数学思想2 整体思想

第二节 整体思想(一)

思想方法概述

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．

整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、

典型考题例析

应用1.数与式中的整体思想

例1. 已知代数式3x 2

－4x+6的值为9，则2

463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 例2.已知

114a b -=，则

2227a ab b

a b ab

---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.

125 D.2

7

-

例4．先化简，再求值222

142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷

⎪--+-⎝

⎭， 其中a 满足a 2

－2a －1=0．

例 3.已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．

例4.计算：111

111111234

20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++-

⎪⎪⎝⎭⎝⎭……

111

1111112342008234

2007⎛⎫⎛⎫

+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+

【练习】 1.(08芜湖)已知

113x y -=，则代数式

21422x xy y

x xy y

----的值为_________． 2．已知x 2

－2x －1=0，且x<0，则1

x x

-

=__________． 3．如果(a 2

+b 2) 2

－2(a 2

+b 2

)－3=0，那么a 2

+b 2

=_________． 4.当代数式a-b 的值为3时，代数式2a-2b+1的值是( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

5.当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3

+bx+7的值为( )

A ．7

B ．10

C ．11

D ．12

6.若14y+5-21y 2的值为-2时，则(2y-y 2+1)-(6y-7y 2

-3)=__________.

7.已知3x 2－3xy=28，3xy －3y 2=－13，则x 2－y 2

=_________. x 2－2xy+ y 2

=_________.

8.计算：20089

20089

20089

99999919999⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

个个个

9.已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2

-a+3)-2

1(a 2

-a-4)-a 的值.

10.(07泰州)先化简，再求值： 2224124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪

-+--⎝⎭， 其中a 是方程x 2

+3x+1=0的根．

11．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)= -3，求x 2+y 2－2xy 的值．

应用2.函数与图像中的整体思想

例1.已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；

（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式

【练习】

已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且x=3时y=4；x=1时y=2，求y与x之间的函数关系式．

第二节 整体思想(二)

应用3.方程(组)与不等式(组)中的整体思想 例1.已知241

22

x y k x y k +=+⎧⎨

+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是

例2.已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为5

6x y =⎧⎨=⎩

，那么

关于x ，y 的二元一次方程组3()()5

()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩的解为为

例3.(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2

＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2.

(1)求k 的取值范围；

(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1，且k 为整数，求k 的值．

例3．解方程 2

2

5

23423x x x x

+-=+

说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．

（2）利用整体换元，我们还可以解决形如22

315

122

x x x x -+=-这样的方程，只要设21

x

y x =-，从而将方程变形为

，再转化为一元二次方程 来求解．原方程的解为 。对于形如2()50

11

x x

x x +-=--这样的方程只要设1

x

y x =-，从而将方程变形为一元二次方程

来求解，原方程的解为 。

（3）换元法一般包括 换元法和 换元法两种。