陕西省2017-2018学年高三下学期教学质量检测(二)理数试题 Word版含答案

2017-2018学年 理数试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合132M x
x ⎧⎫
=≤<⎨⎬⎩⎭
，
函数()(ln 1f x =的定义域为N ，则M N 为（ ）
A ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2．已知3:,log 0p x R x ∃∈≥，则（ ） A ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈< B ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈≤ C ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈≤
D ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈<
3．若1tan 2
α=，则44
sin cos αα-的值为（ ） A ．15
-
B ．15
C ．3
5
D ．3
5
-
4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．
19
B ．19
-
C ．
13
D ．13
-
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A ．28π
B ．32π
C ．36π
D ．40π
6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有种（ ） A ．15
B ．21
C ．18
D ．24
7．若抛物线2
:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，05
4
AF x =
，则0x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
8．如果执行如图所示的框图，输入5N =，则输出的数S 等于（ ） A ．
54
B ．
56
C ．
65
D ．
67
9．曲线13
x y e =在点()
2
6,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A ．
232
e
B ．2
3e
C ．2
6e
D ．2
9e
10．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且
()1,0,3f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．
13
B ．3±
C ．
3
D ．3
-
11．定义在(),-∞+∞上的偶函数()f x ，对于[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有
()()
2121
0f x f x x x -<-，则（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()321f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()123f f f <-<
12．若直线12:,:2l y x l y x ==+与圆2
2
:220C x y mx ny +--=的四个交点把圆C 分成
的四条弧长相等，则m =（ ） A ．0
B ．0或1
C ．0或1-
D ．1或1-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
()0
cos x x dx π
+=⎰______．
14．已知单位向量12,e e 的夹角为60︒，则向量12+e e 与212-e e 的夹角为______． 15．若不等式()228a b b a b λ+≥+对任意的实数,a b 均成立，则实数λ的取值范围为______．
16．已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点．若P 是C 的左支上一点，(A 是y 轴上一点，求APF ∆面积的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对分别为,,a b c ．已知3a c b +==． （Ⅰ）求cos B 的最小值；
（Ⅱ）若3BA BC ⋅=，求A 的大小．
18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1
8号8扇大门，依次按响门上的
门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130，3140（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌
曲名称与否的人数如下图所示．
（Ⅰ）写出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
（Ⅱ）在统计过的参赛选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21
30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
19．如图①，在ABC ∆中，已知15,14,13AB BC CA ===．将ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成一个如图②所示的四面体A BCD -，使得图②中的11BC =． （Ⅰ）求二面角B AD C --的平面角的余弦值；
（Ⅱ）在四面体A BCD -的棱AD 上是否存在点P ，使得0PB PC ⋅=？若存在，请指出点P 的位置；若不存在，请给出证明．
20．设O 是坐标原点，椭圆2
2
:36C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，且,P Q 是椭圆C 上不同的两点，
（Ⅰ）若直线PQ 过椭圆C 的右焦点2F ，且倾斜角为30︒，求证：11,,F P PQ QF 成等差数列；
（Ⅱ）若,P Q 两点使得直线,,OP PQ QO 的斜率均存在，且成等比数列，求直线PQ 的斜率．
21．设函数()ln x
f x e x =-，
（Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个极值点0x ；
（Ⅱ）求函数()f x 的极值点0x 的近似值x '，使得00.1x x '-<； （Ⅲ）求证：() 2.3f x >对()0,x ∈+∞恒成立．
（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946e ≈≈≈≈≈）．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知AB 为
O 的直径，,C F 为O 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O 的切线
FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E ．
求证：2
DE DA DB =⋅．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=，圆()2
2
2:24C x y -+=．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆1C 与圆2C 的极坐标方程及两圆交点的极坐标；
（Ⅱ）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =+-． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；
（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围．
陕西省2016届高三下学期教学质量检测（二）理数试题参考答案
一、选择题
二、填空题
13．2
2π
14．23
π
15．[]8,4-
16．6
三、解答题
17．解：（Ⅰ）∵
()
(2
2
2
2
2
2
2929
cos 1222ac a c ac b a c b
B ac ac ac ac
--+--+-=
===- 2
9
1
132a c ≥
-=+⎛⎫
⎪⎝⎭
．……………………………………………………………………………………………4分 当且仅当ac c ==
时，取得最小值1
3
．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵3BA BC ⋅=，∴cos 3a B =． 由（Ⅰ）中可得9
cos 1B ac
=-． ∴
1
cos 2
B =
．……………………………………………………………………………………………………8分
当a =时，sin sin 132
a A B
b =
=⋅=．
∴2
A π
=
．
同理，当a =6
A π
=
．…………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）根据题意，列出22⨯列联表如下：
30
40
10 10 ……………………………………………………………………………………………………………………2分
由列联表计算得()2
2120107010303201004080
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．
因为3 2.706>，所以有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关．…………………………………4分 （Ⅱ）由于在21
30岁年龄段的人数与在3140岁年龄段的人数之比为1:2，因此按年
龄段选取9名选手中在21
30岁年龄段的人数为3人，在3140岁年龄段的人数为6
人．……………………………6分 设抽取的3名幸运选手中在21
30岁年龄段的人数为X ，则随机变足X 的取值可以是
0,1,2,3，且相应的概率分别为：
()()0312363633
99515
0,12128
C C C C P X P X C C ⋅⋅======，
()()2130363633
9931
2,31484
C C C C P X P X C C ⋅⋅======．……………………………………………………10分
所以，随机变量X （抽取的3名幸运选手中在21
30岁年龄段的人数）的分布列为：
随机变最X （抽取的3名幸运选手中在21
30岁年龄段的人数）的期望为
51531
0123121281484
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由已知,AD BD AD CD ⊥⊥，故二面角B AD C --的平面角为BDC ∠． 在图①中，设,BD x AO h ==，则14CD x =-．
在ABD ∆与ACD ∆中分别用勾股定理可得：()2
22222
15,1413x h x h +=-+=．
解得9,12x h ==．从而可知
12,9,5AD BD CD ===．…………………………………………………4分
在图②的BCD ∆中，由余弦定理可得222
2cos BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠，
即，222
1195295cos BDC =+-⋅⋅⋅∠，解得1cos 6
BDC ∠=-
． 所以，二面角B AD C --的平面角BDC ∠的余弦值为
1
6
-
．………………………………………………6分 （Ⅱ）假设在棱AD 上存在符合题意的点P ，则由0PB PC ⋅=可得
()()
0PB PC PD DB PD DC =⋅=+⋅+………………………………………………………
………………8分
222115009562PD PD DB PD DC DB DC PD PD ⎛⎫
=+⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅-=- ⎪⎝⎭
．………
……………10分 故30
12PD =
<符合题意．即在棱AD 上存在符合题意的点P ，此时30
2
PD =
．………………12分 20．解：设,P Q 两点的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，由题意可知
()
22,0a F =．……………12分
（Ⅰ）直线PQ
的方程为)2y x =-，
由方程组)22236
y x x y ⎧=-⎪⎨
⎪+=⎩
，可得2210x x --=．
则有12122,1x x x x +==-．
∴
1233
PQ x x =-==
．……………………………………4分
由1112214F P PQ QF F P PF F Q QF a ++=+++==
∴112F P QF PQ +=
=． ∴11,,F P PQ QF 成等差数列．
（Ⅱ）由题意，设():0PQ y mx n n =+≠，联立方程组22
36y mx n x y =+⎧⎨+=⎩
可得方程()
222
316360m x mnx n +++-=，则有
2121222
636
,3131
mn n x x x x m m -+=-=++．………………9分 由直线,,OP PQ QO 的斜率成等比数列得
212
12
y y m x x ⋅=．即21212y y m x x =． ∴()()()2
2
12121212y y mx n mx n m x x mn x x n =++=+++．
∴()2
120mn x x n ++=
∴
()222
13031
n m m -=+．
∴m =． 即直线
PQ 的斜率为
12分
21．证明：（Ⅰ）由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，且
()1
x f x e x
'=-
．……………………1分 ∵函数1x y e =与21
y x =-均在()0,+∞上递增，
∴()121x
f x y y e x '=+=-在()0,+∞上递增．
又∵()f x '在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像是连续的，且()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭
，
∴()f x '在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上至少有一个零点，
记为0x ，且()f x '在0x 左右两侧的函数值异号． 综上可知，函数()f x '有且只有一个变号零点0x ． 即函数()f x 有且只有一个极值点为0x ．
（Ⅱ）∵3
5
535ln ln 5ln 30.51353e =-≈<⇒>，且()f x '在13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的图象连续，
3
51350,0253f f e ⎛⎫⎛
⎫''<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()f x '的零点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的极值点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，即
()00.5,0.6x ∈．……………………6分
∴0x 为的近似值x '可以取0.55x '=，此时的x '满足
00.60.50.1x x '-<-=．…………………………7分
（事实上，极值点0x 的近似值x '的取值在区间()00.48,0.67x ∈内都是可以的，只要说理充分即可．）
（Ⅲ）∵4
7747ln ln 72ln 20.56474e =-≈<⇒>，且()f x '在14,27⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上图象连续，
4
71470,0274f f e ⎛⎫⎛
⎫''<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()f x '的零点014,27x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
． ()f x 的极值点
00144,277x x ⎛⎫∈⇒< ⎪⎝⎭
．………………………………………………………………………6分 由（Ⅰ）知()00010x f x e x '=-=，且()f x 的最小值为()000001ln ln x f x e x x x =-=-． ∵函数()1ln g x x x =-在()0,+∞上递减，且047
x <， ∴()()04 1.752ln 2ln 7 2.31 2.37g x g ⎛⎫
>=--≈> ⎪⎝⎭
． ∴()()000
1ln 2.3f x f x x x ≥=->对()0,x ∈+∞恒成立．………………………………………………12分
22．证明：连接OF ，则由FD 是O 的切线可知90OFD ∠=︒．
故90OFC CFD ∠+∠=︒．……………………………………………………………………………………3分
∵OC OF =，∴OCF OFC =∠∠．
又∵OC AB ⊥，∴90OCF OCE ∠+∠=︒．
∴CFD CEO DEF ∠=∠=∠，∴
DF DE =．……………………………………………………………8分
∴DF 是O 的切线，∴2DF DA DB =⋅．∴
2DE DA DB =⋅．………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）圆1C 极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
由24cos ρρθ
=⎧⎨=⎩得2,23k πρθπ==±，其中k Z ∈，………………………………………………………3分
故圆1C 与圆2C 交点的极坐标为2,2,2,233k k ππππ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中k Z ∈．……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆1C 与圆1C
交点在直角坐标系下的坐标为
(
(,1,，……………………8分
故圆1C 与圆2C
公共弦的参数方程为
(1
x y t t =⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩．……………………………………………10分 24．解：（Ⅰ）
()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩
……………………………………………………2分
则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩
或0,1 6.
x x >⎧⎨-≤-⎩……………………………………5分 解得5x ≤-或7x ≥． 故该不等式的解集是{
5x x ≤-，或}7x ≥．…………………………………………………………………7分 （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，
即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域． 由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞，
∴2log 1a ≤，解得
<≤．………………………………………………………………………………10分a
02。