高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.2知识点总结含同步练习及答案
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高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会判断必要条件、充分条件与充要条件． 二、知识清单
充分条件与必要条件
三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述： 充分条件与必要条件 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，同时也称由 p 可以推 出 q ，记作 p ⇒ q ，并且说 p 是 q 的充分条件（sufficient condition）， q 是 p 的必要 条件（necessary condition）． 充要条件 一般地，如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作 p ⇔ q ．此时， p 是 q 的充分必要条 件（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p ⇔ q ，那么 p 与 q 互为充要条件． 例题： 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． （1）在 △ABC 中，p : A > B，q : BC > AC ； （2）p : x > 1 ，q : x 2 > 1 ； （3）p : (a − 2)(a − 3) = 0，q : a = 3 ； （4）p : a < b ，q : 解：（1）由三角形中大角对大边可知，若 A > B ，则 BC > AC ；反之，若 BC > AC ，则 A > B．因此 p 是 q 的充要条件． （2）由 x > 1 可以推出 x 2 > 1；由 x2 > 1 得 x < −1 或 x > 1，不一定有 x > 1 ．因此 p 是 q 的充分不必要条件． （3）由 (a − 2)(a − 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3，不一定有 a = 3；由 a = 3 可以得出 (a − 2)(a − 3) = 0 ．因此 p 是 q 的必要不充分条件．
答案： C
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3. 不等式 ax 2 − 2x + 1 < 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是 ( A．a < 1 B．a < 0 C．0 < a &l 解析： 不等式解集非空分三类考虑：①、
a = 0 时，显然成立；②、 a < 0 时，也成立； ③、 a > 0 时，只需 Δ > 0 ，解得 a < 1 ；综上可知，a < 1 ．再结合题目要求的必要而不充分条
a < 1． b
a a > 1 ，当 b > 0 时， < 1 ，故 a < b 不一定有 b b a a a < 1 ；当 a > 0 ，b > 0 时， < 1 ，可以推出 a < b ；当 a < 0 ，b < 0 ， < 1 b b b 时，可以推出 a > b ．因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1 时，一元二次方程 Δ > 0 ，所以此方程有实数解； x2 + x + m = 0 有实 4 1 1 数解，所以 Δ ⩾ 0 ，即 m ⩽ ，所以“m < ” 是" 一元二次方程 x2 + x + m = 0 有实数 4 4
解"的充分不必要条件． 已知 p : ∣1 −
件，求实数 m 的取值范围． 解：设 A = {x ∣ ∣1 −
（4）由于 a < b，当 b < 0 时， 下列命题为真的是______． ①“x = 3”是"x 2 = 9"的充分而不必要条件；
2
+
2
⩾4
②设x，y ∈ R，则“x ⩾ 2” 且y ⩾ 2“是"x2 + y 2 ⩾ 4 "的充要条件； ③”m < 解：①
1 “是”一元二次方程x2 + x + m = 0 有实数解“的必要不充分条件． 4
1. ＂ x > 1 ＂是＂ |x| > 1 ＂ 的 ( A．充分不必要条件 C．充分必要条件
答案： A
)
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2. 设 a ∈ R ，则" a = 1 "是"直线 l 1 : ax + 2y − 1 = 0 与直线 l 2 : x + 2y + 4 = 0 平行"的 ( A．充分不必要条件 C．充分必要条件
命题① ，x = 3 时，x 2 = 9 ；但 x2 = 9时，x = 3 或 x = −3．所以 “x = 3” 是 “ x2 = 9” 的充分但不必要条件； 命题②，由 x ⩾ 2 且 y ⩾ 2，即知 x2 ⩾ 4 且 y 2 ⩾ 4，故 x2 + y 2 ⩾ 4 ，但 x ⩽ −2，y ⩽ −2 时仍有 x 2 + y 2 ⩾ 4 成立．从而可知“x ⩾ 2 且 y ⩾ 2”是"x2 + y 2 ⩾ 4 "的充分而不必要条 件． 命题③，当 m <
件，可得答案．
4. " lg x > lg y "是" √x > √y "的 ( A．充分不必要条件 C．充要条件
答案： A 解析： 充分性显然成立；当
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
y = 0 时， √x > √y ⇏ lg x > lg y ，故必要性不成立．
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因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
∣ ∣
x−1∣ ∣ ⩽ 2 ，q : x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0(m > 0) ，若 p 是 q 的充分不必要条 3 ∣ ∣∣ ∣∣ x−1∣ ∣ ⩽ 2}， B = {x|x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0} ，整理得 3 ∣ A = {x| − 2 ⩽ x ⩽ 10}, B = {x|1 − m ⩽ x ⩽ 1 + m}.
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会判断必要条件、充分条件与充要条件． 二、知识清单
充分条件与必要条件
三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述： 充分条件与必要条件 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，同时也称由 p 可以推 出 q ，记作 p ⇒ q ，并且说 p 是 q 的充分条件（sufficient condition）， q 是 p 的必要 条件（necessary condition）． 充要条件 一般地，如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作 p ⇔ q ．此时， p 是 q 的充分必要条 件（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p ⇔ q ，那么 p 与 q 互为充要条件． 例题： 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． （1）在 △ABC 中，p : A > B，q : BC > AC ； （2）p : x > 1 ，q : x 2 > 1 ； （3）p : (a − 2)(a − 3) = 0，q : a = 3 ； （4）p : a < b ，q : 解：（1）由三角形中大角对大边可知，若 A > B ，则 BC > AC ；反之，若 BC > AC ，则 A > B．因此 p 是 q 的充要条件． （2）由 x > 1 可以推出 x 2 > 1；由 x2 > 1 得 x < −1 或 x > 1，不一定有 x > 1 ．因此 p 是 q 的充分不必要条件． （3）由 (a − 2)(a − 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3，不一定有 a = 3；由 a = 3 可以得出 (a − 2)(a − 3) = 0 ．因此 p 是 q 的必要不充分条件．
答案： C
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3. 不等式 ax 2 − 2x + 1 < 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是 ( A．a < 1 B．a < 0 C．0 < a &l 解析： 不等式解集非空分三类考虑：①、
a = 0 时，显然成立；②、 a < 0 时，也成立； ③、 a > 0 时，只需 Δ > 0 ，解得 a < 1 ；综上可知，a < 1 ．再结合题目要求的必要而不充分条
a < 1． b
a a > 1 ，当 b > 0 时， < 1 ，故 a < b 不一定有 b b a a a < 1 ；当 a > 0 ，b > 0 时， < 1 ，可以推出 a < b ；当 a < 0 ，b < 0 ， < 1 b b b 时，可以推出 a > b ．因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1 时，一元二次方程 Δ > 0 ，所以此方程有实数解； x2 + x + m = 0 有实 4 1 1 数解，所以 Δ ⩾ 0 ，即 m ⩽ ，所以“m < ” 是" 一元二次方程 x2 + x + m = 0 有实数 4 4
解"的充分不必要条件． 已知 p : ∣1 −
件，求实数 m 的取值范围． 解：设 A = {x ∣ ∣1 −
（4）由于 a < b，当 b < 0 时， 下列命题为真的是______． ①“x = 3”是"x 2 = 9"的充分而不必要条件；
2
+
2
⩾4
②设x，y ∈ R，则“x ⩾ 2” 且y ⩾ 2“是"x2 + y 2 ⩾ 4 "的充要条件； ③”m < 解：①
1 “是”一元二次方程x2 + x + m = 0 有实数解“的必要不充分条件． 4
1. ＂ x > 1 ＂是＂ |x| > 1 ＂ 的 ( A．充分不必要条件 C．充分必要条件
答案： A
)
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2. 设 a ∈ R ，则" a = 1 "是"直线 l 1 : ax + 2y − 1 = 0 与直线 l 2 : x + 2y + 4 = 0 平行"的 ( A．充分不必要条件 C．充分必要条件
命题① ，x = 3 时，x 2 = 9 ；但 x2 = 9时，x = 3 或 x = −3．所以 “x = 3” 是 “ x2 = 9” 的充分但不必要条件； 命题②，由 x ⩾ 2 且 y ⩾ 2，即知 x2 ⩾ 4 且 y 2 ⩾ 4，故 x2 + y 2 ⩾ 4 ，但 x ⩽ −2，y ⩽ −2 时仍有 x 2 + y 2 ⩾ 4 成立．从而可知“x ⩾ 2 且 y ⩾ 2”是"x2 + y 2 ⩾ 4 "的充分而不必要条 件． 命题③，当 m <
件，可得答案．
4. " lg x > lg y "是" √x > √y "的 ( A．充分不必要条件 C．充要条件
答案： A 解析： 充分性显然成立；当
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
y = 0 时， √x > √y ⇏ lg x > lg y ，故必要性不成立．
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
∣ ∣
x−1∣ ∣ ⩽ 2 ，q : x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0(m > 0) ，若 p 是 q 的充分不必要条 3 ∣ ∣∣ ∣∣ x−1∣ ∣ ⩽ 2}， B = {x|x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0} ，整理得 3 ∣ A = {x| − 2 ⩽ x ⩽ 10}, B = {x|1 − m ⩽ x ⩽ 1 + m}.