二次函数图像和性质公开课
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二次函数的图像和性质PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？
第9页
第10页
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
第5页
5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像特征．
图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称．
当x＞0时，y随x增大而减小． 抛物线开口向下．
5.2 二次函数图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合
二次函数图像是怎样？
试着画一画吧！
第2页
5.2 二次函数图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
列表时自变量要 均匀和对称！
第3页
5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
当x＜0时，y随x增大而减小．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
第4页
5.2 二次函数图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
第6页
5.2 二次函数图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像 特征异同点．
假如是函数y＝2x2与y＝－2x2(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x²，y＝－2x²，
y＝
1 2
x²和y＝
-
1 2
x²图像，并说出图像特征．
第8页
5.2 二次函数图像和性质(1)
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x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
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5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像特征．
图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称．
当x＞0时，y随x增大而减小． 抛物线开口向下．
5.2 二次函数图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合
二次函数图像是怎样？
试着画一画吧！
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5.2 二次函数图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
列表时自变量要 均匀和对称！
第3页
5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
当x＜0时，y随x增大而减小．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
第4页
5.2 二次函数图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
第6页
5.2 二次函数图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像 特征异同点．
假如是函数y＝2x2与y＝－2x2(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x²，y＝－2x²，
y＝
1 2
x²和y＝
-
1 2
x²图像，并说出图像特征．
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5.2 二次函数图像和性质(1)
二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
二次函数的图像和性质说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
( 1 )2a b 1
1
0.5
( 2 )3a b 0
-4
-3
-2
-1
11
22
x3
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其中正确
-1.5
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．因此应满足下列的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0
②
由②解方程得 m1
1 2
,
m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x
2
2
1 2
x
3
1 2
2
,
即y 1 x2 x 1
2
2
。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
3． y ax2 bx c 图象的画法．
环节：1．运用配办法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
2．拟定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，运用函 数图像回答：
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 2
x2
6x
9
9
5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数图象和性质省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－21 x2,y=－2x2旳图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)旳图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
旳最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴旳左侧， y伴随x旳增大而增大。
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对称轴旳左侧，y随x旳增大而增大； 在对称轴旳右侧，y随x旳增大而减小。
巩固 1、说出下列函数图象旳性质：
(1) y 3x2 (2) y 3x2 (3) y 1 x2
3
2、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线旳函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6旳点旳坐标。
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 旳右侧)时, y伴随 x旳增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴旳 下方(除顶点外),顶点 是它旳最高点,开口 向下,而且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 旳值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
y ax2
二次函数y=ax2旳性质
1.抛物线y=ax2旳顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴旳上方(除顶点外), 它旳开口向上,而且向上无限伸展；
二次函数(公开课)
们可以通过将特定的横坐标代入二次函数的方程来求得对应的函数值。这样我们可以得到函数图像上的点。
二次函数的图像
二次函数的图像形状可以是抛物线，其凹性取决于a的正负。正数a使抛物线开口朝上，负数a使抛物线开口朝 下。这种图像帮助我们直观地理解二次函数的变化规律。
开口朝上
正数a使抛物线形状开口朝上。
开口朝下
负数a使抛物线形状开口朝下。
二次函数的顶点
二次函数的顶点是抛物线的最高（或最低）点。顶点的横坐标可以通过求根 公式(-b/2a)得到，纵坐标是函数的最大值或最小值。
二次函数的轴对称线
抛物线的轴对称线在顶点处垂直于x轴。它将抛物线分为两个对称的部分，使 我们能够推断出函数值的对应关系。
二次函数的零点
二次函数的零点是使函数值为零的横坐标。我们可以使用求根公式找到二次函数的零点。
零点
零点是函数与x轴相交的点，使函数值为零。
二次函数的判别式
二次函数的判别式为Δ = b² - 4ac，它可以告诉我们方程的根有多少个，以及根 的性质。
二次函数(公开课)
欢迎参加我们的二次函数公开课！本课程将详细讲解二次函数的定义、特点 以及其在实际中的应用。让我们一起探索二次函数的奥秘吧！
二次函数的一般式
二次函数可以表示为y = ax²+ bx + c的一般式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。这种形式使我们能够直观地了解 二次函数的性质和特点。
二次函数的图像
二次函数的图像形状可以是抛物线，其凹性取决于a的正负。正数a使抛物线开口朝上，负数a使抛物线开口朝 下。这种图像帮助我们直观地理解二次函数的变化规律。
开口朝上
正数a使抛物线形状开口朝上。
开口朝下
负数a使抛物线形状开口朝下。
二次函数的顶点
二次函数的顶点是抛物线的最高（或最低）点。顶点的横坐标可以通过求根 公式(-b/2a)得到，纵坐标是函数的最大值或最小值。
二次函数的轴对称线
抛物线的轴对称线在顶点处垂直于x轴。它将抛物线分为两个对称的部分，使 我们能够推断出函数值的对应关系。
二次函数的零点
二次函数的零点是使函数值为零的横坐标。我们可以使用求根公式找到二次函数的零点。
零点
零点是函数与x轴相交的点，使函数值为零。
二次函数的判别式
二次函数的判别式为Δ = b² - 4ac，它可以告诉我们方程的根有多少个，以及根 的性质。
二次函数(公开课)
欢迎参加我们的二次函数公开课！本课程将详细讲解二次函数的定义、特点 以及其在实际中的应用。让我们一起探索二次函数的奥秘吧！
二次函数的一般式
二次函数可以表示为y = ax²+ bx + c的一般式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。这种形式使我们能够直观地了解 二次函数的性质和特点。
二次函数的图像与性质(第3课时)公开课-省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
想一想
比较函数 y 2x2与 y 2x 12 旳图象
⑴完毕下表,并比较2x2和2(x-1)2旳值,它们之间有 什么关系?
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 2x2 18 8 2 0 2 8 18 32
y 2x 12 32 18 8 2 0 2 8 18
做一做
在同一直角坐标系中作出函数y 2x2 与y 2x 12 旳图象，并观察图象,回答下列问题：
2个单位，再向右平移1个单位后，得到旳抛物线旳表 达式为____________．
【答案】 y 1 (x 1)2 2 或 y 1 x2 x 3
2
2
2
5．（宁夏·中考）把抛物线 y x2 向左平
移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物 线旳体现式为（ ）
A. y (x 1)2 3 B. y (x 1)2 3 C. y (x 1)2 3 D. y (x 1)2 3
22.1 二次函数旳图像与性质（3） y=a(x－h)2
温故知新
1.函数 y 1 x2 3 旳图象旳顶点坐标是 (0,3) ； 2
开口方向是 向上 ；最 小 值是 3 .
2.函数y=-2x2+3旳图象可由函数 y=-2x2
旳
图象向 上 平移 3 个单位得到.
3.把函数y=-3x2旳图象向下平移2个单位可得到函数 _y_=_-_3_x_2-_2___旳图象.
2 1/2个单位
长度y2Fra bibliotekx21 2
向下平移
向左平移3 个单位长度
1/2个单位 长度
y 2(x3)2 1
2
向右平移3
个单位长度
【规律措施】
y a(x h)2 k（当k,h都不小于0时）旳图象特点.
二次函数的图像和性质(原创公开课)
2
配方
解：
1 2 y x 6 x 21 2
1 2 y x 6 x 21 2 转化为上 提取二次项系数 1 x 2 12 x 42 2 一节课所 1 2 学知识 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 整理 x 6 6 顶点式 2 2 1 2 y a ( x h) k 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
3.
y 3x 2x 1 2 y x - 4x 3 2
2
2.
y x 2x 3
2
例1：指出抛物线:
y x 3x 2
2
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画 出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
1 2 y x 6 x 21 2
归纳：如何配方
配 方
方法1：看成方程进行配方； 方法2： （1）“提”：提出二次项系数 （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式
2 1 y= — (x―6) +3 2
1 2 解：配方可得 y x 6 x 21 2 1 2 x 6 3 2
2、说出下列抛物线y=a(x －h)2＋k的开口方向、对 称轴及顶点： 2 2
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
a=2>0,开口向上 a=-3<0,开口向下
配方
解：
1 2 y x 6 x 21 2
1 2 y x 6 x 21 2 转化为上 提取二次项系数 1 x 2 12 x 42 2 一节课所 1 2 学知识 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 整理 x 6 6 顶点式 2 2 1 2 y a ( x h) k 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
3.
y 3x 2x 1 2 y x - 4x 3 2
2
2.
y x 2x 3
2
例1：指出抛物线:
y x 3x 2
2
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画 出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
1 2 y x 6 x 21 2
归纳：如何配方
配 方
方法1：看成方程进行配方； 方法2： （1）“提”：提出二次项系数 （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式
2 1 y= — (x―6) +3 2
1 2 解：配方可得 y x 6 x 21 2 1 2 x 6 3 2
2、说出下列抛物线y=a(x －h)2＋k的开口方向、对 称轴及顶点： 2 2
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
a=2>0,开口向上 a=-3<0,开口向下
二次函数的图像与性质公开课优秀课件
当 xb时 ,最 大. 小4值 ac为 b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当 xb时 ,最 小.大4值 ac为 b2
2a
4a
例1：指出抛物线:yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
3、拓展
公 式 为 ： yax2ba24ac4a b2.
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
yax2bxc
提取二次项系数: (将含x项结合在一起，
a
x2
b a
x
c
提取二次项系数)
a xa2 xb a2xba2ba4a2 c4 ab22ba2 化简c整配减数的理方去绝平: 一对方:加次值上项一再系半
抛物线y＝ax2＋bx＋c
＝a(x＋
b 2
a
)2＋
4
ac 4
a
b
2
22.1 二次函数的图象和性质 公开课课件.ppt 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 公开课课件
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
二次函数的图象和性质PPT教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第14页
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
第11页
3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
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3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
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y x
y
x
开口向上
开口向下
a>0 a<0
2、C 的符号：（以a>0为例）
交点在x轴上方
y
c>0 x y
交点在x轴下方 经过坐标原点
c<0 c=0
x y
x
b x 2a . 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
x b ＜0 2a
3、b的符号：
y
y
x
左同右异
x
b 0 2a
x
对称轴在y轴左侧:
b b ＜0 0 2a 2a
对称轴在y轴右侧:
b b 0 0 2a 2a
a、b同号
a、b异号
4、△=b2-4ac的符号： y
y y
x
o
x
x
与x轴有两个交点:△>0 与x轴无交点:△<0 与x轴一个交点:△ =0
二次函数图像与系数 a,b,c 例3 (2014 莱芜) 的关系 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 图所示,下列结论①abc>0, ②2a-b=0,③ 4a-2b+c<0, ④(a+c)2<b2 其中正确的个数 a<0 有( c) c>0 A 1个
考点一 :二次函数的定义
1.一般地, 如果y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数三种基本形式:
（ 1 ）y ax bx c(a 0)
2
一般式
顶点式
已知抛物线任意三点坐标
（2）y a( x - h) k (a 0)
2
已知抛物线顶点坐标（h,k)
例5(2014 黄石)
利用图像解不等式
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示,则函数值y>0时,x的取值范围是( D ) A x<-1
B x>3 C -1<x<3
D x<-1或x>3
例6(2014 宁波) 待定系数法求解析式
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点 (1)求二次函数的解析式
直线y=x+1,并写出当x 在什么范围内时,一次
函数的值大于二次函
数的值
-1＜x＜4
谈谈今天的收获
感谢各位老师和同 学，请提出宝贵意 见！
1 a 2 1 b 2 c 1
1 2 1 (2)当y=0时， x x 1 0 ， 2 2
解得：x=2或x=-1，
∴D（-1,0）.
例6 (2014 宁波)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点 (3)在同一坐标系中画出
21题二次函数综合题（12分） ，
一小一大共15分. 2014年共21题. 选择题第8题动点函数图像题（3分）， 填空12题图像题（3分）
21题（10分）二次函数综合题，两小一大共16分.
（一）二次函数的图像 和性质
复习重点及目标：
1.熟练掌握二次函数的图像和性质. 2.熟练掌握二次函数图像特征与系 数a,b,c的关系. 3.掌握二次函数图像平移特征及解 析式求法. 4.会利用二次函数图像解方程或不 等式.
例2 (2014襄阳)
函数ห้องสมุดไป่ตู้大小比较
二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示, 若点A(x1,y1) ,B(x2,y2)在此函数图象上 且x1<x2<1,则y1,y2的大小关系是 ( B )
A y1≤y2
B y1＜y2 C y1≥y2 C y1＞y2
y2 y1 x1 x2
考点三：抛物线y=ax2+bx+c的图像 与系数a,b,c的关系： 1、a的符号：
二次函数历年来在菏泽市中考题中 所占比例：
2011年共21题.选择题第8题（4分）， 20题（9分）应用题，
21题（9分）二次函数综合题，一小两大共22分.
2012年共21题.选择题第8题图像（3分）， 20题（9分）应用题， 21题（10分）二次函数综合题，一小两大共22分.
2013年共21题.选择题第8题图像题（3分），
交点式
（3）y a( x - x1 )(x x2 )(a 0)
已知抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2
一、 求抛物线的顶点、对称轴
例1 (2014.云南)
抛物线y=x2-2x+3的开口方向
顶点坐标为 (1,2) ,对称轴 解： 1、配方法：y=(x-1)2+2
向上 x=1
, .
b x 1 2、公式法： 2a 2 4ac b y 2 4a
∴y=(x-4)2-2
变式训练
抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再 向左平移1个单位长度后,得到的抛物线解 析式是( C )
A y=(x-4)2-6 C y =(x-2)2-2 B y=(x-4)2-2 D y=(x-1)2-3
y=x2-6x+5=(x-3)2-4 口诀：上加下减，左加右减
考点二:二次函数y=ax² +bx+c （a≠0）的图像和性质
1、开口方向： 向上
b 2、对称轴： x 2a 2 b 4 ac b 3、顶点坐标： - , 2a 4 a
y
x
b 2a
x
a＞0
4、增减性： 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
考点二：二次函数y=ax² +bx+c （a≠0）的图像和性质
1、开口方向：向下
b 2、对称轴： x 2a 2 b 4 ac b 3、顶点坐标： - , 2a 4 a
x
b 2a
y
x
a＜0
4、增减性： 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
向上平移 2个单位
上加下减，
D y=(x-1)2-3 左加右减 y=(x-3)2-4+2
y=x2-6x+5=(x-3)2-4 y=(x-3)2-2
向右平移 1个单位
y=(x-3-1)2-2=(x-4)2-2
解法二： 将抛物线y=(x-3)2-4的顶点
（3，-4）向上平移2个单位得点 （3，-2），向右平移1个单位得 点（4，-2）.
b<0
B 2个
C 3个 C 4个
(a+c)2-b2<0
(a+c+b)(a+c-b)<0
例4 (2014 荆门)二次函数图像与平移
抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再 向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解 析式是( B )
A y=(x-4)2-6 C y =(x-2)2-2 B y=(x-4)2-2
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D,
求点D的坐标
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象经过点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点.
4a 2b c 0, c 1, 16a 4b c 5,
解得：
∴
1 2 1 y x x 1 2 2
y
x
开口向上
开口向下
a>0 a<0
2、C 的符号：（以a>0为例）
交点在x轴上方
y
c>0 x y
交点在x轴下方 经过坐标原点
c<0 c=0
x y
x
b x 2a . 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
x b ＜0 2a
3、b的符号：
y
y
x
左同右异
x
b 0 2a
x
对称轴在y轴左侧:
b b ＜0 0 2a 2a
对称轴在y轴右侧:
b b 0 0 2a 2a
a、b同号
a、b异号
4、△=b2-4ac的符号： y
y y
x
o
x
x
与x轴有两个交点:△>0 与x轴无交点:△<0 与x轴一个交点:△ =0
二次函数图像与系数 a,b,c 例3 (2014 莱芜) 的关系 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 图所示,下列结论①abc>0, ②2a-b=0,③ 4a-2b+c<0, ④(a+c)2<b2 其中正确的个数 a<0 有( c) c>0 A 1个
考点一 :二次函数的定义
1.一般地, 如果y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数三种基本形式:
（ 1 ）y ax bx c(a 0)
2
一般式
顶点式
已知抛物线任意三点坐标
（2）y a( x - h) k (a 0)
2
已知抛物线顶点坐标（h,k)
例5(2014 黄石)
利用图像解不等式
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示,则函数值y>0时,x的取值范围是( D ) A x<-1
B x>3 C -1<x<3
D x<-1或x>3
例6(2014 宁波) 待定系数法求解析式
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点 (1)求二次函数的解析式
直线y=x+1,并写出当x 在什么范围内时,一次
函数的值大于二次函
数的值
-1＜x＜4
谈谈今天的收获
感谢各位老师和同 学，请提出宝贵意 见！
1 a 2 1 b 2 c 1
1 2 1 (2)当y=0时， x x 1 0 ， 2 2
解得：x=2或x=-1，
∴D（-1,0）.
例6 (2014 宁波)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点 (3)在同一坐标系中画出
21题二次函数综合题（12分） ，
一小一大共15分. 2014年共21题. 选择题第8题动点函数图像题（3分）， 填空12题图像题（3分）
21题（10分）二次函数综合题，两小一大共16分.
（一）二次函数的图像 和性质
复习重点及目标：
1.熟练掌握二次函数的图像和性质. 2.熟练掌握二次函数图像特征与系 数a,b,c的关系. 3.掌握二次函数图像平移特征及解 析式求法. 4.会利用二次函数图像解方程或不 等式.
例2 (2014襄阳)
函数ห้องสมุดไป่ตู้大小比较
二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示, 若点A(x1,y1) ,B(x2,y2)在此函数图象上 且x1<x2<1,则y1,y2的大小关系是 ( B )
A y1≤y2
B y1＜y2 C y1≥y2 C y1＞y2
y2 y1 x1 x2
考点三：抛物线y=ax2+bx+c的图像 与系数a,b,c的关系： 1、a的符号：
二次函数历年来在菏泽市中考题中 所占比例：
2011年共21题.选择题第8题（4分）， 20题（9分）应用题，
21题（9分）二次函数综合题，一小两大共22分.
2012年共21题.选择题第8题图像（3分）， 20题（9分）应用题， 21题（10分）二次函数综合题，一小两大共22分.
2013年共21题.选择题第8题图像题（3分），
交点式
（3）y a( x - x1 )(x x2 )(a 0)
已知抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2
一、 求抛物线的顶点、对称轴
例1 (2014.云南)
抛物线y=x2-2x+3的开口方向
顶点坐标为 (1,2) ,对称轴 解： 1、配方法：y=(x-1)2+2
向上 x=1
, .
b x 1 2、公式法： 2a 2 4ac b y 2 4a
∴y=(x-4)2-2
变式训练
抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再 向左平移1个单位长度后,得到的抛物线解 析式是( C )
A y=(x-4)2-6 C y =(x-2)2-2 B y=(x-4)2-2 D y=(x-1)2-3
y=x2-6x+5=(x-3)2-4 口诀：上加下减，左加右减
考点二:二次函数y=ax² +bx+c （a≠0）的图像和性质
1、开口方向： 向上
b 2、对称轴： x 2a 2 b 4 ac b 3、顶点坐标： - , 2a 4 a
y
x
b 2a
x
a＞0
4、增减性： 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
考点二：二次函数y=ax² +bx+c （a≠0）的图像和性质
1、开口方向：向下
b 2、对称轴： x 2a 2 b 4 ac b 3、顶点坐标： - , 2a 4 a
x
b 2a
y
x
a＜0
4、增减性： 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
向上平移 2个单位
上加下减，
D y=(x-1)2-3 左加右减 y=(x-3)2-4+2
y=x2-6x+5=(x-3)2-4 y=(x-3)2-2
向右平移 1个单位
y=(x-3-1)2-2=(x-4)2-2
解法二： 将抛物线y=(x-3)2-4的顶点
（3，-4）向上平移2个单位得点 （3，-2），向右平移1个单位得 点（4，-2）.
b<0
B 2个
C 3个 C 4个
(a+c)2-b2<0
(a+c+b)(a+c-b)<0
例4 (2014 荆门)二次函数图像与平移
抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再 向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解 析式是( B )
A y=(x-4)2-6 C y =(x-2)2-2 B y=(x-4)2-2
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D,
求点D的坐标
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象经过点A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点.
4a 2b c 0, c 1, 16a 4b c 5,
解得：
∴
1 2 1 y x x 1 2 2