随机信号经线性系统的特性分析

随机信号通过线性系统实验——随机信号通过低通滤波器班级：010913作者：葛楠（01091256）李丹（01091272）张卫康（01091220）一、摘要基于Matlab让产生的一个随机信号通过低通滤波器，并且分析随机信号的数学特征，当其通过低通滤波器后再次分析其数字特征，从而得出实验结论。

二、目的1.研究随机信号的线性叠加型。

2了解输入、输出信号的特性，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。

3.掌握随机信号的检测及分析方法。

三、实验的特点和原理特点：完全基于Matlab仿真原理：（1）均值：即为数学期望，表示信号变化的中心趋势，是信号的直流分量。

（2）均方值：表示信号的强度，代表信号的平均能量。

（3）方差：反映了信号绕均值的波动程度。

（4）自相关函数：表示波形自身在不同时间的相似程度，其值越大表示相似性越高。

信号一般是相关的，即自相关函数不为零。

而噪声是随机的，基本上不相关，所以自相关理论上为零。

（5）频谱函数：从频域上分析信号在不同频率分量的大小，而信号的频谱和功率谱函数只是在数值上不同的，其图形相似。

四、实验的过程1.分别生成一个方波信号和一个高斯白噪声，将两者线性叠加，研究各信号的频域和时域特性。

设定采样频率Fs=44.1kHz，取的样本点数N=256，方波基频为1000Hz，加入SNR为10dB的高斯白噪声得到输入信号xi，间接获得白噪声xn。

123456x 10-3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81方波信号时域波形tx s(t )x 104方波信号频域波形fX S (f )x 10-3高斯白噪声信号时域波形tx n(t )x 104高斯白噪声信号频域波形fX N (f )2.将方波信号和高斯白噪声线性叠加，绘制叠加信号的特性曲线，包括均值、方差、均方值等。

x 10-3输入信号时域波形tx i(t )2.x 10-3输入信号的自相关函数τR x i(τ)3.x 104输入信号频域波形fXI(f)x 10-3输入信号均值tm(t)0123456x 10-3输入信号均方值tj (t )0123456x 10-3输入信号方差tc (t )3设计一个滤波器，输入信号通过滤波器会研究输出信号的方差、均方值、均值、自相关函数和功率谱密度。

滤波器的通带截止频率4000Hz ，阻带截止频率5000Hz ，通带最大衰减1dB ，阻带最小衰减35dB ，输入信号为方波与白噪声的合成，方波信号为1kHz ，白噪声具有各种频率分量。

通过低通滤波器后，方波的衰减会相对较小；白噪声的低频部分几乎没有衰减，而随着频率增大，衰减将越大，最后几乎衰减为0。

由于通过滤波器的频率分量大都频率较低，因此输出信号的时域波形将较输入信号较为平滑，但由于输出中仍存在低频噪声，输出信号将有一定的起伏，由以上仿真结果可以看出，经滤波后信号表面平滑了不少，但因仍存在低频噪声，尚不能完全复原初始信号。

x 10-3低通滤波后方波信号的自相关函数τR x o2(τ)x 1044输出信号功率谱密度0123456x 10-3-2-1.5-1-0.500.511.52输出信号波形tx o 1(t )x 10-3输出信号方差tC (t )x 10-30.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01输出信号均方值t J (t )x 10-3输出信号均值t M (t )x 104输出信号频谱f X O 1(f )五、实验的结论随机信号通过线性系统串行叠加之后产生了新的频率成分。

实验用方波信号加噪声作为随机输入信号，经过低通滤波器之后，输入信号高频分量产生较大衰减，由于是系统是线性的，故没有产生新的频率成分。

经滤波器六、参考资料[1]马文平、李兵兵、田红心、朱晓明，随机信号分析与应用，2006，北京：科学出版社[2]楼顺天、姚若玉、沈俊霞，Matlab 7.x 程序设计语言（第二版），2007，西安：西安电子科技大学出版社[3]吴大正、张永瑞、王松林、郭宝龙，信号与线性系统分析（第4版），2005，北京：高等教育出版社七、附件 程序clc%*************** 生成输入信号 *****%Fs=44100;N=256;n=0:N-1;t=n/Fs;f=1000;xs=square(2*pi*f*t);xi=awgn(xs,10,'measured');xn=xi-xs;%***************** 时域波形 *************%figure(1);plot(t,xs,'k-');title('方波信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_s(t)');hold on;grid on;figure(2);plot(t,xn,'b-');title('高斯白噪声信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_n(t)');hold on;grid on;figure(3)plot(t,xi,'r-');title('输入信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_i(t)');hold on;grid on;%***************** 频域波形 *************%XS=fft(xs);a1=abs(XS);b1=(0:length(XS)-1)'*44100/length(XS);figure(4);plot(b1(1:length(b1)/2),a1(1:length(b1)/2),'k-'); title('方波信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XS(f)');hold on;grid on;XN=fft(xn);a2=abs(XN);b2=(0:length(XN)-1)'*44100/length(XN);figure(5);plot(b2(1:length(b2)/2),a2(1:length(b2)/2),'b-'); title('高斯白噪声信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XN(f)');hold on;grid on;XI=fft(xi);a3=abs(XI);b3=(0:length(XI)-1)'*44100/length(XI);figure(6);plot(b3(1:length(b3)/2),a2(1:length(b3)/2),'r-'); title('输入信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XI(f)');hold on;grid on;%***************输入信号均值 *****%figure(7);m=mean(xi);plot(t,m,'r-');title('输入信号均值');xlabel('t'),ylabel('m(t)');hold on;grid on;%***************输入信号均方值 *****%figure(8);j=xi.*xi/numel(xi);plot(t,j);title('输入信号均方值');xlabel('t'),ylabel('j(t)');hold on;grid on;%***************输入信号方差 *****%figure(9);c=cov(xi);plot(t,c,'r-');title('输入信号方差');xlabel('t'),ylabel('c(t)');hold on;grid on;%***************输入信号自相关函数 *****%Rxi=xcorr(xi,xi);tau=(-length(xi)+1:length(xi)-1)/Fs;figure(10);plot(tau,Rxi,'-r')title('输入信号的自相关函数');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_i(\tau)');grid on;hold on;%*************** 输入信号功率谱密度 *****%R=fft(Rxi);cm=abs(R);fl=(0:length(R)-1)'*44100/length(R);figure(11);plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('输入信号的功率谱');hold on;grid on;%*************** 低通滤波器 *****%Fs=44100;N=256;wp=4000/22050;ws=5000/22050;Rp=1;As=35;[n,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,As);[B,A]=butter(n,Wn);freqz(B,A,512,44100);%*************** 输出信号信号波形 *****%xo1=filter(B,A,xi);figure(12);plot(t,xo1,'-b');title('输出信号波形')xlabel('t'),ylabel('xo1(t)');hold on;grid on;%****************** 输出信号频谱 ******************%XO1=fft(xo1);A=abs(XO1);B=(0:length(XO1)-1)'*44100/length(XO1);figure(13);plot(B(1:length(B)/2),A(1:length(B)/2));title('输出信号频谱');xlabel('f'),ylabel('XO1(f)');hold on;grid on;%***************输出信号均值 *****%figure(14);M=mean(xo1);plot(t,M,'r-');title('输出信号均值');xlabel('t'),ylabel('M(t)');hold on;grid on;%***************输出信号均方值 *****%figure(15);J=xo1.*xo1/numel(xo1);plot(t,J);title('输出信号均方值');xlabel('t'),ylabel('J(t)');hold on;grid on;%***************输出信号方差 *****%figure(16);C=cov(xo1);plot(t,C,'r-');title('输出信号方差');xlabel('t'),ylabel('C(t)');hold on;grid on;%****************** 输出信号自相关函数 ******************% %xcorrRxo1=xcorr(xo1,xo1);tau=(-length(xo1)+1:length(xo1)-1)/Fs;figure(17);plot(tau,Rxo1,'-k')title('低通滤波后方波信号的自相关函数');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_o2(\tau)');grid on;hold on;%****************** 输出信号功率谱密度 ************%R=fft(Rxo1);cm=abs(R);fl=(0:length(R)-1)'*44100/length(R);figure(18)plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('输出信号功率谱密度')grid on;hold on;（注：素材和资料部分来自网络，供参考。