得：x0＝，∴x0＝，此时x02﹣4x0+1＝﹣∴点P的坐标为（，﹣），②当x0＜0时，同理可得×2×（2﹣x0）＝3××2×（﹣x0）解得：x0＝﹣1，∴x0＝﹣1，此时x02﹣4x0+1＝6，∴点P的坐标为（﹣1，6），综上所述，可知：点P的坐标为（，﹣）或（﹣1，6）．。

一元二次方程的应用--面积问题》教学设计

一元二次方程的应用--面积问题》教学设计本节课的学生已经学过一元二次方程的基本知识，但对于如何将方程应用于实际问题解决中还存在一定的困惑。

因此，本节课需要通过生活化的面积问题引导学生思考，提高他们的运算能力和思维能力，并让他们体验到建模思想的魅力。

同时，通过合作研究和探索交流，培养学生的主动探究、深度思考的研究品质，使他们学会智慧生活。

二、教学重难点教学重点：通过面积问题引导学生理解一元二次方程解的实际意义，掌握列一元二次方程解决实际问题的方法，加强对XXX的合理性的理解。

教学难点：寻找等量关系，对方程的解在实际情境中的合理理解。

为了突破这些难点，我们将采用共同分析问题、灵感碰撞、辨析比较、数学类比、转化、建模思想的运用、归纳提炼等方法，帮助学生生成方法，提高他们的综合能力，达成教学目标。

三、教学过程1.引入问题老师：同学们，你们去过花园吗？在花园里，我们经常能看到各种各样的小路，那么设计这些小路的时候，有没有考虑过它们的面积呢？今天，我们就来探讨一下如何用数学方法解决这个问题。

2.讲解面积问题的解法老师：同学们，我们可以将小路看成长方形，这样，小路的面积就是长和宽的乘积。

但是，有些小路的形状并不规则，如何求出它们的面积呢？我们可以将它们分成若干个规则的图形，然后再求出每个图形的面积，最后将它们加起来。

这个方法叫做分割法，你们可以试一试。

3.解决实际问题老师：现在，我们假设有一个长方形的花坛，它的周长是20米，面积是56平方米，那么这个花坛的长和宽各是多少呢？请你们用一元二次方程解决这个问题。

4.检验解的合理性老师：同学们，我们已经求出了这个花坛的长和宽，但是，我们还需要检验一下这个解是否合理。

请你们思考一下，如果这个花坛的长和宽与我们求出的解不同，会出现什么情况呢？5.总结归纳老师：同学们，今天我们研究了如何用一元二次方程解决面积问题，并通过一个实际问题体验了建模思想的魅力。

你们觉得这个方法有用吗？有哪些需要注意的地方呢？请你们思考一下，并做一下总结。

初中数学面积问题教案

初中数学面积问题教案教学目标：1. 理解并掌握面积的概念，能够正确计算简单图形的面积。

2. 能够运用面积解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

教学内容：1. 面积的概念和定义2. 计算简单图形的面积3. 面积的实际应用问题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的图形的周长知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 提问：同学们，你们知道我们学过哪些图形的周长呢？它们是如何计算的？二、新课讲解（15分钟）1. 引入面积的概念，讲解面积的定义和意义。

2. 讲解面积的计算方法，如矩形、三角形、平行四边形等。

3. 举例讲解如何运用面积解决实际问题，如计算花园的面积、计算物体的表面积等。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些简单的面积计算题目，让学生独立完成。

2. 引导学生运用面积解决实际问题，培养学生的应用能力。

四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生明确面积的概念和计算方法。

2. 提问：同学们，你们还能想到其他运用面积解决的实际问题吗？3. 引导学生思考面积在现实生活中的应用，培养学生的创新思维能力。

教学评价：1. 课后布置一些有关面积的练习题目，检验学生对知识的掌握程度。

2. 在课堂上观察学生的表现，了解他们在解决问题时的思维过程。

教学反思：本节课通过讲解面积的概念和计算方法，让学生掌握面积的基本知识，并能够运用面积解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生积极参与课堂活动，培养他们的逻辑思维能力和创新思维能力。

同时，要关注学生的个体差异，因材施教，使他们在课堂上都能够得到有效的学习。

抛物线中的面积最值问题的探究

抛物线中的面积最值问题的探究教学目标1、理解和掌握在平面直角坐标系下已知一般三角形的顶点坐标求此三角形面积的方法。

2、理解和掌握抛物线中求三角形面积的最值问题的方法。

3、在探究过程中渗透转化的意识、数形结合、方程的思想以及动态问题中函数的思想方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学重、难点：1、理解和掌握在平面直角坐标系下求一般三角形面积的方法。

2、理解和掌握一种乃至多种求抛物线中三角形的面积最值的方法。

教学过程：一、知识回顾1、引例：如图，已知平面直角坐标系中三点A(1，0)、B(0，3)、C （2，2），求ABC S .（用多种方法解决，做出各种方法的辅助线，不计算）（教师总结学生的作法）备用图1 备用图2二、合作探究：例1、如图，已知抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-3，0）， B （1，0）．点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称. （1）求抛物线的解析式和直线BD 的解析式；（2）若点M 是线段BD 上方的抛物线上一动点，过点M 作直线平行于y 轴，交线段BD 于点N ，设点M 的横坐标为m ，求线段MN 的长关于m 的函数关系式. （3）若点M 是线段BD 上方的抛物线上一动点，当点M 运动到什么位置时，四边形ABMD 的面积S 最大? 求出此时S的最大值和点M 的坐标.变式：例1中的抛物线，将线段BD 向上平移3个单位得到对应线段''B D ，线段BD上 D yx O A B C P 'B'DD y方的抛物线上一动点P ，是否存在点P 使得''PBD PB D S S ∆∆-的值最大。

三、学以致用练习: 例1中的抛物线, 若点N 是线段AC 上方的抛物线上一动点N 运动到什么位置时，⊿ACN 的面积S 最大? 求出此时S 的最大值.四、小结：略五、作业：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

浙教版初中数学九上 1.4 二次函数的应用抛物线中的三角形面积问题教案

抛物线中的三角形面积问题（一）、教学目标1、知识与技能：会用合理的方法求抛物线解析式；能用数形结合、分类讨论、割补法等探究抛物线中三角形面积问题；2、过程与方法：通过学生独立思考、教师设问启发、分小组讨论的方式探究抛物线中的三角形面积问题，培养学生的解题思想，发展学生的探究能力。

3、情感与态度：通过小组讨论培养学生合作交流意识、创新意识和探索精神。

（二）、重点、难点教学重点：运用三角形、函数、方程有关知识，结合数学思想，探究抛物线中三角形的面积问题是重点；教学难点：灵活运用数形结合、分类讨论、割补法等数学思想方法探究抛物线中三角形面积问题是难点。

(三)、教学方法采用启发式教学法，发扬教学民主，鼓励学生大胆实践，真正落实学生是教学的主体，教师是教学的引导者。

(四)、教学辅助多媒体平台、几何画板软件、三角板(五)、教学过程1、问题：如图1，Rt△ABC中，若有CO垂直斜边AB于点O，你能得到哪些结论？（对学生的回答要做积极合理的评价。

）【预设】：学生应该会说出很多结论，但可能会很零乱，教师必要时可以引导学生从三个方面来考虑：1、从角考虑；2、从边考虑；3、边角结合考虑。

图1【设计意图】：此题设计目的是开放问题，在认识上求新。

这个图是基本图形，这个问题是开放题，结论很多，可以让更多的学生充分的发表意见，这样既复习了基础知识的，又让部分学困生有机会体验成功，提高学习数学的兴趣。

2、问题生成1：如图2，以AB所在直线为x轴，以CO所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，若AO＝1，OB＝4，请写出A，B，C三点的坐标.【预设】：对于A，B，C三点的坐标，大部分学生易得到（教师要关注学生A点坐标可能会出现的错误：A（1,0）)。

【设计意图】：通过这个问题的练习，可以巩固学生根据线段确定坐标的方法。

3、问题生成2：如图3x yBCAO析式？【预设】：大部分学生会用交点式求抛物线的解析式，但也不排除会有个别学生用一般式求解析式，首先对其做法给予肯定，同时引导他进行比较，让他自己明白哪种方法更合适。

抛物线之三角形面积最大技巧讲义

抛物线之三角形面积最大技巧讲义抛物线是一种常见的二次曲线，定义为平面上所有与固定点（焦点）F和直线（准线）L的距离之比等于1的点的集合。

抛物线具有非常特殊的形状，常常在几何问题中发挥重要作用。

其中一个有趣的问题是找出以抛物线为一边的三角形面积最大值。

在这篇文章中，我将为您提供关于如何解决这个问题的技巧说明。

首先，让我们考虑一个一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c。

为了简化问题，我们可以假设抛物线的焦点位于原点（0，0），并且准线为 x 轴。

这将使我们的抛物线方程变为 y = ax^现在，让我们将三角形的底边设置在x轴上，其中顶点位于抛物线上。

我们将抛物线上顶点的坐标设为(x,y)。

则三角形的底边长度为2x。

我们的目标是找出使得三角形面积最大的顶点坐标(x,y)。

要解决这个问题，我们可以利用简单的几何原理和微积分的知识。

让我们逐步进行推导。

首先，我们知道三角形的面积可以通过底边长度和高度的乘积除以2来计算。

因此，我们需要找到高度。

现在，考虑到我们的抛物线方程是 y = ax^2，我们可以通过将 x 代入来计算 y 的值。

我们得到顶点坐标为 (x, ax^2)。

接下来，我们计算三角形的高度。

我们可以使用两个点之间的距离公式。

通过这个公式，我们可以得到三角形的高度 h等于抛物线上的点到x 轴的垂直距离。

这个垂直距离等于抛物线方程中的 y 值。

因此，我们的高度 h等于 ax^2现在，我们知道三角形的底边长度为 2x，高度为 ax^2、我们可以使用这些值计算三角形的面积。

根据面积公式，我们有：面积=底边长度*高度/2= 2x * ax^2 / 2= ax^3至此，我们得到了三角形面积的关于x的表达式。

要找到最大面积，我们需要找到其中的最大值。

为了找到最大值，我们可以对面积函数求导，并将导数设为零。

这将给出使面积最大的x值。

对面积函数 ax^3 求导，我们得到导数为 3ax^2、令导数等于零，我们有：3ax^2 = 0由于我们在问题的假设下，a不等于零，所以唯一的解是x=0。

九年级数学上册《面积问题》教案、教学设计

-定期进行小测验，检测学生对面积知识的掌握程度。
-注重过程性评价，关注学生在解决问题中的思考过程、方法选择和创新意识。
4.教学拓展：
-结合数学历史，介绍面积计算方法的发展过程，激发学生的探究欲望。
-邀请相关领域的专家或家长，分享面积知识在实际工作中的应用，增强学生的实践意识。
-开展课外实践活动，如测量校园内的不规则场地面积，培养学生学以致用的能力。
九年级数学上册《面积问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.熟练掌握三角形、矩形、梯形、圆等常见平面几何图形的面积公式。
2.能够运用割补法、等积变换等技巧解决复杂图形的面积问题。
3.学会利用面积比例关系解决实际问题，如土地丈量、房屋面积计算等。
4.能够运用代数方法解决面积相关的方程问题，提高数学综合运用能力。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但在解决面积问题时，可能会遇到以下困难：对面积公式的记忆不够熟练，对割补法、等积变换等技巧掌握不足，以及在实际问题中运用面积知识的能力较弱。此外，学生在面对复杂图形的面积计算时，可能会产生恐惧心理，影响解题效果。因此，在教学过程中，教师应关注以下几个方面：
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-熟练掌握三角形、矩形、梯形、圆等常见几何图形的面积公式。
-灵活运用割补法、等积变换等技巧解决面积问题。
-将面积知识应用于解决实际问题。
2.教学难点：
-对复杂图形进行割补、等积变换，解决不规则图形的面积计算。
-在实际问题中，提取关键信息，建立数学模型，求解面积问题。
4.引导学生总结解题规律，提高学生归纳总结和逻辑思维能力。

九年级数学上册《抛球问题和最大面积》教案、教学设计

7.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但在抛物线及其实际应用方面的知识掌握程度参差不齐。大部分学生对抛物线的概念和性质已有初步了解，但对于抛球问题和最大面积的计算方法尚存在困难。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将所学知识灵活运用，缺乏创新意识和解决问题的能力。
在讲解过程中，我会注重启发式教学，引导学生主动思考、提问，并及时解答学生的疑惑。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。针对以下问题进行讨论：
1.抛物线在实际生活中还有哪些应用？
2.如何运用抛物线的性质解决抛球问题程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进度和思考过程。在讨论结束后，邀请各小组代表进行汇报，分享他们的讨论成果。
-小组讨论：组织学生分组讨论，共同探讨抛物线在实际问题中的应用，培养学生的合作精神和交流能力。
-练习巩固：设计梯度性练习题，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
-课堂小结：总结本节课所学知识，强调抛物线在实际生活中的应用价值。
3.教学评价：
-过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的方法，鼓励学生积极发言、互动交流。
针对这些情况，教学过程中应注重以下几点：
1.对基础知识的巩固，通过复习导入和讲解，帮助学生梳理抛物线的基本概念和性质。
2.对学生进行差异化教学，针对不同学生的掌握程度，设计不同难度的例题和练习，使每位学生都能得到有效提升。
3.激发学生的探究兴趣，引导他们从实际问题中发现数学规律，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
-计算题2：给定一个抛球轨迹，求球在飞行过程中与地面形成的最大面积。

抛物线与面积问题

抛物线与面积问题执教：甘棠中学王建龙一、基础回顾：1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-1，1），B （2，0），C （4，2），求△ABC 的面积。

分析：分别过A 、C 作x 轴的垂线，转化为梯形与三角形的面积的差求解。

2、过△ABC 的的顶点A 作BC 的平行线MN ，在直线MN 上任取点P ，PBC S ∆与ABC S ∆有何数量关系？设PC 交AB 于O ，图中还有面积相等的三角形吗？反过来，如果已知PBC S ∆=ABC S ∆或POB S ∆=AOC S ∆，能判断直线MN 与直线BC 的数量关系吗？分析：分别过P 、A 作BC 的垂线，PBC S ∆与ABC S ∆共底等高，故面积相等。

同时减去O B C S ∆，则POB S ∆=AOC S ∆；反过来也成立。

归纳：①求坐标系内图形的面积，通常过其顶点作坐标轴的垂线，转化为直角三角形和直角梯形的面积的和或差来求解；②根据平行线间的距离处处相等，可以过某一顶点作某一边的平行线，将其转化为与之同底等高的三角形来求解。

二、考点迁移：例1：如图，抛物线432+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，在第二象限的抛物线上是否存在点P ，使PAC S ∆=4？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

分析：解法一：作PM ⊥x 轴于点M ，PAC S ∆=PAM S ∆+PMOC S 梯形-AOC S ∆ 设P 的坐标，列方程求解。

解法二：过P 作P M ∥AC 交x 轴于M ，则MA C S ∆=PAC S ∆，由此得M 的坐标，进而求出PM 的解析式，与抛物线联立求解。

例2：如图，抛物线542+--=x x y 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ，P 是第二象限抛物线上一点，作PF ⊥x 轴于点F ，交AC 于点E ，若PAE S ∆：AEF S ∆=2：3，求点P 的坐标。

“平移抛物线求面积”教学设计

“平移抛物线求面积”教学设计一、创设情境,导入新课情境如图 1,在一块长 20m,宽 12 m 的草坪中有一条抛物线形的路 ,它的横向宽度为 2 m,你能根据图中的数据 ,计算阴影部分的面积吗 ?点评：问题情境与学生生活联系紧密，有利于激发学生学习的积极性。

【学生活动】思考 ,发言 .图 1【教师活动】总结 ,组织学生评价 .点评：学生活动和教师活动过于简略。

教师对学生活动应具有预见性，当根据学生表现，给予切实的评价；教师活动当体现学法与解题方法的指导作用。

答案 :把路的右边 ( 或左边 )的部分向左 (或右 )平移 ,空出一部分 (如图所示 ), 该部分图形的面积与抛物线形路的面积相等,故阴影部分的面积为 :20 ×12-20 ×2=200m2.点评：解题方法巧妙。

借助图形平移的性质，化抽象为具体，使学生的思路豁然开朗，不言而喻。

【感悟】借助图形平移的性质,可把不规则图形的计算问题转化为规则图形的计算问题,突显平移的优越性 .二、合作交流 ,解读探究问题 1 如图 2,抛物线 y1＝ -x2＋ 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2,则阴影部分的面积S=_________.【引导分析】1.抛物线 y1及抛物线 y2的顶点坐标分别是多少?2.把抛物线 y1在第一象限内的部分向右平移几个单位长度,与抛物线 y2重合 ?3.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案 :1.抛物线 y1及抛物线y2的顶点坐标分别是(0,2),(1,2).2.把抛物线 y1在第一象限内的部分向右平移 1 个单位长度 ,与抛物线 y2重合 .图 23.阴影部分面积与矩形 PONM 图形面积相等 (即为 :2).【双向沟通】师生互动 : 学生在教师的引导下,就上面引导分析中的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价 ,并就不正确的结论进行纠正,形成共识 ,得出正确结论 .教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时 ,进行解题方法的归纳 .问题 2 如图 3,试求两条抛物线y1=1x2＋1、 y2=1x2-1与22分别经过点 (-2,0),(2,0) 且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积 .【引导分析】1图 31.抛物线 y1及抛物线y2的顶点坐标分别是多少?2.抛物线 y 2=-1x2-1可以看成是由抛物线 y1=-1x2＋ 1,向哪个方向平移几个单位而得 ?223.把格点矩形 ABCD 向下平移几个单位长度后 ,两抛物线重合 ?此时 ,它可与哪个格点矩形重合 ?4.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案 : 1.抛物线 y1及抛物线y2的顶点坐标分别是(0,2), (0,0).2.抛物线 y2由抛物线y1向下平移 2 个单位长度而得.3.格点矩形ABCD 向下平移 2 个单位长度后 ,两抛物线重合.此时 ,它可与哪个格点矩形BEFC 重合 .4.阴影部分面积与矩形ABCD 面积相等 (即为 :8).【双向沟通】师生互动 : 学生在教师的引导下,就上面的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价,并就不正确的结论进行纠正 ,形成共识 ,得出正确结论 .教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时 ,进行解题方法的归纳 .点评：引导分析环环相扣，意在帮助学生构建抛物线形路面的教学模型，将不规则图形转化为规则图形，符合学生的认知规律。

《一元二次方程应用——面积问题》教学设计-优秀教案

1．回顾：用一元一次方程解决问题的一般步骤有哪些？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【自主预习】一根长22cm的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由补充：围成的矩形面积最大是多少？【例题讲解】例1．如图在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？变式1：在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑如图同样宽的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？（列式不计算）变式2：如图在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑两条入口处宽度相等平行四边形的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，求每条道路的入口处宽应为多少？例2.用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF 引导，启发，交流答案用课件演示化部分为整体的思考方法教师总结出这类问题的思考方法。

思考：还可以有哪些铺道路的方案。

引导，交流答案。

讨论，思考，练习解方程，写出完整的过程。

列出方程，讨论思考方法学生讨论，自己列出方程列出方程解答，写出完整的熟悉列方程解应用题的步骤，解题过程的书写；注意知识的迁移，用配方法求出代数式的最大值。

拓展学生的知识，体会图形的构造方法正确的设未知数，并且构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长．变式：（1）如图1，要建立一个面积为150平方米的长方形养鸡场，养鸡场一边靠墙，墙长18米，在墙的对面留一个宽为2米的门，另三边（门除外）用33米的竹篱笆围成，求养鸡场的长和宽。

（2）如图2，若留两个宽为2米的门呢？求养鸡场的长和宽。

用平行线解决抛物线中的面积问题(导学案)

6
用平行线解决抛物线中的面积问题（导学
案）
徐古中学杨军
导学目标：1、理解并掌握用平行线解决抛物线中面积问题的方法，进一步提
高学生的分析、推理能力和计算能力。

2、培养学生的在数学学习中的转化思想，感受转化思想在数学活动中的作用。

3、通过学习，培养和提升学生运用数学知识解决问题的能力，感受成功的喜悦。

导学重、难点：1、如何在坐标轴上找到满足条件的点。

2、作出正确的平行线并求出其解析式。

导学过程：一、复习故知，引出新知。

我们已经学习了二次函数图像的内容，知道了二次函数的解析式和图像的联系。

下面我们来看一个问题：
问题1:如图，抛物线y=-x 2
+2x+3与两轴
交于A 、B 、C 三点，请同学们求出它们的坐标。

10 15
归纳:
二、学习新知。

问题2 :连接AC ,请同学们在
坐标轴上找一点D ，使得S AACD =3, 请同学们思考并找寻。

8
10
3、如图，抛物线y=-x 2
-4x+5与x 轴交于A 、B 两点, 交y 轴于点C ,其顶点为P 连PC 。

抛物线上有一点E,且S PCE =15,求点E 的坐标。

2、如图，已知抛物线y=2
「3x" x 轴交于A 、B 两点,
交y 轴于C ,在抛物线上有一点使得 S A ACF =4 , 求点P 的坐标。

2
4
、
4
6
三、课堂训练。

1、在刚才的例题中，连接BC,在抛
物线上有一点F ,且S A BCF =3,求F 的坐标。

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