第五章 概率与概率分布(ok)

第五章 概率与概率分布

5.1 写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测验的平均分数。

（2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。

（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 解：（1）测验的平均分数为0至100分，故样本空间为

{|0100}x x Ω=≤≤

（2）遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数为0至∞，故样本空间为

{0,1,

,}Ω=∞

（3）与（2）类似，到有10件正品为止，生产产品的总件数的样本空间为

{10,11,

,}Ω=∞

5.2 某市有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。

解：设A = {订日报}，B = {订晚报}，C = {同时订两种报纸} 则P(C) = P(A ∩B) = P(A) + P(B) – P(A ∪B) 由题意可知：

P(A) = 0.5，P(B) = 0.65，P(A ∪B) = 0.85 于是P(C) = 0.5+0.65 – 0.85 = 0.3

即同时订两种报纸的住户百分比为30%。

5.3 设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有一个发生的概率是1/3，A 发生且B 不发生的概率是1/9，求B 发生的概率。

解：由题意可知，P(A ∪B) = 1/3，()1/9P A B =。

因为()()()()P A B P A P B P A B =+-,而()()()P A B P A P A B =-，故有

()()[()()]

()()112399

P B P A B P A P A B P A B P A B =--=-=-=

5.4 设A 与B 是两个随机事件，已知P(A) = P(B) = 1/3，P(A|B) = 1/6，求

()P A B 。

解：首先，我们有P(AB) = P(B)P(A|B)=(1/3)*(1/6)=1/18， 其次，

()()1()

(|)1()()()

1()()()1()11/31/31/1811/3712

P A B P A B P A B P A B P B P B P B P A P B P AB P B -=

==

---+=

---+=

-=

5.5 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批种子中各随机抽取一粒，求：

（1）两粒都发芽的概率。 （2）至少有一粒发芽的概率。 （3）恰有一粒发芽的概率。

解：设A = {甲种子发芽}，B = {甲种子发芽}。 由题意可知，P(A) = 0.8，P(B) = 0.7。

（1）记C={两粒种子都发芽}，因A 与B 独立， 故P(C) = P(A)P(B) = 0.8*0.7 = 0.56 （2）记D= {至少有一粒发芽}

P(D) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8+0.7-0.56 = 0.84 （3）记E = {恰有一粒发芽}

则P(E) = P(D) – P(C) = 0.84 – 0.56 = 0.28

5.6 某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？

解：显然，产品的一级品率为72%（96%*75%），故从产品中任取一件为一级品的概率是0.72。

5.7 某种品牌的电视机用到5000小时不坏的概率为3/4 ，用到10000小时不坏的概率为1/2。现在又一台这种品牌的电视已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？

解：记A = {5000小时不坏}，B = {10000小时不坏} P(B|A) = P(AB)/P(A) =P(B)/P(A) = (1/2)/(3/4) = 2/3 因为如B 发生，则A 一定发生，故P(AB) = P(B)

5.8 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各位多少？

解：记A 1= {小学文化程度}，A 2= {初中文化程度}，A 3= {高中及高中以上文化程度}，B = {25岁以下}，由贝叶斯公式可得：

1113

1

1

()(|)

(|)()(|)

0.1*0.2

0.1*0.20.5*0.50.4*0.70.03636i

i P A P B A P A B P A P B A ==

=

++=∑

即具有小学文化程度的概率为0.03636，同理，该职工具有初中文化程度的概率为0.4545（25/55），具有高中及高中以上文化程度的概率为0.5090（28/55）。

5.9 某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18。已知这四个车间产品的次品率分别为0.10，0.05，0.20，

0.15，问从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，这件产品是由A ，B 车间生产的概率各为多少？

解：记A 1= {A 车间产品}，A 2= {B 车间产品}，A 3= {C 车间产品}，A 4= {D 车间产品}，B = {次品}，由贝叶斯公式可得：

1113

1

1

()(|)

(|)()(|)

0.3*0.1

0.3*0.10.27*0.050.25*0.20.18*0.150.2489i

i P A P B A P A B P A P B A ==

=

+++=∑

即该次品由A 车间生产的概率为0.2489。同理，该产品由B 车间生产的概率为0.1120（0.0135/0.1205）。

5.10 考虑掷两枚硬币的试验。令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。

解：掷两枚硬币，共有4个基本事件，即{正，正}，{正，反}，{反，正}，以及{反，反}。观察到的正面个数有0、1、2三个取值。

X 0 1 2 P (x) 1/4

1/2

1/4

5.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求：

（1）此人收益的概率分布。 （2）此人收益的期望值。 解：（1）收益的概率分布为：

X 100 10 1 P (x) 0.1%

1%

20%

（2）