余数性质及同余定理(B级) 1

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同余的基本概念和性质

模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律模相等的同余关系满足消去律模相等的同余关系满足分配律模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法同余在模方程中的应用实例同余在模方程中的求解步骤同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
Biblioteka Baidu汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某个固定整数得到的余数相同，则称这两个整数同余。

数论中的同余定理

数论是研究整数的性质和结构的学科，它涉及了很多有趣而又重要的定理和原理。在数论中，同余定理是一个非常基础而且重要的概念。同余定理通过研究

整数的除法运算与取余运算之间的关系，帮助我们理解整数的性质和规律。下

面我们将详细讨论同余定理的概念和其在数论中的应用。

首先，我们来了解一下同余的概念。在数学中，同余是指整数之间满足某种特

定关系的性质。具体而言，如果两个整数除以同一个正整数所得的余数相等，

则这两个整数被称为同余的。用数学符号来表示，即对于整数a、b和正整数m，如果a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。例如，5≡11 (mod 3)，表示5与11关于模3同余。

接下来，我们来介绍同余定理及其相关概念。同余定理是数论中的一组基本定理，它揭示了整数之间同余关系的一些基本性质。常见的同余定理有三类：欧

拉定理、费马小定理和中国剩余定理。

欧拉定理是数论中最重要的定理之一。它是基于欧拉函数的一个结论，表明对

于任意正整数a和正整数m，如果a与m互质（即它们没有公共因子），则有

a^φ(m)≡1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。

费马小定理是同余定理中的另一个重要定理。它是费马定理的一个特殊情况，

宣称对于任意正整数a和质数p，有a^p≡a (mod p)。这个定理常常用于证明

一些数论问题，尤其是在素数的应用中经常被使用。

中国剩余定理是一组定理的集合，用于解决一类同余方程组的问题。对于给定

的一组余数和模数，中国剩余定理可以找到一个与这组余数同余的最小非负整数。这个定理在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，被用于构建高效的算

数论中的同余定理与模运算计算方法

数论中的同余定理与模运算计算方法数论是数学的一个分支，研究整数及其性质和关系。同余定理与模

运算是数论中的重要概念和计算方法。本文将介绍同余定理的基本概念，同余关系的性质，以及模运算的计算方法。

一、同余定理的基本概念

同余定理是指两个整数在除以同一个正整数时，如果得到的余数相等，则这两个整数被称为同余。用数学符号表示为：若a、b、n为整

数且n>0，则当n|(a-b)时，称a与b模n同余，记作a≡b(mod n)。

同余关系是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。下面分

别介绍同余关系的性质：

1. 自反性：对于任意整数a和正整数n，a ≡ a (mod n)，即a与自身

模n同余。

2. 对称性：如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)，即a与b模n同余，那么b与a也模n同余。

3. 传递性：如果a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)，即

若a与b模n同余，b与c模n同余，那么a与c也模n同余。

二、模运算的计算方法

模运算是指用除法计算一个数除以另一个数的余数，常用符号为“mod”。模运算的计算方法如下：

1. 加法：若(a+b) mod n = c ，则(a mod n + b mod n ) mod n = c mod n。

2. 减法：若(a-b) mod n = c ，则(a mod n - b mod n ) mod n = c mod n。

3. 乘法：若(a*b) mod n = c ，则(a mod n * b mod n ) mod n = c mod n。

数论中的同余定理与同余方程的解法

数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。同余定理和同余

方程是数论中重要的概念和工具。本文将介绍同余定理的基本思想和

应用，以及解决同余方程的常见方法。

一、同余定理

同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。同余定理是数论

中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。

同余定理可以分为以下几条：

1. 同余的基本性质

（1）自反性：a≡a(mod n)

（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)

（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)

2. 同余的运算性质

（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)

（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)

（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)

3. 同余的整除性质

若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。

同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科

学等领域。

二、同余方程的解法

同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。解同余方程可以通过以下几种方法：

1. 借助同余定理直接解法：

若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。

同余定理公式

中国古代数学家张丘建在《九章算术》中提出了同余定理，它是一种有用的数学定理，用

于解决模数运算中的问题。同余定理的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。

同余定理的公式表明，当两个数a和b模n同余时，它们之间的差值可以被n整除。这

意味着，如果a和b模n同余，那么a-b可以被n整除，即a-b=kn，其中k是一个整数。

同余定理的应用非常广泛，它可以用来解决模数运算中的问题。例如，假设有一个模数运

算问题，要求求出满足条件a ≡ b (mod n)的所有整数a和b。这时，可以使用同余定理的

公式来解决这个问题。

除此之外，同余定理还可以用来解决求余数的问题。例如，假设有一个求余数的问题，要

求求出a除以n的余数。这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b就是a除以n的余数。

此外，同余定理还可以用来解决求模的问题。例如，假设有一个求模的问题，要求求出a

除以n的模。这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b

就是a除以n的模。

另外，同余定理还可以用来解决求最大公约数的问题。例如，假设有一个求最大公约数的问题，要求求出a和b的最大公约数。这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中n就是a和b的最大公约数。

总之，同余定理是一种有用的数学定理，它可以用来解决模数运算、求余数、求模和求最大公约数等问题。它的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。

余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m 如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a= b(mod m), 读作a同余于

b模m

二、同余的性质：

①自身性：a= a(mod m)；

②对称性：若a= b(mod m)，贝U b=a(mod m)；

③传递性：若a=b(mod m), b= c(mod m),贝U a= c(mod m)；

④和差性：若a= b(mod m), c=d(mod m),贝U a+c = b+d(mod m) , a-c = b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a= b(mod m), c=d(mod m),贝U ax c= b x d(mod m)；

⑥乘方性：若a= b(mod m)，贝U a n= b n(mod m)；

⑦同倍性：若a= b(mod m),整数c,贝U ax c= b x c(mod mx c);

三、关于乘方的预备知识：

①若A=ax b,贝U M=M xb= (M) b

②若B=c+d 则MB=M+d=Mx M M

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M n表示M的各个数位上数字的和，则帽n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M X表示M的各个奇数位上数字的和，丫表示M的各个偶数数位上数字的

和，贝U 帽Y-X或傩11- (X-Y) (mod 11);

五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则a P-1 = 1(mod p)。

同余及余数问题

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余

数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．

一、同余定理

1、定义

整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同

余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；

余数性质及同余定理(B级)1

知识框架

、带余除法的定义及性质

1.定义：一般地，如果 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r，也就是 a＝b×q＋

r, 0≤r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

（1）当r 0时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商

（2）当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 : 如图

这是一堆书，共有 a 本，这个 a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么 b 就是除数

的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质

⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；

⑵ 余数小于除数．

二、余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以 c的余数，等于 a,b 分别除以

c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。

例如： 23，16除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。

例如： 23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝ 42除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。

奥数讲义数论专题：余数及同余

华杯赛数论专题：余数及同余

一、带余除法的定义：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：

（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商

（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商

二、同余的概念

两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m

来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.

同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.

由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.

三、同余的性质

1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.

2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.

3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.

4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.

5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），

同余问题口诀的原理

（实用版）

1.同余问题的定义与基本概念

2.同余问题口诀的原理

3.同余问题的解法及应用举例

4.总结与拓展

正文

一、同余问题的定义与基本概念

同余问题是指在模运算下，两个或多个整数之间的关系。若整数 a、b 除以整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对模 m 同余。同余关系用符号“≡”表示，如 a≡b(mod m)，读作“a 同余于 b 模 m”。

二、同余问题口诀的原理

同余问题口诀，也被称为“同余定理”或“欧拉定理”，是数论中解决同余问题的重要方法。其原理如下：

若 a≡b(mod m)，则 a^φ(m)≡b^φ(m)(mod m)，

其中φ(m) 表示模 m 的欧拉函数值，即小于等于 m 的与 m 互质的正整数的个数。

三、同余问题的解法及应用举例

利用同余问题口诀，我们可以轻松地解决许多同余问题。下面举一个典型的例子：

问题：有一个自然数，用它分别去除 63、90、103，都有余数，且三个余数的和是 25。这三个余数中最大的一个是多少？

解：设这个自然数为 x，则根据题意可列出以下三个同余式：

x ≡ 1 (mod 63)

x ≡ 1 (mod 90)

x ≡ 23 (mod 103)

由同余问题口诀，我们有：

x ≡ 1^φ(63) (mod 63)

x ≡ 1^φ(90) (mod 90)

x ≡ 23^φ(103) (mod 103)

其中，φ(63) = 17，φ(90) = 18，φ(103) = 19。

因此，我们可以将原问题转化为求解以下三个同余式：

x ≡ 1 (mod 63)

同余关系的概念与定理

同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。本文将介绍同余关系的概念和相关定理。

一、同余关系的概念

同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。

二、同余关系的性质

同余关系具有以下三个性质：

1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。即任意整数与自身关于模m同余。

2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。

3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。

三、同余关系的定理

1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。即任意整数a可以表示为以m为模的除法

形式。

2. 模运算性质：

- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余

类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。同余

类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。

- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。

小升初奥数余数同余要点总结

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m)；

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的'余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

五、费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

同余与剩余定理

（原创实用版）

1.引言：介绍同余与剩余定理的概念和背景

2.同余定理的定义和性质

3.剩余定理的定义和性质

4.同余与剩余定理的应用

5.结论：总结同余与剩余定理的重要性和影响

正文

1.引言

同余与剩余定理是数论中两个非常重要的定理，它们在数学领域有着广泛的应用。同余定理主要研究整数同余关系，而剩余定理则研究整数除法的余数性质。本文将从定义和性质入手，详细介绍这两个定理，并探讨它们的应用。

2.同余定理的定义和性质

同余定理是指：若整数 a、b、c 满足 a ≡ b (mod m)，则对任意

整数 k，有 a + k ≡ b + k (mod m)，a - k ≡ b - k (mod m)，ak ≡bk (mod m)。这里，≡表示同余关系，mod m 表示取模 m。同余定理的性质包括：反身性、对称性、传递性。

3.剩余定理的定义和性质

剩余定理是指：若整数 a、b、c 满足 a ≡ b (mod m)，且 0 ≤ b < m，则 a = b + km，其中 k 为整数。剩余定理的性质包括：线性性、不变性、唯一性。

4.同余与剩余定理的应用

同余与剩余定理在数论中有着广泛的应用，例如求解不定方程、研究同余数列、分析密码学等。在数学分析、代数几何、拓扑学等领域，同余与剩余定理也发挥着重要作用。

5.结论

同余与剩余定理是数论中的基本定理，它们对于理解整数性质、解决数学问题具有重要意义。

同余的基本概念和性质

第一节同余的基本性质
例7 证明：若2 | a，n是正整数，则
a 2 n 1 (mod 2n + 2)。
(4)
证明设a = 2k 1，当n = 1时，有
a2 = (2k 1)2 = 4k(k 1) 1 1 (mod 23)，
即式(4)成立。
第一节同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2，
证明由 a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
所以必是 pa 1或pa 1，
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
第一节同余的基本性质
例9 设n的十进制表示是 13xy45z , 若792n, 求x，y，z。
解因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。
第一节同余的基本性质
注: 一般地，在考虑使 Nan1an2 a1a被0 m
除的余数时，首先是求出正整数k，使得 10k 1或1 (mod m)，
再将 Nan1an2 a1a写0成
N a k 1 a k 2 a 1 a 0 1 0 0 a 2 k 1 a 2 h 2 a k 1 k 0
的形式，再利用式(2)。
第一节同余的基本性质
例2 求 Nan1an2 a1a0被7整除的条件，并说明1123456789能否被7整除。

五年级奥数余数性质及同余定理(B级)

【巩固】

带余除法的定义及性质【巩固】定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商

(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

【巩固】余数的性质

⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．

【巩固】余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1

人教版B版高中数学选修4-6(B版)同余及其基本性质

(6)
由于0 x, y 9，所以由式(5)与式(6)分别得出 x y 1 = 9或18， 3 y x = 0或11。
这样得到四个方程组：
x y1 a 3 y x b
其中a取值9或18，b取值0或11。在0 x, y 9的条件下解这四个方程组，得到 x = 8，y = 0，z = 6。
我们有 8n 8 z = 6，
以及 9n 91 3 x y 4 5 z = 19 x
y 9x y 1，
(5)
11n 11z 5 4 y x 3 1 = 3 y x
113 y x。
a b (mod m)，c d (mod m)，
(1)
则
(ⅰ) a c b d (mod m)；
(ⅱ) ac bd (mod m)。
证明 (ⅰ) 由式(1)及定义1可知 ma b，mc d，
因此
m(a c) (b d)，
此即结论(ⅰ)；
(ⅱ) 由式(1)及定理1可知，存在整数q1与q2 使得
其中qZ，所以
a
2k
1
=(1

q2k
+
2)2=1
q
2k
+
31(mod
2k
+
3)，