对数的概念——人教B版

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高中数学对数的知识点总结

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

对数函数的概念

【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通 1．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1,0)代入 y＝loga(x＋a)(a＞0，且 a≠1)中，有 0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以 a＝2. (2)由(1)知，y＝log2(x＋2)，由 x＋2＞0，解得 x＞－2，所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
[方法技巧] 实际问题中对数模型要建模准确，计算时应充分利用对数的运算性质，注意变量的实际意义．
【对点练清】某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知 y＝01..155＋x，2lo0g≤5xx－≤910，，x＞10. (2)由题意知 1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即 log5(x－9)＝2，所以 x－9＝52，解得 x＝34. 所以老江的销售利润是 34 万元．
[解析] (1)∵①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；∵②中底数
a∈R 不能保证 a>0，且 a≠1，∴②不是对数函数；∵⑤⑦的真数分别为(x＋2)，
(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；∵⑥中 log4x 的系数为 2，∴⑥也不是对数函数．只有③④符合对数函数的定义．
(2)∵函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax 为对数函数，
解：要使函数 f(x)有意义，只需ax＋－3a－≥x0>，0，解得 a≤x<a＋3，即 A＝[a，a＋3)．由14≤2x≤32，得－2≤x≤5，即 B＝[－2,5]．选择第②个条件：当 a＝－3 时，A＝[－3,0)， ∴A∩B＝[－2,0)，满足条件． ∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝[－3，－2)．选择第③个条件：当 a＝2 时，A＝[2,5)，∴A∩B＝[2,5)，满足条件． ∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅.

人教版高中数学B版必修二对数运算对数运算法则

一
二
三
四
课前篇自主预习
3.为什么规定在对数logaN中,a>0,且a≠1呢?
提示:(1)当 a<0 时,N 取某些值时,logaN 无意义,如根据指数的运算
性质可知,不存在实数 x 使
-
1 2
��
=2 成立,所以 log
-12
2 无意义,所以 a
不能小于 0.
(2)当a=0,N≠0时,不存在实数x使ax=N成立,无法定义logaN.当 a=0,N=0时,任意非零正实数x,有ax=N成立,logaN不确定.
正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和
两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数
幂的对数
logαMα=αlogaM(α∈R)
正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数
一
二
三
四
课前篇自主预习
3.做一做:下列各等式中,正确运用对数运算性质的是
(其中x,y,z>0)( )
(3)log2 24;
(4)31+lo g36;
(5)
1 25
lo g53
.
解:(1)因为 103=1 000,所以 lg 1 000=log101 000=3;
1
(2)因为e2 =
e,所以 ln e=loge e = 12;
(3)设 log2 24=x,则(2 2)x=4,即232�� =22,
对数运算法则的应用
例3化简下列各式:
(1)4lg 2+3lg 5-lg 15;
(2)lg
27+lg8-lg lg1.2
1 000;
(3)2log32-log3392+log38-5lo g 5 3 .

高中数学 3.2.1第1课时对数的概念及常用对数课件新人教B版必修1

[错解] ∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x2＋3x＝x＋3，即x2＋2x －3＝0，
解得x＝－3或x＝1.故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值为－3和1.
[辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，
且底数不能等于1.
第二类是形如关于x的方程logf(x)n＝b，通常将其化为指数式[f(x)]b＝n，这样解关于x的方程[f(x)]b＝n即可，最后要注意验根．
＝13与
1
log273
＝－13
1
C．log39＝2 与 92 ＝3
D．log55＝1 与 51＝5
[答案] C
1
[解析] log39＝2 化成指数式应为 32＝9,92 ＝3 化为对数式
为 log93＝12.故选 C．
2．已知 logx8＝32，则 x的值为(
)
A．14
B．4
C．12
D．2
[答案] D
[分析] 根据对数式的定义求解．
[解析] (1)log3217＝x. (2) log1 64＝x.
4
(3)log5 15＝－12. (4)( 2)4＝4. (5)10－3＝0.001. (6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
将下列指数式与对数式进行互化． (1)e0＝1； (2)(2＋ 3)－1＝2－ 3； (3)log327＝3； (4)log0.10.001＝3. [解析] (1)ln1＝0. (2)log(2＋ 3)(2－ 3)＝－1. (3)33＝27. (4)0.13＝0.001.
[答案]
1 3
[解析] (12)log23＝2lo1g23＝13.
5．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.

03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版

. .
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，，，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以，则等号不成立，所以，则，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，
则有，所以 .
因为，所以，所以，所以 .
因为，所以，所以，两边同时平方得，所以 .
（1）；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解：）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .

4.2.3 对数函数的性质与图像(对数函数的性质与图像)课件高一数学(人教B版2019必修第二册)

值域
值域为 R
过定点
过定点(1，0)，即 x＝1 时，y＝0
性
当 0<x<1 时，y<0，函数值的变化
当 0<x<1 时，y>0，
质
当 x>1 时，y>0
当 x>1 时，y<0
单调性
增函数
减函数
对称性
的图象关于轴对称
即时训练知识点二：对数函数图象与性质
【典例】如图所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx， y＝logcx，y＝logdx 的图像，则 a、b、c、d 与 0、1 的大小关系是________.
可以看出,
中, 不能是-1,也不能是 0 .
事实上,根据对数运算的定义和性质,我们可以得到对数
函数
的性质:
(1)定义域是：
1248
(2)值域是： (3)奇偶性是：非奇非偶函数
-3 -2 -1 0 1 2 3
(4)单调性是：在
上单调递增
新知探索知识点二：对数函数图象与性质
根据以上信息可知,函数
的图像都在轴右侧,
课堂练习
3x，x≤0，
【训练 5 】已知函数 f(x) ＝ log3x，x>0，则 f(f( － 1)) ＝
________；若 f(f(x))＝x，则 x 的取值范围是________.
【解析】f(－1)＝3－1>0，故 f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－ 1.当 x≤0 时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；当 0<x<1 时，f(x)＝log3 x<0，f(f(x))＝f(log3x)＝3log3x＝x；当 x＝1 时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；当 x>1 时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使 f(f(x)) ＝x 的 x 的取值范围是(－∞，1].

(新教材)学年人教B版数学必修第二册讲义：4.2.1 对数运算 Word版含答案

4．2对数与对数函数4．2.1对数运算考点学习目标核心素养对数的概念了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化数学抽象、数学运算对数的基本性质理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值数学运算问题导学预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？2．什么是常用对数、自然对数？3．对数恒等式是什么？4．如何进行对数式和指数式的互化？1．对数的概念(1)在表达式a b＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．(2)当a>0且a≠1时，b＝log a N的充要条件是a b＝N，由此可知，只有N>0时，log a N才有意义，这通常简称为负数和零没有对数．(3)log a1 ＝0；log a a＝1；a log a N＝N；log a a b＝b．2．常用对数和自然对数(1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N.(2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，自然对数log e N通常简写为ln____N．■名师点拨log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)因为1a ＝1，所以log 11＝a .( ) (4)log (－2)(－2)＝1.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 若log 8x ＝－23，则x 的值为( )A.14 B ．4 C ．2D.12解析：选A.因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝2－2＝14，故选A.2log 23＝________．解析：由对数恒等式得，2log 23＝3. 答案：3若log 3(log 2x )＝0则x 12＝________．解析：因为log 3(log 2x )＝0，所以log 2x ＝30＝1，所以x ＝2，即x 12＝ 2.答案： 2对数的概念在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，所以2<b <5且b ≠4.【答案】 D由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域．解：要使函数式f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.所以f (x )＝log x 1－x1＋x的定义域为(0，1)．对数式与指数式的互化(1)将下列指数式化成对数式：①54＝625；②2－6＝164；③3a＝27；④⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. (2)将下列对数式化成指数式并求x 的值： ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x .【解】 (1)①log 5625＝4；②log 2164＝－6；③log 327＝a ；④log 135.73＝m .(2)①x ＝64－23＝(43)－23＝4－2＝116.②因为x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝2.③因为10x ＝100＝102，所以x ＝2.(1)指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：(2)要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．1．如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( ) A ．log 2a ＝b B ．log 2b ＝a C ．log b a ＝2D ．log b 2＝a解析：选C.log b a ＝2，故选C.2．计算：(1)log 927；(2)log 4381；(3)log 354625. 解：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27，32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝log 4381，则(43)x＝81，3x 4＝34，所以x ＝16.(3)令x＝log 354625，则(354)x＝625，543x＝54，所以x＝3.对数基本性质的应用求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.【解】(1)因为log2(log5x)＝0.所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.(2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000.log a N＝0⇒N＝1；log a N＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为() A．9 B．8C．7 D．6解析：选A.因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1.所以x＝3.同理y＝4，z＝2.所以x＋y＋z＝9.1．log b N＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是()A．a b＝N B．b a＝NC．a N＝b D．b N＝a答案：B2．若log a x＝1，则()A．x＝1 B．a＝1C．x＝a D．x＝10答案：C3．已知log x16＝2，则x等于()A．±4 B．4C．256 D．2答案：B4．设10lg x＝100，则x的值等于()A．10 B．0.01C．100 D．1 000答案：C[A 基础达标]1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：选B.根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.2．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9解析：选A.因为2log 3x ＝2－2，所以log 3x ＝－2，所以x ＝3－2＝19.3．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12解析：选B.由对数的概念可知使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ≠1，－2a ＋1＞0，解得0＜a ＜12.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0 B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝7解析：选C.由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 39＝2⇔9＝32. 5．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x )的值是( ) A ．1 B ．0 C ．xD ．y解析：选B.由x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，得(x －2)2＋(y －1)2＝0，所以x ＝2，y ＝1，所以log x (y x )＝log 2(12)＝0.6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0.001 得lg 0.001＝－3. 答案：4 －37．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________．解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22，所以1－2x ＝2，所以x ＝－12.经检验满足1－2x >0. 答案：－128．已知log 7(log 3(log 2x ))＝0，那么x －12＝________．解析：由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式为x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝1812＝18＝122＝24.答案：249．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)log 128＝－3；(4)log 3127＝－3.解：(1)因为53＝125，所以log 5125＝3. (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2.(3)因为log 128＝－3，所以⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)因为log 3127＝－3，所以3－3＝127.10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值．解：因为log 12x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m. 因为log 14y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4.所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －（2m ＋4）＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.[B 能力提升]11．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( ) A ．b ＝a 5c B ．b 5＝a c C ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a解析：选A.由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ，所以b ＝(ac )5＝a 5c . 12．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为x ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－1或3D ．1或－3解析：选B.由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.13．满足(lg x )2－lg x ＝0的x 的值为________．解析：由lg x (lg x －1)＝0得lg x ＝0或lg x ＝1，即x ＝1或x ＝10. 答案：1或1014．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64. 由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.[C 拓展探究]15．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解：(1)因为log 189＝a ，log 1854＝b ，所以18a ＝9，18b ＝54，所以182a －b ＝182a 18b ＝9254＝32. (2)log x 27＝31＋log 32＝3·3log 32＝3×2＝6. 所以x 6＝27，所以x 6＝33，又x ＞0，所以x ＝ 3.。

人教B版高中数学必修第二册4.23 第1课时对数函数的概念、性质与图像【课件】

解法二：由f(x)＝loga|x|＋1，得f(1)＝1且f(－1)＝1，排除D，再由 0<a<1知当x>0时，f(x)单调递减，排除B，C.故选A.
知识点三利用对数函数的单调性比较大小
9．已知 log3b＜log3a＜log3c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c
B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a
解析令x＋3＝1，即x＝－2，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x ＋3)＋1的图像过定点(－2，1)．
[解题通法] 求对数型函数图像过定点的方法求函数y＝m＋logaf(x)(a>0且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)＝1 求出x，即得定点为(x，m)．
5．[多选]函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图像一定过( )
为对数函数，∴a>0， a≠1，
解得
a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f
1 8
＝log218＝－3.故选
B.
[易错分析] 本题容易忽视底数a应满足的条件：a>0且a≠1.
知识点二对数函数的图像及对数型函数的图像
3．已知对数函数
f(x)的图像过点
M(8，3)，则
f
1 2
＝(
)
A．1
B．－1 C．2
D．7c＞7a＞7b
解析由于函数 y＝log3x 为减函数，因此由 log3b＜log3a＜log3c 可
5
5
5
5
得 b＞a＞c，又函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
10．比较下列各组中两个值的大小(e 为自然对数的底数)：
(1) log20.5，log20.6；

高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教B版必修6.doc

3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ；(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN.2.对数的性质(1）真数N 为正数（负数和零无对数）.(2）log a 1=0.(3）log a a=1.(4）对数恒等式：a N a log =N.(5)运算性质：如果a >0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log a NM =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）log a b·log b a=1；(2）log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。

高中数学人教版B必修一第3章 3.2 3.2.2 对数函数

3.2.2对数函数学习目标：1.理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[自主预习·探新知]1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质思考：函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？图3-2-1[提示]观察图象，总结变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴．(2)左右比较(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝log x 12是对数函数．()(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()[解析](1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；(2)×.在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x－1＋lg x的定义域是()A．(0，＋∞)B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C [∵⎩⎨⎧x －1≥x >0∴x ≥1.]3．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56D ．log πe>log e πD [函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．]4．函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：60462229】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [由题意可得0<3a －1<1，解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.][合作探究·攻重难](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.[思路探究] (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．[解析] (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，即f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.[答案] (1)B (2)－3[规律方法] 1.判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[跟踪训练]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【导学号：60462230】4[由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.]3A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)求下列函数的定义域： ①y ＝lg (2－x )； ②f (x )＝lg (4－x )x －3；③y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[思路探究] (1)代入a 的值⇒对数运算⇒解方程． (2)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组． [解析] (1)∵f (a )＝1，∴log 3(a ＋1)＝1，即a ＋1＝3，∴a ＝2.故选C. [答案] C(2)①由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0，也即x ≤1.故函数y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． ②由⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，得x <4且x ≠3.∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)． ③由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x ⎪⎪⎪12<x <2且x ≠1}.母题探究：1.(变条件)把本例(2)①函数变成“y＝”，结果如何？[解] 由题意可知所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤1，2－x >0，即1≤x <2.故函数y ＝的定义域为{x |1≤x <2}．2．(变结论)把本例(2)①中x 的范围限定为[－8,1]，求函数的值域． [解] 因为y ＝lg (2－x )在x ∈[－8,1]上为减函数，所以y max ＝lg (2＋8)＝1，y minlg (2－1)＝0.所以函数的值域为[0,1]．[规律方法] 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合的形式表示．[探究问题1．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？提示：对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．2．从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？提示：当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．3．如图3-2-2，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？图3-3-2提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图象如图(1)已知函数y＝log3-2-3，则下列结论成立的是()【导学号：60462231】图3-2-3A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1(2)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是() A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[思路探究](1)已知对数函数的图象⇒图象平移规律求解．(2)作对数函数图象⇒图象变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．[解析](1)∵函数单调递减，∴0<a<1，当x＝1时，log a(x＋c)＝log a(1＋c)<0，即1＋c>1，∴c>0，当x＝0时，log a(x＋c)＝log a c>0，即c<1.∴0<c<1，故选D.(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|所以a＝b(舍去)或b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)＝a＋2 a.由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋2 1＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C.[答案](1)D(2)C[规律方法] 1.画对数函数图象时要注意的问题(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1进行判断．(3)牢记特殊点：对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 2．常见的函数图象的变换技巧(1)y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边的图象并作关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )―――――――――――→保留x 轴上方的图象将x 轴下方的图象翻折上去y ＝|f (x )|.(3)y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． (4)y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． [跟踪训练]3．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a(－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.][当堂达标·固双基]1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅C [由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．函数f(x) ＝log(x2－4)的单调递增区间是()【导学号：60462232】A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)D[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y ＝log t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．] 3．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.log2x[设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则f(2)＝log a2＝2，即a＝2，所以f(x)＝log2x.]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域是________．(0，＋∞)[∵3x＋1>1，且y＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域是(0，＋∞)．]5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。

人教版(B版)高中数学必修第2册对数函数的性质与图像

对数函数的性质与图像
高一年级数学
回顾：指数函数的概念
指数自变量
一般地，函数
称为指数函数.
底数
且
常数
回顾：对数的概念
一般地，如果 ab N a 0, a 1 ，
那么数叫做以a为底 N的对数，记作 loga N b ，
叫做对数的底数，叫做真数.
ab N loga N b
底数指数幂底数真数对数
对数函数的概念：
一般地，函数y ＝log ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )称为对数函数. 研究一个函数的一般过程：
定义——性质——图像——应用.
探究对数函数的性质：
y log2 x
x…1 1 1 1 2 4 8…
8 42
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y log1 x
2
(3) log22.1 , log 0.52.5
y
y=log 2x y=log0.5x
2.1 2.5
x
桥
O
log22.1 > log21 0 log0.51 > log 0.52.5
例2. 已知log0.7（2m） <log0.7（m-1），求m的取值范围.
解：因为函数 y = log 0.7x, 在(0,+∞)上是减函数, 所以2m >m -1>0，所以 m＞1 .
引入概念：
在学指数函数时我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量
为1，那么有机体死亡x年后体内碳的含量y满足
x
y
1 2
5730
1 2
1
5730
x
（1）如果测得某古生物样品中碳14的含量为

人教B版高中数学必修一《第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1

板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知，，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力，常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数，常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）

对数函数的性质与图像-高一数学(人教B版2019必修第二册)

4.2.3 对数函数的性质与图像一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 二、对数函数的性质与图像(0，＋∞)三、对对数函数定义的理解1、同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如22log y x =，22log y x =都不是对数函数，只有log a y x =（0a >且1a ≠）才是对数函数。

2、观察图像，注意变化规律（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，a 越大，图像向右越靠近x 轴，01a <<时，a 越小，图像向右越靠近x 轴；（2）左右比较：比较图像与直线1y =的交点，交点的横坐标越大，对应对数函数的底数越大.题型一对数函数的概念理解【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．log (2)a y x =B ．2log 2x y =C ．2log 1y x =+D ．lg y x = 【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合.故选D【变式1-1】给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.【变式1-2】已知下列函数： ①y ＝log 12(－x )(x ＜0)； ②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)； ③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③【变式1-3】下列函数是对数函数的是( )A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log e x y =D ．log x y x = 【答案】A【解析】对数函数log a y x =（0a >且1a ≠），其中a 为常数，x 为自变量．对于选项A ，符合对数函数定义；对于选项B ，真数部分是1x +，不是自变量x ，故它不是对数函数；对于选项C ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数．题型二求对数函数的解析式【例2】若对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象经过点(4,2)，则实数=a ______. 【答案】2【解析】将点(4,2)代入log a y x =得2log 4a =，解得2a =故答案为：2.【变式2-1】若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 【答案】-3【解析】设()log a f x x =（0a >且1a ≠），将()4,2-代入得22211log 42,4,2,2a a a a -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭.所以()12log f x x=，()3112218log 8log 32f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.【变式2-2】若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，则=a .【答案】5【解析】根据对数函数的定义有245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =，故答案为：5．【变式2-3】已知对数函数()()233log m f x m m x =-+，则m =______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得233101m m m m ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =．题型三对数函数的定义域问题【例3】函数()ln f x x =的定义域为（）A ．()2,+∞B ．[)0,2C ．(]0,2D ．[]0,2 【答案】C【解析】要使函数解析式有意义，需满足20,2,00,x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩解得:(]0,2x ∈.故选：C【变式3-1】若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2 【答案】C【解析】函数()y f x =的定义域是[1，3]，∴1213x ≤-≤，解得12x ≤≤．又0x >，且1x ≠，∴(]1,2x ∈．故函数()h x 的定义域是(]1,2．故选：C.【变式3-2】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为_________.【答案】()(),02,-∞+∞【解析】由题可知220x x ->，即(2)0x x ->，解得0x <或2x >.故函数()()22log 2f x x x =-的定义域为()(),02,-∞+∞.故答案为: ()(),02,-∞+∞.【变式3-3】函数y = ）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】D【解析】由题意2log (32)0x -≥，321x -≥，1≥x ．故选：D ．【变式3-4】若函数()ln 2y x =+的定义域为[)1,+∞，则=a （） A ．-3 B ．3 C ．1 D ．-1 【答案】A【解析】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-，故选：A【变式3-5】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据条件可知2320ax x ++>在R 上恒成立，则0a >，且980a ∆=-<，解得98a >，故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭.题型四对数型函数过定点问题【例4】函数曲线log 1a y x =+恒过定点（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,1D ．()1,0 【答案】C【解析】因为对数函数log a y x =恒过点(1,0)，所以函数曲线log 1a y x =+恒过点(1,1).故选：C【变式4-1】函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点_________ 【答案】()2,4【解析】因为函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)，令11x -=，解得2x =，所以()24log 14a f =+=，即函数()f x 恒过点()2,4.【变式4-2】函数23log 21a x y x +=++（0a >且1a ≠）的图象经过的定点坐标为__________. 【答案】(2,2)- 【解析】23log 21ax y x +=++，取2311+=+x x∴2=-x 时，2y =，即过定点(2,2)-【变式4-3】函数()()log a f x x b c =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点（3，2），则b c +=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C【解析】由题意，函数()()log a f x x b c =-+，当1x b -=时，即1x b =+时，可得y c =，即函数()f x 恒经过点(1,)b c +，又因为()f x 恒经过点(3,2)，可得132b c +=⎧⎨=⎩，解得2,2b c ==，所以4b c +=.故选：C.【变式4-4】若函数()21x f x a +=+与()()log 2a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是________. 【答案】25【解析】函数()21x f x a +=+图象过定点(2,2)-，函数()()log 2a g x x m n =++图象过定点1(,)2mn -，依题意，1222mn -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得5,2m n ==，则2525n m ==所以n m 的值是25.题型五对数函数的图像问题【例5】已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【解析】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D【变式5-1】已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误，故选：C.【变式5-2】已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（） A ．(0，1) B ．(0， +∞) C ．(0，1] D ．[1，+∞) 【答案】D【解析】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥．故选：D ．【变式5-3】如图是对数函数loga y x =的图象，已知a 53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A．18，45，53 B 53，45，18 C ．5345，18 D 53，18，45【答案】B【解析】∵当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势，又当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a越小，图象向右越靠近x 轴，故1C ，2C ，3C ，4C 对应的a 53，45，18．故选：B ．【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数y x a =+与对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象关系可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距1a >，矛盾，B ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距01a <<，矛盾，C ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距01a <<，保持一致，D ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距0a <，矛盾，故选：C ．【变式5-5】已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x=的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1.当a ＞1时，0＜b ＜1，函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，b ＞1，函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B ，故选：B ．题型六指数与对数比较大小【例6】已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C【变式6-1】设4log 6a =， 1.22b =， 2.10.7c =，则（）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】因为函数()4log f x x =在()0,+∞上单调递增，则444log 4log 6log 8<<，即41log 62<<，所以12a <<；因为函数2xy =在R 单调递增，则1 1.222<，所以2b >；因为函数0.7xy =在R 上单调递减，则 2.100.70.71<=，所以1c <，综上，c a b <<.故选：A.【变式6-2】已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>，故选：D.【变式6-3】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+单调递增，若0.13a =，30.1b =，3log 0.1c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>【答案】C【解析】由偶函数知()()()()333log 0.1log 0.1log 10f c f f f ==-=，又0.1132a <=<，300.11b <=<，3log 102>，显然0.133log 1030.1>>，又在[)0,∞+单调递增，则()()()f c f a f b >>.故选：C.题型七对数型函数的单调性【例7】函数()()2=ln 28f x x x --的单调递增区间是（）A ．()2-∞-，B ．()1-∞-，C ．()1+∞，D ．()4∞+，【答案】D【解析】由题知()f x 的定义域为()(),24,-∞-+∞，令228t x x =--，则ln y t =，函数单调递增，当(),2x ∞∈--时，t 关于x 单调递减，()f x 关于x 单调递减，当()4,x ∞∈+时，t 关于x 单调递增，()f x 关于x 单调递增，故()f x 的递增区间为()4,∞+．故选：D ．【变式7-1】函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,1 【答案】A【解析】由220x x ->，得02x <<，令22t x x =-，则2log y t =，22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为2log y t =在定义域内为增函数，所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)，故选：A【变式7-2】若函数()()2ln 1f x x ax =--在区间()1,+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___．【答案】(],0-∞【解析】由函数()()2ln 1f x x ax =--在区间()1,+∞上是单调增函数，只需函数21y x ax =--在()1,+∞上是单调增函数，且当1x >时210x ax -->恒成立，所以满足1,2110,aa ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩解得0a ≤．【变式7-3】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】（－4，4]【解析】二次函数23y x ax a =-+的对称轴为x ＝2a ，由已知，应有2a≤2，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0，即2,24230,a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩解得－4<a ≤4．故答案为：（－4，4]【变式7-4】已知函数()()2log 7,222,2a x x f x x ax a x ⎧+≥=⎨+--<⎩（0a >且1a ≠），若对1x ∀，()212[1,)x x x ∈-+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-．则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,3]【解析】因为对[)12,1,x x ∀∈-+∞，且12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以函数在[)1,-+∞上单调递增.所以()112log 274222a a a a a >⎧⎪-⎪≤-⎨⎪+≥+--⎪⎩，解得23a ≤≤.故答案为：[2,3]题型八解对数型不等式【例8】若实数x 满足不等式()()222log 2log 4x x x ->+，则实数x 的取值范围是______．【答案】()()4,14,--⋃+∞【解析】()()222log 2log 4x x x ->+，22242040x x x x x x ⎧->+⎪∴->⎨⎪+>⎩，解得4x >或41x -<<-.【变式8-1】不等式()212log 70x x --+>的解集为______.【答案】3⎫⎛-⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】由()212log 70x x --+>，可得()21122log 7lo 1g x x --+>，所以227170x x x x ⎧--+<⎨--+>⎩，3x <<-或2x << ∴不等式()212log 70x x --+>的解集为3⎫⎛-⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【变式8-2】不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（） A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x << 【答案】D【解析】由()211log 31133x x +<⇔-<<，由于1110333x x <<⇒-<<，而1133x -<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.【变式8-3】不等式1log (4)log a ax x->-的解集是_______．【答案】当1a >时，解集为(0,2)；当01a <<时，解集为(2,4) 【解析】∵1log log a ax x-=，∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，当a >1时，0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得0＜x ＜2．当01a <<时，0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，解得2＜x ＜4．∴当a >1时，不等式1log (4)log a ax x->-的解集为(0,2)；当01a <<时，不等式1log (4)log a ax x->-的解集为(2,4)故答案为：当a >1时，解集为(0,2)；当01a <<时，解集为(2,4)【变式8-4】已知实数0a >，且满足不等式324133a a ++>，则不等式log (32)log (85)+<-a a x x 的解集为________．【答案】38,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为324133a a ++>，所以32411a a a +>+⇒<，而0a >，则01a <<，于是32038850,453285x x x x x+>⎧⎪⎛⎫->⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪+>-⎩.【变式8-5】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在区间[)0,∞+上为增函数，则不等式12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()0,∞+ 【答案】C【解析】由题意知：(0)0f =，又()f x 在区间[)0,∞+上为增函数，当0x >时，()(0)0f x f >=，当0x <时，()0f x <，由12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得12log 0x >，解得01x <<.故选：C.【变式8-6】已知函数33()log log (3)27xf x x =⋅，求不等式()0f x >的解集．【答案】103x x ⎧<<⎨⎩或}27x >【解析】33333333()log log (3)(log log 27)(log 3log )(log 3)(log 1)27xf x x x x x x =⋅=-+=-+，则不等式()0f x >，即331log 1log 3x <-=或33log 3log 27x >=，故103x <<或27x >，所以不等式()0f x >的解集为103x x ⎧<<⎨⎩或}27x >．题型九对数型函数的就奇偶性问题【例9】已知函数()31log 1x f x x -=+，求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性. 【答案】()(),11,-∞-⋃+∞；奇函数【解析】由101x x ->+解得1x <-或1x >，所以()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，且()()333111log log log 111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以()f x 为奇函数.【变式9-1】若函数()1ln 1ax f x b x +⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则=a ___________，b =___________. 【答案】1；0【解析】因为函数()1ln 1ax f x b x+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，故()00f =，即ln10b +=，即0b =.又()()0f x f x +-=，故11ln ln 011ax ax x x +-+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，即11111ax ax x x +-+⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，222111a x x -=-恒成立，故21a =，所以1a =或1a =-，当1a =-时()()1ln ln 11x f x x-+⎛⎫==- ⎪-⎝⎭无意义. 当1a =时()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足奇函数.故1a =综上，1a =，0b =【变式9-2】若函数f （x ）＝x ln （xa 的值为（） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．1或﹣1 【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x ln （xx ∈R ，∴设g （x ）＝ln （x 则g （0）＝0，即0=1，则a ＝1．故选：B ．【变式9-3】已知函数()24log 1f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若()1f x +是奇函数，则实数a =______．【答案】1【解析】由题意，(1)(1)f x f x -+=-+，即2244log log 22a a x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，所以242224a ax x x a ax --+=--+，化简得()22211a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =．题型十对数型函数的值域问题【例10】函数212log (610)y x x =-+的值域是________.【答案】(,0]-∞【解析】令2610t x x =-+，则12log y t=，因为22610(3)11t x x x =-+=-+≥，所以2610t x x =-+的值域为[1,∞+），因为12log y t=在[1,∞+）是减函数，所以1122log log 10y t =≤=，所以212log (610)y x x =-+的值域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞【变式10-1】已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；【答案】[]4,0-【解析】()()()()()2444444log 3log 4log 3log 1log 2log 3f x x x x x x x =-⋅=-⋅+--=，令4log t x =，由1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，所以有()222314y t t t =--=--，[]1,2t ∈-，所以当1t =时，max 4y =-，当1t =-时，min 0y = 所以函数()f x 的值域为[]4,0-.【变式10-2】函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11 【答案】B【解析】设14211x x t +=-+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x xt +=-+=-⋅+=-+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值为1，故选：B【变式10-3】已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在[]0,3上的最小值.【答案】（1）3a =，定义域()2,4-；（2）[)1,4；（3）3log 5 【解析】（1）()f x 的图象过点()1,2，可得：()()()1log 21log 412log 32a a a f =++-==，解得：3a = 则有：()()()33log 2log 4f x x x =++- 定义域满足：2040x x +>⎧⎨->⎩，解得：24x -<<故()f x 的定义域为()2,4-（2）由（1）知：()()23log 82f x x x =+-令()228219t x x x =+-=--+可得：t 在[)1,4上单调递减故()f x 的单调递减区间为：[)1,4. （3）令()228219t x x x =+-=--+，[]0,3x ∈故当x =3时，min 5t = 可得：()3min log 5f x =【变式10-4】若函数()()212log 2f x ax x =++的最大值为0，则实数a 的值为___________. 【答案】14【解析】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，因此应有0811,4a a a >⎧⎪-⎨=⎪⎩解得14a =.。

4. 对数运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册精品课件

对数性质在求值中的应用此类题目一般都有多层，解题方法是利用 loga1＝0，logaa＝1 从外向里逐层求值．
[跟进训练] 3．求下列各式中 x 的值：
(1) x＝ 16；
(2)log8x＝－31；
(3)log2(log4x)＝0；
(4)log(
2－1)
1 3＋2
2＝x.
[解] (1)∵x＝
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
3．2log23＝________. 3 [由对数恒等式得，2 log23＝3.]
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
4．若 log3(log2x)＝0，则 x ＝________. 2 [∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即 x ＝ 2.]
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
(1)× (2)× (3)× (4)× [(1)因为对数的底数 a 应满足 a>0 且 a≠1，所以(1)错；
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
(2)指数式和对数式各部分的名称：
指数式对数式
式子
ab＝N logaN＝b
a 底数底数
名称 b
2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件
第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册课件

高中数学(人教B版)必修第二册：对数函数的性质与图像【精品课件】

解法一:
f(-x)=ln
2 x 2-x
=②
=-f(x),
所以函数f(x)=ln 2-x 是奇函数.
2 x
解法二: f(x)+f(-x)=ln 2-x +ln 2 x =③
2 x 2-x
=ln 1=0,即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=ln
2-x 2 x
是奇函数.
思:指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成
解析选项A中,y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}; 选项B中,y=x的定义域为R,y= x 的定义域为{x|x≥0}; 选项C中,两函数的定义域均为{x|x>0}; 选项D中,y=x2的定义域为R,y=lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}.故选C.
对数函数的性质与图像
情境导学
问题:已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于 y的函数?关系式是什么? 答案因为y=2x是增函数,所以对于任意y∈(0,+∞),都有唯一确定的x与之对应, 故x也是关于y的函数,其函数关系式是x=log2y.
1.对数函数的定义
教材研读
1 x2 -x
=lg 1
1 x2 -x
=-lg( 1 x2 -x)=-f(x), 所以函数f(x)=lg( 1 x2 -x)是奇函数.
解法二:因为f(x)+f(-x)=lg( 1 x2 -x)+lg( 1 x2 +x) =lg[( 1 x2 -x)( 1 x2 +x)] =lg(1+x2-x2)=0, 所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=lg( 1 x2 -x)是奇函数.

人教版高一对数概念知识点

人教版高一对数概念知识点高一对数概念知识点对数是数学中常见的一个概念，我们经常在数学课本中见到它的身影。

那么，什么是对数呢？在这篇文章中，我们将详细介绍人教版高一对数概念知识点，让大家对对数有一个更加深入的理解。

一、对数的定义对数是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们简化计算，并解决一些复杂的数学问题。

在定义对数之前，我们先来了解指数的概念。

指数，是用来表示重复乘积的运算法则。

例如，2的3次方可以表示为2³，意思是2乘以2乘以2，即2x2x2=8。

指数运算的反运算即为对数运算。

对数可以这样定义：设正整数a大于1，且不等于1。

如果aⁿ=x，那么数n叫做以底数a的对数。

用符号logₐ(x)表示，其中n 叫做x的对数，a叫做底数，x叫做真数。

二、常见对数与自然对数在数学中，我们通常使用常见对数和自然对数。

常见对数以10为底，自然对数以e（约等于2.71828）为底。

常见对数可以写作log₁₀(x)，它表示以10为底数，真数是x 的对数。

自然对数可以写作logₑ(x)或ln(x)，其中e是自然对数的底数。

常见对数和自然对数在计算中都经常被使用，具体使用哪一个取决于问题本身的特点和要求。

三、对数的性质对数有许多重要的性质，了解并熟练运用这些性质，能够在计算中事半功倍。

下面是对数的几个重要性质：1. logₐ(mn) = logₐm + logₐn这个性质叫做乘法公式，它表明两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。

2. logₐ(m/n) = logₐm - logₐn这个性质称为除法公式，它表明两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。

3. logₐ(mⁿ) = n * logₐm这个性质称为幂公式，它表明一个数的指数幂的对数等于指数乘以这个数的对数。

4. logₐa = 1这个性质表明任何数以其自身为底的对数都等于1。

四、对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：1. 对数函数对数函数是一类常用的基本函数，如y = log(x)，它在很多科学领域中都有重要的应用，如物理学、化学等。

高中数学 2.1对数概念教案新人教B版必修1

2.2.1对数与对数运算（1）
对数概念
一、教学背景
1、高中一年级2、学科：人教版数学
3、提前让学生预习本节内容，对对数有个大致的了解，可以上网查一下有关于对数的实际应用内容。
二、教学目标：
1、了解对数的概念
2、熟练掌握指对数互化
3掌握由特殊到一般的认知能力，培养学生观察、分析、总结的能力
三、教学重难点：
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数简记作lnN。
（6）底数a的取值范围：
真数N的取值范围:
讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：
例2将下列对数式写成指数式：
例3计算
练习：课本习题1-4
六、教学小结：
1）对数的概念；2）指对数互化，以及常用对数与自然对数的定义
a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
（学生回答）
师说：探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N > 0）
⑵
对任意且都有
⑶对数恒等式
如果把中的b写成则有
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数简记作lgN。
⑸自然对数：
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
重点：对数的概念
难点：指对数互化
四、教学方法：
结合针对本节课的教学内容与学生的实际情况，我采用的是讨论法，和分析法。
五、教学过程：
1、新课引入：
（1）1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。取4次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？
（2）假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国
民生产总值是2002年的2倍？

人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数_知识点总结

人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数_知识点总结一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

以下是人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数，希望能帮助大家学习!一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要大于0且不为1对数的运算性质当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N常用简略表达方式(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)(3) log(a)+(b)=log(a)(b)e=2.718281828...通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义对数函数的一般形式为y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数)，可表示为x=a^y。

因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1)，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

定义域：(0，+∞)值域：实数集R定点：函数图像恒过定点(1，0)。

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸;0奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数零点：x=1知识拓展：16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

人教B版高中数学选择性必修二知识梳理

人教B版高中数学选择性必修二知识梳理第四章指数函数、对数函数和幂函数一、指数与指数函数1.根式(1)概念：式子n a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(n a)n＝a(a使n a有意义)；当n为奇数时，n n a＝a，当n为偶数时，n n a＝|a|＝,0,,0 a aa a≥⎧⎨-<⎩2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是nma＝n m a (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是nma-＝1n ma(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r+s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，y>1；在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数4.常用结论（1）画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1 1 a⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.二、对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝nlog a M(n∈R)；④log a m M n＝nmlog a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝loglogaaNb(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 5.常用结论①.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m ，n∈R.②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.③.对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，函数图象只在第一、四象限. 三、幂函数 1.幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质函数 y ＝xy ＝x 2y ＝x 321x y =y ＝x －1定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0}R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1) (1,1)四、函数的应用（二）1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blog a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a>0)函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x第五章统计与概率一、数据的收集与直观表示1.总体、个体、样本与样本容量考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.2.普查与抽样调查(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.3.简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体. (2)两种常用方法：抽签法，随机数表法. 4.分层抽样一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 5.数据的直观表示(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布直方图 ①作频率分布直方图的步骤(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差； (ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组； (ⅲ)整理数据：逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间； (ⅳ)作出有关图示：根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.②频率分布折线图作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异.二、数据的数字特征1.数据的数字特征 (1)最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. (2)平均数①定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n ).这一公式在数学中常简记为x －＝1n ∑n i ＝1x i ， ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x －＋b . (3)中位数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数. (4)百分位数①定义：一组数的p %(p ∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值.②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数. (5)众数一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数. (6)极差、方差与标准差①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这组数的离散程度. ②方差定义：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑n i ＝1(x i－x －)2＝1n ∑n i ＝1x 2i－x －2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. ③标准差定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s 表示，即样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差为s ＝1n ∑n i ＝1（x i －x ）2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的标准差为|a |s . 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.三、随机事件、评率与概率1.事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则称“A 包含于B ”(或“B 包含A ”)记作A ⊆B (或B ⊇A )互斥事件给定事件A ，B ，若事件A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互斥，记作AB ＝∅(或A ∩B ＝∅)若A ∩B ＝∅，则A 与B 互斥对立给定样本空间Ω与事件A ，则由Ω若A ∩B ＝∅，且A ∪B事件中所有不属于A 的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记作A＝Ω，则A 与B 对立2.事件的运算定义表示法图示并事件给定事件A ，B ，由所有A 中的样本点与B 中的样本点组成的事件称为A 与B 的和(或并) 记作A ＋B (或A ∪B )交事件给定事件A ，B ，由A 与B 中的公共样本点组成的事件称为A 与B 的积(或交)记作AB (或A ∩B )一般地，如果在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为mn ，其中，m 是n 次重复试验事件A 发生的次数，则当n 很大时，可以认为事件A 发生的概率P (A )的估计值为m n .四、古典概型1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.2.古典概型的概率公式古典概型中，假设样本空间含有n 个样本点，如果事件C 包含有m 个样本点，则P (C )＝m n . 3.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有0≤P (A )≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0；性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝1－P (B )；性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1.性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ).第六章平面向量初步一、平面向量及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小称为向量的模(或大小)，记作|AB →|.(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. (3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行. (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量. (6)相反向量：大小相等、方向相反的向量. 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反.(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.4.向量模的不等式向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.二、向量基本定理与向量的坐标1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝x a＋y b，则称x a＋y b为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝x a＋y b.2.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).3.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，u a±v b＝(ux1±v x2，uy1±v y2)(u，v∈R).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2.三、平面向量线性运算的应用1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(2)向量的垂直：当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b, 即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量AB→＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→__为向量a 在直线l 上的投影向量或投影.②投影的数量：一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.③两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).。