与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第五章 平面向量、复数 课时跟踪训练27

课时跟踪训练(二十七)

[基础巩固]

一、选择题

1．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )

D ．a ·a ＝|a |2

[解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |≤|a ||b |，∴A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，∴B 错误；∵(a ·b )c 是与c 共线的向量，a (b ·c )是与a 共线的向量，∴C 错误；∵a ·a ＝|a ||a |cos0＝|a |2，∴D 正确．故选D.

[答案] D

2．(2018·辽宁协作体期末)四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →

|，则四边形ABCD 为( )

A ．平行四边形

B ．菱形

C ．矩形

D ．正方形

[解析] 因为四边形ABCD 中，AB →＝DC →

，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →

|，即对角线相等，所以平行四边形ABCD 是矩形．故选C.

[答案] C

3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →

＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )

A ．－32

B ．0 C.32

D ．3

[解析] 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋

1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝－3

2. [答案] A

4．(2018·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( )

A.3

2 B ．－3

2 C ．±32

D ．1

[解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0. 又(3a ＋2b )⊥(λa －b )，

所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－3a ·b ＋2λa ·b －2b 2＝12λ－18＝0，解得λ＝32.

[答案] A

5．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1

D.2

2

[解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0， 又因为|a |＝1，所以a ·b ＝－1.又因为(2a ＋b )⊥b ，

所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a ·b ＋|b |2＝0，所以|b |2＝2，所以|b |＝ 2. [答案] B

6．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →

＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )

A ．|b |＝1

B ．a ⊥b

C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥BC →

[解析] ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →

，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →

＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.

[答案] D 二、填空题

7．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．

[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝1＋a ·b －2×22＝－6，∴a ·b ＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，

b 〉＝π3.

[答案] π

3

8. (2018·沧州百校联盟期中)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．

[解析] 如图，建立直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)．

则BA →＝(3，－4)，AD →

＝(－3,2)． ∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17. [答案] －17

9．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，且c 与a 的夹角为π

4，则k ＝________.

[解析] 由题意得c ＝(k －2，k ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a

|c |·|a |

＝k －2＋k ＋22·(k －2)2＋(k ＋2)2＝22，所以k k 2

＋4＝2

2，解得k ＝2. [答案] 2 三、解答题

10．(2017·合肥模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．

(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影． [解] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.

(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52. ∴λ的值为5

2.

(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)

2＝－222＝－22. [能力提升]

11．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6

D.2π3

[解析] 由|a ＋b |2＝|a －b |2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0.又|a －b |2＝4a 2，得a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2，得b 2＝3a 2.由(a －b )·b ＝－

b 2，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝(a －b )·b |a －b ||b |＝－b 22|a |·3|a |＝－3a

2

23a 2

＝

－32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π

6，故选C.