_空间点、线、面间位置关系(1)

思考题 1
如图所示， 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， N 分别是 A1B1、 M、 B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由． (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
【思路】 (1)易证 MN∥AC，所以 AM 与 CN 不是异面直 线． (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线， 证明时常用反证法．
1．空间四点中，三点共线是这四点共面的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A B．必要不充分条件
(
)ห้องสมุดไป่ตู้
D．既不充分也不必要条件
2．下面三条直线一定共面的是 A．a、b、c 两两平行 B．a、b、c 两两相交 C．a∥b，c 与 a、b 均相交 D．a、b、c 两两垂直
答案 C
(
)
3．如图所示，平面 α∩平面 β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝ D，C∈β，C∉l，则平面 ABC 与平面 β 的交线是 ( )
【解析】 (1)∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， 1 ∴由中位线定理可知，EH 綊 BD. 2 CF CG 2 又∵ ＝ ＝ ， CB CD 3 2 ∴在△CBD 中，FG∥BD，且 FG＝ 3BD. ∴由公理 4 知，EH∥FG，且 EH<FG.
∴四边形 EFGH 是梯形，EH、FG 为上、下两底． ∴两腰 EF、GH 所在直线必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF，EF⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC.同理可得 P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线上． 又∵面 ABC∩面 ADC＝AC， ∴P∈直线 AC. 故 EF、GH、AC 三直线交于一点．
( B．与 m、n 至少一条相交
)
D．至多与 m、n 中的一条相交
解析 若 l 与 m、n 都不相交，则 l∥m，l∥n. ∴m∥n 与已知矛盾，故 C、D 不正确． A 中与 m、n 都相交，也不一定，如 l∥m，n 与 l 相交于一 点．
5．如图，若正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面边长为 2， 高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是______．
【解析】 (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C，
∴A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC. ∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直 线．
(2)是异面直线．理由： ∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴B、C、C1、D1 不共面． 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线， 则存在平面 α，使 D1B⊂平面 α，CC1⊂平面 α. ∴D1、B、C、C1∈α. ∴与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾． ∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线．
探究 3 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线 交于一点． (1)证明三线共点的依据是公理 3. (2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问 题．实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上 的问题来处理．
思考题 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 上的点， CF CG 2 且 ＝ ＝3. CB CD (1)求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点． AE CF AH CG (2)若在本题中， ＝ ＝2， ＝ ＝3，其他条件不 EB FB HD GD 变．求证：EH、FG、BD 三线共点．
在正方体 ABCD—A′B′C′D′中， 直线 BB′⊥AB， BB′ ⊥CB，但 AB 与 CB 不平行，∴⑥错． AB∥CD，BB′∩AB＝B， 但 BB′与 CD 不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝ AD，四边形 ABCD 不是平行四边形，故⑧也错．
【答案】 ④
探究 1
对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论
第 3 课时 空间点、线、面间位置关系
2013•考纲下载
1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理 依据的公理和定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关 系的简单命题.
请注意！
平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成 的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现.
3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 . 共面直线 相交 . 异面直线：不同在 任何 一个平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角或直角 叫 做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)． π (0，2] ②范围： ．
例 3
已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交
线互相平行或者相交于一点． 【解析】 设 α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，
由 a⊂β，b⊂β，则 a∩b＝O，如图(1)， 或 a∥b，如图(2)，若 a∩b＝O，
O∈a，a⊂α，则 O∈α，O∈b，b⊂γ，则 O∈γ， 又 γ∩α＝c，因此 O∈c； 若 a∥b，a⊄γ，b⊂γ，则 a∥γ，又 a⊂α，α∩γ＝c，则 a∥ c. 因此三条交线相交于一点或互相平行．
例 4 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点． (1)求证：AC⊥平面 BDD1. (2)求 BD1 与 CE 所成角的余弦值．
【证明】 (1)DD1⊥平面 ABCD ⇒AC⊥DD1 AC⊥BD ⇒AC⊥平面 BDD1. BD∩DD1＝D
【解析】
(2)连接 AD1，A1D 交点为 M，连接 ME，MC，
1．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这 条直线就在此平面内． 公理 2： 经过 不在同一直线上 的三点， 有且只有一个平面． 公理 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有 一 条通过 该点 的公共直线．
2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系： 点 A 在平面 α 内记作 A∈α ， A 不在平面 α 内记作 A∉α . 点 (2)点与线的位置关系： 点 A 在直线 l 上记作 A∈l，点 A 不在直线 l 上，记作 A∉l . (3)线面的位置关系：直线 l 在平面 α 内记作 l⊂α ，直线 l 不在平面 α 内记作 l⊄α . (4)平面 α 与平面 β 相交于直线 a，记作α∩β＝a (5)直线 l 与平面 α 相交于点 A，记作 l∩α＝A (6)直线 a 与直线 b 相交于点 A，记作 a∩b＝A . . .
则∠MEC(或其补角)即为异面直线 BD1 与 CE 所成的角，设 AB 5 1 3 2 2 2 3 ＝1，CE＝ ，ME＝ BD1＝ ，CM ＝CD ＋DM ＝ . 2 2 2 2 在△MEC 中，cos∠MEC CE2＋ME2－CM2 15 ＝ ＝ 15 ，因此异面直线 BD1 与 CE 所成 2CE· ME 15 角的余弦值为 15 .
如图，以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴正方向建立空间 直角坐标系 A—xyz. (1)设 AB＝a， BC＝b， BE＝c， 则由题设得 A(0,0,0)， B(a,0,0)， C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．
→ → 所以，GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)． → → 于是GH＝BC. 又点 G 不在直线 BC 上， 所以四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C、D、F、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F(0,0,2c)，所以 → → → → EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH， 又 C∉EF，H∈FD，故 C、D、E、F 四点共面．
AE CF (2)∵ ＝ ＝2， EB FB ∴EF∥AC. AH CG 又 ＝ ＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且 EF>HG. HD GD ∴四边形 EFGH 为梯形． 设 EH 与 FG 交于点 P， 则 P∈平面 ABD，P∈平面 BCD. ∴P 在两平面的交线 BD 上． ∴EH、FG、BD 三线共点．
答案
5
例 1 下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交， 也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．
④在 B 中 P、Q、R、S 四点共面，证明如下：
取 BC 中点 N，可证 PS、NR 交于直线 B1C1 上一点，∴P、 N、R、S 四点共面，设为 α. 可证 PS∥QN，∴P、Q、N、S 四点共面，设为 β. ∵α、β 都经过 P、N、S 三点，∴α 与 β 重合，∴P、Q、R、 S 四点共面．
例2
下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S 分别是 ( )
所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
【解析】 ①在 A 中易证 PS∥QR， ∴P、Q、R、S 四点共面． ②在 C 中易证 PQ∥SR， ∴P、Q、R、S 四点共面． ③在 D 中，∵QR⊂平面 ABC， PS∩面 ABC ＝P 且 P∉QR， ∴直线 PS 与 QR 为异面直线． ∴P、Q、R、S 四点不共面．
A．直线 AC C．直线 CD
答案 C
B．直线 AB D．直线 BC
解析 ∵AB∩l＝D，AB⊂面 ABC， ∴D∈面 ABC 且 D∈β，∴面 ABC∩β＝CD.
4．已知 m、n 为异面直线，m⊂平面 α，n⊂平面 β，α∩β ＝l，则 l A．与 m、n 都相交 C．与 m、n 都不相交