2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：7.5 直线、平面垂直的判定及其性质

命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；
2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且
常与平行关系综合命题，难度中等；
3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查 学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.
1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 任意 条件：直线l与平面α 内的_____一条直线都垂直. 结论：直线l与平面α 垂直.
①求证：PC⊥平面BDE；
②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明
你的结论；
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.
【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断. (2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可； ③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.
如图，过二面角α -l-β 的棱l上一点O在两 ∠AOB 个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则_______ 就叫做二面角α -l-β 的平面角. ③平面角的范围： 设二面角的平面角为θ ，则θ ∈［0,π ］.
(2)平面与平面垂直
①定义： 直二面角 条件：两相交平面所成的二面角为_________. 结论：这两平面垂直.
2
【即时应用】 (1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线 一定平行吗？ 提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.
(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与
平面A1B1C1D1所成的角为_______，其大小
为_____；D1B与平面ABCD所成的角的正弦 值为_____. 【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为 45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦 值为
D
O
C
B
直线与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】1.判定线面垂直的常用方法 方法一 利用线面垂直的判定定理 方法二 方法三 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与 这个平面垂直”. 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另 一个也垂直”.
方法四 利用面面垂直的性质
2.线面垂直性质的应用 当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给 我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法. 【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程. 如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条 相交直线”这一条件.
(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积.
【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP；(2)证
BC⊥平面APC；(3)通过VD－BCM＝VM－BCD求体积.
【规范解答】(1)∵M为AB中点，D为PB中点， ∴DM∥AP， 又DM平面APC，AP⊂平面APC. ∴DM∥平面APC. (2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点， ∴MD⊥PB，
∴ CE DE ,
CA PA
∴ DE CEPA 2 2 2 3 . CA 3 2 3 由②知：BD⊥DE. ∴ VBCED VCBDE 1 S△BDE CE
3 1 1 2 6 2 3 4 2 ( )2 . 3 2 3 3 9
【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面 垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化. 2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中 找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转 化为线线垂直来处理.
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BDtan60°＝ 6， 则 AC AB2 BC2 7， 当BE⊥AC时，BE＝ ABBC ＝ 6 ， AC 7
AE AB2 BE 2
36 ， 7
36 则 AE ＝ 7 ＝ 6 ，即＝ AE ＝ 6 时， BE⊥AC， AC 7 AC 7 7
据，运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直
于第三个平面.
【例2】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥
平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
AE AF 0 1 . AC AD
平面与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.判定面面垂直的方法 面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线 线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，
其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善 于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.
2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依
【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底
面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(
(A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (D)CF⊥平面PAD
)
(2)(2012·鹰潭模拟)如图，三棱 锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC， DE垂直平分线段PC，且分别交AC、 PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.
又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC=P， ∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC， 又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC. 又BC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面APC.
(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10.
又BC＝4， ＝ 100－ ＝2 21, PC 16
【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB， 故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF， PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D. (2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC， ∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC， 又BE∩DE=E， ∴PC⊥平面BDE
∴ S△BDC＝ 1 S△PBC＝ 1 PCBC＝ 1 2 21 4 2 21，
2 4 4 又 MD＝ 1 AP＝ 1 400－100＝5 3. 2 2 1 1 VD－BCM＝VM－BCD＝ S△BDC DM＝ 2 21 5 3＝ 7. 10 3 3
②由①得，PC⊥BD， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.
又PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC
∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.
③∵PA=AB=2, ∴ PB BC 2 2. ∵AB⊥BC,∴ AC 2 3. ∴PC=4，CE=2， 且 BD ABBC 2 2 2 2 6 ， AC 3 2 3 ∵△CDE∽△CPA，
性 质 定 理
垂直于同一个 平面的两条直 线______. 平行
a
α
b
a⊥α ∵_____， b⊥α ______， ∴a∥b
【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的
“任意一条直线”改为“无数条直线”？
提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α 内，或者l与平面α相交但不垂直. (2)直线a⊥平面α ，b∥α ，则a与b的位置关系是_______. 【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为
【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.
证明：∵AB⊥平面BCD，∴AAB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
在△ACD中 AE AF 0 1 ,
AC AD
∴EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC.
(2)∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC， ∴BE⊥CD，
性质及判定的综合应用.
(3)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂
直得到表示高的线段，进而求得体积.
【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱 锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中 点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形. (1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC；
又BE⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BE⊥平面ACD， ∵BE⊂平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ACD. 所以存在 ＝ 6 时，平面BEF⊥平面ACD.
7
【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条 直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直 线，则应通过添加辅助线来构造.
垂直关系的综合问题 【方法点睛】垂直关系综合题的类型及解法 (1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、 线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行结合的问题，求解时应注意平行、垂直的
②平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
一个平面过
图形语言
符号语言
判 定 定 理
另一个平面 垂线 的_____，则 这两个平面
β l
∵______, l⊥α
l⊂β ______, ∴α ⊥β
α
垂直.
③平面与平面垂直的性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂
性 质 定 理 直，则一个 平面内垂直 交线 于_____的直 线与另一个 平面垂直.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
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三年20考
高考指数:★★★★
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间 中线、面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关 系的简单命题.
1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂 直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予 证明； (2)是否存在λ ，使得平面BEF⊥平面ACD， 如果存在，求出λ 的值，如果不存在，说明理由.