2005年《随机过程》课程试卷答案及评分标准
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2005-2006年第一学期研究生随机过程
试题答案及评分标准
一、（10分）
设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求
（1）X 的特征函数)(t ϕ；
（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1） ∑∞
====0}{)()(k itk itX k X P e e
E t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞
=-∞=-==00!)(!k k it k k itk k e e k e e
λλλλ……………………..5分 )1(it e e -=λ ……………………………………………….6分
（2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得
λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E
所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分
二、（15分）
设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e U
t X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上
的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。求)(t X 的均值函数和协方差函数。
解：)(t X 的均值函数为
][
)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分
∑=+-=101
)(][)(k V t i k
k e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 2
52121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分
)(t X 的协方差函数为
)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分
而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2
)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X
4sin 2
455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(1010
1))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯
+=+=∑..14分⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）
设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求
（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；
（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。
解：（1）333
2
9!33}3)()3({--===-+e e t X t X P ……………………………5分 （2）所求概率为
∑=-≥-=-=2
}3)2()3(,)0()2({k k X X k X X P p ……………….9分
∑=-≥-=-=20
}3)2()3({})0()2({k k X X P k X X P ……………...11分
)1(2
4)21(2)2121(1212112--------+-+--=e e e e e e e ……………14分 322
175---=e e
………………………………………15分 四、（15分） 某电话总机在],0(t 内被呼叫的次数)(t X 是具有参数为λ的泊松过程，每次呼叫被接线员接听的概率为p ，且每次呼叫是否被接听是相互独立的，设}0,{≥t Y t 是呼叫被接听数，问
}0,{≥t Y t 是否为泊松过程？说明理由。
解：令 ⎩⎨⎧=.i 0i ,1次呼叫未被接听第，次呼叫被接听；
第i ξ ……………………………………3分…
由题意可知 ),2,1( =i i ξ独立同分布，且),1(~p B i ξ ………………….8分
则 ∑==)
(1)(t X i i t Y ξ
是复合泊松过程 …………………………………11分
pt t EY λ=)( …………………………………………13分
所以 )(t Y 是参数为p λ的泊松过程。 …………………………………..15分
五、（25分）
设马氏链的转移矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=000100010000412121
P （1） 求两步转移矩阵；
（2） 按定理4.10分解状态空间为不相交集合的并；
（3） 求出各类的周期，并讨论其常返性。
解：（1）两步转移矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=021*********
0001521010212P …………………….7分 （2）马氏链的状态转移图如下：略
可看出4个状态是互通的 ………………………………….. 12分
状态集I 是不可约的，按定理10.4的分解为一个集合I. …………..15分
(3) 计算得
211542115121,2
1)3(11)2(11=⨯⨯+⨯⨯==f f ……….18分 其他 )3,2(0)(11≠=k f k
所以 1)(1111==
∑k k f f ……………………………21分
即状态1是常返的