【初中数学】2002年-2012年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编(实数等10个专题) 通用8

2002年-2012年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编
专题8：三角形
一、选择题
1. （深圳2002年3分）下列两个三角形不一定相似的是【 】 A 、两个等边三角形 B 、两个全等三角形
C 、两个直角三角形
D 、两个顶角是120º的等腰三角形 【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。

【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B 相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C 不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。

故选C 。

2.（深圳2003年5分）计算：︒⋅︒
︒
-︒60tan 30cos 60cos 45cot 的结果是【 】
A 、1
B 、3
1
C 、23-3
D 、1332- 【答案】A 。

【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。

【分析】根据特殊角的三角函数值计算：
∵cot45°=1，cos60°=
1
2
，cos30°
tan60°
∴原式
1
11-。

故选A 。

3.（深圳2003年5分）如图，直线l 1//l 2，AF ：FB=2：3，BC ：CD=2：1，则AE ：EC 是【 】
A 、5：2
B 、4：1
C 、2：1
D 、3：2 【答案】 C 。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】如图所示，∵AF ：FB=2：3，BC ：CD=2：1，
∴设AF=2x ，BF=3x ，BC=2y ，CD=y 。

G
A
l 1
l 2
F
E B
C
D
C D
由l 1//l 2，得△AGF ∽△BDF ， ∴
AG AF
BD BF
=
，即AG 2x 3y 3x =。

∴AG=2y 。

由l 1//l 2，得△AGE ∽△CDE ，∴
AE AG 2y
21EC CD y
===:。

故选C 。

4.（深圳2006年3分）如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于【 】
Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 【答案】B 。

【考点】相似三角形的应用， 解二元一次方程组。

【分析】如图，设AB=x 米，BC= y 米，则BC=y ＋1米，BF= y ＋5米。

由△ABD ∽△GCD 和△ABF ∽△HEF 得
AB BD
GC CD AB BF
HE EF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即x y 11.51
x y 51.5
2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩＋＋，解得x=6y=3⎧⎨⎩。

∴路灯A 的高度AB 等于6米。

故选B 。

5.（深圳2010年学业3分）如图，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝80º，则∠B 的度数是【 】
A ．40º
B ．35º
C ．25º
D ．20º 【答案】C 。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。

【分析】∵△ABC 中，AC=AD ，∠DAC=80°，
∴∠ADC= （180°－80°）÷2=50°。

∵AD=BD ，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，∴∠B=∠BAD=（ 50÷2）°=25°。

故选C 。

6.（深圳2011年3分）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是【 】
图1
60°
1
2
【答案】B 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】如
B
图△EFG
和△ABC
中，∠EFG=∠ABC=1350
，
AB CB 2 , EF GF ==，AB CB EF GF
∴=。

EFG ABC ∴∆∆∽。

实际上， A ，C ，D 三图中三角形最大角都小于∠ABC ，即可排它，
选B 即可。

7.（深圳2011年3分）如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为【 】
A.
B. C.5:3 D.不确定
【答案】A 。

【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】连接AO ，DO 。

设等边△ABC 的边长为a ，等边△ABC 的边长为b 。

∵O 为BC 、EF 的中点，∴AO 、DO 是BC 、EF 的中垂线。

∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE 。

又∵∠BOE=1800—∠COE ，∴∠AOD=∠BOE 。

又由AO 、DO 是BC 、EF 的中垂线，得OB=1
2a ，OE=12b ，
，
OD=。

从
而
OA OD OA OD 223 , AOD BOE
11OB OE OB OE 22
a b ====∴=∴∆∆。

∽。

∴AD ：。

故选A 。

8．（2012广东深圳3分）如图所示，一个60o 角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到 一个四边形，则么21∠+∠的度数为【 】
A. 120O
B. 180O
. C. 240O
D. 300
【答案】C 。

【考点】三角形内角和定理，平角定义。

【分析】如图，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+600=1800，
又根据平角定义，∠1+∠3=1800，∠2+∠4=1800， ∴1800－∠1+1800－∠2+600=1800。

∴∠1+∠2=240O 。

故选C 。

9. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】
A.(6米
B.12米
C.(4+米 D ．10米 【答案】A 。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。

作CE ⊥BD 于E ，在Rt △CFE 中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30° 在Rt △CED 中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴DE=4。

∴
∵△DCE ∽△DAB ，且CE ：DE=1：2，
∴在Rt △ABD 中，AB=
12BD=(1
2
=A 。

10．（2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o ，点A 1、A 2、A 3 在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…．．在射线OM 上，△A 1B 1A 2. △A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=l ，则△A 6B 6A 7 的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。

【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图，∵△A
1
B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。

∴∠2=120°。

∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。

又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。

∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。

∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32。

故选C。

二、填空题
1.（深圳2002年3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=
▲ 。

【答案】4。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：
∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是中位线。

∴DE 1
2
BC。

∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2。

∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。

2.（深圳2004年3分）计算：3tan30º＋cot45º－2tan45º＋2cos60º= ▲ .
【考点】特殊角的三角函数值。

【分析】运用特殊角的三角函数值求解：
3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=1
312122
+-⨯+⨯= 3.（深圳2005年3分）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母
与辅助线，要使
△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是 ▲ 。

【答案】AB=DC 或∠ACB=∠DBC 。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】要使△ABC ≌△DCB ，已知有两对边对应相等，AC=BD ，BC=BC ，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：
可添加AB=DC 利用SSS 判定△ABC ≌△DCB ；可添加∠ACB=∠DBC 利用SAS 判定△ABC ≌△DCB 。

4.（深圳2006年3分）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为 ▲ ． 【答案】7。

【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】根据条件先确定△ABC 为直角三角形，再求得△ABC 的面积：
如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，
∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB 。

∴∠1=∠2，∠3=∠4。

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。

∴△ABC 是直角三角形。

∴AC 2＋BC 2=AB 2=36。

又∵AC ＋BC=8，∴AC 2＋2AC•BC ＋BC 2=64。

∴2AC•BC=64－（AC 2＋BC 2）=64－36=28。

∴AC•BC=14。

S △ABC =
12AC•BC= 1
2
×14=7。

5.（深圳2007年3分）直角三角形斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ▲ ． 【答案】9π。

【考点】直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：
圆的半径=6÷2=3， 则面积=πr 2=9π。

6.（深圳2010年学业3分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测 到灯塔M 在北偏东60º方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东 30º方向上，那么该船继续航行 ▲ 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置 【答案】15。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

【分析】过点M 作MC ⊥AB 于点C ，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C 。

由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60º，从而由∠DBM=30º和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30º。

因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB 。

设渔船航行的速度为v 单位/分钟，则由已知MB= AB=30v 单位。

在Rt △BCM 中，∠MCB=90º，∠MBC=30º，则BC=1
2
MB=15v 单位。

则渔船从B 处航行到C 处所用时间为15v
v
=15分钟。

即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。

7.（深圳2010年招生3分）如图，一艘海轮位于灯塔P
的东北方向，距离灯塔的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东300 方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 ▲ 海里（结果保留根号）． 【答案】
40+
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的判定，知△APC 为等腰直角三角形，由
AP=AC=PC=40；
A B
M
北北
30º 60º
东
C D
A B
M
北北30º
60º
东
由平行的性质，得∠B=300，由锐角三角函数定义，得
CB=
PC B tan ==∠。

因此，
AB=AC+CB=40+ 三、解答题
1.（深圳2003年12分）如图，已知△ABC ，∠ACB=90º，AC=BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF ∽△BEC （8分）
（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF·BE=2S （4分）
（3）试判断以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形的形状并给出证明． 【答案】解：（1）证明：∵AC=BC ，∠ECF=45°∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF ，∠ECB=45°+∠BCF 。

∴∠AFC=∠ECB 。

∴△ACF ∽△BEC 。

（2）∵△ACF ∽△BEC ，∴ AC AF
BE BC
=
，即AF•BE=AC•BC 。

又∵ S △ABC =
1
2
AC•BC ，∴A F•BE=2S 。

（3）直角三角形。

证明如下： 由（2）可知AF•BE=AC•BC= AC 2=1
2
AB 2。

设AE=a ，BF=b ，EF=c ． 则 (a+c)(b+c)=
1
2
(a+b+c)2，化简即得a 2+b 2=c 2。

所以以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形是以线段EF 为斜边的直角三角形。

【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。

【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。

（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S ；
（3）由（2）的结论，求出AE 、EF 、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。

本题还有以下证明方法：
方法1：将△ACE 绕O 顺时针旋转90°到△CBG ，边角边证明三角形全等，得出FG=EF ，再证明△FBG 为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。

方法2：将△ACE 和△BCF 分别以CE 、CF 所在直线为轴折叠，则AC 、BC 的对应边正好重合与一条线段CG ，连接GE 、GF ，则△FEG 是直角三角形。

2.（深圳2005年8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A
处测得踏顶
B 处的仰角为60º，爬
到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30º，求塔BC 的高度。

【答案】解：作BE ⊥AD 的延长线于点E ， 设ED= x ，
在Rt △BDE 中，BE=3DE=x 3，
在Rt △ABE 中，AE=3BE=3x ，
由AE －ED=AD 得：3x －x=10 ， 解之得：x=5。

所以BC=5+10=15。

答：塔BC 的高度为15米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】过点B 作BE ⊥AD 交AD 延长线于点E ，构造两个直角三角形。

设DE=x ，分别求解可得AD 与DE 的值，再利用BC=AD+DE ，即可求出答案。

3.（深圳2007年7分）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． 【答案】解：如图，在Rt △ABP 中，
AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=
12
30
cos =
BP= 。

易求，∠PCB=∠PBC=300，∴
PC= BP= ，
AC= 过点C 作CQ ⊥AM 于点Q ，则
CQ=
∵936>，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。

【分析】应用锐角三角函数求出点C 到直线AM 的距离，与9海里比较即可。

4.（深圳2009年6分）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡 顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆 BC 的高度．
【答案】解：延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ．
在Rt △AEC 中，AC ＝10， 由坡比为1
CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×12
＝5，
AE ＝AC·cos30°＝
＝。

在Rt △ABE 中，BE
＝11。

∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）。

答：旗杆的高度为6米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ，要求旗杆BC 的高度，只要求出BE 和CE 的高度即可。

解Rt △AEC 和Rt △AB 即可得出结果。

5.（深圳2010年学业7分）如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，D 在AB 上．
（1）求证：△AOB ≌△COD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分）
【答案】解：（1）证明：∵∠DOB=90°－∠AOD ，∠AOC=90°－∠AOD ，
∴∠DOB=∠AOC 。

∵OC=OD ，OA=OB ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）。

（2）∵△AOC ≌△BOD ，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°。

∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°， ∴
CD=
=。

【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC ，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC ≌△BOD 。

（2）由（1）△AOC ≌△BOD ，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代
A
B
C
D A
B
C
D
E O
换求得∠CAB=90°，则根据勾股定理CD=
6.（深圳2010年招生8分）阅读下列材料： 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画
出格点△ABC ，使AB ＝AC BC
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB ＝AC BC =于是画出线段AB 、AC 、BC ，从而画出格点△ABC ．
（1）请你参考小明同学的做法，在图一2 正方形网格（每
个小正方形边长为1 ）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示），
使A'B'＝A'C'＝5，B'C'（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC 与△A'B'C' 的形状，猜想∠BAC 与∠B' A'
C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】解：（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：
（2）猜想：∠BAC=∠B' A' C'。

证明如下：
∵ AB AC
A B A C ''''==，BC B C ''==AB AC BC A B A C B C ''''''==。

∴△ABC ∽△A'B'C'。

∴∠BAC=∠B' A' C'。

【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由勾股定理可作图形。

（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC ∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B' A' C'。