信号与系统ch04-(3)

所以 f (− t ) ↔ F (− jω )
又 所以
F (− jω ) = R (− ω ) + jX(− ω ) = R (ω ) − jX(ω ) = F * ( jω )
f (− t ) ↔ F (− jω ) = F ( jω )
∗
24
Signals & Systems
奇偶函数的傅里叶变换
离散谱
再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对 大小仍有区别，引入频谱密度函数。令 Fn F (jω ) = lim = lim FnT (单位频率上的频谱） T →∞ 1 / T T →∞ 称为频谱密度函数。
4
Signals & Systems
傅里叶变换的导出
由傅里叶级数 Fn T =
∫ −∞ F (jω ) e
∞
jω t
dt
sgn (t) e
–α|t|
⎛ω τ τ Sa⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 jω
2α
α 2 +ω 2
19
Signals & Systems
§4.5
傅里叶变换的性质
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性
• 频移特性 • 卷积定理 • 时域微分和积分 • 频域微分和积分 • 相关定理
∞
关于 ω 的偶函数 R (ω ) = R (− ω ) | F ( j ω ) |= | F ( − j ω ) |
| F ( jω ) |= R (ω ) + X (ω )
2
2
⎛ X (ω ) ⎞ ϕ (ω ) = arctan⎜ ⎜ R (ω ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
关于 ω 的奇函数 X (ω ) = − X (− ω ϕ (ω ) = − ϕ ( − ω )
2
ω
O
ω
F ( jω ) 是偶函数
⎧ π − ⎪− 2 , ω =⎪ arctan ⎨ 0 ⎪π , ⎪2 ⎩ ϕ (ω )是奇函数 2
ϕ (ω )
ω >0 ω <0
O π − 2
π 2
ω
17
Signals & Systems
7. 阶跃函数
1 1 1 ε (t ) = + sgn(t ) ←→ πδ (ω ) + 2 2 jω
f (t ) ↔ F (jω )
= R(ω ) + j X (ω )
f (−t ) ↔ F (− jω ) = F * (jω ) = R(ω ) − j X (ω )
•1、如果 f (t)= f (–t)， •则 •则 X(ω)=0， • 2、如果 f (t)= –f (–t) ， R(ω)=0，
∞
傅里叶变换式“-”
∞
−∞
f (t ) e
dω
− jω t
dt
1 f (t ) = 2π
∫−∞
F (jω ) e
jω t
傅里叶反变换式
F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
5
Signals & Systems
傅里叶变换的导出
也可简记为
Signals & Systems
推导
构造 fα
1←→?
(t)=e-α⎟t⎟ ，α> 0←→
Fα ( jω ) = 2α α2 +ω2
f (t ) = 1 = lim f α (t )
α →0
所以 又
∞
⎧ 0, ω ≠ 0 2α =⎨ F ( jω ) = lim Fα ( jω ) = lim 2 2 α →0 α →0 α + ω ⎩∞, ω = 0
τ
或B f ≈
1
τ
0
−π
2π τ 4π τ
ω
8
Signals & Systems
2．单边指数函数
f(t) = e–αtε(t)， α >0
f (t )
1
O
t
∞ 0 =
F (jω ) =
∫0 e
∞ −α t − jω t
e
1 dt = − e −(α + jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)t α + jω
1 α + jω
9
Signals & Systems
=∫
∞ − jω t
∞ −∞
=∫
∞
−∞
[af 1 (t ) + bf 2 (t )] e
− jω t
dt
− jω t
−∞
a f1 (t ) e
dt + ∫
b f 2 (t ) e
dt
举例
21
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
Signals & Systems
线性性质例
求信号f(t)的傅里叶变换 F(jω) = ?
18
Signals & Systems
归纳记忆：
1. Y 变换对
F (jω ) = ∫
∞ −∞ − jω t
2. 常用函数 Y 变换对：
δ(t)
dt
f (t ) e
1
1 2πδ(ω)
π δ (ω ) +
1 j ω +α
ε(t)
e -αt ε(t) gτ(t)
1 j ω
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1 f (t ) = 2π
)
23
Signals & Systems
例： 已知f (t ) ↔ F ( jω )
∞ −∞
求f (− t ) ↔ ？
f (− t ) ↔ ∫ f (−t )e − jωt dt = ∫ − f ( x )e
∞ −∞ jωx
令 x = -t
∞ −∞
dx = ∫ f ( x)e − j ( −ω ) x dx = F (− jω )
2 ⎛ω ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝α ⎠
2
∞ 2α lim ∫ dω = lim ∫ −∞ α 2 + ω 2 α →0 α →0 − ∞
d
ω ω = lim 2 arctan α α →0 α
∞ −∞
= 2π
因此，
1←→2πδ(ω)
14
Signals & Systems
求Y [1]另一种方法
将δ(t)←→1代入反变换定义式，有
设f(t)是实函数
F (jω ) = ∫
∞ −∞
f (t )e
− jωt
dt =
∫
∞
−∞
f (t ) cos(ωt ) d t − j ∫
∞
−∞
f (t ) sin(ωt ) d t
= R (ω ) + j X (ω ) =| F ( jω ) | e jϕ (ω )
显然
R (ω ) = ∫ f (t ) cos(ωt ) d t ⎫ ⎪ −∞ ⎬ ∞ X (ω ) = − ∫ f (t )sin (ωt ) d t ⎪ −∞ ⎭
ω
ϕ (ω )
π 2
O
ω
−π 2
10
Signals & Systems
3．双边指数函数
f (t )
1
f(t) = e–α|t|
，
α >0
O
t
F (jω ) =
∫−∞
0 αt − jω t
e e
dt +
∫0
∞ −α t − jω t
e
e
dt =
1 1 2α + = 2 α − jω α + j ω α + ω 2
不满足绝对 可积条件
1
sgn(t )
⎧− eαt , t < 0 f α (t ) = ⎨ −αt ⎩e , t > 0
sgn(t ) = lim f α (t )
α →0
e −αt
t
α >0
−e
αt
O
−1
1 1 j 2ω fα (t ) ←→ Fα (jω ) = − =− 2 α + jω α − jω α +ω 2
f(t) 1 -1
0
f 1( t )
g2 ( t )
=
1 t
1
0
t
-1
1
0
1
t
解： f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω) ∴ F(jω) = 2πδ(ω) - 2Sa(ω)
22
Signals & Systems
二．奇偶性(Parity)
j 2ω ⎞ 2 ⎛ sgn(t ) ←→ lim Fα (jω ) = lim ⎜ − 2 ⎟= 2 α →0 α →0⎝ α + ω ⎠ jω
16
Signals & Systems
频谱图 2 sgn(t ) ↔
jω
=−j
2
ω
=
2
ω
e
mj
π
2
F (jω )
2 ⎛ ⎞ 2⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎛ F ( jω ) = ⎜ ⎜ ⎟ = ω⎟ ⎜ ⎝ω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
∫
T 2 T − 2
f (t ) e
− jnΩt
dt
f (t ) =
n = −∞
∑ FTe
n
∞
jnΩ t
1 T
考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω； n Ω→ ω（由离散量变为连续量），而 1 Ω dω 同时，∑ →∫ = → T 2π 2π 于是，