浙江2+2数学试题2008答案

----------------------2008年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------

2008年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷

评分标准

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）

1．0sin(2)ln(1)lim 21

x x x x →⋅+- = sin1ln 2 . 2

．232,1

(x y x y y ==∂∂ = 12 .

3 . 已知 5

()ln x

dt

f x t =⎰， 则

5

1

1

()f x dx x

⋅⎰

= 4 4. 已知 12,αα 为二维列向量, 矩阵A = (12,αα), B = (1212,αααα+-), 若行列式

2A =, 则 B = ( 4- ).

5．若矩阵 A = 1221-⎡⎤

⎢

⎥

⎣⎦

, E 为二阶单位阵,矩阵B 满足AB B E =+, 则 B = ( 011102⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

) .

6. 将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去, 杯子中乒乓球的最大数为2的概率为(

9

16

).

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1．函数 2

y x = 在区间 [ -1 ， a ] 上的平均值是 1 ， 则 a = ( D ).

（A ） -1 （B ） 0 （C ） 1 （D ） 2 2. 点 (0,0) 是 二元函数 2008

200820072007z x

y x y =+-- 的 ( C ) .

（A ） 极小值点 ； （B ）极大值点 ；

（C ） 驻点，但一定不是极值点 ； （D ）驻点，但无法确定是否是极值点.

报考学校：__________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------

3．函数（ D ）是函数 2

ln 2x

⋅ 的一个原函数 .

（A ） ,0

2(),02x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩ ； （B ） ,02(),02x x

x f x x -≥⎧=⎨<-⎩ ； （C ） ,02(),012x x x f x x -≥⎧=⎨<-⎩ ； （D ） ,02(),0

22x

x

x f x x -≥⎧=⎨<-⎩ . 4. 设 123,,ααα 是四元非齐次线性方程组 AX b = 的三个解向量,且秩 r(A) = 3 ,

123(1,0,2,0),(0,2,3,4)T T ααα=+=, c 表示任意常数, 则线性方程组 AX b = 的

通解 X = ( B ) . (A) (1,0,2,0)(2,2,1,4)

T

T

c +(B

(1,0,2,0)(2,2,1,4)T T c +--

(C) (1,0,2,0)(2,2,1,4)T T

c +- (D) (1,0,2,0)(0,2,3,4)T

T

c + 5. 若 X 的概率密度函数为

cos ,()220,a x x f x ππ-⎧

≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 则系数 a =( D ) (A) 1 (B)

14 (C) 23 (D) 1

2

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）

1. 计算 200820072

1lim (1)x x x x

x -→-- . 解：200820072008(1)20081222

1101(1)1

lim lim lim (1)(1)x x t t x x x t x x x t x x x t --=-→→→--+-=⋅=-- …………. 2分 2008ln(1)220012008ln(1)

lim lim t t t t e t t t t ⋅+→→-⋅+== …………………………..……… 7分 0

ln(1)

2008lim

2008t t t

→+=⋅= ……………………………………………..….. 9分 2． 广义积分

2

+∞

⎰ 是否收敛？如收敛，计算其值；如不收敛，说明理由。

解： 收敛 …………………………………………………………..…… 1 分

2

2

+∞

+∞

=

⎰⎰ …………………………3 分

2

1sec 0

x t

π

-==

……………………………………………….. 6 分

2

20

cos t dt π

=

⎰ ……………………………………………………………. 7 分 2

1cos 22t

dt π

+=

⎰………………………………………………………..…8 分 20

2sin 24

t t π

+=

4π

=

…………………………………………………....9 分

3. 已知一元函数 ()f x 可导，二元函数 (,)x y ϕ 可微； (0)(0,0)0f ϕ==，

'(0)1f =，'(0,0)2,'(0,0)3x y ϕϕ== ；设 (((),()))z f f x f x ϕ= ，

求 0

x dz dx

= 。

解：((((),())))'(((),()))(((),()))'x dz d

f f x f x f f x f x f x f x dx dx ϕϕϕ==⋅………...3 分

'(((),()))['((),())'()'((),())'()]x y f f x f x f x f x f x f x f x f x ϕϕϕ=⋅⋅+⋅…….…...7 分

x dz dx

='(((0),(0)))['((0),(0))'(0)'((0),(0))'(0)]x y f f f f f f f f f ϕϕϕ=⋅⋅+⋅

'((0,0))['(0,0)'(0)'(0,0)'(0)]x y f f f ϕϕϕ=⋅⋅+⋅ ……………………………….. 8 分 '(0)['(0,0)'(0)'(0,0)'(0)]1(2131)5x y f f f ϕϕ=⋅⋅+⋅=⨯⨯+⨯= …………….… 9 分

4．（1）利用正项级数判敛方法说明级数 1

112n n n n +∞

=⋅+∑ 是收敛的；（ 2 分 ）

（2）求出上面收敛级数的和。（ 7 分 ）.