一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)
元二次方程
一、本章知识结构框图
2a
二、具体内容
（一）、一元二次方程的概念
1.理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式：
2.正确识别一元二次方程中的芥项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数a^O时，整式方程ax2+bx + c = O才是一元二次方程。
（2）各项的确定（包括各项的系数及各项的未知数）.
（3）熟练整理方程的过程
3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
4.列出实际问题的一元二次方程
（二）、一元二次方程的解法
1.明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2.根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程：
3.体会不同解法的相互的联系：
4.值得注意的几个问题：
$
（1）开平方法：对于形如x2 = n或（0¥ + /，）2=〃（。。0）的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未
知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解-
形如/ = 〃的方程的解法: 当〃>0时，X = ±yfn ；
当n = 0 时，Xj = %, = 0 ；
当«<0时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为（x + 〃i）2=,?的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1：
一元二次方程复习知识点和习题(包括答案)
一元二次方程复习
一）一元二次方程的定义
)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的
最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax 0c ax 0bx ax 2
2
2
==+=+；；这三个方
程都是一元二次方程。求根公式为()
0ac 4b a
2ac 4b b x 2
2≥--±-=
二）)0a (0c bx ax 2
≠=++。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2
-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.
4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;
5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;
6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为a
b -
7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2
≠=++的两个实数根， 即① a
b x x 21-
=+ a c
x x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足
Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）
例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 2
2
=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。
②一元二次方程)0a (0c bx ax 2
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）
一、知识要点：
1、定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。其中ax 2
是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。 (3)公式法。当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2
+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2
+bx +c =0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。 a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---= ②b 2
-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。 a
b x x 221-
== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。 定义：b 2
(完整版)初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结：一元二次方程
知识框架
知识点、概念总结
1.一元二次方程：方程两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点: (1）含有一个未知数；
（2）且未知数次数最高次数是2；
(3）是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2
+bx+c=0(a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程； （4)将方程化为一般形式：ax 2
+bx+c=0时，应满足（a ≠0）;
3。 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2
+bx+c=0(a ≠0).一个一元二次方程经过整理化成ax 2
+bx+c=0(a ≠0）后，其中ax 2
是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4。一元二次方程的解法 (1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如
b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
初中数学一元二次方程知识点复习和测试题(基础,含答案)
初中数学一元二次方程知识点复习和测试题
定义：如()002
≠=++a c bx ax 含一个求知数，并且最高次项为二次的方程称为二次方程。
知识结构梳理
（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((
)2
≥=+n n m x 的一元。
二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 一元二次方程的应用 可用于解决实际问题的步骤
知识点归类
考点一 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴
35
2
2
=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 考点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为02
=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习
【课标要点】
1. 理解一元二次方程定义；
2. 会解一元二次方程；
3. 会根据根的判别式2
4b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.
⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题
第1讲 一元二次方程的概念
【知识要点】
1、一元二次方程的一般形式：2
00),,,ax bx c a a b c ++=≠（
其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有2
2
0c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.
【典型例题】 例1
判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程
.
22222222
2
13;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;
511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)
x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.
解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，
因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.
例2
方程
2
5)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（
（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？
人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)
一元二次方程
一、本章知识结构框图
二、具体内容
（一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02
=++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程
3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：
(1)开平方法：对于形如n x =2
或)0()(2
≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未
知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2
的方程的解法：
当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2
)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2
一元二次方程知识点总结和例题——复习
知识点总结：一元二次方程
知识框架
知识点、概念总结
1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么这个方程就为一元二次方程。
〔4〕将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足〔a≠0〕
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0〔a≠0〕后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法
〔1〕直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b
a
x=
+2)
(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a
x+是b的平方根，当0
≥
b时，b
a
x±
=
+，b
a
x±
-
=，当b<0时，方程没有实数根。
〔2〕配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
2
2
2)
(
2b
a
b
ab
a+
=
+
±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，那么有
2
2
2)
(
2b
x
b
bx
x±
=
+
±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
中考数学一元二次方程的综合复习
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加
1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
中考数学——一元二次方程组的综合压轴题专题复习含答案
中考数学——一元二次方程组的综合压轴题专题复习含答案
一、一元二次方程 1．解下列方程：
（1）x 2
﹣3x=1．
（2）
12
（y+2）2
﹣6=0．
【答案】(1)12x x ==
1222y y =-+=-- 【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2
﹣3x ﹣1=0，
∵b 2﹣4ac=13＞0
∴．
∴1233,22
x x +-=
=．
（2）（y+2）2
=12，
∴或
，
∴1222y y =-+=--
2．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12
-
. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2
﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣
12
．
3．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业
解：x 2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10∵b2﹣4ac=9＞0
∴73 2±
∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m
第21章 一元二次方程综合复习
C．没有实数根
D．无法判断
9．若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(C )
A．k＜1
B．k>－1
C．k＜1且k≠0 D．k>－1且k≠0
10．关于x的方程x2－4x＋m＋2＝0有一个根为－1， 则另一个根为( C ) A．2 B．－2 C．5 D．－5 11．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β， 那么α＋β－αβ的值等于( ) C A．－3 B．－1 C．1 D．3
程为(C )
A．x(x＋8)＝225 B．x(x＋16)＝225 C．x(x－16)＝225 D．(x＋8)(x－8)＝225
16．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数 字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_9_8__.
17．(方城县期末)“十一”黄金周期间，我县享有“中国长城之祖”美誉 的七峰山生态旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标 准：
14．有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有625只鸡患了 禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染( B )只鸡．
A．22 B．24 C．25 D．26 15．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形 状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24).如果圈出 的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方
人教版九年级上册一元二次方程综合复习
一元二次方程综合复习
1.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
2.一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法。
例1.用适当的方法解以下方程：
(1). x2−7x=0 (2). x2+12x=27 (3).x(x−2)+x−2=0 ( 4). x2+x−2=4
(5).5x2−2x−1
4=x2−2x+3
4
( 6). 4(x+2)2=
9(2x−1)2
变式练习
1.用适当的方法解以下方程
〔1〕(x+5)2=16〔2〕x2−2x+1=4
〔3〕3(2x−1)=x(2x−1)〔4〕(x−4)2−(5−2x)2=0
〔5〕x2+4x+8=2x+11〔6〕x(x−4)=2−8x
2．用直接开方法解方程：
⑴4x2−9=0⑵(x−2)2=1
3．用因式分解法解方程：
〔1〕3x(2x+1)=4x+2〔2〕(2x−1)2= (3−x)2
4．用配方法解方程：
⑴x2−8x+1=0⑵2x2+1=3x
5．用公式法解方程：
=⑴x2+x−1=0⑵x2−√3x−1
4
(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的情况： ①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当∆=0时，方程有两个相等的实数根； ③当∆<0时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
例1. ,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。
例2求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。
一元二次方程复习知识点和习题
一元二次方程复习
一)一元二次方程的定义
ax2 bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的
最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。ax2 bx 0；ax2 c 0；ax2 0这三个方
程都是一元二次方程。求根公式为x —一—4ac b2 4ac 0
2a
2
二)ax bx c 0( a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？
1、= b2 4ac当厶>0时方程有2个不相等的实数根；
2、当厶=0时方程有两个相等的实数根；
3、当4 < 0时方程无实数根•
4、当0时方程有两个实数根(方程有实数根) ；
5、a c<0时方程必有解，且有两个不相等的实数根；
6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为 -
a 7、当a、b、c是有理数，且方程中的△是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数
根。
8若X i, X2是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根，
b c
即①x i X2 —X i?X2 -(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足
a a
A> 0这个条件，否则解题就会出错。)
例：已知关于X的方程x2 2 m 2 x m20,问：是否存在实数m使方程的两个实数
根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
_ 2
②一元二次方程ax bx c 0（a 0）可变形为a x x1 x x20的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。
最新人教版九年级上册期末综合复习(一元二次方程)
2014—2015学年九年级数学（上）周末辅导资料（18）
德尔教育培训中心 姓名： 得分：
一、选择题 ：
1. 一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ）
A ． x 1=1，x 2=2
B ． x 1=1，x 2=﹣2
C ． x 1=﹣1，x 2=﹣2
D ． x 1=﹣1，x 2=2
2、使分式2561
x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
3、关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）
A ．
x （x +1）=28 B ．
x （x ﹣1）=28 C ． x （x +1）=28 D ． x （x ﹣1）=28
5、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）
A 、1
B 、1-
C 、1或1-
D 、
12 6、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
7、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2
=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
最新一元二次方程知识点总结和例题——复习资料
知识点总结：一元二次方程
知识框架
知识点、概念总结
1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b
a
x=
+2)
(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a
x+是b的平方根，当0
≥
b时，b
a
x±
=
+，b
a
x±
-
=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
2
2
2)
(
2b
a
b
ab
a+
=
+
±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有
2
2
2)
(
2b
x
b
bx
x±
=
+
±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根．
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案以下是一些一元二次方程的练习题及答案：
1. 解方程：x^2 + 5x + 6 = 0
解答：
先分解因式或使用求根公式。
(x + 3)(x + 2) = 0
x + 3 = 0 或 x + 2 = 0
x = -3 或 x = -2
所以，方程的解为 x = -3 或 x = -2。2. 解方程：2x^2 - 3x + 1 = 0
解答：
使用求根公式。
x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4(2)(1))) / (2(2)) = (3 ± √(9 - 8)) / 4
= (3 ± √1) / 4
= (3 ± 1) / 4
x = (3 + 1) / 4 或 x = (3 - 1) / 4
x = 4/4 或 x = 2/4
x = 1 或 x = 1/2
所以，方程的解为 x = 1 或 x = 1/2。
3. 解方程：3x^2 + 4x - 6 = 0
解答：
使用求根公式。
x = (-4 ± √(4^2 - 4(3)(-6))) / (2(3)) = (-4 ± √(16 + 72)) / 6
= (-4 ± √88) / 6
≈ (-4 ± 9.38) / 6
所以，方程的解为x ≈ 0.064 或x ≈ -2.730。
以上是一些一元二次方程的练习题及答案，希望能对您有所帮助！
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一元二次方程
本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：
建立一元二次方程
此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。
１．一元二次方程的概念
此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义
利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+x 1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0 （3）x+12 x =4
（4）m 3－2m+3=0
（5）22x 2－5=0 （6）ax 2－bx=4
答案： （5） 针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是 。 答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3
点击二：一元二次方程的一般形式
元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.
针对练习3: 把方程(1－3x )(x +3)=2x 2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
答案：原方程化为一般形式是:5x 2+8x －2=0(若写成－5x 2－8x +2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x 2,二次项系数是5,一次项是8x ,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).
点击三：一元二次方程的根的定义的意义
一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.
针对练习3: 若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2009的值.
答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.
类型之一：一元二次方程的定义
例1.关于x 的方程232
2+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？
【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.
【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.
【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.
类型之二：考查一元二次方程一般形式
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
例2一元二次方程（x+1）2－x==3（x 2－2）化成一般形式是 .
【解析】一元二次方程一般形式是ax 2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x 2－x －7=0。
【解答】2x 2－x －7=0
类型之三：考查一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
例3已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x+（m 2－4）=0有一个解是0，求m 的值。
【解析】；因为0是方程的解，所以m 2－4=0，m=±2。又因为方程是关于x 的一元二次方程，所以二次项系数m －2≠0、m≠2，所以m 的值是－2。
【解答】m=－2
【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m 的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m －2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。
类型之四：综合应用
例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）
【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1的等式，例如0312152
=-⨯-⨯，再把1换成x ：03252=--x x ；也可根据等式性质，由x=1，可得x+2=1+2，两边再平方得9)2(2=+x 即可。
【解答】答案不唯一。例如：9)2(2=+x 等。
1.下列方程中的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x －1)
B.21x
+x 1－2=0 C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=(x+1)(x －1)
【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次.
2.把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( )
A.x 2+56x+53=0
B.x 2－6x －3=0
C.x 2－56x －53=0
D.x 2－56x+5
3=0 【解析】C 注意方程两边除以－5,另两项的符号同时发生变化.
3. 已知关于x 的方程(m －3)72-m x －x=5是一元二次方程，求m 的值.
【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0的条件.
【解答】由题意,得m 2－7=2且m －3≠0，所以只能取m=－3，即当m=－3时，方程(m