第五章 连续时间系统的复频域分析
第五章 连续时间系统的复频域分析
2
(s )2 2
(1)
(s 1)e3s (s 1)2 4
(2) et cos (t 1) (t 2)
三、拉普拉斯变换性质
(s 1)e3s
(1)
(s 1)2 4
e-(t-3)[cos2(t-3) -sin2(t-3)](t-3)
(s 1) (s 1) 2 (s 1)2 4 (s 1)2 22
4
f (t) (4 4et 3tet ) (t)
四、拉普拉斯变换反变换
(1)
F (s)
s2
1 5s
6
(2)
s s2 2s 5
f (t) (et cos 2t 1 et sin 2t) (t)
2
四、拉普拉斯变换反变换
留数定理
留数计算：
假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为：
Re sk (s sk )F(s)est ssk
一、拉普拉斯变换及收敛域
例：求下面信号的LT的收敛区间
f (t ) e2t (t ) e2t (t )
有始信号收敛域的收敛轴由最右面极点决定，收敛域在收敛轴右面
二、常用函数拉普拉斯变换
L (t) 1
L{ (t)} 1
s
Lt (t)
1 s2
Re[s] > 0
L{et (t)} 1 s
L tet (t) 1
（2）
解：
f (t) cos(t) cos(3t) (t)
三、拉普拉斯变换性质
复频域微分与积分
Lt f t d F s
ds
L
f
t
t
s
F
s
d
s
三、拉普拉斯变换性质
例1：L[tet (t)]
信号与系统第5章 连续系统的频域分析
求系统在 f（t）=2 cos2t作用下的零状态响应 yf（k）。
12
解 由微分方程得到系统的频率特性为
13
取傅里叶反变换，得到系统的零状态响应为
14
除了上述求解方法外，前面根据频率特性的物 理含义得到了如下结论，即
如果输入信号为任意的周期信号，则可以通过 傅里叶级数将其分解为上述基本周期信号分量的叠 加。
5
5.1.2 频率特性的性质 以上得到了系统频率特性的 3种不同定义。这 里再对其作几点说明。 ①系统的频率特性是建立在信号傅里叶变换的 基础上的。因此，与信号的频谱一样，一般情况下 系统的频率特性 H（jω）是以 ω 为自变量的复变 函数，并可表示为
6
②实际系统的频率特性一般满足共轭对称性，
即
式中，f（t）为连续信号，fs（t）为抽样信号 ，P（t）称为抽样脉冲。T为抽样周期，或者称为 抽样间隔，fs=1/T称为抽样频率，ωs=2πfs=2π /T 称为抽样角频率。
26
解 1）由微分方程得到系统的传输算子为
根据以上两式得到幅频特性和相频特性曲线如 图 5.3.4所示。
27
图 5.3.4 例 5.3.1图 1
28
2）已知输入信号 f（t）为周期信号，则根据 系统的频率特性可直接求得系统的零状态响应为
本例中输入输出信号的时域波形和幅度谱分别 如图 5.3.5（a）和图 5.3.5（b）所示。由图可知， 输入信号中的两个分量通过系统后，幅度上得到不 同程度的衰减。 29
33
图 5.4.1 幅度调制及其相干解调
34
图 5.4.2 调制信号和已调信号的频谱
35
图 5.4.3 解调器中相乘器输出信号的频谱和低通滤 波器的频率特性
实验5 连续时间系统的频域和复频域分析
实验5 连续时间系统的频域和复频域分析一．实验目的1.掌握和理解连续时间函数系统频率相应、系统函数的概念和物理意义。
2.学习和掌握连续时间系统频域、复频域的分析方法。
3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二．实验原理1.连续时间系统的频率响应系统的频率响应定义为：ττωωτd eh j H j -∞∞-⎰=)()(H （ωj ）反映了LTI 连续时间系统对不同频率信号的相应特性，是系统内在固有的特性，与外部激励无关。
H （ωj ）又可以表示为)()()(ωθωωj ej H j H =其中)(ωj H 称为系统的幅度响应，)(ωθ成为系统的相应响应。
对于由下述微分方程描述的LTI 连续时间系统∑∑===Mm m n Nn n n t xb t ya 0)(0)()()(其频率响应H （ωj ）可以表示为下列式子所示的ωj 的有理多项式1110111...)()(...)()()()()(a j a j a j a b j b j b j b X Y j H N N N N M M M M ++++++++==----ωωωωωωωωωMATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs ，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：[h,w]=freqs(b,a) 计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w 中。
h=freqs （b ，a ，w ） b 、a 分别为表示H （ωj ）的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w 为频率取样点，返回值h 就是频率响应在频率取样点上的数值向量。
[h ，w]=freqs （b ，a ，n) 计算默认频率范围内n 个频率点上的频率响应的取样值，这n 个频率点记录在w 中。
Freqs （b ，a ，……） 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出来系统的频率响应和相频响应。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的复频域分析)
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
第 5 章 连续时间系统的复频域分析
5.1 标出下列信号对应于 s 平面中的复频率。
（1） e2t ；（2） te-t ；（3）cos2t；（4） e-t sin（－5t）
答：（1） e2t (t)
s
1
2
，所以
s1＝2
收敛域：
5.4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。
3 / 43
圣才电子书
答：（1）部分分式展开
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
拉氏逆变换，有
（2）部分分式展开
拉氏逆变换，有
（3）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（4）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（5）部分分式展开
15 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
所以
（3）因为 令 T＝1，则 所以
(1)n (t nT )
（1）设 而
，则
由时间平移特性，可得
图 5-1
（2）
（3）因为 由时间平移特性，可得
（4）设
，因
由复频域微分特性，有
再由时间平移特性，可得
9 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
5.9 用拉普拉斯变换的性质求图 5-2 各波形函数的拉普拉斯变换。
答：（a）由图 5-2（a）可知
图 5-2
而 由拉式变换的时间平移与线性特性，可得
（b）由图 5-2（b）可知
而 所以
（c）由图 5-2（c）可知
10 / 43
圣才电子书
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
信号与系统第5章-连续系统的复频域分析
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若 0时 lim f (t )e t 0 则 f (t )e t 绝对可积
t
F ( s ) 存在， 0即为F ( s ) 的收敛域。
应用电子系
3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 1. 持续时间有限的单个脉冲信号
沿路径 -j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加
应用电子系
应用电子系
e
st
的含义 S平面 s j
C2
C1 B2 B1
A1
A2
C1* C2*
应用电子系
拉普拉斯变换的收敛域
1、收敛域定义： 使f(t) e-σt收敛，即F(s)存在的σ 的取值范围
例如：f (t ) e (t )
3t
t t
j t
dt f (t )e( j )t dt
令 s j 则积分结果为s 的函数，所以上式表示 为：
F ( s) f (t )es tdt
拉普拉斯正变换
应用电子系
F ( s) f (t )es tdt
符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯 变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换可以相互转化。
F ( j ) F ( s) j s
j s
应用电子系
不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换：
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
连续时间系统的复频域分析
因而拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。
拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法都是建立在线性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。
只是信号分解的基本单元函数不同。
（1）拉普拉斯变换的数学定义和物理意义（2）拉普拉斯变换的性质及计算方法（3）连续时间系统的复频域分析法（4）系统函数的定义§5.3 拉普拉斯变换的收敛域由上面的讨论可知，连续时间信号f t 的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式F s 是否存在，取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：受迫分量自然分量受迫分量自然分量例5-15 图5-18中，已知C1 1F， C2 2F， R 3Ω，初始条件uC1 0 EV，方向如图。
设开关在t 0时闭合，试求通过电容C1的响应电流iC1 t 。
图5-18 （a）时域电路模型 E 图5-18 （b）s域电路模型 3 s s 2 1 s 1 1 s I C uC1 0 C1 1F， C2 2F，R 3Ω初始条件uC1 0 EV s 1 1 s I C 3 s s 2 1 E sin ?ot 例：解： 9、时域卷积定理：若则 10、频域卷积定理：则若其中初值: f t |t 0+ f 0+ 若f t 有初值，且f t ? F s ，则 12、终值定理：终值: f t |t ? f ? 若f t 有终值，且f t ?F s ，则 11、初值定理：注意：终值存在的条件：F s 在s右半平面无极点，在j?轴上单实根极点[F S 1/S]。
当f t 含有冲激及其导数时，有解：§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析方法一、由方程求响应利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个s域的代数方程; 由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。
实验5 连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MAT1AB实现方法。
2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。
3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法1、拉普拉斯变换连续时间信号XQ)的拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换定义为X(S)=Γx(t)e-st dt (1)J-‹XJ拉普拉斯反变换定义为x(t)≈-Γr X(s)e s,ds (2)2用J”>在MAT1AB中，可以采用符号数学工具箱的Iap1ace函数和iIap1ace函数进行拉氏变换和反拉氏变换。
1=IaPIaCC(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回变量为S的结果表达式。
1=Iap1ace(F,t)用t替换结果中的变量s。
F=i1ap1ace(1)以S为变量的符号表达式1的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。
F=iIap1ace(1,x)用X替换结果中的变量t。
除了上述iIap1ace函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下：当X(S)为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：X(S)=祟=…+"。
...................... ⑶D(S)a N s+即_科+…+劭式(3)可以用部分分式法展成一下形式X(S)=/一+/一+...+—^ (4)♦Pi s-p2s-p N通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式(1-2)求得拉普拉斯逆变换。
利用MAT1AB的residue函数可以将I(S)展成式(1-2)所示的部分分式展开式，该函数的调用格式为：[r,p,k]=residuc(b,a)其中b、a为分子和分母多项式系数向量，r、p、k分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换HG)=Γh(t)e-s1dt (5)J-OO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和系统输出信号的拉氏变换之比得到H(S)=Y(S)ZX(S) (6)单位冲激响应反映了系统的固有性质，而"($)从复频域反映了系统的固有性质。
实验5-连续时间系统的复频域分析
一，真验手段之阳早格格创做针对于推普推斯变更及其反变更，相识定义、并掌握matlab真止要领；掌握连绝时间系统函数的定义战复频域分解要领；利用MATLAB加深掌握系统整极面战系统分散.二，真验本理调用laplace战ilaplace函数表示推氏变更战推氏反变更：L=laplace(F)标记表白式F的推氏变更，F中时间变量为t，返回变量为s的截止表白式.L=laplace(F,t)用t替换截止中的变量s.F=ilaplace(L)以s为变量的标记表白式L的推氏反变更，返回时间变量为t的截止表白式.F=ilaplace(L,x)用x替换截止中的变量t.供多项式的根不妨通过roots去真止：r=roots(c) c为多项式的系数背量，返回值r为多项式的根背量.画造系统函数的整极面分散图，可调用pzmap函数：Pzmap(sys)画出由系统模型sys形貌的系统的整极面分散图.[p，z]=pzmap(sys)返回极面战整面，不画出分散图.三，真验真质（1）已知系统的冲激赞同h(t)=u(t)-u(t-2)，输进旗号x(t)=u(t)，试采与复频域的要领供解系统的赞同，编写MATLAB步调真止.MATLAB步调如下：syms t h x y H Xh = heaviside(t) - heaviside(t - 2)x = heaviside(t)H = laplace(h)X = laplace(x)Y = X*Hy = ilaplace(Y)disp(y)ezplot(y,[-5,4])title('h(t)')步调真止截止如下：所以解得（2）已知果果连绝时间系统的系统函数分别如下：①②试采与matlab画出其整极面分散图，供解系统的冲激赞同h(t)战频次赞同H(w)，并推断系统是可宁静.MATLAB步调如下：syms H sb = 1a = [1,2,2,1]H = tf(b,a)pzmap(H)axis([-2,2,-2,2])figureimpulse(H)步调真止截止如下：该果果系统所有极面位于s里左半仄里，所以是宁静系统.MATLAB步调如下:b = [1,0,1]a=[1,2,-3,3,3,2]H = tf(b,a)figurepzmap(H)axis([-3.5,3.5,-3.5,3.5])figureimpulse(H)步调真止截止如下：该果果系统的极面不齐位于S 仄里的左半仄里，所以系统是不宁静系统.（3）已知连绝时间系统函数的极面位子分别如下所示：试用MATLAB画造下述6种分歧情况下，系统函数的整极面分散图，并画造赞同冲激赞同的时域波形，瞅察并分解系统函数极面位子对于冲激响当令域个性的做用.①p=0z = []p = [0]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)②p=-2z = []p = [-2]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)③p=2z = []p = [2]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)④p1=2j,p2=-2jz = []p = [2j,-2j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)axis([0,8,-2,2])⑤p1=-1+4j,p2=-1-4j z = []p = [-1+4j,-1-4j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)axis([0,6,-0.1,0.2])⑥p1=1+4j,p2=1-4jz = []p = [1+4j,1-4j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)问：由步调真止截止不妨瞅出，正在无整面的情况下：当极面唯一且正在本面时，h(t)为常数；当极面唯一且是背真数时，h(t)为递减的指数函数；当极面唯一且是正真数时，h(t)为递加的指数函数；当H（s）有二个互为共轭的极面时，h(t)有sint果子；当H（s）有二个互为共轭的极面且他们位于左半仄里时，h(t)另有果子；当H（s）有二个互为共轭的极面且他们位于左半仄里时，h(t)另有果子.（4）已知连绝时间系统的系统函数分别如下：①②③上述三个系统具备相共的极面，不过整面分歧，试用MATLAB分别画造系统的整极面分散图及相映冲激赞同的时域波形，瞅察并分解系统函数整面位子对于冲激响当令域个性的做用.①MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：②MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1 8]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：③MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1 -8]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：由步调真止截止瞅出，当极面稳定时，整面分散只做用系统时域赞同的幅度战相位，对于时域赞同模式不做用.不会改变是衰减振荡仍旧删少振荡.四，心得体验MATLAB正在推普推斯变更处又一次化繁为简，简化了繁纯的估计，奖截止曲瞅的呈当前了尔的少远.。
第五章-连续时间系统的复频域
1 j2
K1 (s 2)(s 1 j2)
5
s1 j2
K2
(s
s2 3 2)(s 1
j 2)
1 j2 5
s 1 j 2
共轭 对称
f
t
7 5
e2t
2 et
1 5
cos2t
2 5
sin2t
ut
1, 2,取 0
sbX(Xs)( 0
s)
b X(s) 0
n
1
0
拉普拉斯反变换
由于大多信号和LTI系统的拉普拉斯变换的形式为有理分式，
因此其反变换的求解具有规律性，可利用代数方法进行求解，这
里我们主要介绍部分分式法。
部分分式法分析：
H(s)
b sm m
bs 1
b 0
a sn a s a
判断有理分式 是否为真分式
F1sF2 s
f1 tf2 t
1 2j
F1
s*
F2
s
对微分方程 进 行变换时，初 始条件被自动 计入。
便于求解LTI 系统全响应
时域微分特性
初始条件
若L f (t) F(s), 则L f (t) sF (s) f (0 )
由单边拉氏 变换引起
分部积分
e e 拉普拉斯变换
F(s)
0
f
(t )estdt
f (t)
0
t
j t
dt
j
0时，为在虚轴上拉氏变换，
即傅里叶变换；因此，傅里叶变
第5章连续时间信号与系统的复频域分析
5.4.2 电路元件的复频域模型
对于比较复杂的网络（支路或结点较 多），列写微分方程本身也是一件烦琐的 事情。对于线性时不变电路，可不必列写 微分方程，直接把时域的电路模型转换为s 域电路模型，在s域内写出电路的代数方程 形式，然后进行求解。
1.电路元件的s域串联模型
图5.3 元件s域模型（串联形式）
5.4.1 应用拉普拉斯变换求解微分方 程
当电路或系统的输入输出微分方程已 知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉 斯变换，利用时域微分性质求出s域输出 Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。通 过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以 避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是 对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计 算量大大减小。
图5.17
（9） 若二阶共轭极点位于虚轴， 即p1，2=jω0，p3，4=-jω0
图5.18
综上所述，若系统函数H(s)的极点位 于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰 减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则 h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时， 对应的h(t)成等幅振荡或阶跃变化。若二阶 极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。
以上讨论的稳定性条件都是在时域判 定的。在s域中，对于线性非时变因果系统， 可根据上述定义和系统的零极点分布与系 统冲激响应的关系得出系统极点分布与稳 定性的关系如下。
（1）稳定因果系统的系统函数H(s)的极点 只能在s左半平面，不能在s右半平面有极 点，否则不满足式（5-36），系统不稳定。
（2）如果H(s)的一阶极点位于虚轴， 则该系统为临界稳定系统。
第五章__连续时间系统的复频域
令s j, 则： F1 ( j ) f (t )e st dt Fd ( s)
f1 (t ) f (t )et Fd (s), 对Fd (s)求傅里叶反变换，有：
f1 (t ) f (t )e
f (t )
1 2
t
1 2
Fd ( s )e jt d
cos(ωt)的单元函数之和。每一对正负ω分量构成一等 幅正弦振荡，振幅 F ( j) d 为无穷小量。
L.T将函数分解为形如est或eσt cos(ωt)指数分 量之和，每一对正负ω的指数分量构成一个变幅
的正弦振荡，振幅
F ( s ) t e ds
也为无穷小量。s称
为复频率，F(s)称为复频谱。
第 五 章 连 续 时 间 系 统 的 复 频 域 分 析
• 指数函数
e
t
(t )
( s ) t 0
L[e
t
(t )]
0
e e dt e
t st
dt
1 ( s ) t e s
t
0
1 s
e
1 (t ) s
性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。只是信号分 解的基本单元函数不同。 傅里叶变换分解的基本单元信号为：
虚指数信号 jt或等幅正弦信号 t e cos
拉普拉斯变换分解的基本单元信号为：
复指数信号 st 或振幅指数变化的正弦 e 信号et cost
由此可见，拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法有 许多类似之处，事实上，傅里叶变换可视为拉普拉斯变 换在σ=0时的一种特殊情况。
§5.3 拉普拉斯变换的收敛域
第五章连续时间系统的复频域分析
⑤拉氏正反变换的简记形式 F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s) f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
通常在电路分析 中所遇到的时间 函数都满足上述
条件
例1、求L[ (t)]
解：L[ (t)] (t)est dt est dt
t
s0
注意：对F(s)极点的限制主要是为了保证lim f (t) t
存在，只有终值存在才能用此定理。
例8、试求下列 F(s)所对应的f (t)的初值和终值。
(1)F (s) s2 2s 1 (s 1)(s 2)(s 3)
(3)F (s)
(s
s2 2s 3 1)(s2 w02 )
(2)F (s) s3 s2 2s 1 (s 1)(s 2)(s 3)
连续时间系统的复频域分析
本章目录
F 拉普拉斯变换 F 拉普拉斯变换的收敛区 F 拉普拉斯变换的基本性质 F 拉普拉斯反变换 F 线性系统的拉普拉斯变换分析法 F 阶跃信号作用于RLC串联电路的响应 F 线性系统的模拟 F 信号流图
5.1 引言
由第四章学习，知连续时间系统的频域分析为
F[e(t )]
解：令D(s) s2 2s 5 0
S1、2 1 j
s2
s 2s
5
s
k1 s1
s
k2 s2
t0
tg 1 1 2
可以证明
k
2
k
1
5 e j
4
k1 N(s)
s
1 j2 5 e j
D(s) ss1 2s 2 s1 j2 2 4 j 2 4
2 j
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以
实验5--连续时间系统的复频域分析
实验5–连续时间系统的复频域分析实验背景在连续时间系统的频域分析中，复频域分析是非常重要的一个方法。
其可以帮助我们更直观地了解系统的频率响应，包括幅频响应和相频响应，对于系统的设计和优化都有非常实际的应用价值。
因此，在本次实验中，我们将通过对一个特定系统的复频域分析来学习这一方法的基本原理和操作流程。
实验目的1.了解连续时间系统的幅频响应和相频响应2.掌握利用MATLAB对系统进行复频域分析的方法3.学会根据复频域图像对系统进行分析和优化实验原理连续时间系统幅频响应和相频响应在连续时间系统的频域分析中，使用的是拉普拉斯变换。
通过对系统的输入信号和输出信号进行拉普拉斯变换，可以得到它们在复平面上的函数，进而求得系统的传递函数H(s):H(s)=Y(s)/X(s)其中，s为复变量。
系统的幅频响应和相频响应分别定义为:H(s)的模和相位:|H(jw)|=sqrt(H(s)H(s)*) (模) arg(H(jw))=tan^-1[Im{H(jw)}]/Re{H(jw)} (相位) 其中，w为实数，j为虚数单位。
利用MATLAB进行系统复频域分析MATLAB提供了众多用于连续时间系统复频域分析的工具。
其中，最基本的是bode命令。
它可以计算和绘制给定系统的幅频响应和相频响应曲线。
常用命令格式如下：[bode(H,w)]其中，H为系统的传递函数，w为频率范围除此之外，MATLAB还提供了很多其他的命令，如nyquist、margin、freqresp 等。
它们可以帮助我们更全面地分析系统的性能和特点。
实验步骤实验环境1.一台已安装MATLAB的计算机实验流程1.根据给定的系统传递函数H(s)，利用MATLAB计算和绘制其幅频响应和相频响应曲线。
%定义系统传递函数H=tf([5+j*10 0.6+0.2*j],[1 2+j 3 4-j 5+j]);%绘制幅频响应和相频响应曲线figure(1)subplot(2,1,1)bode(H);subplot(2,1,2)nyquist(H);2.根据绘制的幅频响应和相频响应曲线，对系统进行分析和优化。
第五章连续时间系统的复频域分析(文正).
（ f (t t0 ) (t t0 ) 是 f (t ) (t ) 延时得到的）
右移
14
15
有始周期函数的拉普拉斯变换
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f3 (t )
1 F ( s ) F1 ( s ) 1 e sT
L
周期因子
j t
dt
t
条件： f (t ) dt
1）局限性：
傅里叶变换不存在， e
( 0)
sin t (t ) 、
3
存在，但不能用定义式求得， (t )
频谱包含冲激函数，带来分析和运算困难。
2、问题的解决
推广 频域分析 傅里叶变换
复频域分析 拉普拉斯变换
第五章
连续时间系统的 复频域分析
目录
拉普拉斯变换的引出与定义
常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质（单边） 连续时间系统的复频域分析方法 系统的模拟框图 信号流图
2
一、拉普拉斯变换的引出与定义
1、问题的提出
傅里叶变换存在缺点：
F (j ) f (t ) e
f (t )e
j0t F F ( 0 )
0 例： Sin0t (t ) 2 2 s 0
0 e Sin0t (t ) 2 2 ( s ) 0
t
19
19
(5) 时域微分
设 f (t ) F (s)
df (t ) sF ( s ) f ( 0 ) 则 dt
第一周期波形的 拉普拉斯变换
例：
（1）
f(t)
（1） （1）
管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续时间系统的复频域分析)
1．已知因果信号的拉普拉斯变换为 X（s）＝ x（t）为（ ）。
[1－e－（s＋α）T]，其逆变换式
【答案】e－αtu（t）－e－αtu（t－T）
【解析】可知
X(
s
)
s
1
a
s
1
a
e( sa
)T
，已知拉氏变换
s
1
a
e at u(
t
)，
根据拉氏变换的时移性质
1 e( sa )T sa
eatu( t T
u（t）的拉普拉斯变换为
e 2s s
。
7．信号
的单边拉普拉斯变换为（ ）。
【答案】A
【解析】积分可得
f
(t)
t2
t
，tn
n! s n 1
，结果为
A
项
8．象函数 A．tU（t） B．tU（t－2） C．（t－2）U（t） D．（t－2）U（t－2） 【答案】B
的原函数 f（t）为（ ）。
【解析】
，常用拉氏变换对
由常用函数的拉氏变换，
5．信号 f（t）＝（t＋1）u（t＋1）的单边拉普拉斯变换为（ ）。
【答案】B 【解析】f（t）是 tu（t）向左移 1 个单位时间后的结果，由于单边拉氏变换只研究
t 0 的时间函数，故不能利用性质求 F（s）。因此可认为 f（t）与（t＋1）u（t）的单边
2 / 140
圣才电子书
则该信号的时间函数为（ ）。
1 / 140
圣才电子书
C．e－αtu（t－α）
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
D．e－αu（t－T）
【答案】B
【解析】可采用从时域到频域一一排除的方法，u（t）的拉氏变换为 1/s,根据时移性，
第五章连续时间系统的复频域分析
拉氏变换的优点： 1、系统初始条件自动包含到变换域中，一举求得系统的零 状态响应和零输入响应，简化求解步骤。 2、拉氏变换将微分与积分运算转换成乘法与除法运算。 3、对指数函数等，经过拉氏变换，转换成简单的初等数。 4、拉氏变换将时域中两个函数的卷积转换成乘法运算。 本章重点： 1、拉氏变换定义、性质 2、拉氏变换、反变换的求解 3、拉氏变换的应用（在复频域中分析系统，求解系统的响应）
t →∞
et ε (t ), t t ε (t ) 随着时间增长太快，无论 σ 取何值，都不能使得
绝对可积，故其拉氏变换不存在，但这类函数实际中遇不到，故不讨论。
徐州师范大学物理系
例 3、求 L [ e + α t ε ( t )]，并讨论收敛域。 解： L [ e
+αt
ε ( t )] =
∫
∞
0−
徐州师范大学物理系
5.2 拉普拉斯变换
laplace transform
f (t )的F ( jω )存在的条件： 函数f (t )满足绝对可积条件∫
∞ −∞
双边拉氏变换
f (t ) dt < ∞ 时
不满足此条件的原因： 衰减得不够快 衰减得不够快。 不满足此条件的原因：f(t)衰减得不够快。
当 lim f (t ) ≠ 0时，f (t )不存在付里叶变换
徐州师范大学物理系
(3) D ( s ) = 0的根有p阶重根 − − F ( s )有p阶重极点 D ( s ) = s − s1) p ( s − s 2)...... （ F ( s) = k1p k 1( p − 1) k 1m k 11 + + .. + + ... + ( s − s1) p ( s − s1) p −1 ( s − s1) m s − s1
实验五--连续时间系统的复频域分析
实验五--连续时间系统的复频域分析实验五连续时间系统的复频域分析实验目的：1、掌握利用Matlab 计算拉普拉斯正反变换的方法；2、掌握如何利用Matlab 求部分分式展开的系数。
实验原理：1、拉普拉斯正反变换Matlab 的符号数学工具箱中提供了计算Laplace 正反变换的函数laplace 和ilaplace ，其调用形式分别为：)(f laplace F =和)(F ilaplace f =上述两个式中，右端的f 和F 应分别为系统的时域表示式和s 域表示式符号表示式。
需要注意的是符号数学工具箱给出的结果也是解析表达式（其中可以带上尚为未知的参数符号），而并非一般的以向量来表示的数值结果。
2、部分分式展开法求拉普拉斯逆变换利用Matlab 中的residue 函数可以实现将s 域表示式)(s F 的部分分式展开式，其调用形式为：),(],,[den num residue k p r =其中，num 和den 分别为)(s F 分子多项式和分母多项式的系数向量(num=numerator ，den ＝denominator)，r 为所得部分分式展开项的系数量，p 为极点，k 为直流分量。
如果ss s s s F 342)(23+++=，则num ＝[1 2]；den ＝[1 4 3 0]；运行的结果为：r ＝-1/6 -1/2 2/3p=-3 -1 0k=[]即得F(s)可以展开为：36/112/13/2)(+-++-+=s s s s F再由基本得Laplace 变换对可知，F(s)得反变换)(t f 为： )(61)(21)(32)(3t e t e t t f t t εεε----= 注意：如果分母不是多项式而是因子相乘的形式，我们可以利用conv 函数将其转换为多项式的形式，如分母为)2)(1(++s s ，则den ＝conv([1 1],[1 2])。
实验内容：一、利用Matlab 程序求)(t f 的Laplace 变换：1、)()(t t f ε=程序代码：>> syms tf=heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =1/s2、)()(3t te t f t ε-=程序代码：>> syms tf=t*exp(-3*t)*heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =1/(s + 3)^23、)()sin()(t at e t f t ε-=程序代码：>> syms t af=exp(-t)*sin(a*t)*heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =a/((s + 1)^2 + a^2)二、利用Matlab 程序求)(s F 的Laplace 反变换：1、11)(+=s s F 程序代码：>> syms sF=1/(s+1);f=ilaplace(F)输出结果：f =exp(-t)2、1)(22+=s s s F 程序代码：>> syms sF=s^2/(s^2+1);f=ilaplace(F)输出结果：f =dirac(t) - sin(t)3、ss s s s F 342)(23+++=程序代码：>> syms sF=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);f=ilaplace(F)输出结果：f =2/3 - exp(-3*t)/6 - exp(-t)/2三、用部分分式展开法将F(s)的展开，并求其反变换1、23795)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[1 5 9 7];den=[1 3 2];[r,p,k]=residue(num,den) >> syms s F=(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2); f=ilaplace(F)展开结果：反变换结果： r = -1 2p = -2 -1k = 1 2 f =2*exp(-t) - exp(-2*t) + 2*dirac(t) + dirac(1, t)2、)2)(1(532)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[2 3 0 5];den=conv([1 1],[1 1 2]);[r,p,k]=residue(num,den)>> syms s F=(2*s^3+3*s^2+5)/ ((s+1)*(s^2+s+2)); f=ilaplace(F) 展开结果：反变换结果： r =-2.0000 + 1.1339i-2.0000 - 1.1339i3.0000 + 0.0000ip =-0.5000 + 1.3229i-0.5000 - 1.3229i-1.0000 + 0.0000i f=3*exp(-t)+2*dirac(t)-4*exp(-t/2)*(cos((7^(1/2)*t)/2) + (3*7^k =23、)13()1(2)(23+++-=s s s s s F 展开程序代码：反变换代码：>> num=[1 -2]; den=conv(conv([1 1],[1 1]),conv([1 1],[1 3 1]));[r,p,k]=residue(num,den)>> syms sF=(s-2)/ ((s+1)^3*(s^2+3*s+1));f=ilaplace(F)展开结果：反变换结果：r = -0.4875 5.0000 2.00003.0000-4.5125p =-2.6180-1.0000-1.0000-1.0000-0.3820k = []f=5*exp(-t)+2*t*exp(-t)+(3*t^2*exp(-t))/2-5*exp(-(3*t)/2)*(cosh((5^(1/2)*t)/2)+ (9*5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/25) 四、已知某线性是不变系统的系统函数为：s s s s s s H 23444)(232++++=求该系统的单位阶跃响应表达式并画出其波形图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3、求L[e t (t )]，并讨论收敛域。 解：L[e
t
(t )] e
0
t
(t )e dt e ( s ) t dt
st 0
1 e ( s ) t (s )
t
0
1 [1 lim e ( s ) t ] t s
1 、定义 拉氏正变换 拉氏反变换 F (s)
0－
f (t )e st dt
1 f (t ) 2j
j
j
F ( s )e st ds
t0
说明： ①s是复参量，s j F ( s )是以s为自变量的复变函数
②积分下线定为0 ，是为了包括 (t )。
例1、求L[cos t ] 1 解：L[cos t ] L[ (e jt e jt )] 2 1 1 L[e jt ] L[e jt ] 2 2 1 1 1 1 s 2 2 s j 2 s j s 2
2、尺度变换 若L f t F s Re[ s ] 0 1 s 则L[ f ( at )] F ( ) a 0, Re[ s ] a 0 a a
t t
收敛区为
本书主要讨论单边拉氏变换，其收敛区必定 存在，故不再讨论是否收敛的问题。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
双边拉普拉斯变换 s j f (t )存在于整个区间 t
傅里叶变换 s j f (t )存在于整个区间 t
③f (t )是有始函数。
④f (t )拉氏变换存在的充分条件：f (t )在t 0时 分段连续，且满足下式 f (t )e t dt 0 ⑤拉氏正反变换的简记形式
通常在电路分析 中所遇到的时间 函数都满足上述 条件
F ( s ) L[ f (t )] 或
f (t ) F ( s )
无穷小
振幅为 | F ( s ) | ds t e
无穷小
频率分布于整个区间
频率分布于整个区间
例1、求L[ (t )] 解：L[ (t )]
0
(t )e dt e st dt
st 0
1 st e s
0
1 s
例2、求L[ (t )] 解：L[ (t )] (t )e st dt 1
F (s) f (t )e st dt
0
n 个单阶极点，则
F ( j ) F (s) s j K n ( n )
式中，K n 为 F (s ) 在各单阶极点上的留数。如果 F (s ) 在 j 轴上有重阶极点，则上式中还应包含
n
函数的导数项。
计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换
对于单边拉氏变换 讨论：1.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在 满足
f (t )e t dt
其收敛坐标为 0 ，收敛区为全部s平面。
2.单位阶跃信号 lim[ (t )e t ] 0 0
t
收敛区为s平面的右半平面。 3.指数函数 lim[e t e t ] lim[e( ) t ] 0
拉普拉斯变换 s j f (t )为因果信号 f (t ) 0, t 0
傅里叶变换和单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特 殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系：
(1) 如果函数f (t ) 的拉普拉斯变换收敛区包含 j 轴在内，则其傅里叶变换存在。将傅里叶变换中的 j 换成 s ，就可得到 f (t ) 的拉普拉斯变换，即
第五章 连续时间系统的复频域分析 学习目标：
1. 拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念以及拉 普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。 2. 拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及运 用。 3. 根据时域电路模型画出等效s域电路模型，并 求解其全响应和冲激响应。 4. 根据系统的模拟框图得到系统函数和信号流 图的相关概念。
收敛坐标的 右半平面
j
收敛坐标的
0
0
右半平面
5.3 拉普拉斯变换的收敛区
ROC(region of convergence) of the Laplace transform
收敛区：使f (t )e t 满足绝对可积条件的 值的范围称为收敛区， 在收敛区内，f (t )拉氏变换存在，在收敛区外，f (t )拉氏变换 不存在。
lim e ( s )t
t
当 时， e ( s )t 0 lim 则此时F ( s ) f (t )e dt 积分收敛
st 0
lim e ( )t e jt
t
收敛轴
j
1 F (s) s
收敛域 Re[ s]
若L f t F ( s )
4、频域平移性质
则L[e t f ( t )] F ( s )
例3、求L[e t cos t ] 解L[e t cos t ] 同理由sin t 得L[e
1 f (t )e Fb ( s )e jt d 2 1 f (t ) Fb ( s )e st d 2 由s j. ds jd t
f (t )
1 2 j
j
j
Fb ( s )e st ds ——Fb ( s )的逆变换
5.2 拉普拉斯变换 laplace transform
一、从傅里叶积分到双边拉普拉斯变换 当函数f (t )满足绝对可积条件
f (t ) dt 时，
其傅里叶变换积分式 F ( j )
f (t )e jt dt 收敛。我们说
信号f (t )的傅里叶变换存在。
1 t
e 0 t
T2
0
t
1
收 敛 域
0 0
若 f (t)e- t绝对可积，则1<0；f(t)e- t也绝对可积。因为当 t 时，e-t增长。但当t >T2时，f(t)=0。故在Re[s]<0的 区域内，f(t)e-t绝对可积。
• f (t)为双边信号，则收敛域是S平面的一 条带状区域。证明同上。
s s2 4
0
5.6 拉普拉斯变换的基本性质
properties of laplace transform
一、线性性质 若L[ f 1( t )] F 1( s )，L[ f 2( t )] F 2( s ) 则L[ Af 1( t ) Bf 2( t )] AF 1( s ) BF 2( s ) 其中A、B为实常数
当 lim f (t ) 0时，f (t )不存在傅里叶变换
t 或t
但若 lim f (t )e t ( 为实数)收敛。
t 或t
即
f (t )e t dt
e t ——称为收敛因子
则f (t )e t 满足绝对可积条件，它的傅里叶变换为： F [ f (t )e
f (t ) L1[ F ( s )] 或 F ( s ) f (t )
拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别
傅里叶变换
信号表示成指数 ejt 分量的连续和 基本信号为：等幅的正弦信号
拉普拉斯变换
信号表示成指数 est 分量的连续和 基本信号为：指数增长的正弦信号
振幅为 | F ( j ) | d
E 1 E L[(t T ) (t T ) T (t T )] 2 T s T E 1 E sT 1 1 e E e sT T s2 T s2 s E 2 [1 (Ts 1)e sT ] Ts
注意 f (t ) (t t 0) f (t t 0) (t t 0)
1 t
若 f (t)e- t绝对可积，则1＞0 收 ；f(t)e- t也绝对可积。因为当 敛 0 0 域 t- 时，e-t增长。但当t<T1 时，f(t)=0。故在Re[s]＞0的区 域内，f(t)e-t绝对可积。
0 1
e 0 t
T1
t
• f (t)为左边信号，则收敛域是 Re[s]＜0， j f (t ) 0＜0。 e
F ( s ) F ( j )
j s
反之，将拉普拉斯变换中的 s 换成 j ，就可得到
f (t ) 的傅里叶变换，即
F ( j ) F ( s ) s j
(2) 如果函数 f (t ) 的拉普拉斯变换收敛区不包含 j 轴在内，则其傅里叶变换不存在，拉普拉斯变换 必须通过定义式来求取，即 (3) 如果函数 f (t ) 的拉普拉斯变换的收敛边界位于 j 轴，则其傅里叶变换存在。设 F (s ) 在 j 轴上有
通常指数阶函数且具有分段连续性质的f (t )，其 拉斯变换存在。
指数阶函数：若f (t )满足 lim f (t )e t 0, ( 0)
t
那么f (t )的拉氏变换存在。 0与f (t )的性 质有关， 0为L[ f (t )]收敛条件。
由以上分析可知，由 0的数值可将s平面 划分为两个区域：
(1)
e (t ) (2)
3 t
e 3t (t ) (3)
cos 2t (t )
解： 时域信号
e 3t (t )
傅里叶变换
1 j 3
拉普拉斯变换
1 s3 1 s3
3
3
e (t )
3t
不存在
j 2 ( j ) 4