时变电磁场例题

有
( B1n B2 n ) [n ( B1 B2 )] 0 t t
从而有
n ( B1 B2 ) C(常数)
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n ( B1 B2 ) 0,即B1n B2n
同理，将式
H J
中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
aH0
sin ax cos(t ay) c( x, y )

百度文库
sin ax cos(t ay) sin ax cos(t ay)
aH0

例 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于
切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是 独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量 的边界条件。
对于媒质 1 和媒质 2 有
B1n B2 n t E1t , t E2 t t t
上面两式相减得
t ( E1t E2 t ) ( B1n B2 n ) t
代入切向分量的边界条件：
n ( E1 E2 ) 0,即E1t E2t
开取其中的法向分量，有
Dn t H t Jn t
D t
此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有
D1n D2 n t H1t J 1n , t H 2 t J 2n t t
解： 在分界面两侧的媒质中，
B1 B2 E1 , E2 t t
将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令
E Et En , t n
于是有
(t n ) ( Et En ) ( Bt Bn ) t
Hy
0
H ey
E0
0
例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想 导体，分界面处的磁场强度为
H ( x, y,0, t ) ex H0 sin ax cos(t ay)
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电
场强度。
解：
J S n H ez ex H 0 sin ax cos(t ay) ey H 0 sin ax cos(t ay)
即J=0, ρ=0。
ex
ey
ez
H E 0 x y z t Ex 0 0
e y E0 sin t z 0 ( ex H x e y H y ez H z ) t
由上式可以写出： H x 0, H z 0
0 H y t E0 E0 sin(t z ) cos(t z ) cos(t z )
r 1mm
3.9738A
(2) 因为
J
1 d 2 1.5 2.5 ( r 10 r ) 5 r r 2 dr
J r 1mm 1.58 108 ( A / m2 )
由电流连续性方程式，得
dQ I 3.97 A (3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率： dt
例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
解： 根据麦克斯韦方程
D H J t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
D J dS S ( H ) dS c S t
D ( H ) dS ( H ) dV 0 J dS I c I d I S V S c t
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J er10r1.5
( A / m2 )
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
解：(1)
I J dS
S
2
0


0
10r 1.5 r 2 sin dd r 1mm
40r 0.5
t
r 1mm
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3 109 t 10z) ( A / m)
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0,
ex Jd
D H t x y H y z
D H t e y ez
Bn Bt ( t t ) n ( t n ) t ( n t ) t ( n En ) t t
由上式可见：
Bn Bt t Et , n En 0, n Et t En t t
由于
D , (E ) , E
0 t
t
( t ) 0 e

例 已知在无源的自由空间中，
E ex E0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求H。
解： 所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
z
ex
ex 2.63 104 sin(3 109 t 10z ) ( A / m 2 )
例 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
(E ) ( E ) 0 t t
S [ H 0 sin ax cos(t ay)] aH0 sin ax sin(t ay) t y
假设t=0 时，ρS=0，由边界条件n· D=ρS以及n的方向可得
D( x, y,0, t ) ez E ( x, y,0, t ) ez aH0
S