运用数形结合思想处理圆锥曲线中的一类对称问题

经 验 交 流
运用数形结合思想处理圆锥曲线中的一类对称问题
325113 永嘉第二高级中学 朱远程
【摘 要】 在平面解析几何中，直线与 圆锥曲线相交弦的中点问题是平面解析几何 中的重点问题、综合性问题，有一定的难度。 尤其是圆锥曲线上两点关于某直线对称求参 量的取值范围时，解题过程冗长，丢分现象 普遍。本文在点差法的基础上，寻求有关弦 中点的轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位 置关系，利用数形结合寻求参量范围的方法 【关键词】弦中点，直线，对称 在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出 现这样一类问题：圆锥曲线上存在两点 A， B 关于直线 l 对称求参数范围的问题。对于此 类问题关键是抓住点 A，B 关于直线 l 对称， 对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－ 1 或 k1，k2 中一个为 0，一个不存在）和线段 AB 的中点 M 在直线 l 上。下面以具体例题对 这类问题的解法进行探讨，并提出个人的看 法。 例 1： 已 知 椭 圆 C： 2 + 3 = 1 ， 确 定 m 的取值范围，使 C 上有不同的两点 A、B 关 于直线 l：y=4x+m 对称。 解法一： （1）思路分析：由于直线 AB 与圆锥曲 线交于两点 AB，所以直线 AB 方程与圆锥曲 线方程联立方程组，得一元二次方程，由△ ＞ 0 求参数的范围。 （2）解题步骤： 设 存 在 两 点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 关 于 直 线 l 对称，中点为 M(x0,y0) 则 AB 所在直线为 y 方程联立
2 2
24b
4b
1
A 1(
2 6 2 , 5 5
),B1(
−
2 6 2 , − 5 5
联立方程组得两交点 )，
将 A、B 坐标代入双曲线方程得 2 2 x1 − y1 = 1 (1)
x 2 − y 2 = 1 (2) (1)-(2) 得 (x1 − x 2 )(x1 + x 2 ) − ( y1 − y 2 )( y1 + y 2 ) = 0 ， 1 y y = −kx0 ， 1 − − 0 = 0， 0
y = 6x 与
x2 y2 + = 1 2 3
{
x0 =
y0 =
x1 + x2 4b#43;b = 2 4 25 25
∵ C 在 y=4x ＋ m 上 ， ∴ 25 = 25 ×4 ＋ m ， m ∴ b= 25 8 25 又∵△ = b − 4 × 8 (2b − 6) > 0 ， 25 25 25m ∴ b2< 8 ，即 ( － 8 )2< 8 ， 2 2 解得：－ 5 <m< 2 5 2 . 由上可知 :
y = − 2 x + 2 1 x + b 4 y2 = 1 3
25
2 2
x2 y + 2 2 3
2
2
= 1
(2)
(1)-(2) 得
( x1 − x 2 ) ( x1 + x 2 ) ( y1 − y 2 ) ( y1 + y 2 ) + = 0 2 2
∵ A、B 关于 l 对称
2
m
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0， y0) <m<
2 2 5
即－ 2 2 5
2 2
..
由上可知： 当－ 5 <m < 5 时，椭圆 C 上有不同两 点关于直线 y=4x ＋ m 对称。 第一种解法是用韦达定理，计算复杂； 第二种解法用点差法，找出了弦斜率用弦中 点的关系，计算巧妙，但对于双曲线来说， 根据弦的中点位置及对应范围求出参数取值 范围计算难度较大， 题目丢分现象比较普遍。 通过教学实践，这类问题不仅可以用上 面两种方法解答，也可以在解法二点差法的 基础上，设想寻求有关弦中点的轨迹，通过 轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形 结合寻求参量范围。 解法三：
2 2
由题意知 x1 − x 2 ≠ 0 ，上式两端同除以 x1 − x 2 得 1 − y1 − y 2 ( y1 + y 2 ) − 2 y1 − y 2 = 0
x1 − x 2 x1 − x 2
（x1 − x 2）− ( y1 − y 2 ) − 2( y1 − y 2 ) = 0
则有 x1 − y1 − 2 y1 = 0 （1） 2 x 2 − y 2 − 2 y 2 = 0 （2） （1）-（2）得
2
x2
y2
∵ A，B 关于 l 对称
x1 − x2
∴ k AB = y1 − y2 = −1 ，
3
y0 = −
3 ， x0 = − 3 - m 2 2
于是以 -1 为斜率的平行弦的中点轨迹为 直线 y = − 2 在抛物线内部的一条射线，不包 括端点。 将 y = − 2 代入抛物线方程得交点 P( − 4 , 3 3 )， 问题转化为 l 与射线 y = − 2 ( x > − 4 )有交点。 3 将 P 点坐标代入 l 方程得 m = − 4 ，由图形 3 − ∞, − 知，m 取值范围为 4 2 x − y2 = 1 上 存 在 关 于 例 3： 曲 线 C: l: y = k (x + 4) 对称的两点 A、B, 求 k 的范围。 解： 当 k=0 时，l 为 x 轴， 由 双 曲 线 对 称 性 知 k=0 不 符 合 题 意， 当 k ≠ 0 时， 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB 中点 M(x0,y0) ,
3x ( x1 + x 2 ) 1 ∴ y1 − y 2 = - 3 = - 0 = − x1 − x 2 2( y1 + y 2 ) 2 y0 4
∴ y0 = 6x0 联立 y0=4x0 ＋ m ， 解得 x0= 2 ，y0=3m， ∵ M 在椭圆内部， ∴
m 2 2 + (3m ) < 1 2 3
− 3 2
3
3
= −
1 x+b ，与椭圆 4
消 y 得 8 x − bx + 2b 由韦达定理得
−6 = 0
， 解： 设 存 在 A(x1,y1)，B(x2,y2) 关 于 直 线 l 对称，AB 中点 M(x0,y0) 根据点差法（同解法二） 得 y0 = 6x0 于是以 − 4 为斜率的平行弦的中点轨迹是 直线 y=6x 在椭圆内部的一段，不包括端点。